Critérios de Avaliação e Cotação

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1 Elemetos de Probabilidades e Estatística (37) Elemetos de Probabilidades e Estatística (37) Ao letivo 06-7 E-Fólio A 7 a 6 de abril 07 Critérios de correção e orietações de resposta No presete relatório apresetam-se os critérios de correção e um exemplo de resolução das questões colocadas o e-fólio A. Também são salietados algus potos que os estudates devem ter em cota e apresetar a resolução e esclarecimetos sobre os erros mais comus. Foram aceites outras resoluções etregues pelos aluos, desde que equivaletes (com raciocíio e cálculos corretos). Chama-se a ateção de que o e-fólio é um teste exclusivamete idividual, feito sob compromisso de hora do estudate ser o seu úico autor. Os casos que teham evideciado existêcia de fraude podem ser pealizados ou ficar sob escrutíio mais apertado as próximas avaliações. Critérios de Avaliação e Cotação Na avaliação das respostas será tido em cota: a clareza e objetividade, a correção cietífica das respostas, o rigor da liguagem matemática/estatística que é utilizada, a evidêcia de pesquisa, as justificações dos cálculos e a iterpretação dos resultados o cotexto do problema. A cotação do e-fólio A é de 4 valores, assim distribuídos: Questão.5 valores Questão.5 valores Questão 3 valor Questão (.5 val) Os dados do quadro que se segue represetam o tempo (em segudos) que uma aplicação iformática direcioada para os Sistemas de Iformação Geográfica (SIG) demora a respoder a um cojuto de istruções mais complexas. Os dados são relativos uma amostra 40 computadores portáteis. 5, 6,4 5,7 8,3 7,0 5,4 4,8 9, 5,5 6, 5,9 5,7 6,3 5, 7,4 6, 8,9 7,3 5,4 8,8 5, 6,8 5, 6,7 8, 7, 4,3 5,0 8, 5,5 7, 5,8 6,3, 7,5 9,6 5, 7,8 5,6 8, Com base este dados, idique, justificado: a) (0.3 v) a escala de medida dos dados, o máximo, o míimo e a amplitude dos tempos de resposta do sistema. idicar a variável cosiderada e classificação do tipo de variável, o âmbito da classificação Matemática/Estatística. Sedo os dados relativos a medições de tempo, a variável subjacete é cotíua (toma valores um itervalo de úmeros reais), uma escala de razão (rácios comparáveis, existêcia de zero absoluto). Idicar o coceito e cálculos das estatísticas solicitadas (o máximo, o míimo e a amplitude). Ao letivo 06-7 MRR

2 Elemetos de Probabilidades e Estatística (37) Apresetar os valores fiais corretos. b) (0.4 v) a média, a moda e a mediaa dos tempos de resposta. Como classifica os dados, em relação à assimetria? idicar o coceito e expressões das estatísticas amostrais pedidas. Fazer a substituição com os dados do euciado, apresetar algus cálculos parciais (mesmo aquado da utilização do Excel ou de calculadora). Cocluir sobre a assimetria dos dados, idicado o critério utilizado. Nota: a situação em que o aluo idica a classe modal depois de agrupar os dados em classes também foi cosiderada embora ão respoda exatamete ao solicitado..média: x xi x i, ou seja, 40 x i 5, 6,4... 8, x Moda: Valor de X (tempos de resposta) mais frequete (defiição), quado este valor existe e é úico (a distribuição pode ser amodal sem moda p.ex. dist uiforme -; bimodal duas modas, etcpor exemplo) Mediaa: Idicar a defiição Quartil de 50%. Se é par, a mediaa m e é a média aritmética das observações se ecotram as duas posições cetrais,, estado a amostra ordeada por ordem crescete. Se é ímpar a mediaa m e é a observação x se ecotra a posição, estado a amostra ordeada por ordem crescete. Sedo par, ordeado a amostra ordeada, a mediaa é a média aritmética das observações 6,3 6,3 das posições 0 e me= 6, 3 segudos. Moda < Mediaa < Média assimetria positiva prologameto da distribuição a cauda direita. Resumo dos resultados Máximo, Míimo 4,3 Amplitude 5,9 Moda 5, Mediaa 6,3 Media 6,64 variacia,09 desvio-padrão,446 c) (0.8 v) Elabore um gráfico que eteda ser o mais adequado para represetar as frequêcias dos tempos de resposta em 4 categorias fixadas (para as quais deve iclusive defiir os limites míimo e máximo, justificado). Ao letivo 06-7 MRR

3 Frequêcia Elemetos de Probabilidades e Estatística (37) Fixado o úmero de classes pedido (4), idicar a decisão sobre a defiição das mesmas atededo às codições para melhor represetação: mesma amplitude (caso cotrário exigiria uma uiformização das frequêcias), os limites devem garatir que todos os valores observados pertecem a uma classe. As classes devem ser abertas um limite (iferior ou superior) e fechadas o outro (mutuamete exclusivas e exaustivas). O gráfico mais adequado a variáveis uma escala cotíua (escala subjacete é o tempo) é o histograma (classes cotíguas). No exemplo de resolução a seguir, a amplitude de classe é o quociete Amplitude/º de classes 5,9/4. A primeira classe iicia o míimo da amostra (iclusive). Cosiderou-se um arredodameto a casas decimais. Outros critérios foram aceites desde que válidos, p. ex: Verificar que o máximo e míimo estão cotidos os itervalos. Para tal o aluo pode subtrair uma quatidade para o míimo ficar o iterior da classe; colocar o míimo o cetro da classe e a partir daí somar a amplitude. O gráfico adequado é o histograma (preferecialmete de frequêcias relativas), pois o tempo é uma variável cotíua! As frequêcias (absolutas e relativas) podem variar ligeiramete com a decisão sobre os limites e amplitude das classes, cotudo a assimetria positiva deve ser evidete o histograma (e ir de ecotro aos resultados da alíea aterior) gráfico de barras - ão adequado 5 [4,3-5,78) [5,78-7,6) [7,6-8,74) [8,74-,) Frequêcia Ao letivo 06-7 MRR 3

4 Elemetos de Probabilidades e Estatística (37) Questão (.5 val) No quadro que se segue ecotram-se registadas as vedas de mauais de Matemática para º ao de escolaridade, registadas uma semaa em livrarias de rua (juto a escolas, etc). Nº da livraria Vedas (uidades) 9 6 a a a) (0.75 v) Sabe-se que a livraria º 5 atigiu metade das vedas da livraria º, e que a média do úmero de livros vedidos é de 9 livros por livraria. Com estes dados, complete o quadro com as frequêcias em falta calcule aida o desvio-padrão das vedas dessa semaa. Justifique (se for ecessário, pode efetuar pequeos arredodametos). Formular o problema em termos estatísticos/matemáticos com os dados do euciado, resolver a equação e completar o quadro. Apresetar a expressão usada para o desvio-padrão, substituir com os dados e idicar o resultado. Iterpretar/cocluir o cotexto. x x i 9 xi 9... a... 8 a, dode a=6. A livraria º5 vedeu 6 livros e a livraria º vedeu livros, a mesma semaa. s x i x, 65 o desvio padrão das vedas as livrarias é de,65 livros. b) (0.75 v) As livrarias º 3, 7 e 9 vedem livros a modalidade olie, através do seu site. Sabe-se que a probabilidade destas livrarias realizarem diariamete apeas uma veda é 5, 7 e 8 respetivamete. Supoha que as vedas das 3 livrarias são idepedetes. Calcule a probabilidade de, um dia escolhido ao acaso, pelo meos uma das três livrarias ter realizado apeas uma veda. Explicite o problema em causa a otação dos acotecimetos e justifique os resultados. Defiir os acotecimetos elemetares (idividuais) Defiir o acotecimeto de iteresse e formular a probabilidade pedida a liguagem dos acotecimetos e das probabilidades. Idicar a propriedade de idepedêcia etre acotecimetos, ecessária para a resolução do problema. Substituir valores, calcular a probabilidade pedida e apresetar os resultados. Foram aceites resoluções equivaletes que utilizaram otação diferete. Defiir os acotecimetos A 3 A livraria 3 realiza apeas uma veda olie o dia selecioado. A 7 A livraria 7 realiza apeas uma veda olie o dia selecioado. A 9 A livraria 9 realiza apeas uma veda olie o dia selecioado. Ao letivo 06-7 MRR 4

5 Elemetos de Probabilidades e Estatística (37) Sabe-se que as probabilidades de ocorrêcia destes acotecimetos são, respetivamete, P(A 3 ) = 5 ; P(A 7) = 7 ; P(A 9) = 8 Sabe-se aida que as vedas das 3 livrarias são idepedetes, ou seja, verificam a igualdade: P(A i A j ) = P(A i ) P(A j ) e P(A i A j A k ) = P(A i ) P(A j ) P(A k ) O acotecimeto "um dia escolhido ao acaso, pelo meos uma das três livrarias ter realizado apeas uma veda" traduz-se, utilizado as operações etre acotecimetos, a Uião dos três acotecimetos - (A i A j A k ). O acotecimeto "pelo meos uma das três livrarias. " (isto é, o míimo uma livraria ), iclui as seguites possibilidades: - Realiza-se uma veda em apeas uma das livrarias (A 3, ou A 7 ou A 9), OU aida - Realiza-se apeas uma veda em duas das livrarias (3 possibilidades de combiação), OU aida - Realiza-se apeas uma veda as três livrarias. Basta verificar-se uma das possibilidades, para que a Uião ocorra (seja verdadeira). Por defiição P(A A A ) P(A ) P(A ) P(A ) P(A A ) P(A A ) P(A A ) P(A A A Aplicado a idepedêcia, tem-se P(A A7 A9) A probabilidade de pelo meos uma livraria realizar apeas uma veda o dia escolhido é 0.4 (40%). Questão 3 ( val) Uma Compahia de Seguros especializada o ramo de acidetes de trabalho divide as suas clietes (também empresas) por três grades categorias, A, B, C, de acordo com o úmero de trabalhadores. A carteira de clietes da Seguradora está distribuída da seguite forma: 30% das empresas seguradas pertecem à categoria A, 43% pertecem à categoria B e as restates estão a categoria C. A seguradora possui estimativas para a probabilidade das empresas comuicarem ocorrêcias de acidete de trabalho em cada período de seis meses, que são, respetivamete, 5% (para a categoria A), 8% (categoria B) e % (categoria C). Nos dois semestres mais recetes foi comuicada apeas uma ocorrêcia à Compahia Seguradora. Determie a probabilidade de ambas terem origem a mesma categoria de empresas. Assuma os pressupostos que ache ecessários e justifique os resultados. Defiir os acotecimetos elemetares (idividuais) e os acotecimetos codicioais Recorrer à probabilidade total (aaliticamete ou diagrame de árvore) e à fórmula de Bayes. Formular o acotecimeto fial que é pedido e utilizar os cohecimetos/pressupostos ecessários (idepedêcia, acotecimetos mutuamete exclusivos). Substituir valores, calcular a probabilidade pedida e apresetar os resultados. Dados do euciado: Cosidere-se os seguites acotecimetos idetificados o euciado: A Empresa segurada pertece à categoria A B Empresa segurada pertece à categoria B C Empresa segurada pertece à categoria C O Ocorrêcia de acidete de trabalho um semestre. 0,4 9) Ao letivo 06-7 MRR 5

6 Elemetos de Probabilidades e Estatística (37) P(A)=0,3 (30%); P(B)=0,43 (43%) Os acotecimetosformam uma partição do espaço dos clietes da Compahia de seguros (são ão vazios, são disjutos a e a sua uião é o uiverso das categorias). Etão, P(A)+P(B)+P(C) =, e daqui se calcula P(C)=-0,3-0,43=0,7. No euciado é idicada a probabilidade de ser comuicada ocorrêcia de acidete de trabalho para cada uma das categorias de empresa, ou seja, a probabilidade de ser comuicada ocorrêcia de acidete de trabalho, dada cada uma das categorias (a categoria codicioa a probabilidade de comuicar a ocorrêcia). Assim, tem-se: P(O A) = 0,5 P(O B) = 0,08 P(O C) = 0, (ota: algus aluos iterpretaram icorretamete estas probabilidades codicioadas como probabilidade de itersecção P(AB), etc.). Utilizado o Teorema da Probabilidade Total podemos determiar a probabilidade total de ser comuicada ocorrêcia (ou ocorrêcia), fazedo as respetivas substituições: P(O) P(O A)P(A) P(O B)P(B) P(O C)P(C) 0,5 0,3 0,08 0,43 0, 0,7 0,045 0,0344 0, Com a presete iformação, e tedo sido comuicada uma ocorrêcia (ou, sabedo que foi comuicada uma ocorrêcia), podemos determiar a probabilidade de ter tido origem em cada uma das categorias de empresa, A, B e C. Para tal, recorremos ao teorema/fórmula de Bayes: P(A O) P(O A)P(A) 0,045 P(A O) P(O) P(O) ,0344 0,07 E pelo mesmo raciocíio obtém-se P(B O) 0.33 e P(C O) Assumido que a comuicação de ocorrêcias por uma empresa é idepedete da comuicação por parte de outra empresa, e idepedete de semestre para semestre podemos determiar a probabilidade fial que é pedida Formulado (foram tidas em cota outras iterpretações apresetadas, quado fez setido): Foi comuicada uma ocorrêcia em cada um dos semestres recetes ( ocorrêcias). Qual a probabilidade de terem origem a mesma categoria de empresa? Temos aqui 3 situações possíveis: Foram ocorrêcias comuicadas por empresas da categoria A OU ocorrêcias comuicadas por empresas da categoria B OU ocorrêcias comuicadas por empresas da categoria C. Sedo os acotecimetos idepedetes etre semestres e disjutos (se ocorreu AA, ão ocorreu BB, etc), a probabilidade total é a soma das probabilidades das 3 possibilidades: P(Ambas da mesma categoria, dado que houve ocorrêcias) = P(A O) P(A O) + P(B O) P(B O) + P(C O) P(C O) = (0,43) + (0,33) + (0,54) = 0,3477. FIM Ao letivo 06-7 MRR 6