MATEMÁTICA I CÁLCULO I

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1 Profª Msc. Déora de Oliveira Bastos MATEMÁTICA I CÁLCULO I para Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo. FURG

2 2 DISCIPLINA CARÁTER CÓDIGO MATEMÁTICA I orig 11 CRÉDITOS LOCALIZAÇÃO NO QSL CH TOTAL PRÉ-REQUISITOS EIXO DE FORMAÇÃO 05 1 o período 75h Fundamentos de Matemática Fundamentos EMENTA Plano coordenado: Distância entre Pontos. Equação da Reta. Equação da Circunferência, Trigonometria: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo, Identidades, Circulo Trigonométrico. Aplicações. Funções de uma variável real Função Exponencial e Logaritmo. Limites: Definição e Propriedades. Limites Algéricos, Trigonométricos e Transcendentes. Derivada: definição Propriedades e Cálculo. BIBLIOGRAFIA 1. LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Roert P. e EDWARDS, Bruce H. Cálculo com Aplicações. Editora LTC, 4. Ed. 2. HOFFMANN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L. Cálculo - Um curso moderno e suas aplicações. Editora LTC, 6. Ed. 3. LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do Brasil,1982. Programa. 1. Sistemas de Coordenadas no Plano. Sistema de Coordenadas no Plano. Representação de Pontos no Plano. Distância entre dois pontos no Plano. Cálculo do Coeficiente Angular da Reta. Equação da Reta. Posições relativas da reta no plano. Interseção de retas. Distância de um Ponto a uma Reta. Distância entre Retas Paralelas. Equação de Circunferência. Equação da Paráola. Equação da Elipse. Equação da Hipérole. 2. Funções. Definição. Domínio, Imagem e Gráfico. Funções Clássicas nos Reais: Identidade, Linear, Quadrática, Valor Asoluto. Operações Algéricas com Funções. Composição de Funções. Função Inversa. Função Logaritmo e Exponencial. Funções Trigonométricas Inversas. 3. Limites. Ideia Intuitiva. Definição e Propriedades. Cálculo de Limites Algéricos. Limites Trigonométricos. Limites ao Infinito. Limites Transcendentes. Continuidade de Funções.

3 3 4. Derivadas. Definição e Propriedades. Interpretação Geométrica. Regras de Derivação. Derivação da Função Composta. Derivada das Funções Trigonométricas. Derivada das Funções Inversas. Derivada das Funções transcendentes. Derivadas de Ordem Superior.

4 4 Unidade A Geometria Analítica Básica.

5 5 Geometria Analítica A Geometria analítica tem como ojetivo estudar os entes geométricos, mas com as facilidades da álgera, possível através da análise de equações. Estudaremos o ponto, a reta, o círculo, a paráola, a hipérole e a elipse, inseridos no sistema de referência de coordenadas clássico: O plano cartesiano. 1. Plano Cartesiano II Q I Q O plano cartesiano é composto por dois eixos ortogonais, cuja intersecção é a referência principal do sistema: a origem O (0,0). As coordenadas dos pontos são determinadas a partir do deslocamento, em relação à origem, necessário até o ponto. Cada ponto é localizado por duas coordenadas. P(x p, p) 1ª coordenada ascissa x 2ª coordenada ordenada - III Q IV Q Os eixos dividem o plano cartesiano em quatro partes, chamados quadrantes. Orientados no sentido anti-horário como na figura ao lado. Deslocamento à esquerda da origem: x < 0. Deslocamento à direita da origem: x > 0. Deslocamento aaixo da origem: < 0. Deslocamento acima da origem: > 0. Ponto pertence ao eixo ox: = 0. Veja ponto A na figura acima. Ponto pertence ao eixo o: x = 0. Veja ponto B na figura acima. Exemplo: Representar os pontos, a seguir, no plano cartesiano: A(1,2), B(2,1), C(3, 1), D(0,1), E(3,0), F(2,1), G(4,3), H(1,0) e I(0,5).

6 6 2. Distância entre dois pontos no plano. Distância entre quaisquer dois ojetos é a medida do menor caminho que liga esses dois ojetos. No caso dos ojetos serem pontos, o menor caminho entre eles é determinado por um segmento de reta. Notação: d(a,b) Lê-se: Distância entre A e B. Exemplo: Determinar a distância entre os pontos A(1,2) e B(5,5). Para generalizar o processo, a fim de oter uma fórmula para a distância entre dois pontos, analisaremos a seguinte situação hipotética: Considerando dois pontos não alinhados horizontalmente, nem verticalmente, podemos oter um triângulo retângulo, definido pelas coordenadas de A e de B. Sempre podemos determinar a medida dos catetos: Cateto horizontal: x x a. Cateto vertical: a. Assim pelo Teorema de Pitágoras: d(a,b)² = (x x a)²+ ( a)² e portanto: d(a,b) (x x )² ( a a )²

7 7 Exemplos: 1. Calcule a distância entre os pontos: (a) A(1,2) e B(2,1). () C(3,1) e D(0,1). 2. Qual é a medida do raio do círculo, cujo centro é o ponto C(3,1) e passa pelo ponto P(4,2)? 2.1. Propriedades das distâncias. i. d(a,b) > 0 ii. d(a,b) = d(b,a). iii. d(a,b) = 0 A B iv. d(a,b) < d(a,c) + d(c,b) Esta última propriedade é conhecida como Desigualdade Triangular, pois se refere a existência de um triângulo conhecidos as medidas de seus lados. Ilustrando a propriedade iv: se fizermos o caminho direto de A até B é sempre menor que chegar ao ponto B, passando por outro ponto C. Exemplo: Existe triângulo que tenhas lados 1, 2 e 5?

8 8 3. Ponto médio de um segmento. Se M é ponto médio do segmento AB, então d(a,m)= d(m,b) e M AB. Vemos facilmente que as coordenadas do ponto médio do segmento AB, em que A(1,3) e B(5,1) é M(3,2). O intuito da Geometria Analítica é não depender de esoços e gráficos. Precisamos pensar genericamente para definir uma fórmula que encontre as coordenadas do ponto médio, conhecidas as coordenadas dos extremos. Como x m deve ficar a mesma distância de x a e x esta x x distância é a, mas essa 2 medida não é x m, pois a ascissa do ponto M deve ser considerada o deslocamento em relação à origem, então x x x m = x a + a 2x a x xa = 2 2 x x x m = a 2 Analogamente, para oter a ordenada do ponto M, partimos da distância de m a, acrescentando a distância a. a 2 a a m M x a x 2, a 2 Exemplo: 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento A(3,1) e B(5,3). 2. Determine as coordenadas do ponto B, saendo que M(2,1) é o ponto médio do segmento AB, em que A(4,0).

9 9 4. Estudo da Reta Os pontos A (1,2), B(2,3) e C(4,5), pertencem a mesma reta? Trace uma reta passando por A e B e C estará nela. A questão é que não podemos nos asear em gráficos, mesmo que em feitos. Devemos caracterizar a reta para afirmarmos que A, B e C estão alinhados. Que condição satisfazem? Um conjunto de pontos pertence a uma mesma reta se a taxa de variação entre dois x quaisquer de seus pontos é constante. a Taxa de variação entre A e B: 1 x x x c Taxa de variação entre B e C: 1 x x x c a Taxa de variação entre A e C: 1 x xc xa Concluímos o porquê dos pontos A, B e C estarem alinhados. A taxa de variação de uma reta, como é constante, independe dos x pontos escolhidos e é chamada de coeficiente angular da reta. Oserve a figura aaixo: c a Notação do coeficiente angular: a. Sendo A(x a, a) e B(x, ), temos: a = x a x x a a Portanto o coeficiente angular é: a = tan. Oserve que AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo, tal que um dos ângulos internos é. é o cateto oposto a. x é o cateto adjacente a. Em que é o ângulo formado entre a reta e o sentido positivo do eixo ox.

10 10 Exemplos: 1. Determinar o coeficiente angular da reta que contém os pontos A(3,1) e B(1,4). 2. Determinar o coeficiente angular da reta, cujo gráfico é: 5. Equações da Reta Vamos estudar três tipos de equação de reta: Equação fundamental, reduzida e geral. a. Equação fundamental da reta. Conhecidos dois pontos A(x a, a) e r B(x, ) e considerando um ponto P(x,) que representará todos os pontos alinhados com A e B, oteremos uma equação que mostra como a variável se relaciona com a variável x se P pertence à reta r. Saemos que a taxa de variação, coeficiente angular, é constante para quaisquer dois pontos da reta r. Calculamos o coeficiente angular, usando a taxa de variação entre A e B: a a (1) x xa Por sua vez, a taxa de variação entre os pontos A e P fica: a a (2) x xa Oteremos a equação fundamental da reta, pela expressão (2), a qual já conhecemos o valor de a pelo resultado da expressão (1). Multiplicando a equação em cruz, chegamos a: r: a = a(x xa)

11 11 Equação fundamental da reta r, conhecidos um ponto A(x a, a) e o coeficiente angular, a, da mesma. Exemplo: Determinar a equação fundamental da reta que contém os pontos A(2,1) e B(4,7).. Equação reduzida da reta. É a equação mais conhecida, na forma: = ax + Em que a = tan, é coeficiente angular da reta. E? Notamos que se sustituirmos x = 0, na equação, otemos =. Ou seja, o ponto P(0,) pertence à reta e tamém pertence ao eixo o, pois x=0. Portanto P é o ponto de intersecção da reta com o eixo o. O coeficiente é chamado linear e podemos oservá-lo facilmente no gráfico. Exemplo: 1. Determine a equação reduzida da reta, cujo gráfico é: 2. Determine a equação reduzida da reta, que contém os pontos A(1,2) e B(4,6).

12 12 c. Equação geral da reta. Este tipo de equação é usada na fórmula da distância entre ponto e reta, por isso precisamos conhecer este formato: mx + n + k = 0 Em que m, n e k são constantes reais e m e n não são nulas simultaneamente. Para quem sae calcular determinantes de ordem 3, podemos oter a equação geral da reta diretamente, conhecidos dois de seus pontos A(x a, a) e B(x, ) pela equação envolvendo determinante: x xa a 1 0 x 1 Otemos este formato apenas manipulando qualquer equação da reta algericamente. Exemplo: Otenha a equação geral das retas nos casos aaixo: (a) 1 = 3(x+2) 1 () 3 4 x 1 4 (c) Que contém os pontos A(3,1) e B(1,3).

13 13 6. Intersecção entre retas Determinar a intersecção entre as retas r e s é encontrar o ponto P comum às duas retas, ou melhor, um ponto pertencente ao mesmo tempo à reta r e à reta s. Isso quer dizer que as coordenadas do ponto P satisfaz ao mesmo tempo à equação de r e à equação de s. O que equivale a resolver o sistema com as equações das duas retas. Se as retas possuem um ponto em comum dizemos que elas são concorrentes. Exemplo: Determine o ponto de interseção entre os pares de reta aaixo: (a) r: = 3x+1 s: = x + 5 () r: = 2x + 5 s: = 4x + 3 Duas retas sempre têm intersecção? Se tiver intersecção, só em um ponto? Responder estas perguntas equivale a determinar a posição relativa entre retas, assunto do próximo item. 7. Posições relativas entre retas Dadas duas retas r e s, elas podem ocupar apenas três posições relativas no plano cartesiano. Essas posições são definidas com ase no número de pontos comuns às retas. Oserve as figuras aaixo:

14 14 Concorrentes r s Paralelas r // s Coincidentes r s r s = {P} r s = r s = r a. Retas paralelas. Por definição, se procurássemos resolver o sistema com as equações de r e de s não encontraríamos solução. Uma alternativa é pensar sore os coeficientes angulares destas retas. Considere r: = a rx + r e s: = a sx + s. Em que: a r = tan e a s = tan Se as retas r e s são paralelas: = tan = tan a r = a s Infelizmente não asta, pois se o coeficiente linear for igualmente idêntico as retas são coincidentes. Assim a condição de duas retas serem paralelas dadas suas equações reduzidas é: r // s a r = a s e r s. Retas coincidentes. Podemos tamém analisar o sistema com as equações de r e s para determinar se as equações são de retas coincidentes, que na verdade geometricamente são uma única reta. Neste caso o sistema possui infinitas soluções. Em decorrência da análise das retas paralelas, podemos concluir sem esforço que dadas as equações reduzidas das retas r e s para serem coincidentes: r s a r = a s e r = s

15 15 c. Retas concorrentes. irrelevantes. Concluímos então: Considerando novamente as equações reduzidas de r e s: r: = a rx + r s: = a sx + s Se as retas são concorrentes: Então: tan tan Portanto: a r a s Os coeficientes lineares são r s a r a s Exemplo: Determine a posição relativa entre os pares de reta aaixo: (a) r: 1 = 1(x + 2) s: 7 = 1(x 4) () r: = x 4 s: 5 = 1(x 4) (c) r: 3 = 2(x + 1) s: = 4x - 5 Um caso particular de retas concorrentes é quando as retas fazem um ângulo de 90º. No próximo item pesquisaremos como determinar a condição das retas chamadas perpendiculares.

16 16 8. Retas perpendiculares. Considere as equações reduzidas das retas r e s: r: = a rx + r s: = a sx + s Assim: a r = tan e a s = tan (0) e são ângulos internos de um triângulo retângulo, logo: + = 90º (1) Já e são ângulos suplementares, pois juntos formam um ângulo raso, ou seja: + = 180º (2) 1 Da relação (1), saemos que tan, ou multiplicando a tan expressão em cruz, tantan = 1 (3). Pense nos ângulos de 30º e 60º por exemplo. Da relação (2), saemos que tan = tan (4). Pense nos ângulos de 30º e 150º, veja na calculadora se preferir. Agora sustituindo (4) em (3), otemos: tan (tan) = 1 Multiplicando a expressão por 1: tan tan = 1 Que por sua vez por (0): a s a r = 1 Eis a condição de duas retas perpendiculares, dadas as equações reduzidas das mesmas: r s a s a r = 1 Exemplos: 1. Determine se os pares de retas aaixo são perpendiculares: 1 (a) r: = 3x 1 s: x 5 3 () r: 4 2 x s: x 1 5

17 17 2. Determine a equação da reta s, perpendicular à reta r: que intersecciona o eixo o em P(0,1). 2x 1 e 3 9. Distância entre ponto e reta. O menor caminho que liga um ponto a uma reta é um segmento perpendicular à reta com extremidade neste ponto. Na figura o segmento PA. Por que podemos ter certeza que este é o menor? Pois se considerarmos qualquer outro segmento que liga P à reta, por exemplo, PB, os pontos P, A e B formam um triângulo retângulo, reto em A. Assim teríamos PB a hipotenusa e PA um cateto. Saemos que a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, logo PB > PA e assim, PA é o menor caminho possível. Como calcular a distância entre o ponto P à reta s? Com o que já construímos e estudamos, saemos calcular distância entre dois pontos, determinar retas perpendiculares, calcular intersecção entre retas. Tudo isso seria necessário para chegar à distância desejada, seguindo o roteiro aaixo: 1 Oter r, perpendicular a s, que contenha P. 2 Determinar A, o ponto de intersecção entre as retas r e s. 3 Calcular a distância entre P e A. 4 Finalmente d(p,a) = d(p,s). Se seguirmos todos esses passos considerando a equação geral da reta s: mx + n + k = 0 e as coordenadas do ponto P(x p, p), após muitas manipulações algéricas chegaremos na fórmula da distância entre ponto e reta: d(p, s) mx p n p m² n² k

18 18 5 Exemplo: Determine a distância do ponto Q(18,0) à reta t: x Distância entre retas. Precisamos lemrar que distância entre dois ojetos quaisquer é a medida do menor caminho entre estes dois ojetos. Se as retas r e s forem concorrentes ou coincidentes, já que possuem ponto de intersecção, o menor caminho que ligas estas retas é apenas um ponto, assim nestes casos, d(r,s) = 0. Resta analisar como calcular a distância entre retas, se estas forem paralelas. A distância entre as retas r e s, d(r,s), é o segmento de reta perpendicular a amas as retas. Já que são paralelas, desde que o segmento seja perpendicular a uma, será automaticamente perpendicular à outra reta. Assim podemos escolher um ponto qualquer de uma reta e calcular a distância até a outra reta, simplesmente. Para complementar faremos esse traalho generalizando e chegando numa fórmula direta. Como precisamos da equação geral de cada reta, sendo as duas paralelas, elas terão o formato: r: mx + n + k r = 0 e s: mx + n + k s = 0 Definindo um ponto de r, por exemplo: P(x p, p). Como é um ponto de r, satisfaz a equação de r, ou seja, mx p + n p + k r = 0. Ou ainda: mx p + n p = k r Agora temos que calcular a distância do ponto P à reta s. mxp n p ks kr ks d(p, s) m² n² m² n² Portanto a distância entre duas retas paralelas, dadas suas equações gerais r: mx + n + k r = 0 e s: mx + n + k s = 0 é:

19 19 d(r, s) k s k r m² n² Exemplo: Determine a distância entre as retas r: 3x = 0 e s: 3x 4 15 = Exercícios. 1- Situe no mesmo plano cartesiano os pontos A (2,0), B(2,2), C(4,0), D(0,2), E(2,4), F(1,4), G(3,2), H(4,2), I(3,4) e J(0,3). 2-6 Responda: 2. Quais são as coordenadas da origem, O, do plano cartesiano? 3. Se um ponto pertence ao III quadrante, qual o sinal da ascissa? 4. Se um ponto pertence ao eixo ox, qual o sinal da ordenada? 5. É possível uma reta ter coeficiente angular nulo? Caso afirmativo, descreva a característica geométrica da reta. Caso negativo, justifique. 6. Quais das versões aaixo são equivalentes da fórmula para o cálculo da distância entre os pontos A(x a, a) e B(x, )? Justifique. a. d(a,b) = (xa x)² ( a)². d(a,b) = (x xa)² ( a)² c. d(a,b) = (xa a)² (x )² 7- A ascissa de P vale o doro da ordenada de Q. Se que está acima do eixo x tanto quanto está à esquerda do eixo e P dista 5 unidades do eixo das ordenadas, quais são as coordenadas de Q? 8 Sendo A (4,4) um ponto pertencente ao círculo de centro C(2,2), determine a medida do raio desse círculo.

20 20 9 Determine a de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São dados: A(2,5), B(2,1) e C(3,a). 10 Dados A(x,3), B(1,4) e C(5,2), otenha x de modo que A seja equidistante de B e de C. 11 Qual o perímetro do triângulo, cujos vértices são A(1,2), B(2,6) e C(5,2)? 12 Em quais itens os pontos dados formam um triângulo? 3 a. A(0,1), B(12,4) e C 6,. 2. F,3 3 2, G(5,0) e H(1,0). c. P(1,3), Q(5,6) e R(9,9). 13 Saendo que o segmento AB, define um diâmetro do círculo de centro C, determine as coordenadas deste ponto, considerando A(1,3) e B(3,5). 14 Mediana de um triângulo é o segmento que liga cada vértice ao ponto médio do lado oposto. Considere o triângulo de vértices em A(3,0), B(3,2) e C(1,4). Determine a medida das três medianas. 15- Determine as equações fundamental, geral e reduzida das retas: a. r que contém os pontos A(2,3) e B(3,5).. s que forma ângulo de 60º com o eixo das ascissas no seu sentido positivo e passa pelo ponto C(3,-1). c. t que contém os pontos B(3,5) e C(5,5). d. u que forma ângulo de 45º com o eixo das ascissas, é decrescente e intersecciona o eixo o em =4. e. a que contém os pontos B(3,5) e D(3,2). 16- Quando não podemos determinar a equação de qualquer reta na forma: a. geral?. fundamental? c. reduzida? Justifique tua resposta. 17- Determine a posição relativa entre os pares de retas indicados, diferenciando o caso perpendiculares de concorrentes e nesses casos determine o ponto de intersecção entre as retas. a. g: 2x+3=1 e h: 3x-2=5. r: =3x-2 e s: 3x-+8=0 c. a: =5x+9 e : 5x-2+7=0

21 21 3 d. t: x 5 e u: 3x-4+20= Determine a equação da reta s, que é perpendicular a reta r: 3x + 7 = 9 e que passa pela origem Qual a distância entre as retas: r: 5x = 0 e s: x 5? Calcule a medida da altura h, relativa ao lado BC, do triângulo ABC, cujos vértices são: A(5,1), B(1,5) e C(2,1). 21- No plano cartesiano, os pontos A (1,4) e B(3,6) são simétricos em relação à reta r. Qual a equação da reta r? 22- Determine as equações das retas que contém as alturas do triângulo ABC e prove que elas concorrem no mesmo ponto H, chamado de ortocentro do triângulo. Dados: A(0, -3) B(-4,0) e C(2,1). 23- Mediatriz de um segmento é uma reta que contém o ponto médio do segmento e é perpendicular a ele. Determine a reta mediatriz relativa ao segmento de extremos em A (1,4) e B(3,6). 24- Um círculo é tangente a duas retas paralelas, r: 5x + 12 = 12 e s: 5x Qual é a medida do raio do círculo?