Lista IC, tamanho de amostra e TH

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1 Lista IC, tamaho de amostra e TH 1. Cosidere a amostra abaixo e costrua um itervalo de cofiaça para a média populacioal. Cosidere um ível de cofiaça de 99% Como ão temos o desvio padrão populacioal, devemos calcular o Itervalo de Cofiaça com base o desvio padrão amostral. O Itervalo de Cofiaça é: [x t 1,α S ; x + t 1,α S ] Probabilidade do I.C. coter o valor da média populacioal = 1 α = 99% α = 1% S = desvio padrão da amostra = i=1 (x i x )² 1 x = média da amostra = 19,33 S = 3,3 = úmero de elemetos da amostra = 1 t 1,α = t 11,0,5% = 3,106 Assim: I.C.= [19,33 3,106 3,3 I.C. = [16,43;,3] I.C. = 19,33 ±,90 1 3,3 ; 19,33 + 3,106 ] = [19,33,90; 19,33 +,90] 1. Um estagiário deseja costruir um itervalo de cofiaça para a resistêcia média de um certo tipo de parafuso. Este IC deve ter ível de cofiaça de pelo meos 99% e sua amplitude total ão deve ser superior a 0,5 Kgf/mm. Para determiar o tamaho da amostra, ele aalisou algus parafusos (amostra piloto) e obteve os seguites dados N = 0 Média Amostral = 56,5 Kgf/mm Desvio Padrão Amostral = 1,5 Kgf/mm Para determiarmos o tamaho da amostra, utilizamos os dados da amostra piloto por meio da seguite fórmula: = ( t 1,α S ) e 0 = quatidade de elemetos da amostra piloto = 0 Probabilidade do I.C. coter o valor da média populacioal = 1 α = 99% α = 1% t 1,α = t 19,0,5% =,861 S = desvio padrão amostral = 1,5 kgf/mm² e 0 = semi amplitude do Itervalo de Cofiaça 0,5 kgf/mm². Aalisaremos o caso limite em que e 0 vale 0,5 kgf/mm². = (,861 1,5 ) = 73,67 74 elemetos 0,5 3. Sua empresa está pesado em auciar seus produtos um uma estação de rádio. Uma pesquisa sobre audiêcia com 600 ouvites mostrou que esta estação era a preferida de 48 deles. Costrua um itervalo com 95% de cofiaça para a audiêcia da estação.

2 O Itervalo de Cofiaça é: [p z α p (1 p ) ; p + z α p (1 p ) ] p = frequêcia relativa amostral = 48/600 = 0,08 Probabilidade do I.C. coter o valor da frequêcia relativa populacioal = 1 α = 95% α = 5% z α = z,5% = valor para o qual P(0 Z z,5% ) = 0,5 α P(0 Z z,5% ) = 0,5 0,05 = 0,475 z,5% = 1,96 = tamaho da amostra = 600 Assim: I.C. = [0,08 1,96 0,08(1 0,08) 600 ; 0,08 + 1,96 0,08(1 0,08) ] 600 I.C. = [0,08 0,0; 0,08 + 0,0] = [0,058; 0,10] 4. Sabe-se que o percetual de pessoas que comprariam um determiado produto está etre 15% e 5%. Cotudo, o gerete de produto gostaria de costruir um itervalo de cofiaça ao ível de 99% para a parcela da população que compraria o produto cuja semi-amplitude ão fosse superior a %. Qual deveria ser o tamaho da amostra? Para descobrirmos o tamaho da amostra, devemos usar a seguite fórmula: = ( z α ) p(1 p) e 0 O problema é que descohecemos p (proporção populacioal) e p (proporção amostral). Porém podemos aalisar o fator p(1-p): No eixo x temos p e o eixo y temos p(1-p). É uma parábola com valor máximo igual a 0,5. Como sabemos que a proporção p de pessoas que comprariam um determiado produto está etre 15% e 5%, podemos aalisar o caso limite em que p vale 0,5. Este é o caso o qual o fator p(1-p) atige o valor máximo para p etre 0,15 e 0,5. Desse modo: = ( z α ) 0,5(1 0,5) = ( z α ) 0,1875 e 0 e 0 Probabilidade do I.C. coter o valor da frequêcia relativa populacioal = 1 α = 99% α = 1% z α = z 0,5% = valor para o qual P(0 Z z 0,5% ) = 0,5 α P(0 Z z 0,5% ) = 0,5 0,01 = 0,495 z 0,5%,58 e 0 = semi amplitude do Itervalo de Cofiaça % = 0,0. Aalisaremos o caso limite em que e 0 vale 0,0. = (,58 0,0 ) 0,1875 = 310, 311 elemetos.

3 5. Um egeheiro está avaliado a precisão de uma máquia que produz esferas para rolametos. Ele colheu uma amostra cujos, dados estão abaixo, e aalisou o diâmetro das esferas. Costrua um itervalo de cofiaça ao ível de 90% para variâcia populacioal. N = 0 Média Amostral = 3 mm Desvio Padrão Amostral = 1, mm O Itervalo de Cofiaça é: [ ( 1) S Χ ; ( 1) S 1,α/ Χ ] 1,1 α/ Probabilidade do I.C. coter o valor da variâcia populacioal = 1 α = 90% α = 10% S = desvio padrão amostral = 1, mm S = 1,44 mm² = Χ 19,5% = 30,144 Χ 1,α/ Χ 1,1 α/ Assim: I.C. = [ 19 1,44 = Χ 19,95% ; 19 1,44 30,144 10,117 = 10,117 ] = [0,908;,704] 6. Um técico de basquete está aalisado a possibilidade de cotratar um ovo ala para sua equipe. Ele recebeu a iformação que este jogador tem uma média de potos por partida superior a 16 e uma média de assistêcias por partida superior a 8. Para verificar esta iformação ele aalisou os dados das últimas 10 partidas (ver tabela abaixo) com ível de sigificâcia de 5%. As afirmações sobre potuação e assistêcia são aceitáveis? Partida Potos Assistêcias Para verificarmos se a afirmação sobre a potuação é aceitável, devemos testar a seguite hipótese: H 0 : μ = 16 H 1 : μ > 16 Como o desvio padrão populacioal é descohecido, rejeita-se H 0 se t 1 > t 1,α. α = ível de sigificâcia = 5% = tamaho da amostra = 10 t 1 = t 9 = x μ 0 S x = média da amostra = 16,9 μ 0 = valor a ser testado = 16 S = desvio padrão da amostra = t 9 = 16,9 16 3,31 10 = 0,860 t 1,α = t 9,5% = 1,833 i=1 (x i x )² 1 = 3,31

4 Como t 9 < t 9,5%, aceita-se H 0, ou seja, a média de potos ão é superior a 16 ao ível de sigificâcia de 5%. Para verificarmos se a afirmação sobre as assistêcias é aceitável, devemos testar a seguite hipótese: H 0 : μ = 8 H 1 : μ > 8 Como o desvio padrão populacioal é descohecido, rejeita-se H 0 se t 1 > t 1,α. α = ível de sigificâcia = 5% = tamaho da amostra = 10 μ 0 = valor a ser testado = 8 t 1 = t 9 = x μ 0 S x = média da amostra = 13,1 S = desvio padrão da amostra = i=1 (x i x )² 1 =,47 t 9 = 13,1 8 = 6,59,47 10 t 1,α = t 9,5% = 1,833 Como t 9 > t 9,5%, rejeita-se H 0, ou seja, a média de assistêcias é superior a 8 ao ível de sigificâcia de 5%. 7. Um gerete recebeu a iformação de que um fucioário estava com um desempeho médio abaixo do aceitável. O míimo aceitável para a produção média é de 500 uidades por dia. Na última semaa (5 dias úteis) a produção média do fucioário foi de 475 uidade com desvio padrão de 10. O desempeho está baixo? Use um ível de cofiaça de 1%. Para verificarmos se o desempeho está baixo, devemos testar a seguite hipótese: H 0 : μ = 500 H 1 : μ < 500 Como o desvio padrão populacioal é descohecido, rejeita-se H 0 se t 1 < t 1,α. α = ível de cofiaça = 1% = tamaho da amostra = 5 t 1 = t 4 = x μ 0 S x = média da amostra = 475 μ 0 = valor a ser testado = 500 S = desvio padrão da amostra = 10 t 4 = = 5, t 1,α = t 4,1% = 3,747 Como t 4 < t 4,1%, rejeita-se H 0, ou seja, o desempeho está baixo (produção média abaixo de 500 uidades) ao ível de cofiaça de 1%. 8. Uma empresa fez uma campaha de comuicação e deseja agora avaliar o desempeho desta iiciativa. Nos critérios atuais, uma campaha é cosiderada de sucesso se coseguir atigir pelo meos 30% do seu público alvo. Em uma amostra de 40 idivíduos, 0 afirmaram que viram as peças publicitárias. Ao afirmar que a campaha é um sucesso, qual a probabilidade de estar cometedo um erro? A empresa deseja avaliar se sua campaha é um sucesso, ou seja, se atige pelo meos 30% do seu público alvo. Assim, ela deve realizar o seguite teste: H 0 : p 0,3 H 1 : p > 0,3 ou, de modo aálogo:

5 H 0 : p = 0,3 H 1 : p > 0,3 Ambos são iguais se levarmos em cosideração que o segudo caso estamos elimiado a possibilidade de p < 0,3. Queremos saber qual a probabilidade da empresa estar cometedo um erro ao afirmar que a campaha é um sucesso. Em outras palavras, queremos saber qual é a probabilidade de rejeitar H 0 tal que H 0 é verdadeira. Essa probabilidade é exatamete a defiição do ível de sigificâcia (α). P(rejeitar H 0 /H 0 é verdadeira) = α Assim, queremos descobrir qual é o valor de α. Observe que podemos supor que p 5 e (1 p) 5. H 0 será rejeitada se z > z α. p p 0 z = p 0 (1 p 0 ) p = proporção observada a amostra = 0/40 = 0,5 p 0 = valor que queremos testar = 0,3 0,5 0,3 z = =,76 0,3(1 0,3) 40 No caso limite, z = z α (é o caso ode α será meor). Assim, z α =,76. Procurado a tabela, ecotramos P(0 Z z α ) = 0,4971 = 0,5 α α = 0,009 = 0,9%. 9. Um comprador deve escolher etre dois forecedores de parafusos. A escolha do forecedor será baseada a resistêcia dos parafusos. Uma amostra de cada fabricate foi aalisada e os resultados obtidos estão a tabela abaixo. Amostra 1 Tamaho 8 6 Média 56,38 64,5 Desvio padrão 0,74 3,15 a) O forecedor 1 é melhor por que a média de sua resistêcia é maior. b) O forecedor é melhor por que a média de sua resistêcia é maior. c) O forecedor 1 é melhor por que a variâcia de sua resistêcia é meor. d) O forecedor é melhor por que a variâcia de sua resistêcia é meor. e) O forecedor 1 é melhor por que a variâcia de sua resistêcia é maior. Já que a escolha do comprador será baseada a resistêcia dos parafusos, devemos verificar qual forecedor etrega a maior média de resistêcia. Assim, testaremos as hipóteses: H 0 : μ 1 = μ H 1 : μ 1 < μ ou μ > μ 1 Perceba que os dados ão são emparelhados (ou seja, as amostras ão estão relacioadas por algum critério de modo que haja uma ifluêcia marcate sobre ambas). Além disso, ão cohecemos os desvios padrão populacioais e ão sabemos se são iguais. Assim, utilizaremos o método de Aspi-Welch, já que as amostras ão são grades: H 0 será rejeitada se t ν < t ν,α. x 1 x 56,38 64,5 t ν = = S S 0, ,15 6 = 6,187 Para t ν,α, o úmero de graus de liberdade será dado por:

6 (w 1 + w )² ν = w 1 ( 1 + 1) + w, ode w ( + 1) 1 = S 1 e w = S 1 w 1 = 0,74² = 0,095; w 8 = 3,15² = 1, (0, ,65375)² ν = = 5,59 5 < ν < 6 0,095² (8 + 1) + 1,65375² (6 + 1) Observado a tabela de distribuições de t de Studet, podemos perceber que para ν = 5 e ν = 6, todos os graus de sigificâcia idicam que t ν < t ν,α. Assim, H 0 será rejeitada, e μ > μ 1. O forecedor é melhor porque a média de sua resistêcia é maior. 10. Com os dados da amostra ao lado é possível afirmar, ao ível de sigificâcia de 5%, que a variâcia populacioal é superior a 1,4? Para verificarmos se a variâcia populacioal é superior a 1,4, devemos testar a seguite hipótese: H 0 : σ = 1,4 H 1 : σ > 1,4 Rejeita-se H 0 se Χ 1 > Χ 1,α. α = ível de sigificâcia = 5% = tamaho da amostra = 9 Χ 1 = Χ 8 = ( 1) S σ 0 S = variâcia da amostra = i=1 (x i x )² 1 x = média da amostra = 10,55 S = 41,77 σ 0 = valor a ser testado = 1,4 Χ 8 = 8 41,77 = 6,948 1,4 Χ 1,α = Χ 8,5% = 15,507 Como Χ 8 > Χ 8,5%, rejeita-se H 0, ou seja, a variâcia populacioal é superior a 1,4 ao ível de sigificâcia de 5%. 11. Um dispositivo para redução do cosumo de combustível está sedo testado em veículos. Para cada veículo, foi medido o cosumo com e sem o dispositivo durate uma semaa de uso. Os dados estão abaixo. Ao ível de 5% e sigificâcia, é possível afirmar que o dispositivo reduz o cosumo de combustível? Veículo Cosumo médio (Km/l) Sem o dispositivo Com o dispositivo

7 Média 1,60 15,90 Desvio Padrão 4,5 1,66 Devemos verificar se a média de cosumo com o dispositivo é meor do que sem o dispositivo. Perceba que os dados são emparelhados, ou seja, os resultados das amostras estão relacioados dois a dois por algum critério de modo que haja uma ifluêcia marcate etre os pares, mas que essa ifluêcia seja igual em cada par. Nesse caso, a ifluêcia marcate é a característica de cada veículo. Porém, ela deve ser igual em cada valor de um determiado par, e se tomarmos a difereça etre cada par, essa ifluêcia tederá a desaparecer, sobrado somete os efeitos da iserção do dispositivo. Assim, faremos a seguite comparação: H 0 : μ d = = 0 H 1 : μ d > = 0 ode μ d = μ μ 1 é a difereça das médias com o dispositivo e sem o dispositivo. Fazedo a difereça etre as amostras, temos uma ova tabela: d = média das difereças = 3,30 S d = desvio padrão das difereças = H 0 será rejeitada se t 1 > t 1,α. α = ível de sigificâcia = 5% t 1 = t 9 = d S d t 1,α = t 9,5% = 1,833 Veículo Difereça d i Média d 3,30 Desvio Padrão S d 4,715 = 3,3 0 =,13 4, i=1 (d i d )² 1 = 4,715 Como t 9 > t 9,5%, H 0 será rejeitada, e μ d > 0. Ou seja, o cosumo é meor com o dispositivo. Respostas Q1 N 1 media 19,3 DP 3, GL 11 1-alfa 99,0% alfa 1,0% t 3,11

8 IC: 19,3 +/-,9 Q N 0 media 56,5 DP 1,5 GL 19 1-alfa 99,0% alfa 1,0% t,86 e 0,5 N amostra 74 Q3 N 600 f 48 p 8,00% 1-alfa 95,0% alfa 5,0% z 1,96 IC 8,0% +/-,% Q4 1-alfa 99,0% alfa 1,0% z,58 e,0% p max 5,0% N 3.11 Q5 N 0 media 3 DP 1, Var 1,44 1-alfa 90,0% alfa 10,0% / 30,14 1- / 10,1 Míimo 0,76 Máximo,5 Q6 Potos Não rejeitar Ho Média 16,9 DP 3,3 Var 11 Alfa 5% N 10 GL 9 t Calculado 0,86 t Crítico 1,83 Assistêcias - Rejeitar Ho Média 13,1 DP,5 Var 6,1 Alfa 5% N 10 GL 9 t Calculado 6,45 t Crítico 1,83

9 Q7 Valor 500 Média 475 DP 10 Var 100 alfa 1% N 5 GL 4 t Calculado -5,59 t Crítico -3,75 Está baixo sim Q8 N 40 f 0 p 50,0% Valor 30,0% z Calculado,53 Sigificâcia 0,57% Q9 Item B Q11 Veículo Sem Com Dif Média 3,3 DP 4,7 alfa 5,0% N 10 GL 9 t Calculado,1 t Crítico 1,83 Rejeitar Ho Q10 Valor 1,4 Média 10,56 Variâcia 41,78 N 9 GL 8 alfa 5% Calculado 6,95 Crítico 15,51 Rejeitar Ho