e um vetor não-nulo Qualquer uma das equações apresentadas acima [destacadas com um retângulo] é denominada equação vetorial da reta.

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1 ESTUDO D RET NO ESPÇO R 3 Como já é de nosso conhecimento dois pontos distintos no plano R 2 determinam somente uma reta atraés deles O mesmo acontece no espaço R 3 ssim amos definir como oter e escreer a equação de uma reta no espaço de 3 dimensões equação de uma reta no R 3 pode ser escrita de árias formas sendo que cada uma delas tem suas antagens quanto à sua escolha e aplicação São elas: Equação Vetorial da Reta Equações Paramétricas da Reta Equações Simétricas da Reta Equações Reduzidas da Reta Nosso estudo se concentrará na forma etorial e na forma paramétrica da equação da reta Equação Vetorial da Reta Consideremos um ponto inicial z e um etor não-nulo z ssim só eiste uma reta r que passa pelo ponto e que tem a mesma direção de Isso implica que r // [eja figura ao lado] Um ponto P qualquer pertence à reta r se e somente se o etor P for paralelo ao etor [eja figura ao lado] ssim: P t para algum alor real para t Podemos escreer a equação P t como: P t ou ainda P t Escreendo a equação P t em coordenadas temos: z t z Qualquer uma das equações apresentadas acima [destacadas com um retângulo] é denominada equação etorial da reta O etor z é chamado etor diretor ou diretio da reta r O número real t é chamado de parâmetro O ponto z normalmente é conhecido pois é um ponto de referência [inicial] da reta Oserações importantes: Para cada alor real escolhido para o parâmetro t haerá um correspondente ponto tamém é erdadeira Isto quer dizer que para cada ponto P r P r eiste um correspondente alor de t recíproca Uma determinada reta não tem somente uma equação etorial que a representa Na erdade eistem infinitas equações etoriais para representar uma única reta asta oserar que no momento de escreer a equação P t eistem infinitos pontos da reta r que podem ocupar o lugar de e que ainda eistem infinitos etores z [não-nulos] múltiplos de que podem ocupar o lugar de [pois esses múltiplos têm a mesma direção de ] Página de 5

2 Uma equação etorial da reta z t z tamém pode ser representada na forma matricial ou seja: EXEMPLO: t z z z Considere a reta r que passa pelo ponto e que tem a direção do etor 2 a Determine a sua equação etorial Determine os pontos de r que correspondem aos parâmetros t 2 c Encontre o alor do parâmetro t que corresponde ao ponto 5 2 d Verifique se o ponto C 2 pertence à reta dada e Escrea outras duas equações etoriais de r diferentes da encontrada no item [a] Resolução: t t 3 t e t pertencente à reta r em questão a Sustituindo as informações dadas na epressão P t temos a equação etorial da reta em questão ssim: P t 2 onde P representa um ponto qualquer [genérico] da reta r Podemos optar tamém pela forma: t 2 onde representa um ponto qualquer [genérico] da reta r Sustituindo os alores do parâmetro t na equação etorial da reta P t 2 respectios pontos P da reta r ssim: Para t temos: P 2 2 P Para t 2 temos: P P Para t 3 temos: P P Para t temos: P 2 P 2 3 encontraremos os [] Para t temos: P 2 2 P [] Oseração: Note que quando sustituímos o parâmetro t na equação sempre encontramos o ponto inicial que foi utilizado para escreer a referida equação etorial da reta r ; que neste caso é figura a seguir ilustra a situação apresentada na resolução dos itens [a] e [] Página 2 de 5

3 c Chamaremos de t o parâmetro associado ao ponto 5 2 Para determiná-lo faremos a sustituição do ponto na equação da reta r Então: t t t t 2 ssim temos que: t 3 d Se o ponto C 2 pertence à reta r então eiste um parâmetro t C correspondente a esse ponto C ssim sustituindo o ponto C na equação da reta r teremos: t 2 2 t C 2 2 t C 2 3 t 2 C Note que NÃO é possíel estaelecer um alor para C ponto C dado NÃO pertence à reta r em questão t de modo que 3 t C Isso significa que o e equação encontrada [no item a] para a reta r dada é: t 2 Deemos escreer mais duas equações distintas que tamém representem a reta dada Vejamos Saemos [atraés do item ] que o ponto P é um ponto pertencente à reta r Então podemos escreer uma outra equação etorial de r que é: t 2 Nota: Vale lemrar que a equação de uma reta pode ser escrita com qualquer ponto dessa mesma reta Saemos que 2 é um etor diretor da reta r Como o etor tem a mesma direção de podemos tamém utilizá-lo como etor diretor da reta em questão ssim podemos escreer mais uma equação etorial de r que é: t 4 6 Nota: Vale lemrar que a equação de uma reta pode ser escrita com qualquer etor que seja múltiplo do etor diretor Para descontrair Coleção: s Melhores Tiras Ceolinha / utor: Maurício de Souza / Editora: Gloo Para refletir: Muitas coisas ocê pode mas não dee Mr Pi Página 3 de 5

4 Equações Paramétricas da Reta Vamos considerar uma reta r qualquer e a sua respectia equação etorial [genérica] ssim: t Da equação etorial da reta z z temos que: z t t t z [multiplicamos o parâmetro t ] t t z t z [realizamos a adição no 2º memro] t t z z [reposicionamos o parâmetro t ] t E atraés da igualdade encontrada podemos escreer: r : z z z t t t com t Sendo que o sistema acima é formado pelas equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto z e tem etor diretor z EXEMPLOS: Escrea na forma paramétrica a equação da reta r saendo que ela passa pelo ponto 2 3 e que é paralela ao etor 4 7 [Resolução no quadro da sala de aula] 2 Dado o ponto 23 e o etor 2 3 pede-se: a Escreer as equações paramétricas da reta r que passa por e tem a direção de Encontrar os dois pontos e C da reta r de parâmetros t e t 4 c Determinar o ponto de r cuja ascissa é 4 d Verificar se os pontos o pontos 4 2 D e E pertencem à reta r e Determinar para que alores de m e n o ponto F m5 n pertence a r f Escreer outros dois sistemas de equações paramétricas de r respectiamente g Determinar as equações paramétricas da reta s que passa por G 52 e é paralela à reta r h Calcular as equações paramétricas da reta t que passa por e é paralela ao eio [Resolução no quadro da sala de aula] NOT: este material foi desenolido com ase no liro: WINTERLE Paulo Vetores e Geometria nalítica São Paulo: Makron ooks 2 EXERCÍCIOS Estudo da Reta no Espaço Prolemas Propostos da página 8 do Liro indicado acima Eercícios: d 25e a Página 4 de 5

5 PÊNDICE [RELEMRNDO]: TIPOS [FORMS] DE EQUÇÃO DE UM RET [NO PLNO] equação de uma reta [no plano] pode ser escrita na forma: Geral Reduzida Segmentária Paramétrica Nota: Nem todas as retas podem ser representadas em todas as formas citadas ao lado Detalhando um pouco temos: Equação Geral: a c Sendo que na equação geral: a m e c n Osere que se na forma geral: a c Isolarmos o termo em temos: gora separando o denominador: ssim temos a equação da reta na sua forma reduzida: a c a c a c a c m n Equação Reduzida: m n Coeficiente angular: m tg ou m n n m m Nota: função polinomial do º grau é representada pela equação reduzida da reta p q Equação Segmentária: q Sendo que: q p intercepto intercepto p Equações Paramétricas: f t g t Sendo que t é um parâmetro comum às equações Veja um eemplo: 4t 7 2 t RELEMRNDO: COMO ENCONTRR [CLCULR] EQUÇÃO DE UM RET [NO PLNO] Quando conhecemos: 2 pontos ponto P P e : Sustitua os pontos em: m n ou aplique: P m P Equação Fundamental da Reta Página 5 de 5 P + o coeficiente angular m : plique em: