DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
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- Lucca João Vítor Graça Bergmann
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1 FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Camus de Lhaguee, Av. de Moçambique, km 1, Tel: , Fax: , Mauto Cursos de Liceciatura em Esio de Matemática e de EGI Teoria de Probabilidade AULA I: Aálise Combiatória: Diagrama de Árvore, Pricíio fudametal de cotagem, oção de factorial de um úmero, Arrajos simles e comletos de elemetos a, ermutações simles, ermutações circulares. RESUMO TEÓRICO Diagrama de Árvore O DIAGRAMA DE ÁRVORE é um modo simles de fazer a cotagem do úmero de resultados ossíveis de uma exeriêcia. É um método de cotagem com eumeração, e or isso, trabalhoso caso a exeriêcia seja comlexa. Cosidere-se uma exeriêcia que ode ser vista como sedo uma sucessão de exeriêcias mais simles. Etão, elabora-se um diagrama de árvore do seguite modo: a rimeira colua registam-se os resultados ossíveis da rimeira exeriêcia, deois, ara cada um destes resultados ossíveis, registam-se uma seguda colua, os ossíveis resultados da seguda exeriêcia e, assim, sucessivamete, até terem sido cosiderados todas exeriêcias que, o seu cojuto formam a exeriêcia origial. O úmero de ramos termiais existetes a árvore é o úmero de resultados ossíveis da exeriêcia; ercorredo a árvore, sabe-se quais são esses resultados ossíveis. Pricíio Fudametal de cotagem Cosidere uma exeriêcia comlexa, da qual se retede determiar o úmero de resultados ossíveis. Suoha que essa exeriêcia ossa ser vista como uma sucessão ordeada de k exeriêcias mais simles, E1, E2,..., E k. Seja i o úmero de resultados ossíveis da exeriêcia E i, i 1,2,..., k. Etão, o úmero total de resultados ossíveis da exeriêcia origial é k i. i 1 k
2 Factorial de um úmero (!) Dado um úmero atural, defie-se o seu factorial (!) como o roduto dos rimeiros úmeros aturais.! ( 1) ( 2) Por coveção, tem-se 0!=1. Arrajos simles de elemetos a ( A ) Cosidere-se um cojuto com elemetos e suoha-se que se retede formar-se uma sequêcia com elemetos (uma sequêcia é um subcojuto que difere de um outro quer ela atureza dos elemetos que o formam, quer ela ordem em que os elemetos são colocados). Suõe-se, aida, que ão é ermitida a reetição de elemetos a sequêcia. Nestas codições, o úmero de formas distitas de criar tais sequêcias é dado elos arrajos simles de elemetos a, usualmete reresetados or A ( 1) ( 2)... ( ( 1)). (Produto de elemetos a artir de )! A ;, N, ( )! Arrajos Comletos de elemetos a (arrajos com reosição ou reetição ( A.) Suoha que de um cojuto com elemetos retede-se formar uma sequêcia com desses elemetos, sedo ossível a reetição de elemetos a sequêcia. Nestas codições, o úmero de formas ossíveis de criar tal sequêcia é dado elos arrajos comletos de elemetos a. ( A ). Permutações simles de elemetos ( P ) As ermutações simles de elemetos são arrajos simles de elemetos, a. P A! Permutações comletas de elemetos ( ) As ermutações comletas de elemetos, ão são mais que os arrajos comletos de elemetos a. A Permutações circulares de elemetos ( C ) As ermutações circulares de elemetos cotam o úmero de formas de ordear elemetos em círculo. Neste caso, o úmero de maeiras diferetes de fazer a ordeação é dado elas ermutações circulares de elemetos C ( 1)! A.
3 CONTACTO 1. Cosidere a exeriêcia de laçar uma moeda três vezes. a) Costrua um diagrama de árvore ara esta exeriêcia. b) Liste todos os ossíveis resultados. 2. Para itar a badeira abaixo, há 4 cores disoíveis. De quatos modos ela ode ser itada de modo que faixas adjacetes teham cores distitas? (sol:36) 3. Um suermercado utiliza códigos ara todos os seus rodutos. Os códigos são costruídos do seguite modo: uma letra do alfabeto, seguida de três algarismos, sedo o rimeiro diferete de zero, seguidos or duas letras distitas e diferetes da rimeira; o fim do código é aida utilizado um dos algarismos 1, 2 ou 3, cosoate o escalão do imosto a que o roduto está sujeito. Quatos códigos diferetes ode o suermercado criar ara os seus rodutos. ( ) 4. Quatas alavras com ou sem sigificado odem formar-se com todas as letras da alavra VIDA? (24) 5. Cico estradas coduzem ao cimo de uma motaha. De quatas maeiras diferetes ode um turista subir e descer a motaha? Qual a resosta se o turista ão quiser assar duas vezes elo mesmo camiho? (24,20) 6. Quatos são os úmeros de três algarismos distitos? (sol:648) 7. Num casameto, de quatas formas ode o fotógrafo colocar seis essoas uma liha, sabedo que estão quareta essoas o casameto, icluido os oivos, se: a) Escolhem-se seis essoas ao acaso; ( ) b) a oiva deve ficar a fotografia; ( ) c) os oivos devem ficar a fotografia; ( ) d) aeas um dos oivos deve ficar a fotografia. ( ) 8. De quatas formas diferetes 4 criaças odem ocuar os 4 lugares ao redor de uma mesa circular? (6)
4 ESTUDO 1. Um gruo de 4 aluos (Alice, Berardo, Carolia e Daiel) tem que escolher um líder e um vice-líder ara um debate. a) Faça uma lista de todas as ossíveis escolhas (use a iicial de cada ome, ara facilitar). Orgaize a sua lista do seguite modo: rimeiro, escreva todas as ossibilidades em que Alice é a residete, deois aquelas em que Berardo é residete, e assim or diate. b) Cote o úmero de ossíveis escolhas e verifique que o Pricíio Multilicativo forece a mesma resosta. 2. Um restaurate ossui um cardáio que areseta escolhas de saladas (salada verde, salada russa ou salicão), soas (caldo verde, caja ou de legumes) e ratos riciais (bife com fritas, eixe com uré, frago com legumes ou lasaha). a) De quatos modos se ode escolher um rato deste cardáio? (sol:10) b) De quatos modos se ode escolher uma refeição comleta, formada or uma salada, uma soa e um rato ricial? (sol:36) 3. Cada dígito de uma calculadora é mostrado o visor acededo filametos disostos como mostra a figura a seguir. Quatos símbolos diferetes odem ser reresetados? (Não iclua o caso em que ehum filameto é aceso.) (127) 4. Quatas são as resostas ossíveis de um teste de 10 questões de múltila-escolha, com 5 alterativas or questão? Em quatas destas a letra A aarece exactamete uma vez? Em quatos a letra A ão aarece? (sol: , , ) 5. Liste todos os subcojutos de {1, 2,3}. Quatos são eles? De modo geral, quatos são os subcojutos de um cojuto que tem elemetos? 6. Quatos são os iteiros ositivos de 4 algarismos os quais o algarismo 5 figura? (sol: 3168)
5 7. Tedo 4 cores disoíveis, de quatos modos se ode itar uma badeira com 3 listras, tedo listras adjacetes de cores distitas? Um aluo deu a seguite solução: Primeiro, eu vou itar as listras extremas; ara cada uma, eu teho 4 ossibilidades de escolha. Deois, eu ito a listra cetral; como ela tem que ter cor diferete das duas vizihas, eu osso escolher sua cor de aeas 2 modos. Logo, o úmero total de modos de itar a badeira e = 32. A solução está certa ou errada? Se estiver errada, ode está o erro? 8. Com 5 homes e 5 mulheres, de quatos modos se ode formar um casal? Este roblema foi resolvido or um aluo do modo a seguir: A rimeira essoa do casal ode ser escolhida de 10 modos, ois ela ode ser homem ou mulher. Escolhida a rimeira essoa, a seguda essoa só oderá ser escolhida de 5 modos, ois deve ser de sexo diferete do da rimeira essoa. Há ortato 10 5 = 50 modos de formar um casal. A solução está certa ou errada? Se estiver errada, ode está o erro? 9. O cadeado de um cofre usa um mostrador umérico com 20 Números. Este mostrador deve ser girado ara esquerda até um certo úmero, deois ara a direita e deois ara a esquerda ovamete. A chave umérica deste cadeado é formada, ortato, or 3 úmeros. Quatas combiações existem o total? (8000, ermitido reetições do mesmo úmero; 6840 caso ão se ermita reetições) 10. A fial de um cameoato de futebol termia ematada e deve ir ara disuta de ealidades. Um técico deve seleccioar 5 jogadores, detro do cojuto de 10 jogadores em camo, ara marcar as ealidades. O técico deve também decidir a ordem em que as ealidades serão cobradas. De quatas maeiras ele ode fazer a escolha? (30240) 11. De quatas formas diferetes se odem setar 12 essoas uma mesa redoda? ( ) DESAFIO 1. Uma exeriêcia de laboratório cosiste em colocar um rato o quadrado A do equeo labirito da figura a seguir e ver os camihos que ele escolhe ara chegar ao quadrado B, ode há comida. Os quadrados têm equeas ortas que ermitem ao rato adar ara cima ou ara a direita somete. Quatos camihos ossíveis existem? (20)
6 2. Delegados de 10 aíses devem setar em 10 cadeiras disostas uma fila. De quatos modos isso ode ser feito se delegados do Brasil e de Portugal devem setar lado a lado e delegados de Estados Uidos e Iraque ão se odem setar lado a lado? (564480) 3. No jogo de totobola, uma cartela é costituída or 13 jogos de futebol. Em cada cartela, o aostador deve escolher o resultado de cada um dos 13 jogos (3 resultados ossíveis ara cada jogo), odedo marcar 2 resultados em um úico jogo. Em um jogo deste, de quatas maeiras odemos reecher uma cartela? (Sugestão: a rimeira tarefa é escolher, detre os 13 jogos, aquele em que serão marcados 2 resultados). ( ) 4. Suoha que carros estão em fila ara etrar um arque de estacioameto que ossui lugares, lado a lado. Se o 1º carro ode escolher qualquer lugar e cada um dos outros carros ao estacioar deve justaor-se a um carro já estacioado. De quatas maeiras diferetes os carros odem ocuar os 1 lugares? ( 2 ) FIM
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