CAPÍTULO 3 DEPENDÊNCIA LINEAR

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1 CAPÍTUO DEPENDÊNCIA INEAR Comiação iear Defiição: Seja V um espaço etorial sore um orpo K Um etor omiação liear os etores que u a a a De forma areiaa poe-se esreer: u a i i i u V é ito uma V se existem esalares a a a em K tais Exemplos: Verifiar se o etor u ( ) ( ( ) e ( poe ser esrito omo omiação liear os etores Para que se possa esreer u omo omiação liear os etores { eotrar se existirem úmeros reais a e tais que u a Para isso esree-se a seteça: ( ) a( ( ) ( e oe segue-se: ( ) ( a a a) ( ) ( ) ( a a a ) Da igualae e etores em: a a a Resoleo-se por qualquer métoo este sistema liear otém-se: a 6 e Dessa forma poe-se esreer: u 6 ou seja o etor u poe ser esrito omo omiação liear os etores e é preiso ) Coforme se iu o Capítulo os elemetos e um espaço etorial V sore um orpo K iepeetemete e sua atureza são hamaos etores Tamém se iu que o ojuto e toos os poliômios om oefiietes reais e grau meor ou igual a (iluio o poliômio ulo) om as operações usuais e aição e poliômio e multipliação por esalar é

2 um espaço etorial real Esse espaço é eotao por ( ( ) ) P R Cosierao-se temse o espaço ( ( R ) ) P os poliômios e grau meor ou igual a om oefiietes reais Assim mesmo que os elemetos este espaço sejam poliômios eles são hamaos e etores Cosierao-se os etores p ( t) t p ( t) t e p ( t) t erifiar se o etor ( ) t q t t t é omiação liear esses etores este espaço Para que o etor q possa ser esrito omo omiação liear os etores p p e p é preiso eotrar úmeros reais a e tais que: ( t) ap ( t) p ( t) p ( t) q Assim em: ( t) ( t t ) ( ) t t a t ou seja ( a at) ( t t ) ( ) t t t ou aia ( a ) ( a ) t ( ) t t t Da igualae e poliômios em: a a ; Resoleo-se o sistema liear otém-se: a e ( t) p ( t) p ( t) p ( t) q isto é q é uma omiação liear e p p e p e se poe esreer que: ) Verifiar se o etor ( ( ) ( e ( ) u poe ser esrito omo omiação liear os etores Para que o etor u possa ser esrito omo omiação liear os etores { preiso eotrar esalares a e tais que u a Esree-se etão: ( a( ) ( ( ) ou seja ( ( a a a) ( ) ( ) isto é ( ( a a a ) Da igualae e etores olui-se que: a a ; a é preiso agora resoler o sistema liear otio A partir a ª equação tem-se: é

3 a ; sustituio a ª e ª equações em: que emostra uma iosistêia pois ão é possíel que se teha ao mesmo tempo e (se isso fosse possíel oluir-se-ia que o que é falso) Seo o sistema impossíel (ou iompatíel) olui-se que ão é possíel eotrar os esalares a e tais que seja possíel esreer u a ogo o etor u ão é uma omiação liear os etores e Suespaço Gerao Defiição: Seja S um suojuto ão azio e um espaço etorial V sore um orpo K O suespaço gerao por S é o ojuto e toos os etores e V que se esreem omo omiação liear os etores e S Notação: [ S ] Exemplos: Seja S {( ) ( um suojuto o espaço etorial real suespaço gerao por S É preiso etermiar toos os etores o os etores e S Toma-se assim um etor geério ( x y z) omiação liear os etores e S: ( x y z) a( ) ( e oe se segue que: ( x y z) ( a a) ( ) ( a a ) ; a igualae e etores em: x a y z a A partir a segua equação poe-se esreer: y ; Sustituio esse alor e a primeira equação em: a x y R Determiar o R que poem ser esritos omo omiação liear o Sustituio os alores e a e a tereira equação otém-se: R e esree-se omo

4 z x y y ou equialetemete: x y z Essa é a equação e um plao que otém a origem isto é o poto ( ) Colui-se assim que o suespaço gerao por S é: { R / x y [ ] ( x y z) S z pertee ao plao Com o ojetio e exemplifiar o que se otee osiere-se um poto qualquer o plao por exemplo ( ) Osere que este poto satisfaz a equação o plao: emra-se aqui que a too poto o R e portato em partiular o etor hamao etor-posição om origem o poto ( ) R assoia-se um e extremiae o poto osierao ujas ooreaas são as mesmas o próprio poto Assim ao poto ( ) assoia-se um etor om estas ooreaas Mostrar-se-á que esse etor poe ser esrito omiação liear os etores ( ) e ( ( ) a( ) ( ou seja: Para eotrar os esalares a e usam-se as equações que permitiram eotrar a equação o plao isto é: a x y e y ; para x e y otém-se a e Assim poe-se esreer: ( ) ( ) ( o que mostra que o etor e ooreaas ( ) é uma omiação liear os etores e S FIGURA Se for osierao um outro poto o plao otio por exemplo seu etor-posição tamém será uma omiação liear os etores e S iferete a aterior isto é serão outros alores os esalares a e : a e Assim tem-se:

5 ( ) ( ) A represetação gráfia este suespaço é feita a Figura Nela os etores e S estão esigaos por u e isto é: ( ) u e ( ) ) Seja S um suojuto o espaço etorial real as matrizes quaraas e orem isto é o espaço ( ) R M Determie o suespaço gerao por S É preiso etermiar toas as matrizes quaraas e orem que poem ser esritas omo omiação liear as matrizes e S Para isso osiere-se a matriz geéria a o espaço ( ) R M ; esree-se essa matriz omo omiação liear as matrizes e S: p p m m p p m m p m a Da igualae e matrizes em: p p m m a Quer-se etermiar aqui e que tipo são as matrizes e orem que são omiações lieares as matrizes e S ou seja omo são os elemetos essas matrizes Na resolução o sistema liear aima poe-se por exemplo oter-se o elemeto a esrito em fução os emais elemetos e : 6 a Assim as matrizes e orem que são omiações lieares as matrizes e S têm a forma: 6 isto é o suespaço gerao por S é: [ ] R ; S 6 Por exemplo se e tem-se a ; assim a matriz M é uma matriz o suespaço gerao por S ogo poe ser esrita omo omiação liear as

6 matrizes e S De fato usao-se as equações o sistema liear resolio aima otém-se: m p e e portato poe-se esreer: Oseração: os exemplos ateriores mostram omo etermiar o suespaço gerao [ S ] a partir e um sistema e geraores S { É possíel etermiar o sistema e geraores S { a partir e um suespaço gerao [ ] exemplos a seguir S omo mostram os Exemplos: Seja ( x y z t) { R / x z t W Determiar um sistema e geraores para W Osere que W é um suojuto o espaço etorial real R Assim o sistema e geraores para W será omposto e etores este espaço etorial O que se pretee é etermiar um suojuto S o R tal que o ojuto W seja gerao por S ou seja W [ S] Isso sigifia que os elemetos e W serão omiações lieares os elemetos o ojuto S que se proura { R O ojuto W poe ser esrito a forma: W ( z t y z t ) a forma ( z t y zt) ou seja too etor e W é Isso sigifia que há três ariáeis lires isto é ariáeis para as quais se poe atriuir alores A primeira ariáel x ão é lire pois epee as outras três Por exemplo se y z t tem-se t e W Oserao que: ( z t y zt) ( y ) ( z z ) ( t t) ou equialetemete ( z t y zt) y( ) z( ) t( z e portato o etor ( é um elemeto ê-se que aa elemeto e W é uma omiação liear os etores ( ) ( ) ( e Diz-se que aa uma as ariáeis lires gerou um etor Como há três ariáeis lires foram geraos três etores os quais formam um sistema e geraores e W Assim o ojuto prourao é: S {( ) ( ) ( e poe-se afirmar que W [ S]

7 ) Seja ( ) R e f ; ; f a / M f e a W x Determiar um sistema e geraores para W Quer-se etermiar um suojuto S o espaço etorial real ( ) R x M tal que W seja o suespaço gerao por S isto é [ ] S W e portato too elemeto e W é uma omiação liear os elemetos e S Das oições impostas para os elemetos as matrizes e W olui-se que a e Portato poe-se reesreer o ojuto W: R W o que iia que há uas ariáeis lires: e Portato aa uma elas eerá gerar uma matriz Tem-se: ogo a matriz é uma omiação liear as matrizes e as quais formam portato um sistema e geraores e W ogo o ojuto prourao é: S e se poe afirmar que [ ] S W Vetores iearmete Depeetes e iearmete Iepeetes Defiição: Seja V um espaço etorial sore um orpo K Diz-se que os etores V são liearmete epeetes sore K se existirem esalares K ão toos ulos tais que Em aso otrário iz-se que os etores são liearmete iepeetes sore K Oserações: Se os etores são liearmete epeetes iz-se e forma areiaa que eles são D De moo aálogo se são liearmete iepeetes iz-se que são I

8 ) Osere-se que a relação é sempre ália se os esalares ( i ) i são toos ulos Se essa relação é ália somete este aso isto é se somete se etão os etores são liearmete iepeetes Por outro lao se a relação tamém é ália quao pelo meos um os ( i ) i é iferete e zero etão os etores são liearmete epeetes ) A ifereça etre um ojuto e etores ser I ou D está a relação que existe etre eles: se os etores são D é porque existe uma "epeêia" etre eles; omo se erá aiate esta epeêia será uma omiação liear o que justifia o ome a relação etre os etores Se os etores são I ão existe ehuma "epeêia" etre eles ) Se um os etores é ulo por exemplo se etão os etores são D pois: ; uma ez que o oefiiete e ão é ulo olui-se que os etores são D ) Qualquer etor ão ulo é por si só I pois: om implia eessariamete que 6) O etor ulo é D pois: é eraeira para qualquer alor e Exemplos: Verifiar se os etores u ( ) e ( ) são D ou I Têm-se aqui elemetos o espaço etorial real os etores esree-se a equação: u oe e R Para erifiar a epeêia liear etre são esalares e o zero o º memro é o etor ulo: ( ) ( ( ) ( ) Tem-se: Dee-se agora etermiar os alores os esalares e que toram a seteça eraeira Tem-se: ( ) ( ) ( ) isto é ( ) ( ) Da igualae e etores segue-se que: ;

9 a resolução esse sistema lea à solução triial que é úia Assim u implia eessariamete em que e portato os etores u e são I Osere-se que ão há possiiliae e que os etores sejam D Para que isso aoteesse eeria aoteer uma as três situações aaixo: ( e ; () e ; () e A situação ( ão poe oorrer pois se a equação u fiaria: u ; omo o etor u ão é ulo oluir-se-ia que De moo aálogo se ter-se-ia e omo ão é ulo oluir-se-ia que ou seja a situação () tamém ão oorre FIGURA Supoo-se etão que e a equação u se poeria esreer: u ou hamao k u k Isso sigifiaria que os etores u e têm a mesma ireção isto é são paralelos o que ão é erae A Figura mostra uma represetação gráfia esses etores ) Cosierem-se agora os etores u ( ) e ( ) o R Mostrar-se-á que esses etores são D De fato esreeo-se a equação u

10 em: ( ( ) ( ) ou seja ( ) ( ) ( ) isto é ( ) ( ) e oe se segue que: Osere-se que as uas equações o sistema se reuzem a uma só: e oe se olui que ou seja o sistema tem ifiitas soluções já que se poe atriuir a qualquer alor real e a partir ele oter-se o alor e Por exemplo são soluções o sistema: e ; e ; e etre outras ifiitas soluções Assim existem esalares e ão amos ulos tais que a equação u é eraeira e portato os etores u e são D Uma ez que a resolução o sistema oluiu-se que poe-se esreer: u ou seja u ou equialetemete u Isso sigifia que os etores u e têm a mesma ireção isto é são paralelos A Figura 6 ilustra esse fato FIGURA 6 ) Verifiar se os etores u ( 6 ) ( e ( 7 ) w são D ou I Para erifiar a epeêia liear etre os etores esree-se a equação:

11 u w ou seja: ( ) ( ( 7 ) ( ) 6 Dee-se agora etermiar os alores os esalares que toram a seteça eraeira Tem-se: ( ) ( ) ( 7 ) ( ) 6 isto é ( 7 ) ( ) 6 Da igualae e etores segue-se que: 6 ; 7 a primeira equação ouz a ; a segua om ouz a ; a tereira om e lea a u w Assim implia em que e Portato os etores u e w são I ) Verifiar a epeêia liear etre os etores aaixo: (a) { t t t t t () 9 (a) Aqui os etores são poliômios e grau meor ou igual a ou seja são elemetos o espaço etorial real ( P ( R ) ) os quais serão hamaos e f ( t ) g ( t) e h ( t ) Para estuar a epeêia liear etre eles esree-se a equação homogêea: ( t) g( t ) h( t) a f respetiamete O º memro esta equação isto é represeta aqui o poliômio ulo Tem-se assim: ( t ) ( t t ) ( t t ) t t a ou seja ( a at) ( t t ) ( t t ) t t ou aia ( a ) ( a ) t ( ) t t t t t Da igualae e poliômios em: a a

12 A resolução esse sistema por qualquer métoo que se utilize lea à solução triial ou seja a Assim a equação ( ) ( ) ( ) t h g t t f a implia em que a e portato os etores ( ) t f ( ) t g e ( ) t h são I () Neste aso os etores são matrizes quaraas e orem ou seja são elemetos o espaço etorial real ( ) R M Chamao: A 9 B e C e osierao-se esalares e esree-se a equação homogêea: C B A Aqui o que figura o º memro a equação represeta a matriz ula e orem ou seja Etão em: 9 ou seja 9 ou aia 9 Da igualae e matrizes em: 9 Da ª equação tem-se que ; sustituio a ª equação otém-se que 7 Sustituio-se a ª equação otém-se: que é eraeira para qualquer úmero real De moo aálogo se sustituir-se e 7 a ª equação otém-se Colui-se etão que o sistema tem ifiitas soluções já que poe assumir qualquer alor e e epeem e A solução (a erae as ifiitas soluções) o sistema poe ser oloaa a forma: { R e 7 Por exemplo se tem-se e ou seja ( ) é uma solução o sistema Para essa solução tem-se:

13 Assim existem esalares ão ulos que toram eraeira a equação A B C ou seja as matrizes A B e C são D Teorema: Seja V um espaço etorial sore um orpo K Um ojuto e etores V é D se e somete se um eles é omiação liear os emais etores Oseração: este é um teorema e oição eessária e sufiiete; o termo "se e somete se" sigifia que o teorema tem uas impliações: (i) "se um ojuto e etores é D etão um eles é omiação liear os emais etores" e (ii) "se em um ojuto e etores um eles é omiação liear os emais etão esses etores são D" Assim a emostração o teorema otém uas partes: uma para emostrar a oição eessária (i) e a outra para emostrar a oição sufiiete (ii) Demostração: (i) Coição eessária Hipótese: os etores V são D Tese: um eles é omiação liear os emais etores Se por hipótese os etores toos ulos tais que: Supoo por exemplo que poe-se esreer: são D etão existem esalares ão ; hamao: ; ;; em: e portato o etor é omiação liear os emais etores Osere-se que assim omo se supôs que e se mostrou que os emais etores poe-se supor que qualquer um os esalares ( i ) zero e oluir-se que i é omiação liear os emais etores é omiação liear i é iferete e (ii) Coição sufiiete Hipótese: um os etores é omiação liear os emais etores Tese: os etores V são D Por hipótese um os etores é omiação liear os emais; poe-se supor por exemplo que esse seja o etor Isso sigifia que existem esalares tais que:

14 ; poe-se esreer equialetemete: ( ) Seo o esalar que multiplia o etor ão ulo já que é igual a - olui-se que os etores são D É laro que fazeo-se a suposição e que qualquer etor ( i ) i seja omiação liear os outros etores oluir-se-á e maeira aáloga que os etores são D Exemplo: Mostrou-se em exemplo aterior que o ojuto e matrizes A B C 9 é D Portato pelo teorema aterior uma elas é omiação liear as outras uas Esreer-se-á uma as matrizes omo omiação liear as emais Uma as maeiras e se fazer isso é esreer a equação: A B C lemrao que o zero que figura o seguo memro a equação represeta a matriz ula e orem Etão: 9 e oe em que: 9 Da igualae e matrizes segue-se que: ; 9 Da tereira equação olui-se que ; sustituio-se essa iformação em qualquer outra as três equações restates otém-se a relação 7 isto é 7 Atriuio-se um alor umério a por exemplo otém-se e 7 Assim poe-se esreer: 7 A B C Essa equação mostra que as matrizes A B e C são D A partir ela poe-se esreer por exemplo: C 7 A B Esta última equação mostra a matriz C esrita omo uma omiação liear as matrizes A e B Outra forma e eotrar uma omiação liear etre as matrizes é esolher uma elas para ser esrita omo uma omiação liear as outras Por exemplo esreeo a matriz C omo omiação liear as matrizes A e B tem-se:

15 C A B ; etão em: 9 isto é 9 Da igualae e matrizes segue-se que: 9 9 Da ª equação segue-se que ; sustituio-se esse alor em qualquer uma as outras três equações otém-se 7 Assim poe-se esreer: C 7 A B Teorema: Se k Demostração: Hipótese: os etores Tese: os etores Por hipótese os etores toos ulos tais que: são etores D etão os etores k são D para too V são D k são D para too k são D; etão existem esalares ão A esse ojuto e etores aresetem-se mais k ( k ) agora o ojuto: { k Esreeo-se a equação: kk olui-se a partir ela que os etores que os esalares etores isto é osiere-se k são D pois mesmo k sejam toos ulos etre os esalares há pelo meos um eles que ão é ulo já que os etores e etores { k é D são D ogo o ojuto Oserações: Por esse teorema olui-se que se um ojuto e etores é D aumetao-se o úmero e etores este ojuto o oo ojuto será D

16 ) Osere-se que o teorema é apeas e oição eessária ou seja a reíproa ão é eraeira Isso sigifia que se um ojuto e etores implia que o ojuto e etores é D isso ão m é D para m Assim quao se sae que um ojuto e etores é D se forem retiraos esse ojuto um ou mais etores ão se poe afirmar que o oo ojuto seja D Exemplo: Cosiere o ojuto A { ( ) ( ( ( ) R Tem-se: ( ) ( ( ) ; Assim poe-se esreer: e etores o ou seja é omiação liear os emais e oe se olui que o ojuto A é D Poese er aia que é omiação liear os emais etores pois: ( ) ( ( ) isto é Aresetao-se ao ojuto A um etor qualquer u ( x y) o R ê-se que as omiações lieares já existetes otiuarão a existir pois: e u u Assim o ojuto A otiuará seo um ojuto e etores D Por outro lao retirao-se etores o ojuto A ão se poe garatir que o ojuto otiue seo D ou passe a ser I De fato retirao-se e A o etor otém-se um oo ojuto: { ( ) ( ( B o qual tamém é D já que omo se mostrou ateriormete o etor é omiação liear e e Etretato retirao-se e A os etores e otém-se um oo ojuto { ( ) ( C que é I pois esreeo-se a equação: em: ( ) ( ( ) isto é

17 ( ) ( ) ( ) e oe se segue que e e portato e são I Teorema: Se k Demostração: Hipótese: os etores Tese: os etores Por hipótese os etores são etores I etão os etores k são I para too V são I k são I para too k são I; etão a equação é eraeira somete se Tomao-se um íie { { k Da equação: k k k osiere-se o ojuto segue-se que k pois os etores são I e os etores k estão etre eles Portato olui-se que os etores k são I o que emostra o teorema Oseração: Por esse teorema olui-se que se um ojuto e etores é I imiuio-se o úmero e etores este ojuto o oo ojuto tamém será I ) O teorema é apeas e oição eessária isto é a reíproa ão é eraeira Isso sigifia que se um ojuto e etores e etores é I isso ão implia que o ojuto m é I para m Assim quao se sae que um ojuto e etores é I se forem aresetaos a esse ojuto um ou mais etores ão se poe afirmar que o oo ojuto é I Exemplo: Cosiere-se o ojuto A { ( ) ( ) em: ( ) ( ) ( ) isto é ( ) ( ) ( ) o e oe se segue que e e portato e são I Retirao-se e A o etor otém-se o ojuto R o qual é I pois se

18 { ( ) B que é tamém I Etretato aresetao-se um ou mais etores ao ojuto A ão se poe afirmar que o oo ojuto seja I De fato aresetao-se a A o etor w ( { ( ) ( ) w ( C o qual é aia I pois se w tem-se: ( ) ( ) ( ( ) isto é ( ) ( ) ( ) ( ) e oe se segue que e portato e w são I Aresetao-se agora a C o etor u ( { ( ) ( ) w ( u ( D otém-se o ojuto Verifiar-se-á que este oo ojuto é D De fato esreeo-se a equação w u em: ( ) ( ) ( ( ( ) isto é ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ou seja ( ) ( ) e oe se segue que Resoleo-se esse sistema liear otém-se: otém-se o ojuto ; atriuio-se um alor a por exemplo - em: e poe-se esreer: w u ou seja os etores são D

19 Exeríios Propostos Verifiar se os etores são I ou D Se forem D esreer um eles omo omiação liear os outros R: D; a a) { a ( ) ( ) ( ) R: I ) Determiar os alores e m para que os etores ( m ) ( m ) e ( R: m ou m 8 sejam D ) Determiar o suespaço gerao pelo ojuto S { t t R: [ S ] { a at at P ( R) / 6a a 9a { / a a a a ) Seja W a a t a t a t P ( R) a Determiar um sistema e geraores para W R: S t t t ) Saeo que o ojuto { u w é I mostrar que { u wu w tamém é I