Probabilidades e Estatística LEAN, LEGI, LEGM, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEC

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1 Duração: 90 miutos Grupo I Probabilidades e Estatística LEAN, LEGI, LEGM, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEC Justifique coveietemete todas as respostas o semestre 207/208 8//207 :00 o Teste B 0 valores. Um teste de diagóstico coduz a resultado positivo com probabilidade 0.9 caso a compoete eletróica testada seja defeituosa. Este mesmo teste coduz a resultado positivo com probabilidade igual a 0.05 se a compoete eletróica testada for ão defeitosa. Admita que se testa uma compoete eletróica selecioada ao acaso de um lote com uma percetagem de compoetes eletróicas defeituosas igual a 3%. (a) Calcule a probabilidade de o resultado do teste de diagóstico ser positivo. (2.5) Quadro de acotecimetos e probabilidades Acotecimeto Probabilidade T {teste de diagóstico resulta positivo} P(T )? D {peça defeituosa} P(D) 0.03 Probabilidade pedida Recorredo à lei da probabilidade total, tem-se P(T ) P(T D) P(D) + P(T D ) P(D ) ( 0.03) P(T D) 0.9 P(T D ) 0.05 (b) Obteha a probabilidade de a compoete eletróica testada ser defeituosa sabedo que o teste (2.5) resultou positivo. Probabilidade pedida Tirado partido do teorema de Bayes, segue-se P(D T ) P(T D) P(D) P(T ) (a) Em certo ato eleitoral, a chegada de eleitores a uma mesa de voto rege-se de acordo com um processo de Poisso com taxa de 2 eleitores por miuto. (a) Determie a probabilidade de chegarem à mesa de voto mais de 4 eleitores em dois miutos. (.5) X t o. de eleitores que chegam à mesa de voto em t miutos (t > 0) Distribuição de X t Dado que lidamos com um processo de Poisso com taxa igual a 2 eleitores por miuto, temos X t Poisso(2 t). F.p. de X 2 P(X 2 x) e 4 4 x x!, x 0,,2,... Págia de 6

2 Prob. pedida P(X 2 > 4) P(X 2 4) F Poi sso(4) (4) tabel a/calc (b) Calcule a mediaa do úmero de eleitores que se dirigem àquela mesa de voto em dois miutos. (.5) Mediaa de X 2 Represete-se a mediaa de X 2 por me(x 2 ). Etão me(x 2 ) : 2 F X 2 [me(x 2 )] 2 + P[X 2 me(x 2 )] () 2 F X 2 [me(x 2 )] 2 + [F X 2 [me(x 2 )] F X2 [me(x 2 ) ] F X2 [me(x 2 ) ] 2 F X 2 [me(x 2 )]. (2) Tirado partido da defiição de mediaa em () e do facto de 2 F X 2 (4) (a) P(X 2 4) 2 +[F X 2 (4) F X2 (3)] +( ) , 2 coclui-se que 4 é uma mediaa de X 2 [; a prova da sua uicidade é deixada como exercício]. [Em alterativa, ote-se que F X2 (3) F X2 (4 ) F X2 (4) (a) Dode o resultado (2) leve a cocluir que 4 é uma mediaa de X 2 ; a prova da sua uicidade é deixada como exercício.] (c) Obteha a probabilidade de o tempo etre duas chegadas cosecutivas de eleitores à mesa de voto (2.0) ser iferior a 2 miutos. Variável aleatória de iteresse T itervalo (em miutos) etre duas chegadas cosecutivas de eleitores Distribuição de T Uma vez que lidamos com um processo de Poisso com taxa igual a 2 eleitores por miuto, temos T Expoecial(λ), com λ 2. F.d.p. de{ T 0, t < 0 f T (t) 2 e 2t, t 0 Probabilidade pedida P(T < 2) P(T 2) e 2t dt [Alterativamete, e 2t 2 0 e P(T < 2) P(T 2) P(T > 2) P(X 2 0) e ! e ] Págia 2 de 6

3 Grupo II 0 valores. Numa dada empresa, o tempo de fabrico de peças de determiado tipo é uma variável aleatória com distribuição expoecial com valor esperado igual a 5 miutos. (a) Supodo que o fabrico de uma dessas peças ão está termiado ao fim de 3 miutos, qual é a (2.0) probabilidade de serem aida ecessários pelo meos 4 miutos adicioais até à sua coclusão? X tempo de fabrico de peça de determiado tipo Distribuição de X X Expoecial(λ) Parâmetro λ > 0 : E(X ) 5 λ 5 λ 0.2 Prob. pedida Tedo em cota que a f.d. de X é dada por F X (x) P(X x) x { pode cocluir-se que f X (t)dt P(X > X > 3) 0, x < 0 e 0.2x, x 0, P(X > 3 + 4) P(X > 3) F X (3 + 4) F X (3) [ e 0.2 (3+4)] ( e 0.2 3) e [Em alterativa, pode ivocar-se a propriedade de falta de memória da distribuição Expoecial e cocluir que P(X > X > 3) P(X > 4) F X (4) ( e 0.2 4) ] (b) Assumido que os tempos de fabrico das diferetes peças são variáveis aleatórias idepedetes, (3.0) calcule um valor aproximado da probabilidade de o tempo médio de fabrico de 36 peças ser superior a 6 miutos. V.a. X i tempo de fabrico da peça i, 36 i,..., Distribuição, valor esperado e variâcia comus X i i.i.d. X Expoecial(λ), i,..., λ 0.2 Págia 3 de 6

4 E(X i ) E(X ) µ λ, i,..., V (X i ) V (X ) σ 2, i,..., λ 2 X i X i tempo médio de fabrico de peças Valor esperado e variâcia de X E( X ) E ( i X ) i V ( X ) V ( i X i ) Xi idep. i E(X i ) X i X E(X ) E(X ) µ () 2 i V (X i ) X i X Distribuição aproximada de X Pelo teorema do limite cetral (TLC) pode escrever-se V (X ) V (X ) () 2 σ2 X E( X ) V ( X ) X µ σ a Normal(0,). Valor aproximado da probabilidade pedida P( X > 6) P( X 6) ( ) X µ P σ 6 µ σ T LC Φ 6 Φ λ λ 2 ( ) Φ(.2) tabel a/calc A classificação, atededo à distâcia a que a paraquedista A (respetivamete B) fica de certo alvo, é descrita pela variável aleatória X (respetivamete Y ). É sabido que X e Y possuem fução de probabilidade cojuta Y X (a) Obteha a probabilidade de as classificações das duas paraquedistas coicidirem. (.5) Par aleatório (X, Y ) X classificação da paraquedista A Y classificação da paraquedista B F.p. cojuta Dada pela tabela do euciado. Prob. pedida P(X Y ) P(X,Y ) + P(X 2,Y 2) + P(X 2,Y 2) Págia 4 de 6

5 (b) Serão X e Y variáveis aleatórias idepedetes? (.0) Averiguação de idepedêcia X e Y são v.a. INDEPENDENTES sse P(X x,y y) P(X x) P(Y y), (x, y) R 2. Por um lado, temos P(X,Y ) Por outro lado, Logo P(X ) P(Y ) [P(X,Y ) + P(X,Y 2) + P(X,Y 3)] [P(X,Y ) + P(X 2,Y ) + P(X,Y 3)] ( ) ( ) P(X,Y ) P(X ) P(Y ), e, como tal, X e Y são v.a. DEPENDENTES. (c) Admita que um prémio o valor de Euros (respectivamete 000 e 0 Euros) é atribuído caso (2.5) a paraquedista A obteha classificação (respetivamete 2 e 3 ). Determie o valor esperado e a variâcia do prémio atribuído à paraquedista A. 2000, x P g (X ), ode g (x) 000, x 2 0, x 3 F.p. margial de X P(X x) 3 y P(X x,y y) ecotra-se sumariada a tabela seguite: Y X 2 3 P(X x) Valor esperado de P 3 E(P) g (x) P(X x) x o. mometo de P 3 E(P 2 ) [g (x)] 2 P(X x) x Págia 5 de 6

6 Variâcia de P V (P) E(P 2 ) E 2 (P) Págia 6 de 6