z o z (a) a atmosfera pode ser tratada como um gás ideal;

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1 Notas de aula 6 Dedução da lei de Maxwell para a distribuição de velocidades e u gás (Boltzann, 1876) FMT Terodinâica II (2010) Caren P C Prado, abril de 2010 (aula 8) Boltzann deduziu a distribuição proposta por Maxwell para a velocidade das oléculas dos gases a partir de ua lei que previa coo a pressão variava co a altura na atosfera terreste, conhecida coo Lei de Halley Portanto vaos coeçar discutindo breveente essa lei 1 Lei de Stevin (variação da pressão co a profundidade e u líquido): Aplicando as leis de Newton a u eleento de volue dv = A dz de u uido e equilíbrio é possível ostrar que a variação da pressão P co a altura z é dada por dp dz = ρ g (ver, por ex, Moysés cap 13, vol 2) (1) Note que essencialente essa expressão equivale a segunda lei de Newton,F = a Se ultiplicaros pelo volue dv = A ds dois lados dessa equação, no esquerdo tereos A P = F e no direito ρ V g = Mg Figura 1: A equação (1) ao lado é obtida aplicando-se a 2 a lei de Newton à assa de u eleento innitesial de volue dv, sujeita a u capo gravitacional Se ρ = constante, ca fácil integrar (1) e obteos a conhecida lei de Stevin: dp = ρg dz = P z dp = ρg dz = ρgz z = P = ρg(z ) (2) Mas ρ = constante apenas para u uido incopressível, ou seja, é ua boa aproxiação apenas para u líquido A equação (2) é a faosa fórula usada no colegial para calcular a variação da pressão co a profundidade h de ua piscina ou lago: P (z) = + ρg h z (Lei de Stevin) (3) 2 Lei de Halley (variação da pressão co a altitude na atosfera): Para u gás não é razoável supor ρ = constante, pois os gases são bastante copressíveis Logo, ρ = ρ(z), ou seja, tanto a pressão coo a densidade varia co a altura Para integrar a equação (1) e encontrar a expressão equivalente à lei de Stevin para uidos copressíveis, teos que achar a função ρ(z), ou seja, descobrir coo ρ varia co a altura (ou profundidade) Halley, interessado e calcular coo a pressão da atosfera diinuia co a altitude, obteve ua aproxiação para ρ(z) a partir de duas hipóteses: (a) a atosfera pode ser tratada coo u gás ideal; (b) T = constante, ou seja, a atosfera está e equilíbrio térico, ua hipótese bastante restritiva, que certaente não é verdadeira para grandes variações de altura 1

2 A partir da lei dos gases, supondo T = cte, teos: P V = N R T = M M RT = P = RT V M ρ cte (M é a assa do gás; M a assa de 1 ol) As hipóteses de Halley (gás ideal e T constante) signica portanto que P = constante ρ, ou seja, P (z) é proporcional a ρ(z) Mas se P (z) ρ(z), tereos ρ o, ou seja, se conheceros a pressão e a densidade e ua certa altura de referêcia ( ) podeos calcular a constante de proporcionalidade: Co (4) podeos integrar a equação (1): ρ(z) = ρ o P (z) (4) dp dz = ρg = ρ o P (z)g = dp (z) P (z) = ρ o g dz (separaos as variáveis) P dp P z = α dz (α = cte = ρg ) ln P P = αz ( ) z P = ln = αz ou P (z) = e ρog Po z (Lei de Halley) (5) 3 A estratégia de Boltzann: Vios que, a partir das hipóteses de Halley, P = NRT V = ρ RT M = ρ RT N A = ρ k BT, onde N A é o núero de avogadro e a assa de ua olécula A constante de proporcionalidade entre P e ρ é k BT, ou seja, P (z) = k BT ρ(z)! A equação (5) então pode ser escrita coo: P (z) = e g k B T z e portanto ρ(z) = ρ o e g k B T z (6) Note que essa é exataente a lei de Halley escrita por olécula Coo ρ(z) = n(z), onde n(z) é o núero de oléculas por unidade de volue (densidade de oléculas), veos que o núero de oléculas por unidade de volue tabé decai exponencialente co a altura n(z) = n o e g k B T z (7) Boltzann atribuiu esse decréscio à força da gravidade: para que ua olécula chegue até ua altura z na atosfera, ao nível, a coponente de sua velocidade na direção z, v z, deve ser tal que vz 2 2gz (ver gura 2) O decréscio na densidade, portanto, era u reexo direto da distribuição da coponente z da velocidade (no nível ) 2

3 Figura 2: Para contribuir para o decréscio da densidade observado entre z e z + dz a olécula deve ter velocidade entre v z e v z + dv z e 4 Fazendo as contas A partir de (7) teos que ( dn dz = n o g ) e (g/k BT ) z k B T portanto dn = C o e (g/k BT ) z dz = C o e λz dz dn representa o decrescio de oléculas observado entre z e z + dz, que é igual ao núero de oléculas co velocidade entre v z e v z + dv z Mas o núero de oléculas co velocidade entre v z e v z + dv z por unidade de volue é Ua olécula co velocidade v z subirá até ua altura v z n(v z ) dv z = C o e (g/k BT ) z dz (8) z = v2 z 2g = dz = v z g dv z (9) Substituindo (9) e (8) teos v z n(v z ) dv z = C o e (g/k BT ) (vz/2g) 2 v z g dv z = n(v z ) dv z = C o e z/ ) dv z (10) C o g A expressão (10) ostra que a distribuição de velocidades de u gás e equilíbrio térico à teperatura T, não depende de z e tabé não é afetada pelo capo gravitacional g Portanto ela tabé dserve para descrever á distribuição de velocidades nas direções x e y: n(v x ) dv x = C o e (v2 x/ ) dv x (11) n(v y ) dv y = C o e (v2 y/ ) dv y (12) A distribuição de velocidades deve ser noralizada Vaos chaar essa distribuição noralizada de f 1 (w), onde w pode ser v x, v y ou v z Co isso achaos o valor da constante C o : 3

4 f 1 (w) dw = 1 = C o = 1 e (w2 / ) dw I1 = π/α, α = / = ( ) 1/2 5 Distribuiçãode Maxwell-Boltzann A fração de oléculas co velocidades entre v e v e v + d v é dada por: f(v x, v y, v z ) dv x dv y dv z = f 1 (v x ) dv x f 1 (v y ) dv y f 1 (v z ) dv z Co isso obteos nalente a distribuição de Maxwell: f(v x, v y, v z ) = ( ) [ ] 3/2 exp (v2 x + vy 2 + vz) 2 (13) Mas o que quereos é a distribuição de velocidades e função do seu ódulo v Precisaos portanto re-escrever (13) e função de v, e não de suas coponentes Se consideraros u recipiente co N oléculas de u gás e equilíbrio térico à tepertatura T, podeos representar as velocidades das oléculas por pontos no espaço de velocidades (ver gura ao lado) A fração dn vx,vy,v z de oléculas co velocidade entre v e v + dv será igual a dn v x,v y,v z N Figura 3: dn vx,v y,v z é o núero de pontos que cae nu volue dv x dv y dv z dn vx,v y,v z = N f(v x, v y, v z ) dv x dv y dv z = = ( ) [ ] 3/2 exp (v2 x + vy 2 + vz) 2 dv x dv y dv z ( ) 3/2 ] exp [ v2 dv x dv y dv z Note que o expoente de (14) é igual à energia cinética dividida por k B T A fração de oléculas co velocidade entre v e v + dv equivale ao núero de pontos no espaço de velocidades que cae dentro da casca esférica de raio v e volue dv = 4π v 2 dv, ou seja, Figura 4: dv x dv y dv z = 4π v 2 dv ( dn(v) = N F (v) dv = 4πN 4 ) 3/2 ] exp [ v2 v 2 dv

5 o que dá para a distribuição de velocidades F (v) = 4π ( ) 3/2 ] v 2 exp [ v2 (14) dn/n = F(v) é a fração de oléculas que te v entre v e v + dv Essa é a expressão apresentada coo distribuição de Maxwell nos livros Note que ela equivale à (13) Há ua diferença entre essa expressão e a que é apresentada e alguns livros, coo Halliday F(v) Halliday = N F(v) Moysés e representa a distribuiçãodo núero de oléculas (não a fração de oléculas) coo no livro do Moysés Sua integral é igual a N 5