1ª Lista de Exercícios. 1. São dados 2n números distintos distribuídos em dois vetores com n elementos A e B ordenados de maneira tal que
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- Marco Antônio Tomé Casado
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1 Uiversidade Federal de Mias Gerais Departameto de Ciêia da Computação Algoritmos e Estruturas de Dados II (Turmas M, N, W, F) 1º Semestre de 01 Profs. Camilo Oliveira, Gisele Pappa, Ítalo Cuha, Loï Cerf, William Shwartz Todos os programas devem ser feitos em C. 1ª Lista de Exeríios 1. São dados úmeros distitos distribuídos em dois vetores om elemetos A e B ordeados de maeira tal que A[1] > A[] > A[3] >... > A[] e B[1] > B[] > B[3] >... > B[]. Apresete um algoritmo liear para eotrar o -ésimo maior úmero detre estes elemetos.. Cosidere o problema de eotrar a posição de iserção de um ovo elemeto em um ojuto ordeado: A[1] > A[] > A[3] >... > A[]. a) Apresete a situação e/ou etrada de dados em que oorre o melhor aso e o pior aso. b) Apresete um algoritmo para resolver o problema aima. 3. Cosidere a fução abaixo: it X(it a) if(a<=0) retur 0; else retur (a + X(a-1)); a) O que essa fução faz? b) Calule a sua ordem de omplexidade. Mostre omo voê hegou a esse resultado. ) Esreva uma fução ão-reursiva que resolve o mesmo problema. Qual é a ordem de omplexidade da sua fução? Explique. d) Qual implemetação é mais efiiete? Justifique. 4. Cosidere que a multipliação de matrizes é O( 3 ). Se voê tivesse a opção de utilizar um algoritmo expoeial O( ) para multipliar duas matrizes, qual algoritmo voê iria preferir? Justifique. 5. O Casameto de Padrões é um problema lássio em Ciêia da Computação e é apliado em áreas diversas omo pesquisa geétia, editoração de textos, busas a iteret, et. Basiamete, ele osiste em eotrar as oorrêias de um padrão P de tamaho m em um texto T de tamaho. Por exemplo, o texto T = BELO HORIZONTE o padrão P = ORI é eotrado a posição 6 equato o padrão P = ORA ão é eotrado. O algoritmo mais simples para o asameto de padrões é o algoritmo da Força Bruta, mostrado abaixo. Aalise esse algoritmo e respoda: qual é a fução de omplexidade do úmero de
2 omparações de arateres efetuadas o melhor aso e o pior aso. Dê exemplos de etradas que levam a esses dois asos. Explique sua resposta! typedef har TipoTexto[MaxTexto]; typedef har TipoPadrao[MaxPadrao]; void ForaBruta(TipoTexto T, it, TipoPadrao P, it m) // Pesquisa o padrao P[0..m-1] o texto T[0..-1] it i, j, ; for(i = 0; i < ; i++) = i; j = 0; while((j < m) && (T[] == P[j])) ++; j++; if (j == m) pritf("casameto a posiao %d\", i); brea; // sai do for 6. Vários algoritmos em omputação usam a téia de Dividir para Coquistar : basiamete eles fazem alguma operação sobre todos os dados, e depois dividem o problema em sub-problemas meores, repetido a operação. Uma equação de reorrêia típia para esse tipo de algoritmo é mostrada abaixo. Resolva essa equação de reorrêia. T() = T(/) + ; T(1) = 1; 7. Idique para ada par de expressões (A,B) a tabela abaixo, se A é O, o,, ou de B. Assuma que 1 e 0 < < 1 < são ostates. Sua resposta deve ser da forma SIM ou NÃO. Nota: log log log e!. e A B O o (i) log (ii) (iii) (iv) log(!) log( ) (v) 1 log log (vi) ( 1) 8. Qual algoritmo voê preferiria: um que requer 5 passos ou um que requer passos? Justifique sua resposta.
3 9. Idique se as afirmativas a seguir são verdadeiras e justifique sua resposta: a) +1 = O( ) b) = O( ) ) f() = O(u()) e g() = O(v()) f() + g() = O(u() + v()) d) f() = O(u()) e g() = O(v()) f() g() = O(u() v()) 10. Cosiderado que a operação relevate é o úmero de vezes que a operação soma é exeutada, apresete a fução de omplexidade de tempo para: a) for i 1 to do for j 1 to do for 1 to do b) for i 1 to do for j 1 to i do for 1 to j do ) for i 1 to do for j 1 to do for i to do d) for i 1 to do for j i to do for i to do e) for i 1 to do for j i to do for i to j do 11. Resolva as seguites equações de reorrêia: a) T() = T( 1) + ostate, > 1 T(1) = 0 b) T() = T( 1) + 1 T(0) = 1
4 ) T() = T( 1), ostates, > 0 T(0) = d) T() = 3T(/) + > 1 T(1) = 1 e) T() = 3T( 1) T( ) > 1 T(0) = 0 T(1) = 1 1. Cosidere o algoritmo a seguir, supodo que a operação ruial é ispeioar elemeto. O algoritmo ispeioa os elemetos de um ojuto e, de alguma forma, osegue desartar /5 dos elemetos e fazer uma hamada reursiva sobre os 3/5 elemetos restates. a) Esreva uma equação de reorrêia que desreva esse omportameto b) Coverta a equação de reorrêia para um somatório ) Dê a fórmula fehada para esse somatório void Pesquisa (it ) if ( < 1) ispeioe elemeto ; termie; else para ada um dos elemetos, ispeioe elemeto ; Pesquisa(3 * / 5); 13. Torre de Haói. Em 1883, o matemátio fraês Edouard Luas riou um jogo hamado Torre de Haói. O jogo omeça om um ojuto de oito disos empilhados em tamaho deresete em uma das três varetas, oforme mostrado a Figura 1. O objetivo do jogo é trasferir toda a torre para uma das outras varetas, movedo um diso de ada vez, mas ua movedo um diso maior sobre um meor. Esboçe uma fução reursiva para resolver este problema e alule sua omplexidade. Figura 1: Cofiguração iiial da Torre de Haói.
5 14. Lihas o plao ou Cortado a sua pizza favorita. Quatas fatias de pizza uma pessoa pode obter ao fazer ortes retos om uma faa? Ou, expressado de outra forma, qual é o úmero máximo de regiões L determiado por retas o plao? Lembre-se que um plao sem ehuma reta tem uma região, om uma reta tem duas regiões e om duas retas tem quatro regiões, oforme mostrado a figura L 0 =1 L 1 = L =4 4 Figura : Regiões o plao. 15. Use o teorema mestre para derivar um limite assitótio para as seguites reorrêias: a) T() = T(/) + 1 b) T() = 3T(/) + ) T() = 4T(/) + d) T() = 4T(/) + 3 Fórmulas Úteis: i 1 i. i 1 a a i1 i1 i0 i1 a 1.( 1) a 1
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