ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Probabilidades e Combinatória

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Probabilidades e Combiatória Um jogo com dois dados Tarefa º Num jogo para duas pessoas, as regras são as seguites: - Em cada jogada, cada jogador laça um dado e somam-se os potos dos dois dados. - O jogador A marca um poto se a soma for,, 7 ou 8. - O jogador B marca um poto se a soma for,,, 9, 0, e. - Gaha quem primeiro obtiver 0 potos. Prefere ser o jogador A ou o jogador B? Justifique a. Simule com a calculadora usado a tecla e o comado radit( para escreverem a istrução seguite: Façam a simulação de 0 jogadas registem o úmero de vezes que sai cada soma e vejam quem gaha mais vezes, o jogador A ou o jogador B? Registe as jogadas de todos os aluos do vosso grupo a tabela seguite: QUADRO REGISTO DOS RESULTADOS OBTIDOS POR CADA GRUPO (Tabela I) Nomes Totais Frequêcia relativa Calcule a frequêcia relativa das jogadas vitoriosas para cada um dos jogadores A e B. Coclua quem lhe parece ir gahar? Professora: Rosa Caelas

2 b. Outra forma de resolver o problema é aplicar a Lei de Laplace. Idetifique os dados por exemplo, dado azul e dado vermelho e faça todas as somas possíveis dos resultados obtidos os dados. Registe-os uma tabela de dupla etrada como a seguite: + c. Orgaize uma tabela o úmero de casos favoráveis a cada resultado: Resultado Casos favoráveis d. Calcule a probabilidade de cada resultado e orgaize uma tabela de distribuição das probabilidades: Acotecimeto Probabilidade e. Costrua um gráfico com a distribuição de probabilidades que obteve. Agora comece por ler o exemplo da págia e resolver o exercício da mesma págia, em seguida resolva os exercícios, 8, e 9. Professora: Rosa Caelas

3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema I Probabilidades e Combiatória Um jogo com dois dados Tarefa º proposta de resolução Num jogo para duas pessoas, as regras são as seguites: - Em cada jogada, cada jogador laça um dado e somam-se os potos dos dois dados. - O jogador A marca um poto se a soma for,, 7 ou 8. - O jogador B marca um poto se a soma for,,, 9, 0, e. - Gaha quem primeiro obtiver 0 potos. Prefere ser o jogador A ou o jogador B? Justifique a. Simularam com a calculadora usado a tecla e o comado radit( para escreverem a istrução seguite: Cada aluo simulou pelo meos de 0 jogadas, registou o úmero de vezes que saiu cada soma e depois de jutar os seus valores com os do colega do lado, calcularam a frequêcia de cada resultado e verificaram quem gaha mais vezes, o jogador A ou o jogador B. Embora a cojectura fosse de que gaharia o jogador B, houve vários resultados. O maior úmero de grupos chegou à vitória do jogador A outros à vitória do jogador B e aida um grupo chegou ao empate. Isto levou-os a um estudo mais teórico da situação. b. Outra forma de resolver o problema é aplicar a Lei de Laplace. Idetifique os dados por exemplo, dado azul e dado vermelho e fazedo todas as somas possíveis dos resultados obtidos os dados. Registemos os resultados a tabela de dupla etrada seguite: Professora: Rosa Caelas

4 c. Orgaizemos uma tabela o úmero de casos favoráveis a cada resultado: Resultado Casos favoráveis d. Calculemos a probabilidade de cada resultado e orgaizemos uma tabela de distribuição das probabilidades: Acotecimeto Probabilidade e. Costrói-se, utilizado a calculadora, um gráfico com a distribuição de probabilidades que obtivemos. Agora vamos: ler o exemplo da págia e resolver o exercício da mesma págia, em seguida resolvemos os exercícios, 8, e 9. Da leitura do exemplo da págia decorre que o aluo pesou terem todas as somas a mesma probabilidade, mas do exercício que acabámos de resolver verificámos que as somas têm probabilidades diferetes. Acotecimeto Probabilidade Professora: Rosa Caelas E resolvedo o exercício da mesma págia ecotrámos como espaço de resultados o cojuto de todas as somas possíveis: { +,+,+,+,+,+, +, +, +, +, +, + } { +,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+ } { +,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+ } exercício da págia. a. Pretedemos calcular: P( X Y) = = E

5 + + 7 P( X Y) = = ( ) = = P( X\ Y) P X = = 0 b. A tabela que represeta o diagrama dado é: Y X #( X Y) Y = ( ) X #( X Y) = 7 ( ) # X Y = #X= # X Y = #X= #Y= 0 #Y= 0 #E = 0 exercício 8 da págia. Aceitado que a probabilidade de um poto pertecer a uma determiada região é directamete proporcioal à sua área podemos dizer que a probabilidade de um poto escolhido, ao acaso, o triâgulo [ABC] pertecer ao triâgulo [MNB] é, M B N como podemos cocluir da observação da figura ao lado ode o triâgulo [ABC] está dividido em triâgulos geometricamete iguais. A C exercício da págia. Um saco tem bolas umeradas de a. Extraem-se sucessivamete duas bolas e somam-se os potos obtidos. a. Para sabermos se a probabilidade de a soma ser par é maior se a extracção for feita com, ou sem, reposição vamos costruir duas tabelas Com reposição Sem reposição A probabilidade, quado a extracção é feita com reposição, é 8 = A probabilidade, quado a extracção é feita sem reposição, é = É maior a probabilidade quado a extracção é feita com reposição. Professora: Rosa Caelas

6 b. A probabilidade de a soma ser ímpar é: quado a extracção é feita com reposição. quado a extracção é feita sem reposição. A probabilidade de a soma ser ímpar é maior quado a extracção é feita sem reposição. exercício 9 da págia a. Laça-se um dado e obtém-se o valor de α a equação saber qual é a probabilidade da equação obtida ser impossível em. x + x +α= 0. Pretedemos A equação é impossível se 8α< 0 ( < 0), isto é 8α< 0 8α< α> Etão α tora a equação impossível se tomar os valores,, e. Logo a probabilidade pedida é = b. Laçam-se dois dados e obtêm-se os valores de k e m a sucessão u Determiemos a probabilidade de a sucessão ( u ) ser covergete. k =, com. m Ora u k k m = =, A sucessão m ( ) u é covergete se k m 0 k m m k Professora: Rosa Caelas