Probabilidades e Estatística LEIC-A, LEIC-T, LEGM, MA, MEMec

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1 Duração: 90 miutos Grupo I Probabilidades e Estatística LEIC-A, LEIC-T, LEGM, MA, MEMec Justifique coveietemete todas as respostas! 2 o semestre 2015/ /04/2016 9:00 1 o Teste A 10 valores 1. Uma biblioteca uiversitária é frequetada por três categorias de utetes: aluos, docetes e fucioários. Da cosulta dos registos cocluiu-se que: 50% dos utetes são aluos, 30% são docetes e 20% são fucioários. Apurou-se também que: 25% dos utetes são aluos que requisitaram livros; 6% são docetes que requisitaram livros; e 4% são fucioários que requisitaram livros. Tedo sido selecioado ao acaso um utete da biblioteca: (a) Calcule a probabilidade de o utete selecioado ter requisitado livros da biblioteca. (1.5) Quadro de acotecimetos e probabilidades Eveto Probabilidade A {utete é aluo} P(A) 0.5 D {utete é docete} P(D) 0.3 F {utete é fucioário} P(F ) 1 P(A) P(D) 0.2 R {utete requisitou livros} P(R)? R A {utete requisitou livros e é aluo} P(R A) 0.25 R D {utete requisitou livros e é docete} P(R D) 0.06 R F {utete requisitou livros e é fucioário} P(R F ) 0.04 Acotecimeto R {utete requisitou livros} Probabilidade pedida Tirado partido do facto de os acotecimetos A, D e F costituírem uma partição do espaço de resultados Ω, podemos escrever: P(R) P [(R A) (R D) (R F )] P(R A) + P(R D) + P(R F ) (b) Sabedo que o utete escolhido requisitou livros, determie a probabilidade de ser um aluo. (1.0) Probabilidade pedida P(A R) P(A R) P(R) (a) (def. de probabilidade codicioada) (c) São {utete requisitou livros} e {utete é um aluo} acotecimetos idepedetes? (1.5) Págia 1 de 6

2 Averiguação de idepedêcia Uma vez que os acotecimetos R e A se dizem idepedetes se e só se P(R A) P(R) P(A) e que P(R A) 0.25 P(R) P(A) , pode afirmar-se que R e A ão são acotecimetos idepedetes. [Em alterativa, recordemos que, caso A e R sejam acotecimetos idepedetes (ambos com probabilidades ão ulas), P(A R) P(A). Ora, P(A R) 5 7 P(A) 0.5, pelo que pode cocluir-se que A e R ão são acotecimetos idepedetes.] 2. Em 1938, o físico Frak Beford propôs a seguite fução de probabilidade para a variável aleatória X que represeta o primeiro algarismo de um úmero iteiro geuío escrito em base decimal: x P(X x) Costatou-se também que o primeiro algarismo de um úmero iteiro frauduleto, represetado pela variável aleatória Y, possui distribuição uiforme o cojuto {1,2,...,9}. doravate (a) Obteha as modas de X e Y. (2.0) Variável aleatória X X primeiro algarismo de um úmero iteiro escrito em base decimal Moda de X Represete-se a moda de X por mo(x ). Etão mo(x ) : P[X mo(x )] max P(X x). x {1,2,...,9} Atededo a que P(X 1) é superior a qualquer dos restates valores da f.p. de X, temos mo(x ) 1. Variável aleatória Y Y primeiro algarismo de um úmero iteiro FRAUDULENTO em base decimal Distribuição de Y Y uiforme discreta({1,2,...,9}) F.p. de Y P(Y y) Moda de Y Neste caso temos { 1 9, y 1,2,...,9 0, caso cotrário. mo(y ) : P[Y mo(y )] max P(Y y). y {1,2,...,9} Dado que a f.p. de Y é costate em {1,2,...,9}, a moda ão é úica. Com efeito, todos os valores possíveis desta v.a. são valores modais, i.e., mo(y ) 1, 2,..., 9. Págia 2 de 6

3 (b) Determie e compare P(X > 3) e P(Y > 3). (2.0) Probabilidades pedidas P(X > 3) 1 P(X 3) 3 1 P(X x) 1 ( ) P(Y > 3) P(Y y) y4 9 1 y Cometário Em caso de fraude o primeiro algarismo será superior a 3 mais frequetemete que a ausêcia de fraude. [Poderemos tirar partido deste e de outros factos para emitir alertas de fraude.] (c) Ao examiar um registo fiscal selecioado ao acaso, uma ispectora suspeita de fraude com (2.0) probabilidade 0.1. Calcule o valor esperado do úmero de registos examiados até que a ispectora suspeite de fraude pela primeira vez. Idique as suas hipóteses de trabalho. Variável aleatória de iteresse R registos examiados até que a ispectora suspeite de fraude pela primeira vez Hipóteses de trabalho Admitiremos que: a ispectora examia os registos de modo idepedete; a probabilidade de suspeita de fraude se matém costate ao logo dos exames aos registos. Distribuição de R R geométrica(p) com p P(suspeita de fraude) 0.1 Valor esperado de R f or m. 1 E(R) p 10 registos. Grupo II 10 valores 1. Admita que a fução de distribuição da velocidade de impacto (X, em milhas áuticas por hora) de odas em cascos de avios em determiada região do globo é dada por: { 0, x < 0 F X (x) 1 e x2, x 0. (a) Obteha a probabilidade de a velocidade de impacto de uma oda pertecer ao itervalo [1, 1.5]. (1.0) Págia 3 de 6

4 Probabilidade pedida P(1 X 1.5) P(X 1.5) P(X 1) F X (1.5) F X (1) ( 1 e 1.52) (1 e 12) e 1 e π (b) Sabedo que E(X ) 2 e V (X ) 1 π 4, obteha um valor aproximado para a probabilidade de a (3.0) velocidade média de impacto de 50 odas ser superior a 1. V.a. X i velocidade de impacto da oda i, 50 i 1,..., Distribuição, valor esperado e variâcia comus X, i 1,..., π E(X i ) E(X ) µ 2, i 1,..., V (X i ) V (X ) σ 2 1 π 4, i 1,..., X i i.i.d. Nova v.a. X 1 i1 X i velocidade média de impacto de odas Valor esperado e variâcia de X E( X ) E ( 1 i1 X ) i 1 V ( X ) V ( 1 i1 X i ) Xi idep. i1 E(X i ) X i X 1 E(X ) E(X ) µ 1 2 i1 V (X i ) X i X 1 V (X ) V (X ) 2 σ2 Distribuição aproximada de X Pelo teorema do limite cetral (TLC) pode escrever-se X E( X ) V ( X ) X µ σ/ a Normal(0,1). Valor aproximado da probabilidade pedida Atededo a que µ π e σ2 1 π , temos P( X > 1) 1 P( X 1) ( X µ 1 P σ/ 1 µ ) σ/ ( ) T LC Φ Φ(1.74) tabel a/calc Sejam X e Y as variáveis aleatórias que represetam, respetivamete, o úmero de dias cosecutivos em que há equipameto parado e o úmero de trabalhadores dispesados uma fábrica de compoetes eletróicas, quado há ecessidade de proceder à mauteção ou reparação de alguma máquia. Admita que a fução de probabilidade cojuta de (X,Y ) é dada por: Y X (a) Determie o valor da fução de distribuição cojuta o poto (2,1). (1.0) Págia 4 de 6

5 Par aleatório (X, Y ) X úmero de dias cosecutivos em que há equipameto parado Y úmero de trabalhadores dispesados F.p. cojuta P(X x,y y) Probabilidade pedida (ver euciado). F X,Y (2,1) P(X 2,Y 1) 2 1 P(X x,y y) y (b) Calcule o valor esperado e a variâcia da variável aleatória Y X 3. (2.5) V.a. Y X 3 F.p. de Y X 3 Atededo a que temos P(X 3) 3 P(X 3,Y y) , P(Y y X 3) P(X 3,Y y) P(X 3) , x , x 1,2 0, restates valores de x Valor esperado de Y X 3 2 E(Y X 3) y P(Y y X 3) Variâcia de Y X 3 y V (Y X 3) E(Y 2 X 3) E 2 (Y X 3) [ ] 2 y 2 P(Y y X 3) y0 ( ) (c) Obteha o valor da covariâcia etre X e Y. Que coclui? (2.5) Covariâcia etre X e Y Uma vez que se pretede calcular cov(x,y ) E(X Y ) E(X ) E(Y ), serão ecessários algus cálculos auxiliares que evolverão as f.p. cojuta de (X, Y ) e margiais de X e Y. Págia 5 de 6

6 F.p. cojuta e f.p. margiais P(X x,y y), P(X x) 3 P(X x,y y) e P(Y y) 2 y0 P(X x,y y) ecotram-se sumariadas a tabela seguite: Y X P(X x) P(Y y) Valor esperado de X Y 3 2 E(X Y ) x y P(X x,y y) y Valor esperado de X 3 E(X ) x P(X x) Valor esperado de Y 2 E(Y ) y P(Y y) y Covariâcia etre X e Y (cot.) Coclusão cov(x,y ) E(X Y ) E(X )E(Y ) Visto que cov(x, Y ) 0 podemos cocluir que X e Y são v.a. DEPENDENTES. Dado que cov(x,y ) > 0 podemos adiatar que X e Y tederão a variar o mesmo setido relativamete aos respectivos valores esperados. Págia 6 de 6