Aula 2: Vetores tratamento algébrico

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1 Ala : Vetores tratamento algébrico Vetores no R e no R Decomposição de etores no plano ( R ) Dados dois etores e não colineares então qalqer etor pode ser decomposto nas direções de e. O problema é determinar os dois etores qe tem a direção de e e cja soma seja igal a o seja é preciso obter dois números reais e de modo qe: conforme o desenho abaio: No desenho acima dizemos qe é combinação linear dos etores e por meio dos números reais e. O conjnto formado pelos etores não colineares e é chamado de base e os números reais e são chamados de coordenadas de em relação à base. O etor é a projeção do etor sobre na direção de. De mesma maneira o etor é a projeção do etor sobre na direção de conforme figra acima.

2 De acordo com o eposto acima podemos constrir infinitas bases. Para facilitar nosso trabalho são tilizadas commmente as bases ortonormais qe são bases cjos etores são ortogonais e nitários. Assim ma base formada pelos etores e e e é dita ortonormal se: e Veja m eemplo abaio tilizando o plano cartesiano O: Os etores w m e podem ser representados na figra acima em fnção de e e e como sendo: w m e e e e e e e 0 e 0 e e De modo geral: a e a e com a a IR. Dizemos qe os etores w m e são epressos em fnção de e e e o qe são combinações lineares da base B = e e.

3 Base canônica: Eistem infinitas bases ortonormais no plano cartesiano ortogonal O no entanto ma delas é mais notáel. É a base formada pelos etores e cjos representantes tem sa origem no ponto (00) e sas etremidades em (0) para o etor e em (0) para o etor. O conjnto é chamado de base canônica conforme a figra abaio: j (0 ) e r O i ( 0) Esta base também estabelece o conhecido sistema cartesiano ortogonal O. Neste crso trataremos somente da base canônica. Dessa forma dado m etor qalqer do plano eiste ma só dpla de números reais e tal qe: i j e e r e j j e r O i i

4 Epressão analítica do etor O etor representado acima também pode ser epresso como a segir: = ( ): qe é a epressão analítica de O seja m etor no plano é m par ordenado ( ) de números reais cja oriegem é o (00) e a etremidade o ponto () dado. Eemplo: i j o simplesmente = ( ) Graficamente temos: e r P j e i j i e r O = OP O(0 0): origem do etor P( ): etremidade do etor Eercício resolido: Escrea a epressão analítica dos etores abaio e represente-os graficamente: a b c i j i 5 j a 5 i b 0 j c 0

5 - - O b - c - a -5

6 Operações com Vetores: igaldade soma e mltiplicação por escalar. Igaldade de etores: e =. Dois etores e são igais se e somente se = Eemplos: determine os alores de e para qe os etores sejam igais: a) e 5 6 Para qe precisamos ter: + = 5 = 5 = 6 = = + 6 = 0 = 5 Logo = e = 5 b) 7 e 5 Para qe precisamos ter: 7 5 Resolendo o sistema linear pelo método da adição o seja amos somar as das eqações e calclar o alor de : Sbstitindo o alor de encontrado em ma das das eqações do sistema encontramos o alor de : + = 5. + = 5

7 + = 5 = 5 = Logo = e =. Soma e mltiplicação por escalar Dados os etores e real temos: i) ii) iii) P a b soma de ponto com etor. ; o ponto P( a b ) e o número qe são as coordenadas de m ponto Q resltado da Eemplos: () Dados os etores e 5 algébrica e geometricamente: a) b) c) d) e) P e o ponto P(5 ) determine a) = ( + (-5) + ) = (- 6) b) = ( - (-5) - ) = (7 ) c) = ( ) = ( 8) 5 5 d)

8 e) P = (5 + + ) = (7 7): ponto Q 8 Q c + 6 P O / - () Determinar o etor na igaldade + = e. Diidindo ambos os membros da eqação por obtemos: Portanto temos: sendo

9 ) 7 ( () Encontrar os números a e a tais qe a a 5 e. sendo 0 Sbstitindo os etores dados na epressão a a temos: (0 ) = a ( 5) + a (- ) Efetando a mltiplicação dos números a e a pelos etores temos: (0 ) = ( a 5 a ) + (- a a ) Somando os etores temos: (0 ) = ( a - a 5 a + a ) Fazendo a igaldade entre os dois etores temos: a 5a a a 0 ; Qe é m sistema linear. Vamos resolê-lo pelo método da adição amos em primeiro lgar mltiplicar a primeira eqação por : 6a a 0 5a a Agora amos somar as das eqações e calclar o alor de a : 6a a 5a a a a 0 Sbstitindo o alor de a encontrado em ma das das eqações do sistema encontramos o alor de a : a - a = 0. - a = a = 0 a = 6 0

10 a = Logo Vetor definido por dois pontos Sendo A( ) a origem de m representante de m etor e B( ) a sa etremidade e ainda se AB temos: AB B A Eemplos: ) Seja AB onde A( ) e B( 5). Calcle as coordenadas do etor e constra o se gráfico. AB B A 5 P j i - - O b - a

11 OP é chamado etor posição o representante natral de AB : etor qe melhor caracteriza AB dentre os infinitos representantes. ) Dados os etores AB e CD onde A( ); B(5 ); C(- -) e D(0 ) calcle e represente: a) b) c) A + AB B A CD D C 5 0 ( ) ( ) 6 a) b) c) A + 5 : ponto P

12 ) Determine a origem do etor ( ) sabendo qe a sa etremidade está em B( ). Chamando de A a origem procrada temos: AB B A A ( ) A ( ) A( - ) ) Sendo A( ); B(5 ) e C(6 5) értices consectios de m paralelogramo ABCD determine o értice D. D? C A B

13 AB DC (o BC AD B A = C D (5 ) ( ) = (6 5) D D = (6 5) (5 ) + ( ) Logo D( ) ): mesma direção mesmo sentido e mesmo comprimento 5) Dados os pontos A(- ); B( -) e C(- ) determine o ponto D de modo qe CD AB. CD AB D C B A D D D D D 5 D 0 6) Sendo A(- ) e B( ) etremidades de m segmento determinar os pontos F e G qe diidem AB em três segmentos de mesmo comprimento. A F? G? B

14 AF FG AF F A = ( -) GB F (- ) = ( -) F = ( -) + (- ) F(0 ) AB B A 6 6 FG G F = ( -) G (0 ) = ( -) G = ( -) + (0 ) G( )

15 Ponto médio paralelismo e Norma (módlo) Ponto médio: Seja o segmento de etremos A( ) e B( ). Sendo M( ) o ponto médio de AB temos: MB AM M B A M B A M M Eemplos: ) Se A(- ) e B(5 -) então as coordenadas do ponto médio de AB são: ) ( 5 M B A M

16 ) Seja o triânglo de értices A( -); B( 5) e C( -). Calcle as coordenadas do etor qe representa a mediana relatia ao lado AB. A mediana relatia ao lado AB do triânglo pode ser representada pelo etor CM (o pelo etor MC ) onde M é o ponto médio de AB: 5 M C M CM Paralelismo de dois etores: Dois etores e são paralelos se e somente se as correspondentes componentes são proporcionais o seja se eiste tal qe: o A B C M

17 Eemplo: 8 e são paralelos pois: 8 e 7 e não são paralelos pois: 7 e 7 Norma (módlo) de m etor: Seja o etor : Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: Eemplos: ) Se então a sa norma é: 9.c. A P O

18 ) Calclar a norma do etor AB sabendo qe A( 5) e B( -). AB B A 7 Logo c. ) Dados os pontos A( 5) e B( -) e os etores e calclar: a) b) c) d) A distância entre os pontos A e B. a) 9 0.c. b) Logo 9.c. c) Logo c. d) A distância entre dois pontos é a norma do etor qe tem origem em m dos pontos e etremidade no otro: AB B A 5 Logo AB c.

19 ) Calclar o alor de a para qe a tenha módlo. a Eleando-se ambos os membros da eqação ao qadrado obtemos: a a 6 a = 6 = a 5) Encontrar m ponto P do eio das abscissas de modo qe a sa distância ao ponto A( -) seja igal a 5. Como P pertence ao eio então sa ordenada é nla o seja as coordenadas do ponto procrado deem ser P( 0). Como a distância entre o ponto A e o ponto P é 5 então deemos ter a norma do etor formado por esses dois pontos igal a 5: AP P A 0 ( ) AP 5 5 ( ) + 9 = = = 0 = 0 8 ' 6 '' Portanto as coordenadas do ponto P são: (6 0) o (- 0).

20 6) Dados os pontos A(- ) e B( ) encontrar o ponto P pertence ao eio das ordenadas e eqidistante de A e B. Como P pertence ao eio então sa abscissa é nla o seja as coordenadas do ponto procrado deem ser P(0 ). Como P é eqidistante dos pontos A e B então a distância do ponto P ao ponto A é a mesma qe a distância do ponto P ao ponto B: AP P A BP P B 0 ( ) 0 AP BP AP BP + ( ) = (-) + ( ) = = 5 5 = 0 = 5 Portanto as coordenadas do ponto P são: (0 5).