Eletromagnetismo I. Aula 9

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1 Eletroagnetiso I Prof. Dr. R.M.O Galvão - 2 Seestre 214 Preparo: Diego Oliveira Aula 9 Solução da Equação de Laplace e Coordenadas Cilínicas e Esféricas Vaos ver coo a Equação de Laplace pode ser resolvida e sisteas de coordenadas não cartesianos. Coeceos por coordenadas cilínicas, vendo ua aplicação de interesse prático. Considereos a "cunha cilínica"ostrada na gura, forada por dois planos condutores aterrados e θ = e θ = e ua superfície cilínica e r = a polarizada co potencial φ = V. A cunha é innita na direção z, de fora que o potencial não deve depender da coordenada z. Naturalente a sietria do problea indica que deveos resolver a Equação de Laplace e coordenadas cilínicas. Assi o problea é especicado coo 2 φ = 1 r r φ r r 1 2 φ = ; φr, θ r 2 θ2 1 φr, = φr, = ; φa, θ = V Novaente vaos utilizar o étodo de separação de variáveis, supondo φr, θ = RrT θ 2 1

2 Substituindo na Equação de Laplace, teos ou T r d R d 2 T r 2 dθ = 2 r d R 1 d 2 T T dθ = 2 3 O prieiro tero da equação é função só de r, enquanto que o segundo é função só de θ. Coo os dois teros tê que se anular para qualquer valores de r e θ, a única possibilidade é que cada tero seja igual a ua constante r d R = α 2 ; 1 d 2 T T dθ = 2 α2 4 Equação para Rr r d = α 2 R 5 É fácil de ver que a solução desta equação é Rr = A 1 r α B 1 r α [basta derivar Cr α e substituir na equação] 6 Coo α ainda é arbitrário, é necessário considerar tabé a possibilidade de α =, que levaria a R = const, que é ua solução trivial. Mas existe ua solução não trivial para este caso, coo podeos ver diretaente α = r d = r dr = B Rr = A B ln r dr = B r 7 Então a solução geral da equação para Rr é Rr = A B ln r A 1 r α B 1 r α 8 [O apareciento do tero ln r é ua característica do sistea de coordenadas cilínicas]. 2

3 Equação para T θ d 2 T dθ 2 = α2 T T θ = C 1 cosαθ D 1 αθ 9 Neste caso teos que tabé considerar o caso espacial α =. Então a solução geral para φr, θ é α = d2 T dθ 2 = T θ = C D θ 1 φr, θ = A B ln rc D θ A }{{} 1 r α B 1 r α [C 1 cosαθ D 1 αθ] }{{} α = α 11 Condição de Regularidade Tanto no sistea de coordenadas cilínicas coo esféricas, alé das condições de contorno, teos que considerar co cuidado o coportaento da solução quando r, se este ponto zer parte do doínio onde quereos a solução. De fato, no liite r, ln r ; r a α > ; então, para evitar a divergência do potencial e r =, especicaos e o potencial ca B = ; B 1 = 12 φr, θ = C D θ A 1 r α [C 1 cosαθ D 1 αθ] 13 Condições de Contorno θ = φr, = C D 1 r α C 1 = C = C 1 = onde cobinaos D 1 na constante A 1. φr, θ = D θ A 1 r α αθ 14 θ = φr, = D A 1 r α α = 15 3

4 Fazeos então D = ; se fazeros tabé A 1 =, obteos a solução trivial φr, θ =. A outra possibilidade é considerar Então a solução geral ca α = π; = 1, 2, 3... α = π 16 φr, θ = =1 = A r π πθ r = a V = A a π πθ 17 Usando novaente a condição de ortogonalidade das funções trigonoétricas, teos V πθ dθ = A a π Essas integrais já fora feitas anteriorente, πθ πθ dθ 18 πθ dθ = πθ 2 πθ ; ípar; πθ dθ = 2 δ 19 Então e obteos 2 π = A a π 2 δ ; ípar 2 =1 De fora que o potencial "dentro"da cunha ca φr, θ = 4V π A = 4V π π a 21 ípar 1 r a π πθ 22 4

5 Capo Elétrico Tendo o potencial, podeos calcular diretaente o capo elétrico dentro da cunha E = φ E r = φ r = 4V r a aπ 1 πθ ípar E θ = 1 φ r θ = 4V r a aπ 1 πθ cos ípar 23 É interessante agra vericar o coportaento do capo próxio da orige, ou seja, quando r. Neste liite o tero doinante no soatório é o co enor potência de r, ou seja, o tero = 1; então teos E r 4V a E θ 4V a r aπ 1 r aπ 1 cos πθ πθ 4V r E a aπ 1 24 O valor do ângulo da cunha é arbitrário; então vaos ver coo se coporta o capo quando variaos o valor de ; isto é indicado nas guras a seguir 5

6 Veos que quando > π, o capo tende a divergir na ponta da cunha, ou seja, auentaria sua intensidade na ponta, o que é denoinado Poder das Pontas na linguage popular. Exercício Calcular a expressão de densidade de carga σ na superfície r = a e a da capacitância por unidade de copriento na direção L, ou seja, C/L. Separação de Variáveis e Coordenadas Esféricas E coordenadas esféricas, a Equação de Laplace é dada por 2 φr, θ, ϕ = 1 r 2 φ 1 r 2 r 2 r 2 r 2 θ θ φ θ θ 1 2 φ r 2 2 θ ϕ = 2 25 Devido a 2 θ aparecer na derivada e relação a ϕ, não é iediato fazer a separação de variáveis diretaente nas coordenadas r, θ e ϕ. Por isso, vaos considerar prieiro a separação e r; fazendo φr, θ, ϕ = RrY θ, ϕ 26 onde a função Y depende tanto de θ coo de ϕ. Substituindo na Equação de Laplace, teos Y d R r 2 r 2 θ θ Y θ θ R 2 Y r 2 2 θ ϕ = 2 27 Multiplicando todos os teros desta equação por r 2 /RY, obteos 1 d 1 θ Y 1 2 φ R Y θ θ θ Y 2 θ ϕ = 2 28 O prieiro tero da equação só depende de r, enquanto que o segundo e o terceiro depende de θ e ϕ. Coo eles te que se anular para quais valores de r, θ e ϕ, fazeos 1 d R = α 2 ; 1 Y θ θ Y θ θ 1 2 Y Y 2 θ ϕ = 2 α2 29 6

7 Equação para Rr Iniciareos co a equação para a função radial, d = α 2 R 3 Confore explicareos e aula, equações deste tipo e que a diensão de todos os teros seja a variável dependente R, neste caso a solução deve ser a variável independente elevada a ua potência. Assi, vaos supor que a solução seja dada por Substituindo na equação, obteos R = Cr a ; C e a constante 31 Caa 1r a = α 2 Cr a aa 1 = α 2 a = 1 2 [ 1 ± 1 4α 2 ] 32 Esta constante pode ser expressa de fora ais conveniente introduzindo ua outra constante,, relacionada co α através da expressão α 2 = 1 a = 1 2 [ 1 ± ] = 1 [ 1 ± 1 2] 33 2 Assi, as duas raízes são a 1 = e a 2 = 1, de fora que a solução geral para Rr é Rr = Ar Br