Processos Estocásticos

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1 IFBA Processos Estocásticos Versão 1 Alla de Sousa Soares Graduação: Liceciatura em Matemática - UESB Especilização: Matemática Pura - UESB Mestrado: Matemática Pura - UFMG Vitória da Coquista - BA 2014

2 Aula Notação e Axiomas da Probabilidade Supoha que um experimeto seja repetido vezes. probabilidade do eveto A ocorrer por ode (A) P (A) = lim (A), é dita a frequêcia relativa do eveto A. Note que: i) 0 (A) 1; ii) Se A B =, etão (A B) = (A) + (B) ou Se o eveto A ocorre (A) vezes, etão deotaremos a (A B) = (A) + (B). Seja S um espaço amostral fiito e A um eveto em S. Etão P (A) é um úmero real. Temos os seguite axiomas: i) P (A) 0; ii) P (S) = 1; iii) A B = P (A B) = P (A) +. Decorre dos axiomas acima as seguites propriedades: i) P (A) = 1 P (A); ii) P ( ) = 0; iii) A B P (A) ; iv) P (A) 1; v) P (A B) = P (A) + P (A B). Exemplo 1. Cosiderado o laçameto de um dado, determie: a) A probabilidade de ocorrer um úmero par; b) A probabilidade de ocorrer um úmero meor que 7; c) A probabilidade de ocorrer um úmero par ou um múltiplo de 5; d) A probabilidade de ocorrer um úmero par ou um múltiplo de 3. Temos espaço amostral do osso experimeto é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Assim, a) A = {2, 4, 6} P (A) = (A) (S) = 3 6 = 1 2 ; b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P (A) = 6 6 = 1; c) A = {2, 4, 6}, B = {5} P (A B) = P (A) + = = 4 6 = 2 3 ; Note que A B =. d) A = {2, 4, 6}, B = {3, 6} P (A B) = P (A) + P (A B) = = Evetos Igualmete Prováveis Cosidere um espaço amostral S fiito, com elemetos ode os ξ i são evetos uitários. Seja P (ξ i ) = p i. Etão, i) 0 p i 1, i = 1, 2,..., ; ii) p i = 1. S = {ξ 1, ξ 2,..., ξ } 1

3 iii) Se i I ξ i, ode I é uma coleção de subídices, etão P (A) = ξ i A P (ξ i ) = i I Se todo elemeto ξ i (i = 1, 2,..., ) são equiprováveis, isto é, p i. temos que p 1 = p 2 =... = p p i = 1, i = 1, 2,..., P (A) = (A), ode (A) é o úmero de elemetos pertecetes ao eveto A e é o úmero de potos simples (evetos uitários) de S. Exemplo 2. Cosidere uma fote de telégrafo gerado dois símbolos, potos e traços. Observou-se que os potos eram duas vezes mais propesos a ocorrer que os traços. Ecotre a probabilidade de ocorrêcia dos potos e traços. P (poto) = 2P (traco) P (poto) + P (traco) = 1 2P (traco) + P (traco) = 1 P (traco) = 1 3, P (poto) = 2 3. Exemplo 3. O espaço amostral S de um experimeto aleatório é dado por S = {a, b, c, d}, com probabilidades P (a) = 0, 2, P (b) = 0, 3, P (c) = 0, 4 e P (d) = 0, 1. Determie a probabilidade de ocorrêcia do eveto A B, ode A = {a, d} e B = {b}. P (A B) = P ({a, d} {a, c, d}) = P ({a, d}) = P (a) + P (d) = 0, 2 + 0, 1 = 0, 3. Exemplo 4. No laçameto de um dado, a probabilidade de cair cada face é a mesma, este caso, temos um espaço amostral equiprovável. Observe que isto ão ocorre os Exemplos 2 e Probabilidade Codicioal A probabilidade codicioal de um eveto A dado um eveto B, deotada por P (A B), é defiida como Aalogamete, P (A B) = P (B A) = Decorre imediatamete de (1) e (2) a regra a chamada Regra de Baye: P (A B) = P (A B), > 0. (1) P (A B), > 0. (2) P (A) P (B A)P (A) Exemplo 5. Cosidere o experimeto aleatório de jogarmos dois dados e observarmos seus resultados. Determie a probabilidade de se obter resultados iguais sabedo que a soma dos resultados ão é maior que 3. Cosideremos os evetos A = resultados igais = {(1, 1), (2, 2),..., (6, 6)} (A) = 6 B = soma 3 = {(1, 1), (2, 1), (1, 2)} (B) = 3 (3) Temos que A B = {(1, 1)} e portato, P (A B) = P (A B) =

4 0.4 Probabilidade Total Os evetos A 1, A 2,..., A são ditos mutuamete exclusivos e exaustivos se A i = A 1 A 2... A = S e A i A j = i j. Seja B um eveto qualquer em S. Etão = P (B A i ) = P (B A i )P (A i ) que é a probabilidade total do eveto B. Usado a regra de Baye, temos P (A i B) = P (B A i )P (A i ) P (B A i)p (A i ). Exemplo 6. Uma empresa produtora de relês elétricos tem três fábricas que produzem 50, 30 e 20 por ceto, respectivamete, do seu produto. As probabilidades de que um relê fabricado por estas fábricas seja defeituoso são 0, 02, 0, 05 e 0, 01, respectivamete. a) Se um relê é selecioado aleatoriamete a partir da saída da empresa, qual é a probabilidade de que ele esteja com defeito? b) Se em um relê selecioado aleatoriamete é ecotrado defeito, qual é a probabilidade de que ele teha vido da fábrica 2? a) Seja eveto B = o relê apreseta defeito; eveto A i, i = 1, 2, 3 = ter vido da fábrica i. Assim, = 3 P (B A i )P (A i ) = 0, 02.0, 5 + 0, , 01.0, 2 = 0, 027. b) Queremos P (A 2 B), P (A 2 B) = P (B A 2)P (A 2 ) = 0, 05.0, 3 0, 027 = 0, Evetos Idepedetes Dois evetos A e B são ditos idepedetes se, e somete se, Decorre imediatamete de (1) que P (A B) = P (A). P (A B) = P (A).. Exemplo 7. Cosidere o experimeto de jogar dois dados. Seja A o eveto de que a soma dos resultados seja igual á 7, B o eveto de que a soma dos resultados é 6 e C o eveto em que o primeiro dado é 4. Mostre que os evetos A e C são idepedetes, mas B e C ão. Temos que A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (5, 2), (6, 1)}, B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} e C = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}. Temos que A B = {(4, 3)} e B C = {(4, 2)}. Assim, P (A) = 6 36 = 1 6, = 5 36 P (C) = 6 36 = 1 6 P (A C) = 1 36 = P (A)P (C) evetos idepedetes P (B C) = = P (C) evetos ão idepedetes 3

5 0.6 Exercícios Exercício 1. Um experimeto cosiste em observar a soma dos resultados obtidos o laçameto de dois dados(exercício 4 - Aula 1). Determie a) a probabilidade de que a soma seja 7; b) a probabilidade de que a soma seja maior do que 10. Respostas: a) 1 6, b) Exercício 2. Existem pessoas em um quarto. a) Qual é a probabilidade de que pelo meos duas pessoas teham a mesma data de aiversário? b) Calcule essa probabilidade para = 50. c) Como grade ecessidade ser para isso probabilidade de ser maior do que 0, 5? Respostas: a) 1 P (A), ode P (A) = (A) (S) = (365).(364)...(365 +1) (365), b) 0, 97, c) = 23 Exercício 3. Uma comissão de 5 pessoas deve ser selecioado aleatoriamete a partir de um grupo de 5 homes e 10 mulheres. a) Ecotre a probabilidade de que a comissão seja composta por dois homes e três mulheres; b) Ecotre a probabilidade de que a comissão seja composta somete por mulheres. Respostas: a) 0, 4, b) 0, 084 Exercício 4. Cosidere a experiêcia de jogar uma moeda hoesta repetidamete e cotado o úmero de laçametos ecessário até que a primeira face cara apareça. a) Determie o espaço amostral do experimeto; b) Ecotre a probabilidade de que o primeira face cara apareça o lace k ésimo laçameto; c) Verifique que P (S) = 1. Respostas: a) S = {1, 2, 3,...}, b) p k = 1 2 k, c) k=1 1 2 k = 1 Exercício 5. Cosidere o experimeto do Exercício 4. a) Ecotre a probabilidade de que a primeira face cara apareça em um lace de úmero par. b) Ecotre a probabilidade de que a primeira face cara apareça em um lace de úmero ímpar. Respostas: a) 1 3, b) 2 3 Exercício 6. Duas fábricas produzem peças similares. A Plata 1 produz 1000 partes, 100 das quais são defeituosas; a Plata 2 produz 2000 peças, 150 das quais são defeituosas. Uma parte foi selecioada aleatoriamete e foi ecotrado defeito. Qual é a probabilidade de que ela teha vido da fábrica 1? Resposta: 0, 4 Exercício 7. Um lote de 100 chips semicodutores cotém 20 peças defeituosas. Dois chips são selecioados de forma aleatória, sem substituição, do lote. a) Qual é a probabilidade de que o primeiro chip selecioado seja defeituoso? b) Qual é a probabilidade de que o segudo chip selecioado seja defeituoso, uma vez que o primeiro teha sido defeituoso? c) Qual é a probabilidade de que ambos estejam com defeito? Respostas: a) 0, 2, b) 0, 192, c) 0, 0384 Exercício 8. Um úmero é selecioado aleatoriamete a partir de {1, 2,..., 100}. Dado que o úmero seleccioado é divisível por 2, ecotre a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou 5. Resposta: 0, 46 4

6 p 1, q 0 e q 1 p 0 = P (y 1 x 0 ), p 1 = P (y 0 x 1 ), q 0 = P (y 0 x 0 ) e q 1 = P (y 1 x 1 ), Exercício 9. Duas cartas são retiradas aleatoriamete a partir de uma deck. Ecotre a probabilidade de que ambos sejam ases. Resposta: Exercício 10. Supoha que um teste de laboratório para detectar uma determiada doeça teha as seguites estatísticas: eveto A = a pessoa testada tem a doeça eveto B = o resultado do teste seja positivo. Sabe-se que P (B A) = 0, 99 ep (B A) = 0, 005 e 0, 1 por ceto da população tem realmete a doeça. Qual é a probabilidade de que uma pessoa tem a doeça, uma vez que o resultado do teste teha sido positivo? Dica: Use = P (B A)P (A) + P (B A)P (A). Resposta: 0, 165 Exercício 11. Dois úmeros são escolhidos aleatoriamete etre os úmeros de 1, 2,..., 10, sem reposição. Ecotrar a probabilidade de que o segudo úmero a ser escolhido seja igual a 5. Resposta: 1 10 Exercício 12. Cosidere um caal de comuicação o qual a etrada do caal, X, pode assumir o estado 0 ou 1, e similarmete, a saída do caal, Y, pode assumir o estado 0 ou 1. Por causa do ruído de caal, uma etrada 0 pode ser covertida para uma saída 1 e vice-versa. O caal é caracterizado pelas probabilidades de trasição de caais p 0, ode x 0 e x 1 deotam os evetos (X = 0) e (X = 1), respectivamete, e y 0 e y 1 deotam os evetos Y = 0 e Y = 1, respectivamete. Note que p 0 + q 0 = 1 = p 1 + q 1. Se P (x 0 ) = 0, 5, p 0 = 0, 1 e p 1 = 0, 2. a) Exiba P (y 0 ) e P (y 1 ); b) Se 0 foi observado a saída, qual a probabilidade de 0 ter sido o valor de etrada? c) Se 1 foi observado a saída, qual a probabilidade de 1 ter sido o valor de etrada? d) Calcule a probabilidade de erro P e. Respostas: a) P (y 0 ) = 0, 55, P (y 1 ) = 0, 45, b) 0, 818, c) 0, 889, d) 0, 15 Exercício 13. No experimeto de jogar dois dados justos, seja A o eveto de o primeiro dado apresetar um resultado ímpar, B o eveto em que o segudo dado apresete um resultado ímpar, e C o eveto em que a soma seja ímpar. Mostre que os evetos de A, B, e C são dois a dois idepedete, mas A, B, e C ão são idepedetes. Respostas: P (A B) = P (A C) = P (A C) = 1 4, P (A B C) = 0 P (A)P (C) = 1 8 5

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