1 Cálculo combinatório e probabilidades

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1 álculo combiatório e robabilidades Atividade de diagóstico.. a) A { x Z: x x 0 0} ± + 0 x x 0 0 x ± x x x A {,,,,, 0,,,,,, } b) B { x R: x x } x x x x x x x + 9 Pág... a) Afirmação verdadeira b) Afirmação falsa orque c) Afirmação verdadeira d) Afirmação falsa. é o úico elemeto de B e { }. e) Afirmação falsa orque o cojuto {, } ão é elemeto de f) Afirmação verdadeira g) Afirmação verdadeira h) Afirmação verdadeira. U {,,,,,,,, 9, 0,, } A {,,,, } B {,,, 9, 0} Pág. 9 x x x ± 9 0 ± x x x Verificação: x : (F) x : (V) B { } c) { x N: x é divisor de } {,,,,, } d) A B { } B {,,,,, 0,,,,,, } A B A e) A {,,,, } A {,,,,, 0,,,,,,, } f) B { } {,,,,,}.. Por exemlo: B { } {,,,,, } {,,,,,, } a) P { 0,, } e Q {, } b) P { 0,, } e Q {,, } c) P { 0,, } e Q { 0,,,, } d) P { 0,, } e Q { 0, } e) {,,,,, 0, } P e Q { 0,,,,,, }.. A B {, } A B {,,,,,, 9, 0}.. A\ B {,, } { } B\ A, 9, 0.. A {,,, 9, 0,, } B {,,,,,, }.. A B {,,,,,, 9, 0,, }.. A B {,,, }. x A x R: x x + A B x x 0 x x + x + x ( + ) ( + ) x x x x x x 0 x x ( + ) x 0 ], ] ] 0, ] álculos auxiliares: ± + x x 0 x x x x x + 0 x 0 x A B

2 .. Itrodução à aálise combiatória x 0 + x x x (x + ) Q +.d 0 +.d 0 + A ], ] ] 0, ] B [, [.. ( A B) { } A ( B ).. ( ) A B {,,,,, } {,, }.. ( ) {,,,,,,, } ( A B) ( A ) A B {,,,,,,,, 9, 0}.. ( ) A ( B ) A B {,,,,, } {,,,,,, 9, 0}.. A ], ] ] 0, ].. A B { } ] 0, [.. A B ], ].. A ], ] ], 0] ], + [.. B ], [ [, + [.. A\ B ], [ [, ].. B\ A ], 0] A B B A. A {,, } e B {a, b}.. a) A B {(, a), (, b), (, a), (, b), (, a), (, b)} b) B A {(a, ), (a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (b, )} c) A A A {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),.. Por exemlo: ( a ),, A B A ( a, b, b) B (, ), (, ), (, )}.. Itrodução ao cálculo combiatório Atividade iicial. U {,,,,,,,, 9, 0,, } A {,,,,, } B {,,,, 0} {,,,,, 9}.. A B {, } A {,, } B {,, }.. A B {,,,,,,,, 0} A {,,,,,,,, 9} B {,,,,,, 9, 0} Pág. 0.. A B B A {,,, } ( A B) ( A ) x A B x A x B x B x A x B A.. ( A B) A ( B ) x ( A B) x ( A B) x ( x A x B) x x A ( x B x ) ( ) x A B.. A ( B ) ( A B) ( A ) x A ( B ) x A x ( B ) x A ( x B x ) ( x A x B) ( x A x ) x ( A B) x ( A ) x ( A B) ( A ).. ( A B) A A B A ( A A) B U B U.. ( A B) A ( A A) ( B A) ( A B) A B.. ( A B) A A B A ( A A) B B Pág.

3 .. Itrodução à aálise combiatória. ( A B) ( A B) Leis de De Morga ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) Distributividade A ( B B ) A A Pág... ( A B) ( A ) ( A B) ( A ) ( A B) ( A ) A ( B ) A B B B.. A B A B A B.. A B A B A B B\ A.. A ( A B) A ( A B) ( A A) B B.. ( A B) ( A B) ( A B) ( A B ) ( A B) ( A B ) ( A A) B B B.. A B \ A A B \ A.. ( A B) A B A B B ( A A) ( B A ) ( B A) A B B A B B B A B B ( B B ) B A B B B A U ( U A) U U A U A B A B.. ( \ ) A ( B ) B B A A\ Pág.. ( B A) ( A ). + ( B ) A { a, b, c} { a, d } Pág. {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} a a a d b a b d c a c d A Sara tem cico ossibilidades de escolha.. ocertos Filmes.. + O João ode escolher um dos evetos de seis maeiras diferetes. Pág. Pág. 9.. O João ode fazer a escolha de oito maeiras diferetes. 9.. Etrada Prato Sobremesa É ossível fazer refeições diferetes. 9.. Etrada Prato Sobremesa Soa de eixe Salada + + Refeições com soa de eixe e rato de eixe É ossível fazer refeições diferetes. Pág Ida Volta O Alexadre ode escolher camihos diferetes.. Há três maeiras ara escolher o raaz que fica o lugar do meio da fila da frete. Relativamete aos restates

4 .. Itrodução à aálise combiatória cico lugares há cico maeiras de escolher o ocuate do.º, quatro maeiras de escolher o ocuate do.º, e assim sucessivamete: Lugar do meio Restates lugares (fila da frete).º.º.º.º.º 0 Há 0 maeiras de ocuarem os seis lugares. d).ºa.ºa.ºa, x < 00 0,, 00 < x < 0 0, 0 x < É ossível escrever úmeros iferiores a.. Há quatro maeiras de escolher os lugares das raarigas ( e, e, e e ). Escolhidos os dois lugares há duas maeiras de setar as raarigas (ode ser AB BA). Há, ortato, maeiras de as raarigas ocuarem os lugares. No que reseita aos três raazes do gruo, ara o.º há três hióteses de escolha de lugar, ara o.º há duas hióteses e ara o.º só há um lugar disoível:.º.º.º Raazes Hióteses de escolha Logo, os restates quatro odem ocuar os lugares de maeiras diferetes. Os cico joves odem ocuar os lugares de maeiras diferetes....º A.ºA.ºA 0 É ossível escrever 0 úmeros... a).º A.ºA.ºA O algarismo das uidades é 0. Pág. O algarismo das uidades é, Ou 0 0 úmeros ímares É ossível escrever 0 úmeros ares. b).º A.ºA.ºA O algarismo das uidades é 0. O algarismo das uidades é. + É ossível escrever múltilos de. c) 0,,,,,,.º A.ºA.ºA O.º algarismo é,,. 0 É ossível escrever 0 úmeros sueriores a É ossível formar matrículas....º A.º A.º A.º A Existem 90 caicuas....º A.º A.º A.º A 9 9 Diferete de 0 Diferete do aterior,, Existem úmeros ares que são caicuas... 0 Podem ser feitas 0 badeiras... 0 Podem ser feitas 0 badeiras. Qualquer cor exceto a da.ª lista or igual à da.ª lista Qualquer cor exceto a da.ª lista Qualquer uma das cico cores Qualquer cor exceto a da.ª lista...º caso: A tira cetral também é vermelha. Diferete de vermelho Pág..º caso: A tira cetral ão é vermelha Diferete de vermelho e da tira cetral Podem ser feitas + badeiras.. 00 a b.. Qualquer úmero da forma c, com a { 0,,, }, b { 0,, } e c { 0,, }. a b c O úmero 00 tem divisores

5 .. Itrodução à aálise combiatória a b.. É um úmero da forma c em que, ara ão ser múltilo de, o valor de a só ode ser 0 (uma hiótese). a b c 9 O úmero00 tem ove divisores ímares. # A.. P # A 09 O cojuto A tem 09 subcojutos... #B B tem + subcojutos de cardial iferior a (cojuto vazio e cojutos sigulares). + # P B.. P 9.. a) # #, logo # 9. O cojuto tem ove elemetos. b) c)!!!!! 9! 0 9! 9!!! ( 0 9 9)!! 9 00! 00! 00 0! 0 9! 0 99! 9! 99! 9 9! 9 9 d) 00! 9! 00 99! 9! ( + )(! ) 0.. ( + )(! ) +! +! + +! +! ( ) ( ) +! + +! + + +! +!!!!! ! 00! ! 9! 0.. ( )( ) ( )( )(! )! ( ) ( )!! Pág. Pág. Pág !!!!!!!! ( ) ( ) 9+!!!!!!.. ( ) ( )!! ( )( )( ) (! )! { } + 0 N \, { } 0 0 N \, ± 9+ 0 N \{,} N { } \,.. ( )!!!! 0 0 0! 0 { } N 0! 0 \ ± + N \{ } ± N \{ } { } 9 N \ 9.. ( ) ( )! +! +!! + +! + +! 0 N! N! N N 0 ± + N Atividades comlemetares. ( A\ B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A A) ( B B) N Pág...!!!!!!! 0 ( ) A

6 .. Itrodução à aálise combiatória.. ( A B)\ A ( A B) A ( A A) ( B A) ( B A) B\ A.. ( A B)\ B ( A B) B ( A B) ( B B) ( A\ B) A\ B. A B A A ( A A) ( B A) ( B A) B A B A A. \ B A B A A B B A A U A A A. A ( B A) \( A B) ( A B) A B A ( A B) A B A ( A B) ( A A) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) A B. A {,,} ; B {,} ; {,}.. ( A) ( B) ( A B) {,} {,,} {(, ), (, ), (, ), (, ),(, ), (,) }.. ( A\ B) {,} { } {(, ), (,) }.. ( A) \ ( B) { },,,,,,,,,,, \ \{(, ), (, ), (, ), (, )} {(, ), (,) } 9.. Ida Volta Número de oções 9 Pode ser escolhido de ove modos diferetes. 9.. Ida Volta Número de oções Pode ser escolhido de seis modos diferetes. 0.. O algarismo das uidades ode ser,. Para cada um dos restates três algarismos temos seis ossibilidades:.º A.º A.º A.º A Podem-se escrever úmeros. 0.. O algarismo das uidades ode ser, (cico hióteses). O rimeiro algarismo tem de ser diferete do

7 .. Itrodução à aálise combiatória último (cico hióteses), o segudo tem de ser diferete do último e diferete do rimeiro (quatro hióteses), etc..º A.º A.º A.º A 0 Podem-se escrever 0 úmeros. 0.. Para o algarismo das uidades temos uma hiótese (só ode ser ); ara o rimeiro algarismo temos três hióteses (ode ser, ); ara o segudo e terceiro algarismos temos seis hiótese:.º A.º A.º A.º A 0 Podem-se escrever 0 úmeros.. A rimeira essoa (vamos admitir que é uma raariga) tem oito hióteses ara escolher lugar. A seguda raariga tem seis hióteses (ficaram elimiados os dois lugares do baco já ocuado), a terceira raariga tem quatro hióteses de escolha e ara a última raariga restam dois lugares do último baco. Os quatro lugares que sobram os quatro bacos são ocuados elos quatro homes: o rimeiro tem quatro hióteses de escolha, o segudo tem três, o terceiro tem dois e o quarto ocua o úico lugar aida vago. 9 Mulheres Homes O resultado é o mesmo se o rimeiro a escolher lugar for um raaz. Os lugares odem ser ocuados de 9 maeiras diferetes.. omo a Sara faz arte da equia é ecessário covocar mais uma raariga (etre ) e um raaz (etre ) elo que o úmero de hióteses é. É de excluir a solução corresodete à escolha da Aa e do Xavier. Logo, temos 9 ossibilidades de escolha.. # A. # P A Excluído o cojuto vazio, temos subcojutos. ( ( + ) ) ( + )! +! +! +! + +!! ( + ) ( + ) Pág. 9..º A.º A.º A.º A Podem ser escritos 00 úmeros...º A.º A.º A.º A Podem ser escritos 0 úmeros...º A.º A.º A.º A. a) 0,,, Não ode ser Todos os úmeros om os algarismos todos diferetes Podem ser escritos úmeros. b) c).º A.º A.º A.º A 9.º A.º A.º A.º A O algarismo das uidades é 0. Diferete de 0 O algarismo das uidades é,, Diferete de 0 e do algarismo das uidades Podem ser escritos 9 úmeros Podem ser escritos 0 úmeros. 9 x < < x < < x < Podem ser escritos 0 úmeros... Delegado Subdelegado 00 Podem ser escolhidos de 00 maeiras... Delegado Subdelegado Duas raarigas 0 9 Dois raazes

8 .. Itrodução à aálise combiatória Podem ser escolhidos de 00 maeiras... Delegado Subdelegado 0 Raaz-raariga 0 Raariga-raaz Podem ser escolhidos de 00 maeiras.. No oto X tem duas hióteses: artir ara A ara. Deois, semre que ecotra uma rua trasversal tem também duas hióteses: seguir em frete virar ara essa rua o que acotece em seis ocasiões. Assim, existem trajetos diferetes. A extração ode ser feita de modos diferetes. 9.. V V P P + 00 A extração ode ser feita de 00 modos diferetes. 9. osideremos dois casos: a rimeira carta é o ás de 0. esadas a rimeira carta é de esadas mas ão é o ás:.ª carta.ª carta Há cartas que ão são ases. Há cartas que ão + são ases. Preto Braco Braco Braco Preto Preto ( ) + ( ) + ( 9 ) atos Lados etrais Os dois reis odem ocuar as casas de maeiras diferetes....º A.º A.º A.º A 9 Números que começam or,,,,, 9 Números que começam or e cujo O cojuto A tem 9 elemetos segudo algarismo é, 9.. omecemos or calcular em quatos elemetos de A ão figura o 0 em o (aeas se odem usar oito algarismos,,,,,, e 9).º A.º A.º A.º A Números que começam or,,,, 9 Números que começam or e cujo + 0 segudo algarismo é 9 Em 9 0 elemetos de A. 9.. O baralho tem cartas vermelhas (V) e cartas retas (P). V P A extração ode ser feita de modos diferetes. 9.. V P P V +.!!! Avaliação ( + ) ( )! +!! ( + ) (( + ) ) ( ) ( ) + + +! +! +! + +!!! ( + ) ( + ) ( + ) +!! ( + ) ( + ). ( A\ B) ( A B). ( A B) ( A B) A ( B B) A U A Resosta: (B) Pág. 0

9 .. Itrodução à aálise combiatória. A B,# A e # B Sabe-se que A B A A B B. # A B # A # A B # B Resosta: () Matemática A Física A escolha ode ser feita de maeiras. Resosta: (B). Números aturais de quatro algarismos:.º A.º A.º A.º A Números aturais de quatro algarismos, excluido o zero:.º A.º A.º A.º A Resosta: (). O algarismo 9 só ode ser o rimeiro (das dezeas de milhar) o segudo (dos milhares).º caso.º A.º A.º A.º A.ºA 9 9.º caso.º A.º A.º A.º A ºA Resosta: (A) Diferete de 9 Algarismo 9 Diferete de 9 Algarismo 9 Diferete de 9. São reechidos cico lugares:,,,, Número de soluções: Resosta: (D) Para os restates três lugares, há três hióteses ara o.º, duas ara o.º e uma ara o.º As estrelas odem trocar etre si. As estrelas odem ocuar os lugares,,. Pág... Rua de ima Rua do Meio Rua do Meio Rua de Baixo Pode escolher trajetos... Ida Volta 0 Pode escolher 0 trajetos....º A.º A.º A.º A,,, 9 Diferete de 0 e do.º algarismo Pode formar 0 úmeros ímares...,,,,, 9 x < 000 0,,,,, 000 < x < 00 0,,, 00 < x < Pode formar úmeros. 9.. Presidete Tesreiro Relações úblicas É ossível formar comissões. 9.. Presidete Tesreiro Relações úblicas 9 É ossível formar 9 ossíveis comissões. 9.. Presidete Tesreiro Relações úblicas O delegado é residete. O delegado é tesreiro. O delegado é relações úblicas. 9 É ossível formar 9 comissões. 9.. Presidete Tesreiro R.Públicas 0 É ossível formar 0 comissões só de raarigas. 9.. omissões só com raarigas: 0 omissões só com raazes: 0 É ossível formar 0 0 comissões mistas. 0. ( ) +!! ( ) +!! ( ) +!!

10 .. Itrodução à aálise combiatória. x ( x )! 0! ( x ) x x x! 0! 0 ( x ) x x 0 0! 0 ± + 0 x ± x x 0 x omo x, etão x... Para 0, temos 0 > 0. Se N, é o úmero de subcojutos de um cojuto com elemetos. Portato, atededo a.., + elo que, como N, + >, ode-se cocluir que: >, N.. Um cojuto com elemetos tem, etre os seus subcojutos, o cojuto vazio e cojutos sigulares (cada um formado com um elemeto do cojuto dado). Logo, um cojuto com elemetos tem elo meos + subcojutos.

11 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto.. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal e Biómio de Newto. A { a, b, c, d} B {, q, r, s, t} Duas retas em A : a, b, a, c, a, d, b, c, b, d, c, d { } { } { } { } { } { } Pág. Seis oções Duas retas em B :, q,, r,, s,, t, q, r, q, s, q, t, { } { } { } { } { } { } { } { r, s}, { r, t}, { s, t } Dez oções 0 0 Portato, seriam formados 0 aralelogramos..... Assim: 0 A 0 0 Exclui todas as bolas em A todas em B Existem 0 maeiras diferetes..ºa.ºa.ºa.ºa A É ossível formar PIN..ºA.ºA.ºA.ºA É ossível formar 00 PIN. Pág A 9 Podem-se obter 9 úmeros..ºa.ºa.ºa.ºa 0 0 úmeros A,,,, Pág. Pág. O resultado de um teste ode ser registado de maeiras... Letras Algarismos 0 A A É ossível formar códigos. 0 A A L L L L A A A 0 00 É ossível formar 00 códigos.. Para cada chávea tem duas oções: rateleira A rateleira B Por exemlo, a escolha AABBBB sigifica que as duas rimeiras cháveas ficam a rateleira A e as restates a B. Temos, ortato, A maeiras de dividir as duas cháveas elas duas rateleiras (são excluídas as oções AAAAAA e BBBBBB que corresodem a arrumar todas as cháveas uma rateleira).. Para cada bola há duas oções: caixa A caixa B.. PIN com os algarismos todos diferetes..ºa.ºa.ºa.ºa PIN com elo meos dois algarismos iguais om os algarismos todos diferetes Todos os PIN É ossível formar 90 PIN..ºA.ºA.ºA.ºA Igual ao.º É ossível formar 000 PIN..ºA.ºA.ºA.ºA É ossível formar 90 PIN..º.º.º.º.º A Júri É ossível formar PIN. 0 A 0 0 É ossível formar 0 PIN. Diferete do.º A Diferete do.ºa Diferete do.ºa Possibilidades de escolha 9. Raarigas (M): ; raazes (H): 9.. A 00 Ou Pág.

12 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto Presidete Tesreiro Relações úblicas 00 É ossível formar 000 comissões. A 00 Ou Presidete Tesreiro Relações úblicas 00 É ossível formar 00 comissões. A É ossível formar comissões. A 0 0 É ossível formar 0 comissões. 9.. A ( A A ) É ossível formar 09 comissões. A 0.º.º.º.º Pessoas Lugares 0 Podem-se setar de 0 maeiras... A Podem-se formar 9 00 sequêcias... Ás 0 9 A Ás São retirados os ases A 0 Podem-se formar 0 sequêcias.. # A e # B a a a a.. A 0 É ossível defiir 0 fuções ijetivas. a a a a.. A 9. Número de fuções ão ijetivas: É ossível defiir 9 fuções ão ijetivas. A + A ( + ) ( ) + Pág... A ± + 0 ± A N 9 0 N ( 0 9) N 9.. A A ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ± 9+ 0 ± 0 0 Biologia Matemática A... P 0 0! 00 Podem-se arrumar os livros de 00 maeiras... P P P!!! 0 Ordem das discilias Ordem dos livros de Matemática A Ordem dos livros de Biologia Podem-se arrumar os livros de 0 maeiras.. N U M E R A D O Não há letras reetidas. A alavra tem oito letras... P! 0 0 Existem 0 0 aagramas... Vogais: osoates: V V P Pág. 9 Pág. 0

13 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto P! 0 Existem 0 aagramas... NUM! 0 Número de osições que o gruo NUM ode ocuar Número de maeiras de ordear as restates letras Ou NUM E R A D O Há seis objetos ara ordear (o gruo NUM e mais cico letras) o que ode ser feito de! 0 maeiras diferetes. Existem 0 aagramas... P P!! 0 Número de maeiras de ordear seis objetos (o gruo NUM mais cico letras) Número de maeiras de ordear as três letras de NUM Existem 0 aagramas... P! 0 Número de maeiras de ordear as restates seis letras Existem 0 aagramas... P P P!!! cosoates Existem aagramas.. Raazes (H): ; raarigas (M):..!!! ode ser VVVV VVVV úmero de maeiras de ordear as quatro vogais úmero de maeiras de ordear as quatro ode ser raazes raarigas raarigas raazes úmero de maeiras de ordear as quatro raarigas úmero de maeiras de ordear os três raazes Podem-se disor de maeiras...!!!! as raarigas odem ficar o iicio da fila, o fim etre os raazes ( hióteses) úmero de maeiras de ordear os três raazes mais o bloco das quatro raarigas úmero de maeiras de ordear as raarigas Podem-se disor de maeiras...! 0 (é o úmero de maeiras de ordear os restates seis) Podem-se disor de 0 maeiras... omo há três raazes (H) e quatro raarigas (M) terá de ser MHMHMHM. Logo, o úmero de oções é!!. Podem-se disor de maeiras...!! 0!! 0 Número de maeiras de ordear os restates cico + o ar de amorados Pode ser João-Joaa Joaa-João Número de lugares que ode ser ocuado elo ar João-Joaa Ordeação dos restates cico Pode ser João-Joaa Joaa-João Podem-se disor de 0 maeiras.!.. a)!!.. 9.! 0! 000! 99!! b) c) ! 99! A! ! 0 90! 00!! 0! 0! 90! 00! 0! 0! 0! 00!! 0! 0! 0! 00!! 0! 0!!!!!!! Logo,!!! ( ) N é múltilo de!. A! Pág. 0. Um dodecágoo tem lados e vértices e tem diagoais.

14 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto A.! ( ). Raarigas Raazes Total Escolha de três raazes Escolha de três raarigas Podem-se formar 0 comissões. Delegado Subdelegado Outros 9 9 Pág. Possibilidades de comosição da comissão quato ao géero escolha dos restates quatro elemetos etre os restates 9 Podem-se formar comissões º de comissões só com raazes.º de comissões só com raarigas todas as comissões A B D E A: raariga e raazes B: raarigas e raazes : raarigas e raazes D: raarigas e raazes E: raarigas e raaz Podem-se formar comissões Podem-se formar 0 comissões... Basta calcular o úmero de maeiras de escolher casas em (a ordem ão iteressa orque as fichas são iguais) É ossível disor de maeiras Número de maeiras de escolher quatro casas ara as restates quatro fichas etre as casas que ão ertecem às diagoais. Número de maeiras de escolher oito casas etre as ove diagoais É ossível disor de 0 maeiras Nove fichas as diagoais Oito fichas as diagoais É ossível disor de 90 maeiras... Há maeiras de escolher as filas que ficam vazias. Para cada uma das escolhas há maeiras de arrumar as fichas as restates casas: 0 Reta r Reta s A reta r e a reta s Um oto a reta r e um oto a reta s retas distitas r s triâgulos r s Dois vértices a reta s Dois vértices a reta r 0 quadriláteros. Jogos realizados em cada gruo:. Pág. omo há seis gruos, temos jogos realizados. Realizaram-se jogos. GR Defesas Médios Avaçados O selecioador ode escalar a equia de 00 maeiras.

15 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto Física Geometria Descritiva Matemática A.!.. 0!!! Pág. Podemos fazer de 0 maeiras... omo os livros de cada discilia são iguais a sua disosição aeas se distigue ela ordem das discilias: P! Podemos fazer de seis maeiras... Aeas se vão ordear os livros de Geometria Descritiva e Matemática A: 9!!! 9 Podemos fazer de maeiras. 9!.. 0 0!! Número de lugares que o bloco dos livros de Física ode ocuar a fila dos ove livros de Geometria Descritiva e Matemática A Pretedemos ordear dez objetos: quatro livros iguais de Geometria Descritiva, cico livros iguais de Matemática A e um bloco de livros de Física: 0! 0!! aida 0 0. Há Podemos fazer de 0 maeiras. maeiras de os lugares do exositor escolher cico ara os ovos cor rosa. Por cada uma destas escolhas há maeiras de, etre os restates lugares escolher sete ara os ovos azuis. Portato, como ovos da mesma cor ão se distiguem, há maeiras de arrumar os ovos o exositor. Por tro lado, como há ovos ara arrumar odemos começar or escolher lugares o exositor, o que ode ser feito de maeiras diferetes. Os esaços ara os ovos rosa odem ser escolhidos etres esses de maeiras diferetes ficado uivocamete determiados os setes lugares restates ara os ovos azuis. Assim, há maeiras de arrumar os ovos o exositor. 9. H I P O P O T A M O 0! !! Pág. Existem 0 00 aagramas. 9.. Vogais O O O I A Palavras que começar or A (A H I T M O O O P P): 9! 0 0!! Palavras que começam or I (I H A T M O O O P A): Há também 0 0 estas codições. Palavras que começam or O (O H A T M O O P P): 9! 90 0!! Logo, existem aagramas que começam or uma vogal. 0.! 0.. 0!! 0 úmeros 0.. Números cujo.º algarismo é ( ):!!! 0 Números cujo.º algarismo é ( ):!!! I M L P O P O osideramos o ar I M como uma letra:! 0!! 0 úmeros.. A 00 Pág. Escolha de lugares ara os cico sabores a fruta os restates oito reciietes Escolha de lugares ara o gelado de chocolate Podem-se distribuir os gelados de 00 maeiras... A 0 Podem-se distribuir os gelados de 0 maeiras... A 0 00 Escolha de lugares ara os sabores a fruta Escolha de lugares ara o gelado de chocolate as duas filas, exceto os casos em que ficam todos a mesma fila. Escolha de duas filas ara o gelado de chocolate Podem-se distribuir os gelados de 0 00 maeiras.

16 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto. A {,,,,,,,, 9}.... algarismos diferetes de ossíveis osições do algarismo É ossível formar úmeros..ºa.ºa.ºa,, É ossível formar úmeros Pág. úmeros com três algarismos ímares todos os úmeros É ossível formar úmeros.. omo as bolas são iguais, as caixas são diferetes e ão. odem ficar caixas vazias, o úmero de maeiras de distribuir as sete bolas elas quatro caixas é o úmero de maeiras de distribuir as três bolas que sobram deois de colocar uma em cada uma das caixas: Há três casos a cosiderar: A As três bolas uma caixa (escolhe-se uma caixa). Duas bolas uma caixa e uma tra (escolhem-se ordeadamete duas caixas). Uma bola em cada caixa (escolhem-se três caixas). As bolas odem ser colocadas de 0 maeiras diferetes T F F 0 0 Pode-se escolher o camiho ara casa de 0 maeiras. Pág É ossível escolher 00 camihos. A B B D É ossível escolher 0 camihos. A B B D.. 00 É ossível escolher 00 camihos * assam or * assam or B * assam or (foram cotados duas vezes) É ossível escolher 0 camihos.. Homes: ; mulheres:.. A 0 úmero de maeiras de escolher os restates quatro membros úmero de maeiras de escolher o residete A lista ode ser formada de 0 maeiras... H M ( ) + + 0! 0 0 Pág. 0 Distribuição dos cargos homes homes e mulher homes e mulheres A lista ode ser formada de 0 maeiras... ( )! 00 Ou A A A 00 A lista ode ser formada de 00 maeiras.. Raarigas (M): ; raazes (H): 0..!! 0 Podem fazer de 0 maeiras...!! Número de maeiras de ordear as seis raarigas mais o bloco formado elos raazes Número de maeiras de ordear os raazes!! 0 90 Número de lugares que o gruo dos raazes ode ocuar (ates, etre deois das raarigas) Podem fazer de 0 90 maeiras.! A 0 00 Número de maeiras de escolher quatro lugares ara os raazes etre os sete ossíveis ( M M M M M M) Número de maeiras de ordear as raarigas Podem fazer de 0 00 maeiras.

17 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto k 0. ( k k) k k k k k 0 k 0 9 ( ) ± + 0 ± 9 omo N, temos. No toreiro articiaram jogadores O.º elemeto dessa liha é o 0. Pág. Pág... 0: O maior elemeto dessa liha é o Há cico elemetos sueriores a O quito elemeto da liha seguite é o Há 9 elemetos sueriores a... 0 A soma de todos os elemetos é 0. Pág.. Os três rimeiros elemetos são iguais aos três últimos e, estes seis elemetos, são os meores de uma liha do Triâgulo de Pascal. ( 0 ) ( ) ± + ± Logo,. O terceiro elemeto da liha seguite é A liha aterior é a de ordem e tem elemetos. O maior é..,,...,, O terceiro elemeto da liha seguite é o Substituido os valores dados: + + +

18 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto Temos: ( ) + Assim: 00, 99, e ( ) x ( x ) 0 ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) + + x+ x x + x x x + x x ( x x) x ( x ) Pág. 0 0 x x + x x + x x + x x x x x x x x 9.. ( ) ( ) x x x x 0( x ) x x 9.. x ( x ) ( x ) + ( x ) + ( x ) + x x x + 0 ( x ) + ( x ) + x x + ( x ) + ( x ) x 9 x x x + 0x x + x 9 x x 9 x x + 0x 0x ( ) x y x ( y ) x x x ( ) ( ) 0 ( ) 0 x y + x y + x y + + 0x y + x y + y x + 0x y+ 0x y + 0x y + 0xy + y x+ x + x + x x + x x x x x 0 x x + ± + ± x x 9.. x ( x ) x 0x 0x 0x 0x + x x 0 x x 0 x + x + 0x + 0x + x x x x + x + x x 0 x x x x + x + 0x+ + + S, 0.. ( x) ( x ) x+ x + x x + x + x x+ x + x x + x + x + x 9x 0 + x x + 0 x 0 x S {, 0}

19 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto 0.. ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + 0( ) + + 0( ) + ( ) + ( ) x x 0 x. x x ( x) + T x x x x x.. omo decresce com, o.º termo obtém-se ara. T x x T 9 x.. T x x 0x Pág T x T x x x x.. 0 Para x x.. 9 Para x x.. Para 0 x : x : x : k k.. k k 0.. k k k k k k k 0 00 k ( 0) ( 0 ) x+ x x 0 x T + x x Pág. 0.. O coeficiete de x é 0. 0 omo Z, ão existe termo ideedete de x. Se Z 0, etão x x 9 ( x x ) x T+ ( x ) x x 0 0+ x x x x 0 0 x x x x x 0 omo Z e 0, o meor valor de é... + x ( x ) x x T x x x omo Z e 0, o meor valor de é.

20 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto.. 9 A A Pág. Números sem o algarismo 0 Todos os úmeros de cico algarismos Existem 0 9 úmeros... A 00 O isetor ode laificar a visita de 00 maeiras. A 0 0 Pitas Faces 0 0 O dado ode ser itado de 0 0 maeiras... 9 A A Números sem o algarismo Existem úmeros....ºa.ºa ºA.ºA Pág. (o.º algarismo ode ser, ) 00. A Número de maeiras de escolher os restates sete algarismos Número de oeradoras O úmero máximo é A A L L L A A É ossível formar 00 códigos. 9.. A A V V V A A É ossível formar 0 códigos. A A L L L É ossível formar 000 códigos. A A L L L É ossível formar 00 códigos. 0. Raarigas (F): ; raazes (M): Delegado Subdelegado 0 0 Podem ser escolhidos de 0 maeiras. Delegado Subdelegado 0 raaz-raariga 0 raariga-raaz Podem ser eleitos de 0 maeiras. 0.. Número de maeiras de eleger o segudo elemeto. A Joaa ode ser delegada subdelegada. Podem ser eleitos de maeiras... Ou A 00 Podem ser formados 00 úmeros..ºa.ºa ºA.ºA 0 A 0 (o.º algarismo ode ser,,, 9) Podem ser formados 0 úmeros ímares... Seja x tal que x > 0 Vamos dividir o roblema em três artes: x> 000 ; 00< x< 000 e 0 x < 00 a 9 x > 000,, 9 00< x< 000, 9 0 x< Podem ser formados úmeros... A P 00 Número de maeiras de os homes ocuarem os restates sete lugres Número de maeiras de escolher ordeadamete cico lugares etre os seis da fila da frete Podem ocuar os lugares de 00 maeiras... A P 00.. Número de maeiras de as restates oito essoas ocuarem os restates oito lugares Número de maeiras de escolher ordeadamete quatro mulheres ara os extremos das filas Podem ocuar os lugares de 00 maeiras. A! 00 Número de maeiras de as restates seis essoas ocuarem os restates seis lugares Número de maeiras de escolher ordeadamete seis homes ara a fila escolhida Número de maeiras de escolher a fila a ocuar elos homes Podem ocuar os lugares de 00 maeiras.

21 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto..! 0 0 Permutações dos oito elemetos os oito lugares Podem-se disor de 0 0 maeiras...!. Número de maeiras de ordear os dois elemetos cada orgaização Número de maeiras de ordear as orgaizações Podem-se disor de maeiras..ªl.ªl.ªl.ªl.ªl.ªl.ªl.ªl! 0 0 É ossível arrumar de 0 0 maeiras.. Matemática A: ; Física: ; Química: Total:.. a)! Podem-se arrumar de maeiras. b)!!!! 0 0 Discilias Química Física Matemática A Podem-se arrumar de 0 0 maeiras. c)!! 00 Ordeação dos sete livros de Física e Química jutamete com o bloco dos livros de Matemática A Ordeação dos livros de Matemática A!! 00 Podem-se arrumar de 00 maeiras...!! 00 Ordeação dos livros da tra fila Ordeação dos livros de uma das filas Escolha do livro de Física Química que fica a fila dos de Matemática A Escolha da fila ara os de Matemática A Podem-se arrumar de 00 maeiras.. T R I A N G U L O.. Não há letras reetidas É ossível formar 9! 0 alavras. V V!! 0 0 alavras Raazes Raarigas Pág Podem-se escolher de maeiras Podem-se escolher de 90 maeiras Podem-se escolher de 0 maeiras. 9 Alterativamete Um raaz e quatro raarigas Dois raazes e três raarigas omissões só com raarigas Todas as comissões Podem-se escolher de maeiras omissões com zero raarigas e cico raazes omissões com uma raariga e quatro raazes Podem-se escolher de maeiras Alterativamete omissões só com raarigas omissões só com raazes Todas as comissões Podem-se escolher de 90 maeiras. 0.. Ases Outras mãos 0.. Paus Outras 9 0 mãos 0.. Paus Outras mãos

22 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto 0.. Reis Outras mãos 0.. Reis Outras mãos 0.. Paus oas + esadas 00 9 mãos 0.. Ases Paus Outras mãos..!!!! Podem fazer de maeiras...!! HMHMHM MHMHMH Podem fazer de maeiras...!! MMM H H H!! Podem fazer de maeiras...!! H M M M H H H H M M M H Podem fazer de maeiras.. Admitimos que a ordem de colocação dos gelados o coo ão altera a escolha. Fruta hocolate afé Nata aramelo É ossível escolher 0 sabores diferetes... Fruta Outros 90 É ossível escolher 90 sabores diferetes... Zero, um, dois três sabores de fruta: 9 Todas as escolhas meos as que icluem 0 quatro sabores de fruta de fruta de fruta de fruta de fruta É ossível escolher 9 sabores diferetes... hocolate aramelo Outros de caramelo + dos tros de chocolate + dos tros dos tros de caramelo + de chocolate + dos tros Todas as ossibilidades É ossível escolher sabores diferetes... hocolate Nata Outros de caramelo +0 de chocolate+ dos tros de caramelo + de chocolate+ dos tros É ossível escolher 9 sabores diferetes. O cojuto tem elemetos Pág. O cojuto tem subcojutos com meos de quatro elemetos.! 0!! 0 É ossível formar 0 úmeros... O algarismo das uidades tem de ser. Os restates formam uma sequêcia de seis elemetos com três reetidos:! 0! 0 úmeros são ímares.

23 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto... 0!!!! 00 0! 00 É ossível formar 00 úmeros... Para que o úmero seja ar, o algarismo das uidades tem de ser, que dá origem a duas situações diferetes: se for, os restates formam uma sequêcia de dimesão ove com os elemetos, e reetidos; se for, os restates formam uma sequêcia de dimesão ove com os elemetos, e reetidos 9! 9! +!!!!!! Há 00 úmeros ares e úmeros ímares... osidera-se o ar como um só algarismo: 9!!!! 0 Em 0 úmeros... osidera-se duas vezes o ar como dois algarismos iguais:! 0 00!! Em 0 00 úmeros... 0 retas.. 0 A semirretas triâgulos.. 9 triâgulos triâgulos Triâgulos defiidos elos otos I, J, A e B Triâgulos defiidos elos otos G, F, E e D Todos os triâgulos.. Para além do oto A assaram a existir + 9 otos ode são selecioados dois: ( 9)( ) ± 9+ ± 9 omo N, temos.. Os três maiores elemetos de uma liha do Triâgulo de Pascal com um úmero ímar de elemetos são os elemetos cetrais a, b e c sedo a c : a b a a+ b b+ a... O maior valor da liha seguite é a+ c. Sabemos que: a+ b+ a 0 a+ 0 a+ a 0 a+ b 0 b 0 a a 0 a 0 b 0 0 b 0 O maior úmero dessa liha é 0.. x ( x) 9. x x 0 ( x) ( x) x x x ( x) ( x) + + x x x x x x x + x x x + x x x + x+ x x x x x+ + x 0 x x x T+ + x x + x x + x + 0

24 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto 0 T x x + x+ x 0 x + x + x x + x + x+ x 0 x x + x + x + x + x+ x 0 x x 0 x x 0 x 0 x x S {, 0, }. f ( a ) a.. Seja x a a x + ( x ) f x + x + x + x + x + f x x + x + x + 0x + A 0 Há quatro aies Podem-se formar 0 aies... osideremos dois casos:...º caso: a rimeira carta é o rei de ros.º caso: rimeira carta é de ros mas ão é o rei. Assim:.ª.ª.ª.ª Pág..º caso: 0 9 Há cartas que ão são reis).º caso: 0 9 Há cartas que ão são reis) 0 A A + A Podem-se formar sequêcias.! 0 0!!! ! 0 9!! 0 9 É ossível formar 0 9 sequêcias. 0 0 Número de maeiras de itercalar as cico bolas vermelhas a fila das azuis e bracas Número de maeiras de orgaizar a fila das bolas azuis e bracas Sem bolas vermelhas seguidas Todos os casos. A fila tem + bolas sedo duas bracas (iguais) e.. retas (iguais). O úmero de maeiras de ordear as bolas é o úmero de os + lugares escolher a osição das duas bolas bracas ( das retas) o que ode ser feito de + maeiras diferetes ± 9+ 0 ± 0 omo N, temos Ou Equia D Equia Equia B Equia A,,,,,,,,9,0,,,,,,,,,9,0 Equia A Equia B Equia Equia D Os 0 aluos são colocados or ordem (0!). Os rimeiros cico são da equia A, os cico seguites da equia B e assim sucessivamete. Detro de cada equia a ordem dos elemetos ão iteressa elo que se divide or!. Logo, o úmero de ossibilidades ode ser dado or: 0! 0 (!) É ossível formar 0 0 sequêcias.

25 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto.. Neste caso, as equias ão são omeadas. Assim, or exemlo, as distribuições:,,,,,,,,9,0,,,,,,,,,9,0 e Equia A Equia B Equia Equia D,,,,,,,,9,0,,,,,,,,,9, 0 são Equia D Equia Equia B Equia A diferetes o caso de.., mas iguais o caso resete. Logo, há! vezes meos equias (ermutações de A, B, e D). Temos, assim:! 0 0 Ou 0!!!. A: azuis; B: 9 vermelhas Total: a) Podem ser formados 0 cojutos. b) 9 Subcojutos com quatro bolas vermelhas Subcojutos com quatro bolas azuis Todos os subcojutos de quatro elemetos Em subcojutos. Pares Ímares Azuis ( a ) Vermelhas ( a 9) Na caixa há sete úmeros ares e oito úmeros ímares. Ao selecioar quatro bolas há as seguites ossibilidades: Pares Ímares 0 Produto ímar 0 9 Produto ímar Todos os casos Em 9 subcojutos...! 0!! 0 Produto ar Os chaéus odem ser colocados de 0 maeiras. Pág. 9..! 0 Número de ossibilidades de colocar os três vermelhos Número de maeiras de ordear os chaéus diferetes Os chaéus odem ser colocados de 0 maeiras... Número de maeiras de os chaéus vermelhos ficarem searados:! 0 Escolha dos lugares ara os chaéus vermelhos etre os restates ( ) Número de maeiras de ordear os quatro chaéus diferetes dos vermelhos. Logo, há sequêcias em que ficam elo meos dois chaéus vermelhos seguidos. 9. Vermelhos: ; amarelos: ; azul: ; 9.. verde: ; reto:!!! 0! 0 Podem exor-se de 0 maeiras. 9.. P! Há cico objetos a ser ordeados: o bloco de cico carros vermelhos, o bloco de cico carros amarelos e os restates carros. Ou A! 0 Podem exor-se de 0 maeiras. 0 Número de maeiras de escolher dois lugares ara os restates carros amarelos Pode ser verde-azul azul-verde Podem exor-se de 0 maeiras. 9.. Número de maeiras de o azul ficar ao lado do verde:!! 0!! Número de osições que o ar azul/verde ode ocuar a fila Número de maeiras de ordear os restates automóveis Pode ser azul-verde verde-azul Ou!! 0 (o ar azul-verde cota como um só)!! Logo, há sequêcias em que o automóvel ão fica ao lado do verde. 9.. Número de maeiras de os três automóveis vermelhos ficarem searados:

26 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto!! 00 Número de maeiras de escolher lugares ara os automóveis vermelhos etre os restates, o iício o fim da fila. Número de maeiras de ordear os automóveis ão vermelhos. Logo, há casos em que elo meos dois carros vermelhos ficam seguidos A A Ou! escolha de lugares ara os restates a tra fila escolha de lugares ara os seis elemetos escolhidos ara uma das filas A A Ou! escolha de seis elemetos ara uma das filas Escolha de lugares ara os quatro restates a tra fila Escolha ordeada de oito elemetos ara uma das filas Escolha da fila que fica com oito elemetos 90.. A A Podem-se setar de maeiras. 9..! 0!! 0 elemetos 9.. Elemetos de A em que ão figura o em o :.ºA.ºA.ºA.ºA.ºA elemetos 9.. O algarismo das uidades é 0,,,,..º caso: o algarismo das uidades é 0.ºA.ºA.ºA.ºA.ºA 9.º caso: o algarismo das uidades é,,,.ºa.ºa.ºa.ºa.ºa 9 + elemetos 9.. X X 0 X Outros dois Algarismos elemetos 9.. Só há um caso em que a soma de cico algarismos diferetes é 0: ºA.ºA.ºA.ºA.ºA Há! 9 elemetos de A com os algarismos diferetes e com soma igual a 0 (0,,, e ). 9...º A.º A.º A.º A.º A + + elemetos Avaliação F F F F F F.. Resosta: (A) Pág. 0 As seis faces a amarelo as seis faces a vermelho 9 O algarismo das uidades é 0. O algarismo das uidades é,, Resosta: (A) A liha aterior é a de ordem. O terceiro elemeto é. Resosta: (B) Raazes Raarigas ( )! Resosta: (D)

27 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto. ( ) x ( x ) 0 T x +.. A A Escolha ordeada das vogais Escolha de lugares ara as vogais (o iício, o fim etre os algarismos) Escolha ordeada dos algarismos T x x x Resosta: () Resosta: (B) + Ou + retas Posição das letras V Posição das letras E Posição das letras D + triâgulos ( )( ) ( + ) Pág ( + ) ( + ) ± + 00 ± 0 omo N, temos. A A AAAAAVVV VVVAAAAA A A AAAAA V V V 0 A 00 0 Escolha ordeada de cico algarismos diferetes ara os restates cico lugares Escolha de lugares ara a vogal Escolha da vogal A A A A A Escolha ordeada das vogais Escolha ordeada dos restates três algarismos Escolha de lugares ara os restates três algarismos Escolha de lugares ara os zeros Escolha ordeada das vogais Escolha ordeada dos algarismos Escolha de lugares ara os algarismos O cojuto A tem 00 elemetos. 0 A 9 0 Número de sequêcias cujo rimeiro 0 elemetos 9.. I elemetos elemeto é º caso: Números de três algarismos P P I ( ) 0 (a rimeira bola selecioada tem o úmero 0) Número de osições do algarismo ímar Escolha do algarismo ímar Escolha dos algarismos ares (,, ).º caso: úmeros de quatro algarismos o.º algarismo é ar (diferete de 0) P P I I 90 o.º algarismo é ímar I I P P Posições dos algarismos ares Algarismos ímares Algarismo ar (já ode ser 0) Algarismo ar (,, )

28 .. álculo combiatório. Triâgulo de Pascal. Biómio de Newto elemetos Posições dos algarismos ares Algarismos ares Algarismo ímar (diferete do.º) Algarismo ímar (,,, 9) 0.. Maeiras de arrumar as eças vermelhas as casas disoíveis Maeiras de arrumar a eça azul fora da diagoal Maeiras de escolher a diagoal Podem-se colocar o tabuleiro de 90 maeiras A 0 Maeiras de arrumar a restate eça azul uma das cico casas disoíveis Maeiras de arrumar as restates três eças vermelhas as oito casas disoíveis Maeiras de escolher ordeadamete (AV VA) as duas lihas a ocuar Podem-se colocar o tabuleiro de 0 maeiras. Maeiras de arrumar as cico eças vermelhas as cico casas disoíveis Maeiras de arrumar as sete eças vermelhas as casas disoíveis Maeiras de escolher a liha em braco Podem-se colocar o tabuleiro de maeiras.

29 .. Probabilidades. Probabilidades Atividade iicial E,,. { }. P( A ) {,,,,,,. P ( E ) {} { } { } { } {, }, {, }, {,, }} ; P( {, } ) P( {, } ) P( {, } ) ;. P 0, P( {} ) P( { } ) P( { } ) ({ }) P,,.. {}, { }, { }, { } e { }.. Por exemlo, {, }.. Por exemlo, {, } e {, }.. Por exemlo, {, } e {,, } Pág. Pág P.... Irmãos Outros Número de casos favoráveis P Irmãos Outros homes Mulheres 0 Número de casos favoráveis P. Azuis Verdes Total 0 Número de casos ossíveis: P P P H M 9 Número de casos ossíveis: P H M 0 0 Pág. Pág. Matemática A Física Química... Número de casos ossíveis: 9! A! A! P 9! P 9..!!!!!!!! P 9! 0..!!!!!! P 9!..!! Ou!! P Pág. há lugares ara arrumar o bloco dos livros de Matemática A O bloco de Matemática A cota como mais um livro!! 9!..! A Número de maeiras de escolher ordeadamete lugares ara os três livros de Física etre ao lado dos seis restates! A P 9!

30 .. Probabilidades.. Número de casos ossíveis: a) P b) Há dois quadrados: [ AEG] e [ BDFH ] Logo, há oito casos favoráveis. P c) P.. Número de casos ossíveis: Pág. 9 a) (escolha de dois vértices etre B,, D, E, F, G, H) P b) Um dos lados tem de ser um diâmetro. Por cada diâmetro há seis ossibilidades ara escolher o vértice oosto. Logo, o úmero de casos ossíveis é há quatro diâmetros P c) Por cada diâmetro há dois casos favoráveis AE e AEG ) (or exemlo [ ] [ ] P Pág. 0. Os triâgulos [ AB] e [ MN ] são semelhates ois têm os lados aralelos. A razão de semelhaça é igual a ois Logo: M N MN A B AB [ MN] [ AB] Área do triâgulo Área do triâgulo Assim, a robabilidade edida é igual a.. P( A B) P( A) P( B) 0, ; 0, ; 0, P( A) P( A) 0, 0, P( A B) P( A) + P( B) P( A B) 0, + 0, 0, 0,9 P( A B) P A B P A B 0,9 0, Pág.. P( A B) P( A) P( B) P( A B) P( A B) 0, P( A B) 0, P( A B) 0, P( A B) 0, P( A B) 0, P( A B) P( A) P( A) P( A B) P( A) 0, P( A) 0, P( A B) P( A) + P( B) P( A B) 0, 0,+ P( A B) P( A B) 0, P( A B) P( A B) 0, 9.. P( A B) P( A B) P( A) + P( B) P( A B) P( A B) P( A B) P( A B) P( B) P A + P B P A B P A + P B P A B + P A P( A) P( B) 9.. P( A B) P( B) P( A B) P( B) P( B) P A B + P( B) P( A B) P( A B) 0. P( E) ; P( R) ; P( E R) 0.. P( E R) P( E) + P( R) P( E R) + P( E R) P( E R) P( E R) Pág. omo P( E R) > 0, o acotecimeto sair rei de esadas é ossível. Logo, o rei de esadas está o baralho. 0.. Num baralho há aeas um rei de esadas. Logo, como o rei de esadas está etre as cartas, a robabilidade de sair é. Portato,, elo que.

31 .. Probabilidades. omo P E, a quarta arte das cartas são de esadas. Assim, há cartas de esadas. Par ( B ) Ímar ( B ) Vermelhas ( A ) Amarelas ( A ) A : A bola é vermelha B : O úmero da bola é ar P( A B) P A B P( B) P( B A) P B A P( A) P( B A) P B A P( A) P( A B) P A B P( B) P( A B) 0% 0, P( A B) 0% 0, P A P B.. P( A B) P( A B) 0, 0, P( A B) 0, P( A B) 0, P( A B) P( A) + P( B) P( A B) 0, P( B) + P( B) 0, P( B) 0, P( B) 0, P( A B) 0, P( A B) P( B) 0,.. P( A) P( B) 0, 0, P( B A) 0, P( B A) P( A) 0,. Raazes ( A ) Raarigas ( A ) aos ( B ) 0 aos ( B ) 9 Pág. Pág. P A P B P A B P A B P( A B) P( B) P( B A) P B A P( A) P( A B) P A B P( B) 0 0 P( B A) P B A P( A) P( A B) P A 0, P( A B) 0, 9 P( A B) 0,9 0. P( A B) P( A) + P( B) P( A B) 0,9 0,+ P( B) 0, P( B) 0,9 0, P( B) 0, P( B) P A B P B P A B P( A B) P B 0, 0, 0, 0, 0,. Sejam os acotecimetos: F : O aluo escolhido é raariga M : O aluo escolhido é raaz N : O aluo escolhido tem egativa o teste P( F ) 0, P( M ) 0, 0, P( N M ) P( N F ) Pág. 9 Pág. 90

32 .. Probabilidades.. P( I F) ( ) P( F) P I F 0, 0, 9.. P( N) P( F N) + P( M N) P( F) P( N F) P( M) P( N M).. P( F N) + 0, + 0, 0,+ 0, 0, P F N P 0, ( F) P( N F ) 0, 0, P( N) 0, 0, Pág. 9. Sejam os acotecimetos: A : O saco escolhido tem três rebuçados de morago M : O rebuçado escolhido sabe a morago P A P( M A ) P( M A ). Sejam os acotecimetos: M : o rofessor escolhido é de Matemática I : o rofessor escolhido é de Iformática F : o rofessor é uma mulher P( M ) 0, P( F M ) 0, P F I P F I 0, F F M 0, 0, 0, I 0, 0, 0, 0, P( I ) 0, 0, P( M F) P( M) P( F M) 0, 0, 0, ( ) P I F P I P F I 0, 0, 0,.. P( F) P( M F) + P( I F) 0,+ 0, 0, 0 Pág. 9 P( M F).. P( M F) P( F) P( M F) P( M) P( M F) 0, 0, 0, P( I F) P( I) P( I F) 0, 0, 0, P( F) P( M F) + P( I F) 0,+ 0, 0, 0, P( M F ) 0, Pretedemos determiar P( A M ) ois se os rebuçados que ficaram o saco têm o mesmo sabor este tem de ser a morago. P( A M) P( A) P( M A) P( A M) P M P A M + P A M. + + P A B A P A B A P A ( ) ( ) P A A B A P( A) ( B A) P( A) ( ) P( A) P P B A P( B A) 9. A {, } e B{, } Pág. 9 Os acotecimetos elemetares, {}, { }, { } e { } são equirováveis. P B P( A) P( B) 9.. P( A ) ; 9.. P( A B) P( { } )

33 .. Probabilidades omo P( A B) P( A) P( B), os acotecimetos A e B são ideedetes. 0. P( A) ; P( B) Pág. 9 A e B são ideedetes ( P( A B) P( A) P( B) ) P( A B) P( A) e P( B A) P( B) P B A P B 0.. P( A B) P( A) P( A B) P( A) + P( B) P( A B) + P( A) P( B) 0.. P( A B) P( A B) P( A B) 0.. P( A B) P( A) P( A B). Hiótese: A e B são ideedetes P( A B) P( A B) Portato, se P( A B) P A + P B P A B P( A) P( B) + P( A) P( B) Por hiótese P A P B P A P( A) P( B) P( A) P A P B P( A) P( B) A e B são acotecimetos ideedetes, P( A B) P( A) P( B), seja, A e B são acotecimetos ideedetes.. Probabilidade de a Aa gahar o.º laçameto: Probabilidade de a Aa gahar o.º laçameto: A Aa gaha o.º laçameto O Pedro erde o.º laçameto A Aa erde o.º laçameto Probabilidade de a Aa gahar o.º laçameto A Aa gaha o.º laçameto A Aa e o Pedro erdem a.ª roda A Aa e o Pedro erdem a.ª roda P( Aa gahar ) ( ) ( ) ( ) Pág. 9 Pág. 9 P L P A P L A + P B P L B + P P L P( N) P( F N) P( F N) 0, ; 0, ; 0,.. P( F) P( N F) + P( N F) 0, + P( N) P( F N).. P( N F) 0,+ ( 0, ) 0, 0,+ 0, 0, 0,+ 0, 0, ( ) P( F) P N F 0, 0, Pág. 99

34 .. Probabilidades Atividades comlemetares. Número de casos ossíveis: [(, ), (, ), (, ), (, ) e (, )].... P H M T 0 0 Número de casos ossíveis: 0 P H M P.. H M 0 0 P... Irmãos Outros P 9 P Pág. 0.. Número de casos ossíveis: Ouros Outras P 9 0,.. Número de casos ossíveis:.... P 0, 9 Figuras Ases Outras P 0,0 Figuras esadas Outras figuras Outras esadas 9 Outras cartas P 0,0 9.. Número de casos ossíveis: 9!!! Pode ser Mat.-Física Física-Mat. Ordeação dos livros de Física Ordeação dos livros de Matemática A!! P 9! Outro rocesso: (úmero de maeiras de Número de casos ossíveis: 9 9 escolher a ordem das discilias) úmero de maeiras de escolher lugar a fila ara os livros de Física P Reare-se que, como ão é feita qualquer exigêcia quato à ordem dos livros em cada discilia, cosidera-se um uiverso de resultados que aeas atede à discilia a que se refere o livro (é como se cosidere que os livros de Matemática A eram também iguais etre si bem como os de Física)

35 .. Probabilidades 9.. Número de casos ossíveis: 9!!! Ou!! Número de lugares que ode ocuar o bloco dos livros de Física etre os cico de Matemática A, o iício o fim. Número de maeiras de ordear os seis objetos costituídos elos livros de Matemática mais o bloco dos livros de Física. Número de maeiras de ordear os livros de Física.!! P 9! Ou P 9 0. JO AA Número de casos ossíveis:! 0!!! P 0 Possíveis osições de JO OJ Pode ser JO OJ Sequêcias ossíveis de AA Há duas maeiras de formar o gruo JO OJ Ficam sete objetos ara ordear: JO AA o que ode ser feito de: 0! 0!!! P 0.l. Número de casos ossíveis:!!!!!!!!! P! 0 00! Número de casos ossíveis:! 0!! Número de osições que o bloco de D ode ocuar. de rock 0!! P! 9 Maeiras de ordear os D de música clássica Maeiras de ordear o bloco de D de jazz e.. Número de casos ossíveis:!! A! A P! 9 P 9. Número de casos ossíveis: 0 N.º de maeiras de escolher a equia B N.º de maeiras de escolher a equia A N.º de maeiras de escolher a equia A se o João e o Pedro fizerem arte. O João e o Pedro odem fazer arte da A da B P a) Número de casos ossíveis:!! O último algarismo é,,! P b),,,,,,! +! P! c),,,,! +! +! P!.. Número de casos ossíveis: P. Número de casos ossíveis:.. a) P b) P Pág < x< x> x< < x< < x< 0 000

36 .. Probabilidades.. Número de casos ossíveis:. a) P b) Número de casos ossíveis: (ara cada aresta há dois triâgulos, or exemlo, ABH e ABG) P B: P: Bracas Pretas Pares Ímares.. Número de casos ossíveis: a) P b) P (,, e ).. Número de casos ossíveis: a) B B P P P b) (Há hióteses ara a.ª bola e ara a.ª igual à rimeira) P c) P P P I I P Todos I I P.. Número de casos ossíveis: a) B P P 9 b) c) d) P I 0 P 9 P I 0 P 9 9 P I 0 P I P I P 0 I ímares ímares ímares 9 P e) Formas de searar as bolas bracas ares (a bola braca ode ser ar ímar) Bracas Pares (,) Bracas Ímares Pretas Pares Outras P Diferete de zero 9 9 O cojuto A tem elemetos P 9.. O algarismo das uidades é 0. diferete de zero 9 O algarismo das uidades é 0 O algarismo das uidades é

37 .. Probabilidades P.. 9 Sueriores a 000 (.ºA: 9) Da forma 9 XY 9 + P.. Números de elemetos de A : 00 #A 00 Múltilos de : P N.º de elemetos de A sueriores a 0 : omeçados or, omeçados or + P Paus Ouros Outras 0 P % 0 Reis Outras P 9% P O algarismo das uidades é 0 O algarismo das uidades é 0 9 9% 0 Ases Outras 9 9 P % 0 Ases Outras P % 0 Exclui-se 0.º algarismo Pág. 0.. Damas de ros Outras damas Outras ros 0 Outras cartas + P % 9. P( A B ) 0 0 P( A) + P( B) P( A B ) 0,+ P( B) 0, P( B ) + 0, 0, P( B ) 0, 0. ( ) + ( ). Defiição de robabilidade P A B P A P B P A B P( A B) ( ) P( A B) P( B) P( B) P A B P B + P B P A B P A B P B P A B P( A B ) P (Obter o.º dado soma < ) 0. Sejam os acotecimetos: A: O aluo é da turma A. B: O aluo é da turma B. H: O aluo é raaz. M: O aluo é raariga. A B H M 0 P( A B) P( B)

38 .. Probabilidades ( ) P A M. P( A J) 0, P( M) P( A) P( M A) ( ) + ( ) P A M P A M P B M P( A J ) 0, P( A J ) 0, P( A J) P( J) P( A J ) 0, P( J) 0, P( J ) 0, P( A J) P( J) P( A J) 0, 0, 0, P( A J) P( A) + P( J) P( A J) P( A) P( A) 0, + 0, 0, 0,.. P( A J) P( A) P( A J ) 0, 0, 0, P( J A) 0,.. P( J A) % P( A) 0,. Seja os acotecimetos: V: A moeda escolhida é viciada. N: Sair a face acioal. ( ) P V N P( N) ( ) P V N P V P N V P V N P V N ( ) + ( ) + +. Sejam os acotecimetos: A: O aluo chega atrasado. : O aluo vem o automóvel dos ais. P( A ) ; P( A ) P( A ) P( )? ( ) ( ) P A P A P A J J A 0, 0, 0, A 0, 0, 0, Pág. 0 ( ) ( ) P A P P A P( ) P( ) P( ).. P( A B) P( A) + P( A B) P( A B) P( A) + P( A) P( A B) P( A B) P A B P A B + P( A B ) P( A B) P( A B ) P A B P A P B A.. P( A B) P( A) P( A B) P( A) P( A ) Os úmeros das bolas são,, sedo que e são rimos. Logo, retede-se a robabilidade de sair bola azul e ão sair em, seja: P( A B) P( A) P( A B ). P( A B) P( A B) P( B ) P( A B) P( A B) ( P( B )). ( ) P( A B) P( A B) P( A B) P( B ) P( A B) P( A B) P( A B ) P( A B) P( B) ( ) P( B A) + P( B A) P( B) P( B) + + P B P A B ( ) P A B P A B P B ( ) P B A sigifica robabilidade de a seguda carta retirada ser uma figura de tros sabedo que a rimeira carta retirada é de coas. O úmero de casos ossíveis é (deois de tirar uma carta ficam o baralho). O úmero de casos favoráveis é (deois de tirar uma carta de coas cotiuam o baralho as figuras de ros). Logo, P( B A ). Pág Nos dois laçametos seguites deve sair elo meos uma vez face acioal. A robabilidade de esses laçametos sair duas vezes face E é. A robabilidade edida é.