INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática Unesp/Bauru CAPÍTULO 5 MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE

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1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r AÍTUO ATRIZ DE UDANÇA DE ASE oforme se esbelee o pílo om exeção o espço lo V { qe ão possi bse oos os emis espços eoriis possem ifiis bses Um ez qe exisem ifiis bses pzes e gerr o mesmo espço eoril poe-se pesr qe els ehm lgo em omm be ssim o segie qesiomeo: omo relior os eores e m bse om os eores e m bse? Ai o pílo i-se qe é possíel eermir s oores e m o eor em iferees bses e qe embor esss oores sejm expresss e forms iferees els represem o mesmo eor Se por exemplo [ ] são s oores e m eor em relção à bse e [ ] são s oores e em relção à bse perg-se: é possíel prir e [ ] ober [ ] e ie-ers? Ver-se-á ese pílo qe iso é possíel; resslse i qe em mis plições práis é eessário pssr e m sisem e oores pr oro o qe é feio rés e m mriz e mç e oores Exemplo: osierem-se o espço eoril rel r r i j { em relção à bse ôi ( ) ( ) oores em relção à bse ôi são [ ] r r { f ( ) f ( ) R e o eor ( 6) é 6 ( ) ( ) A represeção e e poro ss 6 osiere-se gor bse ; pr eermir s oores o eor r em relção ess bse esree-se omo ombição lier os eores e : ( ) ( ) b( ( ) ( b b) 6 e oe se sege qe: 6 b b e poro e b ogo s oores e em relção à bse são [ ] É possíel ierprer geomerimee esses reslos Qo se osier o espço R om bse ôi represeção geoméri esse espço é o sisem e oores ireção o eor ( ) e o eixo eril Oy em ireção o eor ( ) resis orogois slmee esigo por plo Oxy O eixo horizol Ox em r r i j N Figr 8 êse represeção geoméri os eores bse e o eor osierr m o bse sigifi osierr m oo sisem e oores qe será iio por O x y jos eixos êm ireção os eores f r r ( ) e f ( )

2 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r respeimee Represeo-se geomerimee esses oos eixos o mesmo sisem e oores Oxy ê-se qe o sisem O x y esá roioo em relção o sisem Oxy Ereo é lro qe iepeeemee o sisem osiero (o sej iepeeemee bse osier) represeção geoméri e é mesm FIGURA 8 osiero-se expressão o eor esrio omo ombição lier os eores bse o sej 6 ( ) ( ) ê-se qe o sego membro poe ser expresso eqileemee omo m proo e mrizes: 6 Obsere-se qe os eores bse osiem s ols mriz ; hmo e ess mriz o sej esreeo bse form mriil esree-se simbolimee: [ ] osiero-se gor expressão o eor esrio omo ombição lier os eores bse o sej ( ) ( ) ê-se qe o sego membro poe ser expresso eqileemee omo m proo e mrizes: Obsere-se qe os eores bse osiem s ols mriz ; hmo e

3 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r ess mriz o sej esreeo bse form mriil simbolimee: [ ] esree-se oforme se i o eor em oores iferees qo se osierm bses iferees o R ; esse fo le às qesões: omo ober [ ] 6 e prir e [ ] 6 omo ober [ ] prir [ ]? Esss qesões são eqilees à segie qesão: ql é relção ere s bses e? Um ez qe o qo germ o R pois são bses esper-se qe hj m relção ere els De fo poe-se erifir qe s mrizes e são eqilees iso é poe-se ober m els prir or ilizo-se s operções elemeres om s fils (lihs o ols) e m els omo se mosr segir: osr-se gor omo mr e m bse pr or mriilmee osierem-se m espço eoril V sobre m orpo K e s e ss bses: { e { Um ez qe ger o espço V m os eores bse poe ser esrio omo ombição lier os eores bse Eão exisem eslres S: ij K is qe: A mriz e orem osií os eslres ij iso é: é hm e mriz mç bse pr bse Noção: [ ] Obserções: ) As ols mriz são osiís s oores e eor ( i ) bse em relção à bse o sej: i

4 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r [ ] [ ] [ ] ) A mriz mç e bse é sempre m mriz qr pois s bses e êm mesm qie e eores Além isso omo eor bse se esree e meir úi omo ombição lier os eores bse e esss oores formm m ojo e eores I o eermie mriz é iferee e zero e poro el é iersíel ) A oção [ ] ii mriz mç bse pr bse ; ereo resslse qe são os eores bse qe são esrios omo ombição lier os eores bse ) Esreeo-se mriz os oefiiees o sisem lier S iso é: ê-se qe mriz mç e bse é s rspos ) É lro qe se poe osierr mbém mriz e mç bse pr bse r isso bs esreer eor bse omo ombição lier os eores bse e osierr mriz js ols são osiís pels oores os eores bse em relção à bse Nesse so ober-se-i mriz Q [ ] Exemplo: Sejm { ( ) ( ) e { ( ) ( ) espço eoril rel R () Deermir mriz e mç bse pr bse (b) Deermir mriz Q e mç bse pr bse () Qe olsões se obêm prir os proos s bses o Q e Q? () r eermir [ ] esreem-se os eores bse omo ombição lier os eores bse iso é: ( ) ( ) b( ) ( ) ( b) e oe se sege qe: b o sej e ( ) ( ) ( ) b ogo o eor ( ) bse se esree:

5 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r iso é ss oores em relção à bse são: [ ] osiero-se gor o eor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Eão: e oe se obém: e ( ) ( ) ( ) em-se: ogo o eor ( ) o sej ss oores em relção à bse são: [ ] O sisem lier S é eão: bse se esree: S : e poro mriz os oefiiees é: A mriz é rspos ess mriz; ss ols são forms pels oores e e em relção à bse : [ ] (b) Qer-se gor eermir mriz Q [ ] r isso esreem-se os eores bse omo ombição lier os eores bse Tem-se: ( ) ( ) b( ) ( ) ( b b) e oe em qe: b ; b eão: e b ogo o eor ( ) bse se esree: ( ) ( ) ( ) iso é ss oores em relção à bse são: [ ] or oro lo em-se:

6 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o sej em-se o sisem lier: e oe se obém: e ogo o eor ( ) bse se esree: ( ) ( ) ( ) o sej ss oores em relção à bse são: [ ] O sisem lier S é eão: : S e poro mriz os oefiiees é: A mriz Q é rspos ess mriz; ss ols são forms pels oores e e em relção à bse : [ ] Q () Efeo-se os proos soliios êm-se: Q e Q oli-se ssim qe s mrizes e Q são ierss ere si o sej [ ] [ ] ( ) e [ ] [ ] ( ) Teorem: Sejm: V m espço eoril e imesão ; e s bses e V; mriz e

7 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r mç bse pr Eão: () (b) ( ) Demosrção: () Hipóeses: { e { são bses o espço eoril V; é mriz e mç bse pr bse Tese: Esreeo-se os eores bse omo ombição lier os eores bse obém-se o sisem lier: S: oro por efiição mriz e mç bse pr bse é: A form mriil o sisem é: Vê-se ssim qe mriz os oefiiees o sisem é rspos e Se s bses e forem esris form e mrizes-ols iso é e oli-se qe (b) Hipóeses: { e { mriz e mç bse pr bse Tese: ( ) De () em-se qe rspos ( ) poe-se esreer: são bses o espço eoril V; é ; seo mriz iersíel poe-se eermir e s Um ez qe por propriee e mrizes em-se qe ( ) ( )

8 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r ( ) ( ) o sej ( ) I oe I é mriz ieie e orem ogo em: ( ) Exemplo: osiero-se omee o espço eoril rel R om s bses ( ) ( ) { e ( ) ( ) { poe-se erifir os reslos preseos o eorem erior () Do eseolimeo feio eriormee em-se mriz e mç bse pr bse : ; s rspos é: Esree-se mriz segie meir: ª lih olom-se s oores o eor e ª lih s oores o eor Efeo-se o proo em: Obser-se qe ª lih e oém s oores o eor e ª s oores o eor osro-se ssim qe (b) r mosrr qe ( ) ll-se mriz iers e : b b b e b b Resoleo os sisems lieres obém-se solção: b ; ssim oli-se qe mriz iers e é:

9 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r ( ) Efeo-se gor o proo ( ) em: ( ) o qe mosr o reslo o eorem Teorem: Sejm: V m espço eoril e e D rês e ss bses Se e mç bse pr e mriz [ ] é mriz Q [ ] D é mriz e mç bse pr D eão R [ ] D e mç bse pr bse D é igl o proo s mrizes e Q R Q iso é [ ] [ ] D Demosrção: Hipóeses: e D são bses e m espço eoril V; [ ] Q [ ] D e [ ] D R são mrizes e mç e bse Tese: R Q elo eorem erior em-se: D Q e D R Eão em: D Q Q ; or propriee e mrizes rsposs em-se qe: ( Q) D omo D R oli-se qe R Q o sej mriz e mç bse pr bse D é: [ ] [ ] D R Q Teorem: Sejm: V m espço eoril e e s e ss bses Se mç bse pr e é m elemeo qlqer e V eão: () [ ] (b) [ ] [ ] Demosrção: [ ] [ ] é mriz e () Hipóeses: e são bses e m espço eoril V; [ ] é mriz e mç bse pr bse ; é m elemeo geério e V

10 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r Tese: [ ] [ ] Sejm { e { s bses osiers Eão os eores bse poem ser esrios omo ombição lier os eores bse iso é exisem eslres ( ) j i ij is qe: : S oro por efiição mriz mç bse pr bse é osiero-se m eor e V ese se esree omo ombição lier os eores s bses e : e Assim êm-se ss oores em relção m s bses: [ ] [ ] Iglo-se s s expressões e em: Sbsiio-se o sego membro ess eqção s expressões os eores ( ) i i qe osm o sisem S obém-se: ( ) ( ) ( ) o sej ( ) ( ) ( ) Um ez qe eor se esree e meir úi omo ombição lier os eores e m mesm bse sege-se qe: ; form mriil esse sisem é:

11 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r oro [ ] [ ] (b) Hipóeses: e são bses e m espço eoril V; [ ] é mriz e mç bse pr bse ; é m elemeo geério e V Tese: [ ] [ ] Sbe-se qe mriz é iersíel e o iem () em-se qe [ ] [ ] Eão mliplio-se mbos os membros ess expressão pel mriz obém-se: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] I oli-se ssim qe [ ] [ ] Exemplos: ) Sejm: ( ) R o espço eoril rel os poliômios e gr meor o igl ; { m bse esse espço; mriz mç bse pr bse Deermir bse Seo em-se qe ( ) Sbe-se qe [ ] A mriz em omo lihs s oores os eores bse qe esse so são os oefiiees os poliômios qe ompõem iso é: Eão: o sej os eores bse são: ( ) e ( ) Um ez qe s oores os eores são os oefiiees os poliômios qe ompõem bse em-se: { qe é bse ôi e ( ) R Ess é form mis simples e ober bse ; poer-se-i ê-l eoro rés mriz e mç bse pr bse omo sege r isso esree-se eor bse

12 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r omo ombição lier os eores bse Tomo-se omo seo { b b em-se eão: o sej ( ) ( b b) ( ) ( b b ) ( b ) ( b ) e oe se obêm os sisems lieres e b b Assim êm-se s solções: b e e ( ) oro bse é: { b iso é obêm-se os eores ( ) ) Sejm: {( ) ( ) m bse o espço eoril rel R e mriz e mç bse pr m bse Deermir s oores o eor ( ) em relção à bse oforme reslo erior em-se: [ ] [ ] Assim é preiso eermir s oores e em relção à bse e mriz iers e Esreeo o eor omo ombição lier os eores e em: ( ) ( ) b( ) ( b b) ; Eão: b b e oe se obêm: e b Assim s oores e em relção à bse são: [ ] Uso-se qlqer m os méoos isos eriormee ll-se iers mriz obeo-se: Assim: [ ] 9 De moo álogo o exemplo erior poer-se-i eermir s oores e em

13 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r relção à bse rés efiição mriz e mç bse e pr osiero-se bse omo seo: {( b) ( ) ( b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) em-se: e oe se obêm os eores ( ) e ( ) Assim {( ) ( ) s oores o eor ( ) em relção à bse : ( ) ( ) ( ) ( ) qe le o sisem lier: j solção é 9 e oro em-se: [ ] Deermim-se gor 9 Exeríios roposos ) Sejm: {( ) ( ) {( ) ( ) e D rês bse o espço eoril rel R ; Q mriz e mç bse pr bse D Deermir mriz e mç bse pr bse D e bse D R: [ ] D ; D {( ) ( 9 6) 6 ) Deermir mriz e mç bse { pr bse { R: [ ] 7 ) Sejm: bse ôi o espço ( R) e A m elemeo esse espço 8 Sbeo qe mriz e mç pr bse é oores e A em relção à bse e bse R: [ ] 7 A ; eermir s

14 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁGERA INERAR iz Friso rz Deprmeo e emái Uesp/r ) osierem-se o R s bses { ee e e { gg g relios segie form: g g g e e e e e e e e Sbeo qe [ ] são s oores o eor em relção à bse eermir [ ] R: [ ] ) Ds s bses {( ) ( ) ( ) e {( )( ) ( ) erifir qe mriz e mç bse pr bse poe ser eermi por [ ] [ ]