Autovalores na Análise de Modelos Matriciais Utilizando o Matlab

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1 Autovalores a Aálise de odelos atriciais Utilizado o atlab Alessadra Fabia Sostisso 1 Eliete Biasotto Hauser 2 RESUO O pricipal objetivo deste trabalho é aalisar o comportameto de sistemas modelados matricialmete e que evoluem com o passar do tempo, a partir da determiação dos autovalores das correspodetes matrizes Estudamos dois problemas modelados por matrizes de trasição de arkov, os quais descrevem respectivamete, a trasmissão de características geéticas de um idivíduo e a distribuição de reda a logo prazo a ecoomia dos estados brasileiros, a partir de dados do Istituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), referete ao período de 197 a 25 A fudametação teórica exige estudar teoremas da Álgebra Liear, que evolvem a descrição do espectro (cojuto de todos os autovalores e autovetores) de uma matriz Nos problemas ilustrativos aalisados, a determiação dos autovalores, autovetores e potêcias de matrizes é realizada com auxílio do software atlab e do sistema de computação algébrica e simbólica aple Isso permite gerar potêcias das matrizes de trasição, matrizes de equilíbrio dadas por lim, e Assim, podemos estimar as características geéticas das gerações futuras e visualizar a 1 Alua da Faculdade de atemática da Potifícia Uiversidade Católica do Rio Grade do Sul alessadrasostisso@acadpucrsbr 2 Professora Doutora da Faculdade de atemática da Potifícia Uiversidade Católica do Rio Grade do Sul eliete@pucrsbr 624

2 tedêcia de desaparecimeto de algus grupos de reda, em relação à distribuição de reda a logo prazo Palavras-Chave: atriz de Equilíbrio, Autovalores, Cadeias de arkov 1 INTRODUÇÃO uitos processos físicos, ecoômicos e biológicos que ocorrem a atureza evolvem uma seqüêcia de observações As Cadeias de arkov são modelos matemáticos usados para estudar processos resultates dessas seqüêcias Nessas seqüêcias, assume-se que uma determiada posição depede exclusivamete da posição aterior (depedêcia codicioal, também dita propriedade arkoviaa) Dá-se o ome de processo de arkov a um dado feômeo que possa ser classificado em estados fiitos e discretos, e cuja probabilidade de trasição etre tais estados, um itervalo de tempo também discreto, depeda apeas do estado correte e do estado seguite A seqüêcia de estados seguido este processo dá-se o ome de cadeia de arkov Como fudametação teórica, a seção dois apresetamos defiições formais e citamos teoremas que serão utilizados as aplicações detalhadas as seções três e quatro Na seção três apresetaremos um problema ilustrativo que mostra como a geética permite uma previsão probabilística de características em um idividuo, devido às mesmas poderem ser represetadas em estados discretos e a probabilidade de trasição destas, em períodos também discretos, depederem do estado iicial dado, sedo assim modeladas por cadeias de arkov Na seção quatro o problema ilustrativo refere-se à distribuição e aalise da distribuição de reda etre os estados brasileiros o período de 197 a 25 Fializamos apresetado algumas cosiderações e perspectivas de trabalho futuro a seção cico 2 REFENCIAL TEÓRICO As cadeias de arkov são modelos matriciais utilizados para descrever evetos probabilísticos Efocamos aqui as defiições propostas por BOLDRINI (1984) e SHABLIN (1979): 625

3 Em atividades idustriais, comerciais e humaas, bem como em feômeos aturais, um alto grau de icerteza está sempre presete Portato, modelos matemáticos probabilísticos, como o processo de arkov, que permitam uma previsão estimada do futuro, são bastate úteis a tomada de decisão (BOLDRINI, 1984) Dá-se o ome de processo de arkov a um dado feômeo que possa ser classificado em estados fiitos e discretos, e cuja probabilidade de trasição etre tais estados, um itervalo de tempo também discreto, depeda apeas do estado correte e do estado seguite À seqüêcia de estados seguido este processo dá-se o ome de cadeia de arkov (SHABLIN, 1979) Nosso referecial teórico apóia-se em tópicos de Álgebra Liear, a partir de ANTON (26) e POOLE (24) e apresetamos a seguir defiições e teoremas ecessários ao desevolvimeto do presete trabalho Defiição 1: Uma matriz quadrada é deomiada matriz estocástica se cada um dos seus vetores coluas é um vetor probabilidade Defiição 2: Uma Cadeia de arkov é um sistema diâmico cujos vetores, de estado, uma sucessão de itervalos de tempo, são vetores de probabilidade e para o qual os vetores em itervalo de tempo sucessivo estão relacioados por uma relação da forma: x ( k + 1) x( k) a qual [ mij ] é uma matriz estocástica e mij é a probabilidade com que o sistema estará o estado i, um istate t k + 1 se estiver o estado j o istate t k A matriz é deomiada matriz de trasição do sistema Teorema 1: Se é a matriz x de trasição de uma cadeia de arkov, etão 1 é um autovalor de 626

4 Teorema 2: Seja é a matriz x de trasição com autovalor λ, etão λ 1 e se é regular e λ 1, etão λ < 1 Teorema 3: Se é a matriz de trasição regular x, etão existe uma matriz L, de ordem x, tal que L lim Para demostrar o teorema 3 devemos cosiderar apeas o caso em que é diagoalizável ode: Diagoalizamos como 1 Q D ou, de forma equivalete, como 1 QDQ, Do teorema 1 e do teorema 2 sabemos que cada autovalor λ i vale 1 ou satisfaz λ 1 < 1 Logo, quado se aproxima de 1 ou de, para i 1,2,, Assim, i, λ K de uma matriz diagoal digamos, Assim, QD Q 1 D se aproxima * D - cujos elemetos da diagoal são os úmeros 1 ou se aproxima de L QD * Q 1 Logo: L lim 3 PROBLEA ILUSTRATIVO 1 PREVISÕES E GENÉTICA Tomado como base algus coceitos da geética clássica, criada por Gregor edel ( ), sabe-se que os traços físicos são determiados pelos gees que um descedete recebe de seus dois ascedetes No caso mais simples, um traço o descedete é determiado por um par de gees, um de cada um dos dois ascedetes Em geral, cada gee um par pode tomar uma das duas formas, deotadas por A (gee domiate) e a (gee recessivo), que são alelos Segudo a hereditariedade autossômica isso os leva a três pareametos possíveis: AA, Aa, aa deomiados geótipos (os pares Aa e AA determiam o mesmo traço e são, portato, idistiguíveis) 627

5 ostra-se o estudo da hereditariedade que se um dos ascedetes tem o geótipo cohecido e o outro ascedete é de geótipo aleatório, etão o descedete terá a probabilidade de geótipo apresetada a Tabela1 Por exemplo, o descedete de um ascedete de geótipo AA e de outro escolhido aleatoriamete e de geótipo descohecido tem 5% de chace de ser AA, 5% de chace de ser Aa e ehuma chace de ser aa Geótipo de ascedete AA Aa aa Geótipo AA 5 25 de Aa descedete aa 25 5 Tabela 1 Probabilidade de geótipo Armazeamos os dados da Tabela 1 uma matriz, que pode ser vista como uma matriz de trasição de um processo de arkov, ode as coluas represetam o geótipo do ascedete e as lihas o geótipo do descedete: Podemos verificar que a matriz que descreve o problema acima é uma matriz de trasição, ou seja, todas as etradas da matriz somam 1 Também podemos verificar que a mesma é uma matriz regular, pois todas as etradas da matriz são positivas Utilizado o software ATLAB com quatro dígitos decimais, HANSELA (1997), determiamos os autovalores de e suas potêcias probabilidade de geótipo das gerações futuras Por exemplo, para a seguda geração obtemos , 2, 3,, objetivado estimar a Observado os elemetos de 2, percebemos que para a seguda geração, o descedete de um ascedete de geótipo AA e de outro escolhido aleatoriamete e de 628

6 geótipo descohecido tem 37,5% de chace de ser AA, 5% de chace de ser Aa e 12,5%de ser aa Os autovalores de são Etão, pelo Teorema 3, existe uma matriz L tal que Observamos que L 15 14, sugerido que probabilidade de geótipo das gerações futuras tede a ser a mesma a partir da décima quarta geração e é represeta por 14 4 PROBLEA ILUSTRATIVO 2 DISTRIBUIÇÃO DE RENDA A LONGO PRAZO Neste problema, fudametados em COSTA (29) e CHIANG (26), aalisamos dados relativos à distribuição de reda per capita etre os estados brasileiros (o Distrito Federal ão fez parte da amostra) classificado-os coforme a mesma as seguites codições: 629

7 muito pobre : estados com reda per capita iferior a 5% da reda per capital acioal); pobre (estados com reda per capita etre 5% e 8% da reda per capita acioal); médio (estados com reda per capita etre 8% e 12% da reda per capita acioal); rico (estados com reda per capita etre 12% e 15% da reda per capita acioal); muito rico (estados com reda per capita superior a 15% da reda per capita acioal) Cosideremos agora a tabela abaixo referete à situação de cada estado em relação ao período aterior (197 a 25), a partir de dados divulgados pelo Istituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE): uito pobre Pobre édio Rico uito rico uito pobre Pobre édio Rico uito rico Tabela 2 Situação do estado em relação ao período aterior a 25 A partir dos dados da Tabela 2, costruímos a matriz de trasição,, deste processo de arkov: Utilizado o software ATLAB, com aritmética de quatro dígitos decimais, obtemos a estimativa para o próximo período ( ) dada por: 63

8 Também, com o auxilio do software atlab, calculamos os autovalores da matriz : Etão pelo Teorema 4, existe uma matriz L tal que L lim L foi determiada o ambiete atlab, como limite da seqüêcia de matrizes, coforme apresetamos a seguir:

9 Obtemos que Deduzimos que L 44 lim Com estes dados podemos verificar que surge a tedêcia dos estados brasileiros se dirigirem para categorias de reda itermediária e pobre, desaparecedo a faixa relativa a estados muito pobre e muito ricos Comparado o ao de 197 com o ao de 25 percebemos que houve uma dimiuição de estados que se ecotravam a situação muito pobre e uma elevação de estados pobres, médios e ricos, o que correspode ao previsto para a distribuição de logo prazo 5 COSIDERAÇÕES FINAIS Coforme ilustramos com os problemas das seções 3 e 4, uma cadeia de arkov completamete determiada por suas probabilidades de trasição e por seu estado iicial Coforme previsto o teorema 4, verificamos que as matrizes de trasição foram aproximado-se de um estado de equilíbrio quado o úmero de observações ou trasições foi tededo ao ifiito No caso do problema ilustrativo 1, os resultados sugerem que probabilidade de geótipo das gerações futuras tede a ser a mesma a partir da décima quarta geração Verificamos, o problema ilustrativo 2, que surge a tedêcia dos estados brasileiros se dirigirem para categorias de reda itermediária e pobre, desaparecedo a faixa relativa a estados muito pobre e muito ricos Comparado o ao de 197 com o ao de 25 percebemos que houve uma dimiuição de estados que se ecotravam a situação muito pobre e uma elevação de estados pobres, médios e ricos, o que correspode ao previsto para a distribuição de logo prazo Um aspecto a ser observado este problema diz respeito ao pequeo úmero de observações (vite e quatro e um período de trasição de trita e cico aos) 632

10 Porém, salietamos aida que a teoria clássica de Cadeias de arkov ão ecotramos estimativas de velocidades de covergêcia O presete trabalho de pesquisa ecotra-se em fase iicial Como perspectiva de cotiuidade, pretedemos aalisar o problema ilustrativo 2 cosiderado períodos de trasição de cico aos (evolvedo 168 observações), a partir dos resultados publicados pelo IBGE 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] ANTON, Howard, BUSBY, Robert C Álgebra Liear Cotemporâea, Editora Bookma, São Paulo, 26 [2] BOLDRINI, José L et all: Álgebra Liear, Ed Harbra, 3 a edição, São Paulo, SP, 1984 [3] CHIANG, Alpha C Waiwright, Kevi atemática para Ecoomistas Editora Campus Rio de Jaeiro, 26 [4] COSTA, Letícia Aálise do Processo de Covergêcia de Reda os Estados Brasileiros: 197 a 25 Dissertação de estrado, Escola de Pós-Graduação em Ecoomia Fudação Getúlio Vargas Rio de Jaeiro, 29 [5] HANSELA, Duae LITTLEFIEL, Bruce atlab 5 Guia do Usuário Editora akro Books São Paulo, 1997 [6] POOLE, David Álgebra Liear Editora Thomso, São Paulo, 24 [7] SHABLI, James E Pesquisa Operacioal: uma abordagem básica São Paulo: Atlas,