CIRCUITOS ELÉTRICOS REGIME PERMANENTE SENOIDAL, REPRESENTAÇÃO FASORIAL E POTÊNCIAS ELÉTRICAS

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1 CICUIOS EÉICOS EGIME PEMANENE SENOIDA, EPESENAÇÃO FASOIA E As análises de circuitos até o presente, levou e consideração a aplicação de fontes de energia elétrica a u circuito e conseqüente resposta por ela provocada que ficou restrito a deterinação de correntes e tensões. À partir deste oento estaos tabé interessados na quantidade de energia suprida pelas fontes, na quantidade de energia dissipada ou arazenada no circuito. A prieira preocupação está relacionada co a velocidade co que esta energia está sendo gerada ou absorvida, ou seja a potência. Vaos estudar neste tópico: Potência instantânea, potência édia, a potência deterinada pelos valores eficazes, fator de potência, potência aparente, potência ativa e reativa e potência coplexa. POÊNCIA INSANÂNEA por: A potência entregue a qualquer dispositivo coo função do tepo é dada p(t) = v(t). i(t) Para os três eleentos passivos conhecidos, abaixo as expressões para o cálculo da potência instantânea. v a) ESISO p = v. i =. i = di t b) INDUO p = v. i =. i =. v. v. dv t c) CAPACIO p = v. i = C. v. =. i. i. C d) CICUIO da figura, excitada por ua fonte de degrau de tensão Figura A potência total absorvida pela associação: p = p + p. t V A resposta failiar para a corrente é: i( t) = e. u( t) A potência total entregue pela fonte ou absorvida pela rede passiva é:. t V p = v. i = e u( t)

2 . t V A potência entregue ao resistor é: p. i e. u( t) = =. t. t V A potência absorvida pelo indutor é: p v. i e e. u( t) = = A aioria dos probleas que envolve cálculos de potência são aqueles que lida co circuitos excitados por funções-excitações senoidais no regie. Deveos lebrar que ua função periódica não senoidal é ua soa infinita de funções senoidais coo indica o teorea de Fourier. No circuito anterior, trocando a fonte de tensão pela fonte senoidal V.cos ωt, a resposta no doínio do tepo é: V i(t) = I.cos (ωt + θ) onde I = e θ = arctg ω. +ω. A potência instantânea entregue ao circuito é: p = v.i = V.I.cos (ωt + θ).cos ωt Desenvolvendo obteos: V. I V I V. I p = [ cos( ω. t + θ ) + cosθ ] =.cosθ + cos( ω. t + θ ) Percebeos que o prieiro tero não é função do tepo e o segundo te o dobro da freqüência aplicada. (ondas senoidais e cossenoidais tê valores édios iguais a zero, quando edidos e u núero inteiro de períodos). POÊNCIA MÉDIA Para calcular o valor édio da potência instantânea, deveos definir o intervalo de tepo sobre o qual a édia é toada. t O valor édio de p(t) de t a t é deterinado por: P = p( t). t t t O valor édio é noralente representado pela letra aiúscula P pois não é função do tepo. Poré é função de t e t, os dois instantes de tepo que define o intervalo de integração. Considereos que as respostas do circuito seja todas periódicas, ua condição de regie pode ser alcançada, eso não sendo o regie senoidal. Podeos definir ateaticaente ua função periódica requerendo que f(t) = f(t + ), onde é o período. O valor édio da potência instantânea pode ser deterinado sobre u intervalo de u período co u coeço arbitrário.

3 3 Para a fora de onda periódica geral, ostrada na figura e identificada coo p(t). Figura Calculaos a potência édia P integrando de t a u tepo t u t período ais tarde, t = t +, = + P p( t). t e e seguida a potência édia P x integrando de u outro tepo t x a t x + t x = + P x p( t). t x A igualdade de P e P x é verificada pela interpretação gráfica das integrais: as duas áreas são iguais. Assi, a potência édia é definida genericaente por: t x = + P p. t x É iportante notar que poderíaos integrar sobre qualquer núero inteiro de períodos, garantindo que dividios a integral por esse eso núero de t x períodos. Assi, = + n P p. n =,,3,... n t x O resultado geral para o regie senoidal será obtido, assuindo a tensão senoidal geral v(t) = V.cos (ωt + α) e a corrente i(t) = I.cos (ωt + α - θ). A potência instantânea é p(t) = V I cos (ωt + α). Cos (ωt + α - θ), desenvolvendo o produto obteos: p(t) = ½ V I cos θ + ½ V I cos (ωt + α - θ) Analisando a expressão acia, podeos concluir que o prieiro tero é ua constante, independente de t. O tero restante é ua função cosseno: p(t) é, portanto, periódica e seu período é ½. O período está associado co a corrente e tensão dadas e não co a potência; a função potência te u período ½. O valor édio de qualquer onda senoidal sobre u período é zero. Portanto a integral do segundo tero da expressão acia é zero. Desse odo o valor édio da potência vale: P = ½ V I Cos θ

4 4 Dois casos especiais erece ser isolados para consideração: a potência édia entregue a u resistor ideal e a entregue a u reator (qualquer cobinação de capacitores e indutores) ideal. a) A diferença dos ângulos de fase da corrente e da tensão e u resistor puro é zero, portanto: P = ½ V I = ½ I = ½ V / b) A potência édia entregue a qualquer dispositivo que seja puraente reativo deve ser zero. c) A potência édia entregue a qualquer rede coposta inteiraente de indutores e capacitores ideais é zero. A potência flui para a rede e parte do ciclo e da rede durante outra porção do ciclo. ANSFEÊNCIA MÁXIMA DE POÊNCIA MÉDIA No estudo de redes resistivas, a transferência áxia de potência ocorria quando o valor da resistência de carga era igual ao da resistência equivalente de hevenin, ou seja = h. Para o regie senoidal, a ipedância equivalente de hevenin é igual a Z h = h + jx h e a da carga seria do tipo Z = + jx. Neste caso a áxia transferência de potência ocorreria, quando: * X = - X h e = h ou seja Z = Z h (coplexo conjugado) Quando a carga te ipedância puraente resistiva (Z = = j), a áxia transferência de potência ocorre, quando = th + X th. VAOES EFICAZES DE COENE E ENSÃO Valor eficaz é a edida da eficácia de ua fonte de tensão para entregar potência a ua carga resistiva. O valor eficaz de qualquer corrente periódica é igual ao valor da corrente contínua que, passando por ua resistência, entrega a esa potência a que a corrente periódica. A Aplitude da corrente contínua é igual ao valor eficaz da corrente periódica dada. A expressão ateática geral para o valor eficaz de i(t) é facilente obtida. A potência édia entregue ao resistor pela corrente periódica i(t) é P = i.. = i. onde o período de i(t) é. A potência entregue pela corrente contínua é P = I = I ef Equacionando as expressões da potência, deterinaos I ef : I ef = i. Ua expressão seelhante é obtida para o valor eficaz de ua tensão periódica substituindo i e I ef por v e V ef, respectivaente.

5 5 A operação envolvida no descobriento do valor eficaz é a raiz quadrada da édia da segunda potência; por esta razão o valor eficaz é chaado valor rs e é o valor édio quadrático "root ean square". O ais iportante caso particular é o da fora de onda senoidal. Seja a corrente senoidal i(t) = I cos (ωt - θ) que te u período = π/ω O valor eficaz da corrente vale: ω cos (. ). π ω I I ef = I t I cos(.. t ). = ω θ =. + ω θ π O uso do valor eficaz siplifica, leveente, a expressão para a potência édia entregue por ua corrente ou tensão senoidal. Por exeplo, a potência édia entregue a ua resistência por ua corrente senoidal é obtida substituindo I por.i ef P = I ef. Outras expressões failiares: P = V ef.i ef. cos θ = V ef / Para deterinar a potência édia de ua fora de onda periódica ou não periódica que é coposta pela soa de u certo núero de senóides de freqüências diferentes, podeos rescrever a expressão e teros dos valores eficazes das várias coponentes. P = (I ef + I ef I Nef ). O valor eficaz da corrente, que é coposta por qualquer núero de correntes senoidais de freqüências diferentes é deterinado por: ef ef I ef = I + I I Nef POÊNCIA APAENE E FAO DE POÊNCIA Seja a tensão senoidal v = V cos (ωt + α) aplicada a ua rede e a corrente senoidal resultante i = I cos (ωt + β). O ângulo de fase entre a tensão e corrente é: θ = α - β A potência édia entregue à rede pode ser expressa, e teros dos valores áxios, P = ½ V.I. cos θ ou e teros dos valores eficazes P = V ef.i ef. cos θ Para tensão e corrente contínuas, a potência édia entregue a rede é dada pelo produto da tensão pela corrente. Para tensão e correntes senoidais, o produto V ef. I ef não é potência édia. É definido coo potência aparente. Diensionalente, a potência aparente é edida e Volt-apère ou VA para evitar possíveis confusões co a unidade da Potência édia (Watts = W).

6 6 Potência aparente não é u conceito restrito a funções de excitação e respostas senoidais. Ela pode ser deterinada para corrente e tensão co qualquer fora de onda. A potência édia é sepre potência aparente. A razão entre a potência édia e potência aparente é chaado de fator Potência. Média P de potência, designado por F.P. F. P. = = Potência. aparente V ef. I ef No caso senoidal, o fator de potência é cos θ, onde θ é o ângulo entre a fase da tensão e relação à corrente. Para carga puraente resistiva, a tensão e a corrente estão e fase, θ é zero e o F.P é a unidade. Ua carga puraente reativa, a diferença de fase entre a tensão e a corrente é + 9º ou 9º e o F.P é nulo. Para ua carga indutiva, a fase da corrente está atrasada e relação à fase de tensão, enquanto que para ua carga capacitiva a fase da tensão está atrasada e relação à fase da corrente. Atualente, as noras brasileiras, define o F.P,9 indutivo. Para os grandes consuidores, a violação deste índice gera cobrança adicionais. Noralente as cargas industriais são de natureza indutiva. POÊNCIA COMPEXA Alguas siplificações no cálculo de potências é alcançada se a potência for considerada ua quantidade coplexa, A aplitude da potência coplexa é o eso da potência aparente. A potência édia é a quantidade da parte real da potência coplexa. A quantidade da parte iaginária da potência coplexa será chaada de potência reativa (Q). A potência coplexa é calculada, utilizando os conceitos de fasor tensão e fasor corrente. Seja o fasor tensão V ef = V ef θ v = V ef.e jθ v e o fasor corrente I ef = I ef θ i = I ef.e jθ i A potência édia P = V ef. I ef.cos (θ v - θ i ) que pode ser expressa, usando a fórula de Euler P = V ef. I ef. e[ e j(θ v - θ i ) ] = e [ V ef.e jθ v. I ef.e -jθ i ] onde V ef = V ef. e jθ v e I ef * = I ef.e -jθ i (coplexo conjugado de I ef ) Portanto P = e[v ef. I ef * ] = e [S] A potência coplexa S = V ef. I ef *

7 7 Na fora exponencial ou polar: S = V ef. I ef. E j(θ v - θ i ) ou S = S θ v - θ i E na fora retangular: S = P + j Q As diensões de Q são as esas que as de P e S, poré para evitar as confusões é usual a unidade volt-apères reativos (Var). O gráfico da figura 3 ostra os fasores tensão e corrente eficazes aplicados e ua carga de natureza indutiva. Figura 3 Q = V ef. I ef. sen (θ v - θ i ) Portanto nua carga indutiva a diferença θ v - θ i é positiva e a potência reativa Q tabé é positiva, enquanto que para ua carga capacitiva, a diferença θ v - θ i é negativa e a potência reativa Q tabé é negativa. O aparelho que ede potência ativa é chaado wattôetro ou wattietro, enquanto que a potência reativa é edida por u varetro. ANÁISE DE CICUIOS EM EGIME SENOIDA Nos tópicos anteriores, aprendeos u certo núero de étodos que são úteis para a análise de circuitos resistivos. Independente da coplexidade do circuito resistivo, soos capazes de deterinar qualquer resposta desejada usando análise de nós, alhas, superposição, transforações de fonte, teoreas de hevenin ou de Norton.

8 8 Essas técnicas pode ser aplicadas à análise de circuitos e regie senoidal e já vios que ipedâncias se cobina da esa aneira que resistências. ANÁISE NODA E DE MAHAS As leis e que se apoia a análise de nós são verdadeiras para fasores e podeos passar, portanto, à análise de circuitos pela teoria dos nós no regie senoidal e evidente que os étodos de análise de alhas e de laços são, da esa fora, válidos. SUPEPOSIÇÃO, ANSFOMAÇÕES DE FONE E EOEMAS DE HEVENIN E DE NOON Os eleentos capacitor e indutor apresenta características lineares e e função deste fato, são disponíveis os benefícios da linearidade. Entre estes estão o princípio de superposição e os teoreas de hevenin e de Norton. A leve coplexidade adicional que é aparente, surge agora, da necessidade de usar núeros coplexos e não de nenhua outra consideração teórica envolvida. DIAGAMAS DE FASOES Diagraa de fasores é u noe dado a u desenho no plano dos fasores de tensão e fasores de corrente através de u circuito específico. É u étodo para resolver certos probleas e que os coplexos cálculos são aborrecidos; serve coo teste para étodos analíticos ais exatos e ostra ser de considerável auxílio na siplificação de trabalhos analíticos e certos probleas siétricos O uso do plano coplexo na identificação gráfica de u núero coplexo. Os fasores de tensão e corrente são núeros coplexos. Exeplos de diagraas: a) u siples diagraa de fasor da figura 4 ostra o único fasor de tensão V = 6 + j8 = 53, V Figura 4

9 9 b) u diagraa de fasor ostrando a soa de V = 6 + j8 e V = 3 j4, V + V = 9 + j4 (V) c) o diagraa de fasor ostra V e I, onde I = YV e Y = + j (Mho) d) o fasor de tensão V α Figura 5 (d) (e) Figura 6 e) a tensão coplexa V ωt + α é ostrada coo u fasor nu instante particular de tepo. Este fasor está avançado e relação a V α de ωt rad f) U circuito C série ostrado no doínio de freqüência e o diagraa de fasores associado, desenhado co a única alha de corrente coo referência do fasor

10 Figura 7 Circuito C paralelo e o diagraa de fasores desse circuito; a tensão de nó V é usada coo u fasor de referência conveniente. ESPOSA COM FUNÇÃO DE ω Figura 8 Considereos étodos de obtenção e apresentação da resposta de u circuito co excitação senoidal coo função de freqüência angular ω. A resposta e freqüência senoidal apresenta ua iportância e quase todos os raos de Engenharia Elétrica. Seja u circuito excitado por ua única fonte V s = V s θ, que transforado na fonte de tensão no doínio do tepo V s.cos(ωt + θ). E algu ponto do circuito existe a resposta desejada, a corrente I que é u núero coplexo que pode ser especificado co o uso de duas quantidades: ou ua parte real e ua iaginária ou ua aplitude e ua ângulo de fase. O segundo par de quantidades é ais útil e ais fácil de ser deterinado experientalente e é a inforação a ser obtida analiticaente coo função da freqüência. Os dados pode ser apresentados coo duas curvas, a aplitude de resposta coo ua função de ω e o ângulo de fase da resposta coo ua função de ω.

11 É cou noralizaros as curvas graficando aplitude de relação conrrente-tensão e ângulo de fase da relação corrente-tensão versus ω. Considereos u circuito série. O fasor de tensão V s é aplicado a esse circuito siples e o fasor de corrente I é a resposta desejada. Vs A resposta forçada é deterinada por: I = + jω. Na fora noralizada, este resultado é expresso coo ua aditância de I entrada Y = Y = + jω. V s Considerando a aditância coo a corrente produzida pela fonte de tensão, a aplitude da resposta é Y = + ω. ω. enquanto o ângulo da resposta é angy = arctg A sua representação gráfica e função de ω para u circuito série co excitação senoidal é apresentada abaixo aplitude de Y = I/V s e função de ω Figura 9 o ângulo de Y e função de ω Figura

12 A aplitude áxia e o ângulo igual a zero são obtidos para ω =. Os pontos e que ω = ± / são indicados tanto na curva de aplitude coo na de ângulo de fase. Nestas freqüências, a aplitude é,77 da aplitude áxia na freqüência zero e o ângulo de fase te u valor de 45º. Na freqüência e que a aplitude da aditância é,77 vezes seu valor áxio, a aplitude da corrente é,77 vezes seu valor áxio e a potência édia fornecida pela fonte é (,77) =,5 vezes seu valor áxio. Por esta razão ω = / é identificado coo ua freqüência de eia potência. Outro exeplo: u circuito C paralelo acionado por ua fonte de corrente senoidal coo ostrado na figura ou Figura A resposta de tensão V é facilente obtida. V = I E a ipedância de entrada pode ser expressa por Z = j C ω e fatorando a expressão ω C Z =. C fazendo ( ω ω )( ω + ω ) ω ω = s ( jω. ) jω. C jω. j ω. C V Z = = C I s jω. ω. C A aplitude da ipedância pode ser escrita na fora que perite que aquelas freqüências e que a resposta é zero ou infinito seja identificadas. ais freqüências são chaadas freqüências críticas. Para ω =, a aplitude é zero e é chaado u zero e a aplitude infinita é observada para ω = ω e ω = - ω ; estas freqüências são chaadas pólos coo a própria resposta de aplitude infinita. A resposta tabé se aproxia de zero quando ω e assi ω = ± é tabé u zero. Pólos e zeros para freqüência infinita deve ser indicados por ua seta próxia ao eixo..c

13 3 Figura A aplitude da ipedância de entrada, Z = V/I e função de ω O ângulo de fase da ipedância de entrada deve ser + 9 ou 9, nenhu outro valor é possível para u circuito coposto inteiraente de indutores e capacitores, coo ostra a figura 3 Figura 3

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