ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS

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1 + ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS

2 + INTRODUÇÃO n Ao final do séclo XIX, após o estabelecimento das bases matemáticas da teoria de matries, foi obserado pelos matemáticos qe árias entidades matemáticas qe eram tratadas de forma diferentes possíam propriedades semelhantes, motiando-os a criarem ma teoria qe iabiliasse m tratamento niforme a tais entidades. n Como eemplo, etores pertencentes ao R 2 e ao R 3, fnções polinomiais e fnções diferenciáeis apresentam as mesmas propriedades de adição e da mltiplicação por escalar, obseradas para o caso matricial. n Tal constatação de origem à definição de Espaço Vetorial.

3 + INTRODUÇÃO n Sabe-se qe o conjnto: n É interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano. Um par (, ) pode ser m ponto, onde e são coordenadas, o pode ser encarado como m etor, onde e são componentes (o coordenadas). n Essa mesma ideia, estende-se para espaço tridimensional R 3, e para espaços speriores, R 4, R 5,, R n. n Assim qádrplas de números ( 1, 2, 3, 4 ) pode ser istas como pontos o etores no espaço R 4 de qarta dimensão.

4 Introdção Antes de definir espaço etorial amos reescreer os etores no espaço em notação matricial. Dado m ponto P(,,) no espaço associado a m etor pode ser escrito da seginte forma. E.: P(2,4,3) P(,, ) 0 V é m conjnto no espaço. V {( i R R R R 1, 2, 3) / R} 3

5 Desta forma: Vetor nlo no espaço R 3 Vetor oposto em R 3 Operações com etores no espaço VR 3 Dados: e Soma:

6 Prodto de m etor com m escalar: Eemplo: + k k k k Eemplo: k k 2

7 INTRODUÇÃO Vetores no R n Representação: ( 1, 2, 3,..., n ) Operações ( 1, 2, 3,..., n ), n (,,,..., ) R e k R n Adição: + (,,,..., ) + (,,,..., ) n ( +, +, +,..., + ) n n n Mltiplicação por escalar: k k(,,,..., ) ( k, k, k,..., k ) n n

8 Espaço Vetorial Definição: Espaço etorial é m conjnto V, não aio, qal estão definidas das operações: V, no Soma: Mltiplicação por escalar:, V > + V V, k R > k V O Conjnto V com essas das operações é chamado espaço etorial real (o espaço etorial sobre R) se forem erificados os segintes aiomas...

9 Espaço Vetorial AXIOMAS: A) Em relação a adição: A1) Associatia: A2) Comtatia: A3) Elemento Netro: A4) Elemento Oposto: ( ) ( ) w,, V, + + w + + w, V, V V, ( ) V ( ) ( ) 0 V + +

10 Espaço Vetorial AXIOMAS: M) Em relação a Mltiplicação por Escalar: M1) M2) M3) M4) αβ, R, V α β αβ ( ) ( ) αβ, R, V α+ β α+ β ( ) α R,, V α + α+ α 1 R V 1( ) ( )!, "V e!!,! " R

11 Espaço Vetorial n Obserações: 1. Os elementos do conjnto dos reais são chamados ESCALARES. 2. Os elementos do Espaço Vetorial são chamados VETORES. 3. Nesta disciplina estaremos sempre trabalhando com Espaços Vetoriais Reais.

12 Sbespaço Vetorial 12 Sejam V m espaço etorial e S m sbconjnto não-aio de V. O sbconjnto S é m sbespaço etorial de V se S é m espaço etorial em relação à adição e à mltiplicação por escalar definidas em V. Teorema: Um sbconjnto S, não-aio, de m espaço etorial V é m sbespaço etorial de V se estierem satisfeitas as condições: I) Para qaisqer, S, tem-se: + S II) Para qaisqer α R, S, tem-se: α S

13 + Eemplos n 1) Sejam V R 2 e S {(, ) R 2 / 2} o S {(, 2); R}, isto é, S é o conjnto dos etores do plano qe têm a segnda componente igal ao dobro da primeira. Verifiqe se S é sbespaço etorial de R 2. n Eidentemente, S Ø, pois (0, 0) S n Verifiqemos as condições ( I ) e ( II )

14 + Eemplos n Esse sbespaço S representa geometricamente ma reta qe passa pela origem Obseremos qe ao tomarmos dois etores e da mesma reta, o etor soma + ainda pertence a reta. E se mltiplicamos m etor da reta por m número a, a 0, o etor a ainda estará na reta.

15 + Eemplos n 2) Sejam V R 2 e S {(, 4 2); R}. Verifiqe se S é sbespaço etorial de R 2. Solção: n Se escolhermos os etores: (1,2) S e (2, 0) S n Tem-se: n I ) + (1, 2) + (2, 0) (3, 2) n II ) α α (1, 2) (α, 2α)! S, para α 1! S Portanto, S não é sbespaço etorial de R 2

16 + Obseração Após estes dois eemplos de retas sgerem: n Para qalqer sbconjnto S de m espaço etorial V, qe: sempre qe o 0! S, S não é sbespaço de V. n No entanto, não nos enganemos pensando qe, se 0 S, S é sbespaço, pois podemos ter 0 S sem qe S seja sbespaço. É o caso do sbconjnto: S {(, ); R} R 2! n Obseremos qe (0, 0) S e qe, se tomarmos os etores (3, 3) e ( 2, 2) de S, teremos: n I ) + (3, 3) + ( 2, 2) (1, 5)! S! n II ) α S, para α < 0 Portanto, S não é sbespaço etorial de R 2

17 Definição: Sejam os etores 1, 2,, Qalqer etor V da forma: Combinação Linear n V a + a + + é ma combinação linear dos etores: 1, 2,, E: e os escalares a n n n V a, a2,, 1 a n R³ 2 i + 4 j + 3k i k j

18 + Eemplos n 1) No espaço etorial P 2 dos polinômios de gra 2, o polinômio é ma combinação linear dos polinômios: e n Se é ma combinação linear, então: n V a a 2 2, encontrar a 1 e a 2 n a 1 ( ) + a 2 ( ) n 5a 1 2a 2 7 n 3a 1 + 5a 2 11 n 2a 1 8a 2 26 n Logo: a 1 3 e a 2 4 n

19 + Eemplos n 2) Para os problemas abaio, consideremos R 3, os segintes etores: 1 (1, 3, 2) e 2 (2, 4, 1) n A ) Escreer o etor ( 4, 18, 7) como combinação linear dos etores 1 e 2. n Resposta: n B ) Mostrar qe o etor (4, 3, 6) não é combinação linear dos etores 1 e 2. n Resposta: não é combinação linear de 1 e 2.

20 + Bibliografias n STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Palo, 1987; n BOLDRINI, J.L., COSTA, Seli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lcia, Wetler, Henr G. Álgebra linear 3a edição Ed. Harbra São Palo SP n STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra Linear, Makron Books, São Palo, 1987; n KOLMAN, Bernard. Introdção à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.