Exame Final Nacional de Matemática Aplicada às Ciências Sociais a Fase

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1 Exame Nacioal de Matemática Aplicada às Ciêcias Sociais a Fase Proposta de resolução Aplicado o método descrito, icluido o tema Festas, temos: Potuação do tema Bullig: = 2015 Potuação do tema Solidariedade: = 2140 Potuação do tema Festas: = 1755 Excluido o tema Festas, a tabela reorgaizada, ão alterado os úmeros de votos em a ordem de cada uma das preferêcias, é a seguite: 415 votos 370 votos votos 1 a Preferêcia Bullyig Solidariedade Bullyig 2 a Preferêcia Solidariedade Bullyig Solidariedade E assim, aplicado o método descrito, excluido o tema Festas, temos: Potuação do tema Bullig: = 1600 Potuação do tema Solidariedade: = 1355 Assim, temos que com a iclusão do tema Festas, o tema escolhido é Solidariedade, porque tem a maior potuação (2140 potos) e, se o tema Festas for excluído, o tema escolhido é Bullig porque tem maior úmero de potos (1600), pelo que podemos cocluir que a exclusão do tema Festas altera a escolha do tema. Págia 1 de 7

2 1.2. Aplicado o método descrito a distribuição dos 20 lugares a comissão, e sabedo que a primeira aplicação deste método, a soma das quotas arredodadas foi diferete do úmero de lugares a distribuir, começamos por determiar o divisor padrão: Divisor padrão = = = 21 Após algumas experiêcias podemos verificar que o divisor modificado 21,5 permite a atribuição dos 20 lugares a comissão: Ao de escolaridade 10. o 11. o 12. o Número de aluos Divisor modificado 21,5 Quota modificada ,5 6, , ,442 Quota modificada arredodada = = 6 7 Soma das quotas arredodadas = 20 Assim, a distribuição dos 20 lugares da comissão, é: 10. o ao: 7 lugares 11. o ao: 6 lugares 12. o ao: 7 lugares De acordo com as garatias oferecidas pela istituição PIPA, temos que: Capital fial: C = 1680e Capital iicial: C = 1500e Número de períodos de capitalização: = 6 = 2, ou seja 2 trimestres relativos a 6 meses 3 i - Taxa de juro referete ao período de capitalização Desta forma, como o capital fial é dado pela expressão C = C + C i, temos que: 1680 = i E assim, resolvedo a equação, determiamos o valor da taxa de juro trimestral (i): 1680 = i = 3000 i 180 = 3000 i = i 0,06 = i Logo, a taxa de juro trimestral, a forma de percetagem, é 6% Págia 2 de 7

3 2.2. Observado os dados da tabela, podemos verificar que a variação do capital a cota x é um aumeto liear, ou seja, todos os meses ao capital existete é adicioada um valor fixo. Da mesma forma podemos verificar que a cota Y, a variação do capital correspode a um aumeto expoecial, ou seja, todos os meses o capital é aumetado uma percetagem fixa, como se pode observar a tabela seguite: do 1. o mês = X 1520 Y ,01 = 1515 do 2. o mês = ,01 = 1530,15 do 3. o mês = ,15 1,01 = 1545,45 do 4. o mês = ,45 1,01 = 1560,91 Assim temos que, o capital, o fial do -ésimo mês é dado pelas expressões: Cota X: = }{{} vezes do 5. o mês = ,91 1,01 = 1576,52 do 6. o mês = ,01 = 1592,28 X() = Cota Y : ,01 1, ,01 = ,01 }{{} vezes Y () = ,01 Represetamos a calculadora gráfica os gráficos dos modelos da variação do capital em cada uma das cotas, ambos em fução da tempo, (y = x, para a cota X) e (y = ,01 x, para a cota Y ), uma jaela compatível com horizote temporal idicado pela Carla, ou seja, 0 x 60 e também com os valores do capital correspodetes, ou seja, 1500 y < 3000, que se ecotra reproduzido a figura seguite. Usado a fução da calculadora para determiar valores aproximados das coordeadas do poto de iterseção dos dois modelos, obtemos os valores (arredodados às décimas) das coordeadas do poto de iterseção, ou seja, o valor dos meses que devem passar para que os dois modelos idiquem o mesmo capital, ou seja, (56,2 ; 2624,2) y 2624,2 Y X Assim, podemos verificar que de acordo com a variação dos dois modelos, o capital da cota Y é iferior ao da cota X até ao 56. o mês e superior a partir do 57. o mês, após os depósitos iiciais, pelo que se pode cocluir que a Carla tem razão ,2 x De acordo com o modelo, um período de capitalização igual a 10 meses, correspode a x = 10, e assim, temos que, o úmero de aplicações feitas o fudo, com arredodameto às uidades, é: N(10) = aplicações e 1,15 10 Págia 3 de 7

4 De acordo com o modelo apresetado, o dia 3 de setembro de 2012, o úmero de aplicações feitas a 3 meses e a 6 meses, são, respetivamete: 30 N(3) = e 1, N(6) = e 1,15 6 Como só existiam estas duas possibilidades de capitalização, foram estas as 50 aplicações feitas, sedo a probabilidade de cada uma, respetivamete: 20 3 meses: 50 = 0, meses: 50 = 0,6 Assim, esquematizado as probabilidades cohecidas um diagrama em árvore, temos: Aplicações 0,4 0,6 3 meses 6 meses 0,76 0,24 0,92 0,08 Com redimeto Sem redimeto Com redimeto Sem redimeto Cosiderado a experiêcia aleatória que cosiste em selecioar, ao acaso, uma aplicação o fudo feita o dia 3 de setembro de 2012, e os acotecimetos: M 3 : A aplicação foi feita por um período de capitalização de 3 meses L: A aplicação obteve redimeto Temos que, a probabilidade de a aplicação escolhida ter um período de capitalização igual a 3 meses, sabedo que obteve redimeto, a forma de fração irredutível, é: P (M 3 L) = P (M 3 L) P (L) = P (M 3 L) P (M 3 L) + P ( M 3 L ) = 0,4 0,76 0,4 0,76 + 0,6 0,92 = 0,304 0,856 = De acordo com as probabilidades apresetadas, temos que: P (V A) = P (V A) P (A) = 0,3 0,05 = 0,015 P (V B) = P (V B) P (B) = 0,4 0,7 = 0,28 P (V C) = P (V C) P (C) = 0,5 0,25 = 0,125 P (V ) = P (V A) + P (V B) + P (V C) = 0, ,28 + 0,125 = 0,42 P ( V ) = 1 P (V ) = 1 0,42 = 0,58 P ( V A ) = P (A) P (V A) = 0,05 0,015 = 0,035 P ( V B ) = P (B) P (V B) = 0,7 0,28 = 0,42 P ( V C ) = P (C) P (V C) = 0,25 0,125 = 0,125 Acotecimetos A B C Total V 0,015 0,28 0,125 0,42 V 0,035 0,42 0,125 0,58 Total 0,05 0,70 0,25 1 Págia 4 de 7

5 3.2. Esquematizado as probabilidades cohecidas um diagrama em árvore, temos: Adversário do Adré 0,72 0,28 Aldeia B Aldeia C 0,4 0,6 0,5 0,5 Vecer Perder Vecer Perder Cosiderado a experiêcia aleatória que cosiste em selecioar, ao acaso, uma partida do toreio de xadrez, temos que, a probabilidade de o Adré vecer uma partida, é: P (V ) = P (V B) + P (V C) = 0,72 0,4 + 0,28 0,5 = 0, Utilizado a iformação da tabela dada a colua (apresetada a sombreado a tabela seguite), podemos determiar as frequêcias absolutas simples, recorredo a subtrações sucessivas. Fazedo a divisão de cada frequêcia absoluta simples pelo total de saquetas podemos obter as frequêcias relativas simples, e fialmete, por somas sucessivas, podemos obter as frequêcias absolutas acumuladas: Número de filhos Frequêcia absoluta simples Frequêcia absoluta acumulada Frequêcia relativa simples Frequêcia relativa acumulada = 0,39 0, = = 0,44 0,39 + 0,44= 0, = = 0,09 0,83 + 0,09= 0, = = 0,06 0,92 + 0,06= 0, = 4 = 0,02 0,98 + 0,02= 1 Total 1 Págia 5 de 7

6 4.2. Iserido uma lista da calculadora gráfica os valores dos úmeros de filhos, e outra lista as frequêcias absolutas simples: Números de filhos Frequêcia absoluta simples e calculado as medidas estatísticas referetes à primeira lista, usado a seguda como frequêcia, obtemos os valores da média e do desvio padrão dos úmero de filhos da amostra: x = 2,42 e s 1,3 Procededo da mesma forma com os dados corrigidos, ou seja substituido os valores da primeira por 0, 1, 2, 3 e 4, e calculado ovamete as medidas estatísticas referetes à primeira lista, usado a seguda como frequêcia, obtemos os ovos valores da média e do desvio padrão dos úmero de filhos da amostra: x = 1,42 e s 1,3 Assim temos que: a média dos dados corrigidos é iferior à média iicial em 1 uidade, porque todos os valores são exatamete iferiores em 1 uidade para a mesma frequêcia absoluta; o desvio padrão é igual as duas situações, porque mede os desvios dos dados em relação à média, e cosiderado a alteração da média, a posição relativa de cada dado em relação à média é igual as duas situações Determiado a proporção amostral dos sócios que têm pelos 3 filhos, ou seja, a proporção de sócios que têm 3, 4 ou 5 filhos, temos: ˆp = = 0,44 Cosiderado o itervalo de cofiaça para a proporção [ ) ˆp(1 ˆp), omeadamete o limite superior (0,530426), temos que: ˆp(1 ˆp) ˆp + z = 0, ( ] ˆp(1 ˆp) ˆp z, ˆp + z Assim, substituido os valores da proporção (ˆp) e de ( = ), e resolvedo a equação, temos que: 0,44(1 0,44) 0,44 + z = 0, z 0, , ,44 z 0, , z 2, Assim, temos que o ível de cofiaça associado ao valor z 2,576, ou seja o ível de cofiaça do itervalo, é de 99% Págia 6 de 7

7 5. De acordo com o esquema do espaço, cosiderado as salas e o pátio como vértices e as portas como arestas, obtemos o grafo da figura seguite, e o grau de cada de cada vértice: P - Grau 5 E - Grau 3 D - Grau 4 C - Grau 3 A - Grau 4 T - Grau 3 E A P D T C P - Pátio E - Exposição D - Espaço de dabate C - Catia A - Auditório T - Teatro A fucioária ão cosegue efetuar uma roda ao recito começado e termiado essa roda a catia, percorredo todas as portas e passado por cada porta uma úica vez porque este objetivo correspode a ecotrar um circuito de Euler, o que só é possível se todos os vértices tiverem grau par, o que ão acotece este caso, porque existem quatro vértices com grau ímpar: E, C e T (todos com grau 3) e P (com grau 5). Assim, a solução para o problema da fucioária, passa por duplicar arestas que permitam obter um grafo coexo com todos os vértices com grau par, por exemplo duplicado as arestas PE e CT (assialadas a tracejado a figura seguite), o que correspode a passar essas duas portas, por duas vezes, ficado desta forma todos os vértices com grau par, como a figura seguite: P - Grau 6 E - Grau 4 D - Grau 4 C - Grau 4 A - Grau 4 T - Grau 4 E A P D T Assim, uma possibilidade para orgaizar a roda ao recito começado e termiado a catia, percorredo todas as portas e passado o meor úmero de vezes possível por cada porta, é: C T A P E D C P E A D P T C C (o mesmo percurso em setido iverso também satisfaz as codições do euciado). Págia 7 de 7