Cálculo I Matemática I para Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo em Refrigeração e Climatização.

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1 Profª Msc. Débora de Oliveira Bastos Cálculo I Matemática I para Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo em Refrigeração e Climatização. Matemática I Cálculo IFRS Campus Rio Grande IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

2 1 DISCIPLINA CARÁTER CÓDIGO MATEMÁTICA I- Cálculo I obrig 11 CRÉDITOS LOCALIZAÇÃO NO QSL CH TOTAL PRÉ-REQUISITOS EIXO DE FORMAÇÃO 05 1 o período 75h Fundamentos de Matemática Fundamentos EMENTA Plano coordenado: Distância entre Pontos. Equação da Reta. Equação da Circunferência, Trigonometria: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo, Identidades, Circulo Trigonométrico. Aplicações. Funções de uma variável real Função Exponencial e Logaritmo. Limites: Definição e Propriedades. Limites Algébricos, Trigonométricos e Transcendentes. Derivada: definição Propriedades e Cálculo. BIBLIOGRAFIA 1. LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P. e EDWARDS, Bruce H. Cálculo com Aplicações. Editora LTC, 4. Ed. 2. HOFFMANN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L. Cálculo - Um curso moderno e suas aplicações. Editora LTC, 6. Ed. 3. LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do Brasil, MENEGHETTI, André, et al.pré-cálculo. IMEF Furg. Rio Grande, Programa. 1. Sistemas de Coordenadas no Plano. Sistema de Coordenadas no Plano. Representação de Pontos no Plano. Distância entre dois pontos no Plano. Cálculo do Coeficiente Angular da Reta. Equação da Reta. Posições relativas da reta no plano. Interseção de retas. Distância de um Ponto a uma Reta. Distância entre Retas Paralelas. Equação de Circunferência. Equação da Parábola. Equação da Elipse. Equação da Hipérbole. 2. Funções. Definição. Domínio, Imagem e Gráfico. Funções Clássicas nos Reais: Identidade, Linear, Quadrática, Valor Absoluto. Operações Algébricas com Funções. Composição de Funções. Função Inversa. Função Logaritmo e Exponencial. Funções Trigonométricas Inversas. 3. Limites. Ideia Intuitiva. Definição e Propriedades. Cálculo de Limites Algébricos. Limites Trigonométricos. Limites ao Infinito. Limites Transcendentes. Continuidade de Funções. 4. Derivadas. Definição e Propriedades. Interpretação Geométrica. Regras de Derivação. Derivação da Função Composta. Derivada das Funções Trigonométricas. Derivada das Funções Inversas. Derivada das Funções transcendentes. Derivadas de Ordem Superior.

3 2 Unidade A Geometria Analítica Básica Plano Cartesiano, pontos e retas. Matemática I Cálculo I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

4 3 Geometria Analítica A Geometria analítica tem como objetivo estudar os entes geométricos, mas com as facilidades da álgebra, possível através da análise de equações. Estudaremos o ponto, a reta, o círculo, a parábola, a hipérbole e a elipse, inseridos no sistema de referência de coordenadas clássico: O plano cartesiano. 1. Plano Cartesiano II Q I Q O plano cartesiano é composto por dois eixos ortogonais, cuja intersecção é a referência principal do sistema: a origem O (0,0). As coordenadas dos pontos são determinadas a partir do deslocamento, em relação à origem, necessário até o ponto. Cada ponto é localizado por duas coordenadas. P(x p, y p ) 1ª coordenada abscissa x 2ª coordenada ordenada - y III Q IV Q Os eixos dividem o plano cartesiano em quatro partes, chamados quadrantes. Orientados no sentido anti-horário como na figura ao lado. Deslocamento à esquerda da origem: x < 0. Deslocamento à direita da origem: x > 0. Deslocamento abaixo da origem: y < 0. Deslocamento acima da origem: y > 0. Ponto pertence ao eixo ox: y = 0. Veja ponto A na figura acima. Ponto pertence ao eixo oy: x = 0. Veja ponto B na figura acima. Exemplo: Representar os pontos, a seguir, no plano cartesiano: A(1,2), B(2,1), C(3, 1), D(0,1), E(3,0), F(2,1), G(4,3), H(1,0) e I(0,5).

5 4 2. Distância entre dois pontos no plano. Distância entre quaisquer dois objetos é a medida do menor caminho que liga esses dois objetos. No caso dos objetos serem pontos, o menor caminho entre eles é determinado por um segmento de reta. Notação: d(a,b) Lê-se: Distância entre A e B. Exemplo: Determinar a distância entre os pontos A(1,2) e B(5,5). Para generalizar o processo, a fim de obter uma fórmula para a distância entre dois pontos, analisaremos a seguinte situação hipotética: Considerando dois pontos não alinhados horizontalmente, nem verticalmente, podemos obter um triângulo retângulo, definido pelas coordenadas de A e de B. Sempre podemos determinar a medida dos catetos: Cateto horizontal: x b x a. Cateto vertical: y b y a. Assim pelo Teorema de Pitágoras: d(a,b)² = (x b x a )²+ (y b y a )² e portanto: d(a,b) (x b x )² (y a b y a )² Exemplos: 1. Calcule a distância entre os pontos: (a) A(1,2) e B(2,1).

6 5 (b) C(3,1) e D(0,1). 2. Qual é a medida do raio do círculo, cujo centro é o ponto C(3,1) e passa pelo ponto P(4,2)? 2.1. Propriedades das distâncias. i. d(a,b) > 0 ii. d(a,b) = d(b,a). iii. d(a,b) = 0 A B iv. d(a,b) < d(a,c) + d(c,b) Esta última propriedade é conhecida como Desigualdade Triangular, pois se refere a existência de um triângulo conhecidos as medidas de seus lados. Ilustrando a propriedade iv: se fizermos o caminho direto de A até B é sempre menor que chegar ao ponto B, passando por outro ponto C. Pense: Existe triângulo que tenhas lados 1, 2 e 5? 3. Ponto médio de um segmento. Se M é ponto médio do segmento AB, então d(a,m)= d(m,b) e M AB. Vemos facilmente que as coordenadas do ponto médio do segmento AB, em que A(1,3) e B(5,1) é M(3,2). O intuito da Geometria Analítica é não depender de esboços e gráficos. Precisamos pensar genericamente para definir uma fórmula que encontre as coordenadas do ponto médio, conhecidas as coordenadas dos extremos.

7 6 Como x m deve ficar a mesma distância de x a e x b esta distância é x b xa, 2 mas essa medida não é x m, pois a abscissa do ponto M deve ser considerada o deslocamento em relação à origem, então x x x m = x a + b a 2x a xb xa = 2 2 x x x m = a b 2 Analogamente, para obter a ordenada do ponto M, partimos da distância de y m a y b, acrescentando a distância a y b. y m y b y a y 2 b 2y b y 2 a y b y a y 2 b M x a x 2 b y, a y 2 b Exemplo: 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento A(3,1) e B(5,3). 2. Determine as coordenadas do ponto B, sabendo que M(2,1) é o ponto médio do segmento AB, em que A(4,0). 4. Estudo da Reta Os pontos A (1,2), B(2,3) e C(4,5), pertencem a mesma reta? Trace uma reta passando por A e B e C estará nela. A questão é que não podemos nos basear em gráficos, mesmo que bem feitos. Devemos caracterizar a reta para afirmarmos que A, B e C estão alinhados. Que condição satisfazem? Um conjunto de pontos pertence a uma mesma reta se a taxa de variação y x quaisquer de seus pontos é constante. entre dois

8 7 Taxa de variação entre A e B: y x y x b b y x a a Taxa de variação entre B e C: y x y x c c y x b b Taxa de variação entre A e C: Concluímos o porquê dos pontos A, B e C estarem alinhados. A taxa de variação y x y x y x c c y x a a de uma reta, como é constante, independe dos pontos escolhidos e é chamada de coeficiente angular da reta. Observe a figura abaixo: Notação do coeficiente angular: a. Sendo A(x a, y a ) e B(x b, y b ), temos: y a = x a y x b b y x a a Observe que AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo, tal que um dos ângulos internos é. y é o cateto oposto a. x é o cateto adjacente a. Portanto o coeficiente angular é: a = tan. Em que é o ângulo formado entre a reta e o sentido positivo do eixo ox. Exemplos: 1. Determinar o coeficiente angular da reta que contém os pontos A(3,1) e B(1,4). 2. Determinar o coeficiente angular da reta, cujo gráfico é:

9 8 5. Equações da Reta Vamos estudar três tipos de equação de reta: Equação fundamental, reduzida e geral. a. Equação fundamental da reta. Conhecidos dois pontos A(x a, y a ) e B(x b, r y b ) e considerando um ponto P(x,y) que representará todos os pontos alinhados com A e B, obteremos uma equação que mostra como a variável y se relaciona com a variável x se P pertence à reta r. Sabemos que a taxa de variação, coeficiente angular, é constante para quaisquer dois pontos da reta r. a Calculamos o coeficiente angular, usando a taxa de variação entre A e B: y b ya (1) xb xa Por sua vez, a taxa de variação entre os pontos A e P fica: a y ya (2) x xa Obteremos a equação fundamental da reta, pela expressão (2), a qual já conhecemos o valor de a pelo resultado da expressão (1). Multiplicando a equação em cruz, chegamos a: r: y ya = a(x xa) Equação fundamental da reta r, conhecidos um ponto A(x a, y a ) e o coeficiente angular, a, da mesma. Exemplo: Determinar a equação fundamental da reta que contém os pontos A(2,1) e B(4,7).

10 9 b. Equação reduzida da reta. É a equação mais conhecida, na forma: y = ax + b Em que a = tan, é coeficiente angular da reta. E b? Notamos que se substituirmos x = 0, na equação, obtemos y = b. Ou seja, o ponto P(0,b) pertence à reta e também pertence ao eixo oy, pois x=0. Portanto P é o ponto de intersecção da reta com o eixo oy. O coeficiente b é chamado linear e podemos observá-lo facilmente no gráfico. Exemplo: 1. Determine a equação reduzida da reta, cujo gráfico é: 2. Determine a equação reduzida da reta, que contém os pontos A(1,2) e B(4,6). c. Equação geral da reta. Este tipo de equação é usada na fórmula da distância entre ponto e reta, por isso precisamos conhecer este formato: mx + ny + k = 0 Em que m, n e k são constantes reais e m e n não são nulas simultaneamente.

11 10 Para quem sabe calcular determinantes de ordem 3, podemos obter a equação geral da reta diretamente, conhecidos dois de seus pontos A(x a,y a ) e B(x b,y b ) pela equação envolvendo determinante: x y xa ya 1 0 x b y b 1 Obtemos este formato apenas manipulando qualquer equação da reta algebricamente. Exemplo: Obtenha a equação geral das retas nos casos abaixo: (a) y 1 = 3(x+2) 1 (b) y 3 4 x 1 4 (c) Que contém os pontos A(3,1) e B(1,3).

12 11 6. Intersecção entre retas Determinar a intersecção entre as retas r e s é encontrar o ponto P comum às duas retas, ou melhor, um ponto pertencente ao mesmo tempo à reta r e à reta s. Isso quer dizer que as coordenadas do ponto P satisfaz ao mesmo tempo à equação de r e à equação de s. O que equivale a resolver o sistema com as equações das duas retas. Se as retas possuem um ponto em comum dizemos que elas são concorrentes. Exemplo: Determine o ponto de interseção entre os pares de reta abaixo: (a) r: y = 3x+1 s: y = x + 5 (b) r: y = 2x + 5 s: y = 4x + 3 Duas retas sempre têm intersecção? Se tiver intersecção, só em um ponto? Responder estas perguntas equivale a determinar a posição relativa entre retas, assunto do próximo item.

13 12 7. Posições relativas entre retas Dadas duas retas r e s, elas podem ocupar apenas três posições relativas no plano cartesiano. Essas posições são definidas com base no número de pontos comuns às retas. Observe as figuras abaixo: Concorrentes r s Paralelas r // s Coincidentes r s r s = {P} r s = r s = r a. Retas paralelas. Por definição, se procurássemos resolver o sistema com as equações de r e de s não encontraríamos solução. Uma alternativa é pensar sobre os coeficientes angulares destas retas. Considere r: y = a r x + b r e s: y = a s x + b s. Em que: a r = tan e a s = tan Se as retas r e s são paralelas: = tan = tan a r = a s Infelizmente não basta, pois se o coeficiente linear for igualmente idêntico as retas são coincidentes. Assim a condição de duas retas serem paralelas dadas suas equações reduzidas é: r // s a r = a s e b r b s b. Retas coincidentes. Podemos também analisar o sistema com as equações de r e s para determinar se as equações são de retas coincidentes, que na verdade geometricamente são uma única reta. Neste caso o sistema possui infinitas soluções. Em decorrência da análise das retas paralelas, podemos concluir sem esforço que dadas as equações reduzidas das retas r e s para serem coincidentes: r s a r = a s e b r = b s

14 13 c. Retas concorrentes. Considerando novamente as equações reduzidas de r e s: r: y = a r x + b r s: y = a s x + b s Se as retas são concorrentes: Então: tan tan Portanto: a r a s Os coeficientes lineares são irrelevantes. Concluímos então: r s a r a s Exemplo: Determine a posição relativa entre os pares de reta abaixo: (a) r: y 1 = 1(x + 2) s: y 7 = 1(x 4) (b) r: y = x 4 s: y 5 = 1(x 4) (c) r: y 3 = 2(x + 1) s: y = 4x - 5

15 14 Um caso particular de retas concorrentes é quando as retas fazem um ângulo de 90º. No próximo item pesquisaremos como determinar a condição das retas chamadas perpendiculares. 8. Retas perpendiculares. Considere as equações reduzidas das retas r e s: r: y = a r x + b r s: y = a s x + b s Assim: a r = tan e a s = tan (0) e são ângulos internos de um triângulo retângulo, logo: + = 90º (1) Já e são ângulos suplementares, pois juntos formam um ângulo raso, ou seja: + = 180º (2) 1 Da relação (1), sabemos que tan, ou multiplicando a tan expressão em cruz, tantan = 1 (3). Pense nos ângulos de 30º e 60º por exemplo. Da relação (2), sabemos que tan = tan (4). Pense nos ângulos de 30º e 150º, veja na calculadora se preferir. Agora substituindo (4) em (3), obtemos: tan (tan) = 1 Multiplicando a expressão por 1: tan tan = 1 Que por sua vez por (0): a s a r = 1 Eis a condição de duas retas perpendiculares, dadas as equações reduzidas das mesmas: r s a s a r = 1 Exemplos: 1. Determine se os pares de retas abaixo são perpendiculares: (a) r: y = 3x 1 s: y x (b) r: y 4 x s: y 5 4 x 1 5

16 15 2. Determine a equação da reta s, perpendicular à reta r: intersecciona o eixo oy em P(0,1). y 2x 1 3 e que 9. Distância entre ponto e reta. O menor caminho que liga um ponto a uma reta é um segmento perpendicular à reta com extremidade neste ponto. Na figura o segmento PA. Por que podemos ter certeza que este é o menor? Pois se considerarmos qualquer outro segmento que liga P à reta, por exemplo, PB, os pontos P, A e B formam um triângulo retângulo, reto em A. Assim teríamos PB a hipotenusa e PA um cateto. Sabemos que a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, logo PB > PA e assim, PA é o menor caminho possível. Como calcular a distância entre o ponto P à reta s? Com o que já construímos e estudamos, sabemos calcular distância entre dois pontos, determinar retas perpendiculares, calcular intersecção entre retas. Tudo isso seria necessário para chegar à distância desejada, seguindo o roteiro abaixo: 1 Obter r, perpendicular a s, que contenha P. 2 Determinar A, o ponto de intersecção entre as retas r e s. 3 Calcular a distância entre P e A. 4 Finalmente d(p,a) = d(p,s). Se seguirmos todos esses passos considerando a equação geral da reta s: mx + ny + k = 0 e as coordenadas do ponto P(x p,y p ), após muitas manipulações algébricas chegaremos na fórmula da distância entre ponto e reta: d(p, s) mx p ny p m² n² k

17 Exemplo: Determine a distância do ponto Q(18,0) à reta t: y x Distância entre retas. Precisamos lembrar que distância entre dois objetos quaisquer é a medida do menor caminho entre estes dois objetos. Se as retas r e s forem concorrentes ou coincidentes, já que possuem ponto de intersecção, o menor caminho que ligas estas retas é apenas um ponto, assim nestes casos, d(r,s) = 0. Resta analisar como calcular a distância entre retas, se estas forem paralelas. A distância entre as retas r e s, d(r,s), é o segmento de reta perpendicular a ambas as retas. Já que são paralelas, desde que o segmento seja perpendicular a uma, será automaticamente perpendicular à outra reta. Assim podemos escolher um ponto qualquer de uma reta e calcular a distância até a outra reta, simplesmente. Para complementar faremos esse trabalho generalizando e chegando numa fórmula direta. Como precisamos da equação geral de cada reta, sendo as duas paralelas, elas terão o formato: r: mx + ny + k r = 0 e s: mx + ny + k s = 0 Definindo um ponto de r, por exemplo: P(x p,y p ). Como é um ponto de r, satisfaz a equação de r, ou seja, mx p + ny p + k r = 0. Ou ainda: mx p + ny p = k r Agora temos que calcular a distância do ponto P à reta s. d(p, s) mx p ny p m² n² k s k r k s m² n² Portanto a distância entre duas retas paralelas, dadas suas equações gerais r: mx + ny + k r = 0 e s: mx + ny + k s = 0 é: d(r, s) k s k r m² n²

18 17 Exemplo: Determine a distância entre as retas r: 3x - 4y + 15 = 0 e s: 3x 4y 15 = Exercícios. 1- Situe no mesmo plano cartesiano os pontos A (2,0), B(2,2), C(4,0), D(0,2), E(2,4), F(1,4), G(3,2), H(4,2), I(3,4) e J(0,3). 2-6 Responda: 2. Quais são as coordenadas da origem, O, do plano cartesiano? 3. Se um ponto pertence ao III quadrante, qual o sinal da abscissa? 4. Se um ponto pertence ao eixo ox, qual o sinal da ordenada? 5. É possível uma reta ter coeficiente angular nulo? Caso afirmativo, descreva a característica geométrica da reta. Caso negativo, justifique. 6. Quais das versões abaixo são equivalentes da fórmula para o cálculo da distância entre os pontos A(x a, y a ) e B(x b, y b )? Justifique. a. d(a,b) = (xa xb)² (yb ya)² b. d(a,b) = (xb xa)² (yb ya)² c. d(a,b) = (xa ya)² (xb yb)² 7- A abscissa de P vale o dobro da ordenada de Q. Se que está acima do eixo x tanto quanto está à esquerda do eixo y e P dista 5 unidades do eixo das ordenadas, quais são as coordenadas de Q? 8 Sendo A (4,4) um ponto pertencente ao círculo de centro C(2,2), determine a medida do raio desse círculo. 9 Determine a de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São dados: A(2,5), B(2,1) e C(3,a). 10 Dados A(x,3), B(1,4) e C(5,2), obtenha x de modo que A seja equidistante de B e de C.

19 18 11 Qual o perímetro do triângulo, cujos vértices são A(1,2), B(2,6) e C(5,2)? 12 Em quais itens os pontos dados formam um triângulo? 3 a. A(0,1), B(12,4) e C 6,. 2 b. F,3 3 2, G(5,0) e H(1,0). c. P(1,3), Q(5,6) e R(9,9). 13 Sabendo que o segmento AB, define um diâmetro do círculo de centro C, determine as coordenadas deste ponto, considerando A(1,3) e B(3,5). 14 Mediana de um triângulo é o segmento que liga cada vértice ao ponto médio do lado oposto. Considere o triângulo de vértices em A(3,0), B(3,2) e C(1,4). Determine a medida das três medianas. 15- Determine as equações fundamental, geral e reduzida das retas: a. r que contém os pontos A(2,3) e B(3,5). b. s que forma ângulo de 60º com o eixo das abscissas no seu sentido positivo e passa pelo ponto C(3,-1). c. t que contém os pontos B(3,5) e C(5,5). d. u que forma ângulo de 45º com o eixo das abscissas, é decrescente e intersecciona o eixo oy em y=4. e. a que contém os pontos B(3,5) e D(3,2). 16- Quando não podemos determinar a equação de qualquer reta na forma: a. geral? b. fundamental? c. reduzida? Justifique tua resposta. 17- Determine a posição relativa entre os pares de retas indicados, diferenciando o caso perpendiculares de concorrentes e nesses casos determine o ponto de intersecção entre as retas. a. g: 2x+3y=1 e h: 3x-2y=5 b. r: y=3x-2 e s: 3x-y+8=0 c. a: y=5x+9 e b: 5x-2y+7=0 3 d. t: y x 5 e u: 3x-4y+20= Determine a equação da reta s, que é perpendicular a reta r: 3x + 7y = 9 e que passa pela origem Qual a distância entre as retas: r: 5x 3y + 15 = 0 e s: y x 5? 3

20 Calcule a medida da altura h, relativa ao lado BC, do triângulo ABC, cujos vértices são: A(5,1), B(1,5) e C(2,1). 21- No plano cartesiano, os pontos A (1,4) e B(3,6) são simétricos em relação à reta r. Qual a equação da reta r? 22- Determine as equações das retas que contém as alturas do triângulo ABC e prove que elas concorrem no mesmo ponto H, chamado de ortocentro do triângulo. Dados: A(0, -3) B(-4,0) e C(2,1). 23- Mediatriz de um segmento é uma reta que contém o ponto médio do segmento e é perpendicular a ele. Determine a reta mediatriz relativa ao segmento de extremos em A (1,4) e B(3,6). 24- Um círculo é tangente a duas retas paralelas, r: 5x + 12y = 12 e s: 5x + 12y Qual é a medida do raio do círculo? Resumo e resolução dos exercícios da lista 11 Dicas de estudo: Fase 1 Aula dada aula estudada Faça um resumo da matéria dada em cada dia de aula antes de dormir, seguindo os seguintes passos: a) Leia a matéria copiando no resumo o que ache mais importante da maneira mais sucinta possível, destacando fórmulas e em que elas se aplicam. Nunca coloque uma fórmula solta sem o significado das suas incógnitas; b) Quando a leitura chegar nos exemplos pegue uma folha em branco, tapando a resolução feita em aula e tente refazer o exemplo sem olhar. Caso não tenha conseguido, aí sim, olhe o desenvolvimento, pense na relação do conteúdo com a resolução do exemplo e tente fazer o exemplo novamente, mesmo que tenha que simplesmente copiá-lo. c) No fim da matéria dada naquele dia, observe os exercícios relacionados a ela. Marque os exercícios que tu achas que se relacionam com o conteúdo dado. d) Se tiveres tempo, no mesmo dia, comece a fazer os exercícios. Fase 2 Estudando sozinho, em outro dia da semana que não de aula. a) Releia os resumos feitos na semana (dois dias de aula, dois resumos por semana). Perceba se consegue lembrar da aula dada e todos os seus significados. b) Caso não lembre, leia a matéria dada na semana, incluindo a resolução de seus exemplos. c) Comece a fazer os exercícios. Caso não consiga, nem começar, releia o resumo e para cada item verifique se pode possuir relação com o exercício em questão. d) Caso não consigas concluir um dos exercícios, ou depois de algumas tentativas não conseguiste chegar na resposta do gabarito. Não insista. Deixe para discuti-lo com o grupo de estudo ou vá no atendimento. Fase 3 Reunião com o grupo de estudo. a) A reunião deve ser em local que ofereça poucas distrações, no máximo em quatro pessoas (mais que isso vira festa). O chimarrão é um excelente acompanhante, lembre-se chimarrão é estimulante e não engorda. b) O grupo deve ser heterogêneo no sentido de reunir pessoas com diferentes níveis de compreensão e base matemática. c) Discuta A TEORIA do conteúdo e a compreensão que cada um teve do mesmo.

21 20 d) Formule questionamentos para os outros responderem, em duas situações: para testar o nível de compreensão dos colegas com intenção de ajuda-los e quando realmente não conseguiste processar as informações oferecidas. e) Discuta os exercícios que achaste mais difíceis, incluindo àqueles que porventura não conseguiste resolver. f) Depois das reuniões semanais nos grupos de estudo, é fundamental que procures o atendimento do professor. g) Também é fundamental, consultar bibliografia complementar, entender a teoria presente nela assim como exercícios adicionais. Fase 4 - Na semana anterior as avaliações, complementar ao trabalho semanal, se tiveres seguido todos os passos anteriores, faça: a) Um novo resumo, mas agora completo, com toda a matéria que será cobrada na prova. b) Observe todos os exercícios feitos e escolha uma questão de cada conteúdo que acreditas que o professor iria cobrar na avaliação. c) Monte uma prova com estas questões, não exatamente iguais. Considere variações encontradas nas fontes bibliográficas. d) Resolva esta prova. e) Entregue a tua prova para apreciação dos colegas. f) Com algumas destas provas em mãos defina uma delas para fazer um simulado no seu grupo de estudo. Observação final. Infelizmente, se seguires todos estes passos não podemos garantir que terás um aprendizado completo, pois isto depende de muitas variáveis, incluindo saúde física, saúde mental, qualidade do ensino de matemática básica anterior, alimentação, estresse, entre outros. O que é fundamental, falando em linguagem matemática: ser necessário, mas não suficiente a VONTADE DE APRENDER! Bom estudo!

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42 41 Unidade B A Geometria Estudo das Analítica Básica Cônicas Plano Cartesiano, pontos e retas. Círculo, elipse, hipérbole e parábola. Matemática I Cálculo I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

43 Cônicas São chamadas cônicas as curvas resultantes do corte de um cone duplo com um plano. De acordo com a posição relativa do plano com a reta geratriz do cone, o corte resulta numa curva diferente. Se o plano for paralelo a base do cone, a curva gerada pela intersecção é um círculo. Se o plano corta o cone não paralelamente à base e à geratriz a curva formada é uma elipse. Desde que o plano não contenha o vértice do cone. Na verdade o círculo é um caso especial de elipse. Se o plano corta o cone perpendicularmente à base a curva gerada é uma hipérbole. Desde que o plano não contenha o vértice do cone. Se o plano corta o cone paralelamente à geratriz e obliquamente à base do cone a curva formada é uma parábola. Da mesma forma que os anteriores, o plano não pode conter o vértice do cone. 13. Estudo do círculo. y 0 Círculo é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo. Este ponto fixo é chamado de centro e qualquer segmento que liga o centro a um ponto do círculo é o raio. Para chegarmos a equação que relaciona como a variável y depende de x, suponhamos um ponto P (x,y) este ponto, representando TODOS os pontos do círculo. A distância deste ponto ao centro C(x 0,y 0) é fixa. Sabemos que: d(c,p) = r ( x x0)² (y y0)² r Elevando os dois membros da equação ao quadrado obtemos: x 0 : (x x 0 )²+(y y 0 )²=r² Considere C(x 0,y 0) e medida do raio r. Este tipo de equação do círculo é chamada de reduzida.

44 43 Exemplos: 1. Determine a equação do círculo de centro em C(3,4) e medida do raio Determine a equação do círculo, cujo gráfico é: (a) (b) 3. Verifique se as equações abaixo representam círculos, em caso afirmativo determine as coordenadas do centro e a medida do raio. (a) : (x+2)²+(y-1)²=4 (b) : (x-1)² (y-3)²=9 (c) : (x-2)³+(y-1)³=16 (d) : (x+1)²+(y+5)²=7 (e) : (x-3)²+(y-1)²+25 = 0 (f) : (x-1)²+(y-3)²= 0

45 Equação Canônica do Círculo Basta dividir a equação reduzida por r², pois o formato canônico de equações de cônicas possuem o segundo membro igual a 1. 2 (x x ) r 2 (y y0) r : Com essa equação, identificamos o centro da cônica como o ponto C(a,b) e raio r. Exemplos: Determine a equação canônica do círculo considerando que os pontos A(3,4) e B(-5,8) formam um diâmetro para este círculo. 14. Elipse Além de ser gerada pelo corte do cone duplo por um plano obliquo à base e à geratriz, a elipse tem uma propriedade geométrica importante. Uma elipse de focos F 1 e F 2 é o conjunto dos pontos P(x,y) do plano cuja soma das distâncias a F 1 e F 2 é igual a uma constante 2a positiva, maior que a distância entre os focos d(f 1,F 2)= 2c. Os pontos A 1 e A 2 são os vértices da elipse, o segmento A 1A 2 é chamado de eixo focal e d(a 1,A 2)=2a. Já o segmento B 1B 2 é chamado de eixo não focal e d(b 1,B 2)=2b, em que a²=b²+c². O centro da elipse é o ponto médio dos eixos focal e não focal. Sob a condição 0 < c < a, podemos escrever: d(f 1, P) + d(f 2, P) = 2a A primeira forma que veremos considerará um caso particular em que os focos estão no eixo ox equidistantes da origem. Assim suas coordenadas são F 1(c,0) e F 2(c,0). Manipulando algebricamente esta equação, a fim de eliminar as raízes quadradas e substituindo o fato de a² = b² + c², obtemos a forma canônica da elipse: x² y² : a² b² 1 Em que a = d(a 1,O), semieixo focal e b = d(b 1,O), semieixo não focal.

46 45 Observação: Sabemos da astronomia que a trajetória dos planetas em torno do sol é elíptica. Em que o sol ocupa o lugar de um dos focos. Exemplos: 1. Os vértices de uma elipse são os pontos (4,0) e (4,0) e seus focos são os pontos (3,0) e (3,0). Determine a equação da elipse. 2. Uma elipse tem centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal 14 é (7,0). Se a elipse passa pelo ponto P, 5, determine sua equação, seus 3 vértices e seus focos.

47 46 Podemos fazer translações horizontais e verticais alterando os eixos focais e não focais, consequentemente o centro da elipse deixa de ser a origem do sistema cartesiano. Após estas translações podemos constatar que o eixo focal continua horizontal, medindo 2a e o eixo não focal continua sendo vertical, medindo 2b. A distância entre os focos continua sendo 2c e a relação a² = b² + c² continua válida. Já as coordenadas dos focos, vértices focais e vértices não-focais alteram totalmente. Considere que as coordenadas do centro da elipse, ponto médio dos focos ou vértices, são C(x 0,y 0). Já que A 1, A 2, F 1, F 2 e C estão alinhados horizontalmente, todos estes pontos tem a mesma ordenada (coordenada y). Precisamos associar quem são as abcissas destes pontos. Analogamente B 1, B 2 e C estão alinhamos verticalmente, por isso possuem a mesma abscissa (coordenada x). Falta-nos determinar as ordenadas destes pontos. Chegamos à seguinte conclusão: Vértices focais: A 1 (x 0 a, y 0) e A 2 (x 0 + a, y 0). Vértices não-focais: B 1 (x 0, y 0 b) e B 2 (x 0, y 0 + b). Focos: F 1 (x 0 c, y 0) e F 2 (x 0 + c, y 0). Note que agora a equação canônica da elipse é: (x : x )² a² 0 (y y )² b² 0 1 Observe a semelhança com a equação canônica do círculo. Exemplo: Os focos de uma elipse são os pontos (8,3) e (2,3) e o comprimento do seu eixo focal é 8. Determine a equação da elipse e seus vértices.

48 47 Além de translações podemos fazer rotações na elipse básica (centro na origem do plano cartesiano). Rotações sob ângulos quaisquer são complicadas, fogem do nosso interesse. Agora, rotação de 90º são simples e interessantes. Com esta rotação o eixo focal torna-se vertical e o eixo não focal torna-se horizontal. Isso inverte as posições entre x e y, ou melhor, o eixo focal, cuja medida é 2a é paralelo agora ao eixo oy. O eixo não focal, cuja medida é 2b é paralelo agora ao eixo ox. Com essa inversão, lembrando que a > b, a equação da elipse fica: (x ': x )² b² 0 (y y a² 0 )² 1 Exemplo: Considere a elipse de centro no ponto (1,4), foco no ponto (1,6) e eixo não focal medindo 2. Determine as coordenadas dos vértices, do outro foco e a equação da elipse.

49 Hipérbole Além de ser o corte do plano perpendicular à base do cone duplo, a Hipérbole tem outra propriedade geométrica. Uma hipérbole de focos F 1 e F 2 é o conjunto de todos os pontos P(x,y) do plano para os quais o módulo da diferença de suas distâncias a F 1 e F 2 é igual a uma constante 2a positiva, menor que a distância entre os focos é d(f 1,F 2)= 2c. Os pontos A 1 e A 2 são os vértices da Hipérbole e A 1A 2 é chamado eixo focal. Por definição, d(a 1,A 2)=2a. Os pontos B 1 e B 2 são chamados de vértices imaginários, o segmento B 1B 2 de eixo imaginário e d(b 1,B 2)=2b, considerando: c²= a² + b². Os vértices imaginários são pensados para satisfazer essa relação e ainda estão relacionados com o coeficiente angular das retas assíntotas. A Hipérbole ainda possui um par de retas assíntotas, que são retas em que a curva se aproxima, mas nunca intersecciona, são as retas r 1 e r 2 no gráfico. O centro da Hipérbole o ponto médio do eixo focal que coincide com o ponto médio do eixo imaginário. Considerando 0 < a < c: : d(f 1,P) d(f 2,P) = 2a Para determinar a equação canônica da Hipérbole, consideraremos F 1(c,0), F 2(c,0), ou seja, pertencentes ao eixo ox, equidistantes à origem. Manipulando algebricamente esta equação, a fim de eliminar as raízes quadradas, o módulo e substituindo o fato de c² = a² + b², obtemos a forma canônica da hipérbole, centrada na origem: x² y² : 1 a² b² Observação: 1. Na forma canônica a equação das retas assíntotas são: b b r 1 : y x e r 2 : y x. Por definição uma função não intersecciona suas a a assíntotas. Resolva o sistema com as equações da hipérbole e r 1 (ou r 2 ) e verifique que o sistema é impossível. 2. Chamamos de hipérbole equilátera quando o eixo focal tem a mesma medida que o eixo imaginário. 3. A origem da hipérbole exemplifica acima é a origem do plano cartesiano.

50 49 Exemplos: 1. Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos 8,0 e 8,0. Além disso determine os vértices e os vértices imaginários. 2. Os vértices de uma hipérbole são os pontos (3,0) e (3,0) e um de seus focos é o ponto (5,0). Obtenha a equação da hipérbole, o comprimento do seu eixo focal e suas assíntotas. Se fizermos translações na hipérbole, horizontais ou verticais, a definição dos elementos desta cônica não se alteram. Por exemplo, medida do eixo focal é 2a, medida do eixo imaginário é 2b, d(f 1,F 2) = 2c, c² = a² + b², já que c > a. O que mudará? Coordenadas do centro, vértices e focos, assim como a equação canônica da hipérbole. Considerando as coordenadas do centro C(x 0,y 0), tem-se: Vértices focais: A 1 (x 0 a, y 0) e A 2 (x 0 + a, y 0). Vértices não-focais: B 1 (x 0, y 0 b) e B 2 (x 0, y 0 + b). Focos: F 1 (x 0 c, y 0) e F 2 (x 0 + c, y 0). b b r1 : y y0 (x x0) r2 : y y0 (x x0) Assíntotas: a e a.

51 50 E finalmente a equação da hipérbole, nestas condições: (x H : x )² a² 0 (y y )² b² 0 1 Exemplo: Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos, cujo módulo da diferença das distâncias aos pontos (3,1) e (7,1) é igual a 2. Determine seus elementos principais. Também podemos pensar na rotação da hipérbole por um ângulo de 90º. Os efeitos na hipérbole são semelhantes aos efeitos com a elipse. O eixo focal torna-se paralelo ao eixo oy, o eixo imaginário torna-se paralelo ao eixo ox. Observando que não há intersecção da hipérbole com o eixo imaginário o termo que fica subtraindo, com o sinal negativo é o referente à variável x, ou seja:

52 51 A equação na hipérbole neste caso é: (y H': y a² 0 )² (x x )² b² 0 1 (y 4)² (x 1)² Exemplo: Dada a equação da hipérbole H : 1, determine os 9 16 elementos principais desta cônica. 16. Parábola Além de ser originada pelo corte do cone duplo, quando o plano é paralelo a geratriz do cone, a parábola possui uma propriedade geométrica muito interessante que faz com que inúmeras aplicações do seu formato sejam utilizadas no nosso cotidiano. Assim como a antena parabólica, fornos solares, faróis de carro, etc. A propriedade que caracteriza a parábola e possibilita determinarmos a sua equação é o fato de qualquer ponto P(x,y) da parábola ser equidistante a F e a d, em que F é um ponto fixo, chamado foco, e d é uma reta fixa, chamada de reta diretriz. A reta que contém o foco F e é perpendicular à reta diretriz d é chamada reta focal. Podemos observar que a reta focal é a reta de simetria da parábola. Podemos visualizar este fato dobrando o gráfico da parábola na reta focal, os lados da parábola se sobreporão.

53 52 O ponto V, intersecção da parábola com a reta foca é chamado de vértice da parábola. Também é o ponto da parábola mais próximo da reta diretriz. A característica da equidistância nos possibilita obter a equação da parábola. : d(p,f)= d(p,d) Considerando a diretriz uma reta vertical, ou seja, d: x + p = 0 à esquerda do foco, F(p,0), pertencente ao eixo ox e manipulando algebricamente a igualdade acima, obtemos: : : y² = 4px Observação: A propriedade que se refere a ampla aplicabilidade do formato parabólico é o fato de feixes perpendiculares à diretriz da parábola serem refletidos pela superfície parabólica e incidirem num único ponto: o foco da parábola. Isso permite converter sinais fracos de tv, por exemplo, em um sinal de boa qualidade, colocando no foco da antena parabólica um receptor adequado. Exemplos: 1. Determine a equação da parábola, cuja diretriz é horizontal e o foco encontra-se no eixo oy, acima da diretriz. 2. Determine a equação da parábola P com vértice V na origem, cujo foco é o ponto: (a) F (3, 0).

54 53 (b) F (0,2). Dando mais ênfase às parábolas, cujas diretrizes são verticais, podemos assim como na elipse e na hipérbole, observar como as translações modificam o formato da equação desta cônica. Consideramos então que o vértice não é mais a origem, nem o foco está necessariamente no eixo ox. Considerando que o vértice é o ponto V(x 0,y 0) e a reta diretriz é d: x x 0 p = 0, obtém-se a equação da parábola: P: (y y 0 )²= 4p(x-x 0 ) diretriz fica à direita do foco. Na equação o sinal fica positivo se a diretriz fica à esquerda do foco e o sinal fica negativo se a Exemplo: Determine a equação da parábola, cuja reta diretriz possui equação x 9 = 0 e o vértice tem coordenadas V(4,1). Se analogamente ao que fizemos com a elipse e a hipérbole estudarmos a rotação das parábolas num ângulo de 90º teremos parábolas com a concavidade para cima ou para baixo, dessa forma estas cônicas serão os gráficos das funções quadráticas, às quais estudaremos mais profundamente na unidade E.

55 Exercícios. 1- Qual a equação do círculo que tem centro em (1,5) e raio de medida 11? 2- Determine a equação da reta s que passa pelo centro do círculo de equação : (x - 2) 2 + (y - 2) 2 = 2 e é paralela à reta de equação r: 3x + y 1 = Considere o quadrado circunscrito ao círculo de equação :(x- 3) 2 +(y-2) 2 = 1. Determine a medida da diagonal do quadrado. 4- Dadas as equações de hipérboles abaixo, determine vértices, vértices imaginários, focos e assíntotas: x² y² (a) : (b) : 36x² - 49y² = Obtenha a equação da parábola, cuja diretriz é d: x = 0 e foco F(4,0). 6- Obtenha as coordenadas do foco, F, vértice V e equação diretriz da parábola de equação. : x² = 32y. 7- Dadas as equações de elipses abaixo, determine vértices, pontos que definem o eixo não focal e focos: x² y² (a) : (b) : 36x² + 49y² = Determine a equação da elipse centrada na origem que possui a medida do eixo focal 10 e medida do eixo não focal Determine a equação da hipérbole centrada na origem com um vértice em (3,0) e um foco em (4,0). 10- Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,-1), com foco no ponto (2,-1) e que passa pelo ponto (2,1). 11- Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,2), com um vértice focal no ponto (3,2), cuja razão entre c e a, chamada de excentricidade das cônicas, é ½. 12- Considere a elipse de centro no ponto (1,1), foco no ponto (1,3) e excentricidade 3 5. Determine as coordenadas dos vértices, do outro foco e a equação desta elipse. 13- Obtenha o lugar geométrico dos pontos, cujo módulo da soma das distâncias aos pontos (3,1) e (7,1) é igual a Determine os elementos principais da cônica dada sua equação: (x 1)² (y 3)² Determine a equação da hipérbole de centro no ponto (3,3), um vértice no 2 ponto (3,0) e assíntota de equação y x 1. 3

56 Determine a equação da parábola que possui vértice no ponto V(-1,4) e diretriz de equação x 8 = Determine a equação da parábola que possui foco no ponto F(3,1) e reta diretriz de equação x + 4 = 0. Resumo e resolução dos exercícios do item 17.

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70 Respostas dos exercícios item O(0,0) 3. Negativo. 4. Nulo. 5. Sim, a reta é paralela ao eixo ox. 6. a. Sim. O que poderia diferir é o sinal de dentro dos parênteses, mas elevado ao quadrado o resultado é o mesmo. b. Sim. Idem ao anterior. c. Não. Deduzimos a fórmula da distância do Teorema de Pitágoras, assim o que está entre parênteses deveriam ser os catetos, o que não é o caso. 7- Q 5 5, a= 3 10 x = (a)não (b)(c) sim 13 C(1,4) 14 10, 5, 5 15 a. Reduzida: y=2x 1 Fundamental: y 3= 2(x - 2) Geral: 2x y - 1 = 0 b. Fundamental: y 1 3(x 3), geral: 3x y , reduzida: y 3x (c) fundamental: y 5 = 0(x 3), geral: y 5 = 0, reduzida: y = 5 (d) fundamental: y 4 = -1(x 0), geral: x + y 4 = 0, reduzida: y = -x + 4 (e) só existe geral: x 3 = (a) Não possui restrição. (b) A reta não pode ser vertical, pois a = tan e tan90º não existe. (c) A reta não pode ser vertical, pelo mesmo motivo anterior, pelo coeficiente angular e o coeficiente linear que é a intersecção da reta com o eixo oy não existe, já que uma reta vertical não intersecciona o eixo oy (a) Perpendiculares. P, (b) Paralelas.

71 70 (c) Concorrentes. P (d) Coincidentes. 18- s: 7x 3y = 0 11, m: y 5 = 2(x 1) 22-4x-3y-5=0, 6x+y+3=0 e x+2y+4=0. H(0,1). 23- m: y 5 = 2(x 1) r = 13 Respostas dos exercícios item : (x-1)² + (y + 5)²= s: y 2 = 3(x 2) (a) A 1(4,0) e A 2(4,0). B 1(0,3) e B 2(0,3). F 1(5,0) e F 2(5,0). r 1: 3x + 4y = 0 e r 2: 3x 4y = (b) A 1, 0 e A 2,0. B 1 0, e B 2 0, r 1: 6x + 7y = 0 e r 2: 6x 7y = : y² = 8x V(0,0), F(0,8), d: y + 8 = F 1, 0 e F 2, (a)a 1(-4,0) e A 2(4,0). B 1 (0,3) e B 2(0,3). F 1 7,0 e 7,0 (b) A 1, 0 e A 2,0. B 1 0, e B 2 0, x² y² 8- : x² y² 9- : (x 1)² (y 1)² 10- : (x 1)² (y 2)² 11- : F 1, 0 e 42 F F 2,0. 42

72 (x 1)² (y 1)² : 1, F 1(1,-1), A , 1, A 2 1, 1, 5 B 4 1, 1 e B 2 1, 1 5 (x 5)² (y 1)² 13- : C(-1,3), A 1(-3,3), A 2(1,3), B 1(-1,-2), B 2(-1,8), F , , 3, r 1: 5x + 2y 1 = 0 e r 2: 5x 2y + 11 = 0. F 2 (y 3)² (x 3)² 15- : P:(y-4)² = -36(x+1) 17- P: y² - 14x - 2y = 6 e

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