FORMAS DE ONDA E FREQÜÊNCIA

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1 A1 FORMAS DE ONDA E FREQÜÊNCIA Ua fora de onda periódica é ua fora de onda repetitiva, isto é, aquela que se repete após intervalos de tepo dados. A fora de onda não precisa ser senoidal para ser repetitiva; por exeplo, a onda quadrada e a triangular da Figura 1 se repete após u intervalo de tepo da esa fora que as foras de onda senoidais da Figura 1. A enor porção não-repetitiva possível de ua fora de onda periódica é u ciclo. O intervalo de tepo entre repetições sucessivas ou ciclos é chaado período,. Deve ser observado que ua grandeza senoidal passa por ua seqüência copleta de valores para cada π radianos de variação de ωt. Figura 1 - Várias foras de onda repetitivas. A freqüência, f, de ua variação no tepo ou grandeza periódica é o núero de ciclos que acontece por unidade de tepo. A unidade SI para freqüência é o hertz (Hz) e hoenage à Heinrich R. Hertz (Aleanha, ). U hertz é igual a u ciclo por segundo. Assi, a freqüência é inverso do período,, isto é f = 1 (1) Na produção de u ciclo de tensão senoidal, o condutor gerador passa através de 360 graus elétricos e u período de tepo = 1/f. Então, a freqüência angular, ω, é π π ω= = =πf 1/ f () onde ω é e radianos por segundo e f é e hertz.

2 A Exeplo 1 - Quais são a freqüência e o período da tensão descrita pela equação v = 10sen377t? Ne todas as ondas senoidais tê valor zero e t = 0. O ângulo de fase inicial é o ângulo da grandeza periódica edido no instante e que a grandeza está coeçando (í = 0). Assi, a onda cossenoidal da Figura 1 pode ser descrita coo ua onda senoidal co 90 ou π / rad de defasage; então a onda cossenoidal pode ser expressa por ua onda senoidal deslocada, isto o é, sen ωt = cos( ωt 90 ). De aneira seelhante, a onda senoidal pode ser descrita coo ua fora de onda cossenoidal que foi "atrasada" de 90 ou π /rad; isto o é, sen ωt = cos( ωt 90 ). Se a expressão geral do seno para tensão (ou corrente) é odificada para toar o ângulo de fase inicial considerado, o resultado é: v= V sen( ωt ± φ) (3) onde φ é o ângulo de fase inicial, o sinal positivo é usado para u avanço na onda senoidal e o sinal negativo para u atraso na onda senoidal. Freqüenteente, duas grandezas senoidais co o eso período são coparadas. A diferença de fase é a parte fracionária de u período ao qual corresponde valores de duas grandezas que são separadas. E adição, os teros adiantada ou atrasada são usados para descrever ondas que estão e avanço de fase ou retardaento de fase. Na Figura 1, por exeplo, a onda senoidal está atrasada da onda cossenoidal por ua diferença de fase de 90. Alternativaente, a onda cossenoidal está adiantada da onda senoidal de 90. As freqüências encontradas e circuitos elétricos são virtualente liitadas. A enor freqüência é a CA zero (corrente contínua). A seguir estão as freqüências de potência, sendo predoinante a de 60 Hz. As freqüências de aproxiadaente 0 Hz a 0 khz são chaadas de audiofreqüências, já que são audíveis para o ouvido huano quando transforadas e so por alto-falantes. Freqüências de 0 khz até a faixa de GHz são chaadas de radiofreqüências e

3 A3 estão associadas à irradiação eletroagnética. A faixa total, e aparenteente liitada de freqüências, é conhecida coo espectro de freqüências, parte da qual está ostrada na Figura. Figura - O espectro de freqüências. O VALOR MÉDIO Coo o valor édio instantâneo de qualquer tensão ou corrente alternada particular está constanteente udando, é freqüenteente desejável saber o valor édio da tensão ou da corrente. O valor édio para qualquer variável é obtido pelo gráfico da variável versus o tepo dividindo a área abaixo da curva pela largura da curva. E particular, a tensão édia ou a corrente édia, Ved, é usualente obtida sobre u ciclo copleto tal que área abaixo da curva para u ciclo copleto tal que: área abaixo da curva para u ciclo (ou I ) = (4) V ed ed onde é o período.

4 A4 Exeplo - Qual é o período e o valor édio para a fora de onda da Figura 3? Figura 3 - Exeplo. Exeplo 3 - Calcule o valor édio para a fora de onda de corrente da Figura 4. Figura 4 - Exeplo 3.

5 A5 O valor édio de ua senóide toado sobre u ciclo copleto é obviaente zero, já que a área sob o seiciclo positivo é igual à área deterinada pelo seiciclo negativo. odavia, pulsos senoidais equivalentes a eio ciclo de ua onda senoidal são freqüenteente encontrados, particularente e circuitos retificadores. Co isso e ente, o "valor édio" de ua onda senoidal é definido coo valor édio de u laço copleto (1/ ciclo). Se a fórula da área de u pulso senoidal (ou outra fora não-usual) não é conhecida, pode-se toar urna aproxiação da área usando foras geoétricas siples ou obter a área atual através de cálculos. Exeplo 4 - Usando a fora triangular e a retangular sobrepostas ao pulso senoidal da Figura 5, obtenha ua aproxiação da área do pulso senoidal. Figura 5 - U pulso senoidal e u étodo de aproxiação.

6 A6 A função periódica geral y(t), co u período (s), te valor édio, Y ed, dado por: t Yed = ytdt () = ytdt () o t 0 (5) Alguas funções, das quais é u exeplo, são convenienteente tratadas coo funções de (rad) e vez de t. A expressão para o valor édio é então: ωt = ω ω = 0 Yed y( td ) ( t) y( ωtd ) ( ωt) 0 ωt 0 (6) onde é o período e radianos; por exeplo, = π para y( ωt) = Y sen( ωt ). Exeplo 5 Deterinar o valor édio da fora de onda ostrada na Figura 6 ; 00t para 0< t < 0,05s, onde yt () = 10e. Figura 6 - Fora de Onda 1.

7 A7 Exeplo 6 Deterinar o valor édio da fora de onda ostrada na Figura 7. Para 0 < ωt < π, onde y Ysenω t; para π < ωt < π, y = 0. O período é π. = Figura 7 - Fora de Onda.

8 A8 O VALOR EFICAZ OU VALOR MÉDIO QUADRAICO Coo ua corrente alternada varia periodicaente e intensidade do zero a u valor áxio, deve-se observar o valor usado para especificar ua corrente particular. O valor áxio possui u significado particular para ondas senoidais, as não oferece qualquer indicação para correntes de fora nãosenoidal. De aneira seelhante, o valor édio sobre u ciclo copleto não é ua boa fora de se especificar valores CA, já que o valor édio para ua senóide é zero. O efeito do calor e ua resistência é proporcional ao quadrado da corrente e é, portanto, independente do sentido da circulação da corrente. É conveniente que o efeito do aqueciento e ua corrente alternada seja toado coo base para a definição de u apère CA. Ua corrente alternada possui u valor eficaz de l apère quando desenvolve a esa quantidade de calor e ua resistência dada coo a que é produzida por ua corrente contínua de l apère na esa resistência, e u eso espaço de tepo. O valor eficaz de ua corrente senoidal é prieiraente considerado. Se ua corrente alternada eficaz é designada por Ief, então, por definição, a potência desenvolvida por essa corrente é igual à potência desenvolvida por essa corrente é igual à potência desenvolvida por ua corrente contínua, I. P= I R= I R (7) ef Sendo que a corrente está constanteente udando, a potência está constanteente udando e que a potência é instantânea, P e qualquer tepo é dada por: P= i R= ( I senω t) R= I Rsenω t (8) Da trigonoetria: sen ωt = 1 (1 cos ωt ) (9) A substituição da Equação na Equação resulta e: IR P= (1 cos ωt) (10) A potência instantânea da equação possui u gráfico coo ua onda cossenoidal negativa disposta de tal fora que e nenhu oento há potência instantânea negativa (Figura 8). A potência atual dissipada é igual ao valor édio da curva, que, e sua, é igual; a IR /. Equacionando a potência édia à potência CC da Equação (7).

9 A9 IR Ief R= (11) ou I Ief = (1) oando as raízes quadradas de abos os lados, obteos: I Ief = =0,707I (13) é: De aneira análoga, o valor eficaz da tensão V ef para ua onda senoidal V Vef = =0,707V (14) Figura 8 - Potência no resistor: (a) corrente instatânea, (b) potência instantânea. O valor eficaz de tensão ou corrente é freqüenteente chaado de valor édio quadrático e abreviado rs (do inglês root-ean-square), porque as letras significa o étodo usado para encontrar o valor eficaz: eleva-se ao quadrado a fora de onda inicial ponto a ponto, obtendo a equivalência ou édia da fora de onda ao quadrado, e então se extrai a raiz quadrada desse valor equivalente. Mateaticaente, o valor eficaz da corrente (seelhante à tensão) é:

10 A10 1 Irs = [ i() t ] dt 0 (15) A função periódica geral y(t) te o valor eficaz igual a: 1 1 t + = [ ] = 0 Yef yt () dt [ yt ()] dt 0 t0 (16)

11 A11 Exeplo 7 Achar o valor eficaz da fora de onda ostrada na Figura 6. Entretanto, quando as foras das ondas elevadas ao quadrado são foras geoétricas siples, não é necessário usar o étodo do cálculo para encontrar o valor eficaz. Exeplo 8 - Encontre o valor eficaz para a fora de onda do Exeplo 3.