ARRANJO SIMPLES PROFº: VALDÉCIO FÉLIX. Choquitomóvel

Transcrição

1 HC ARRANJO SIMPLES HENRIQUE CASTRICIANO Choquitomóvel PROFº: VALDÉCIO FÉLIX Temos o destio que merecemos. O osso destio está de acordo com os ossos méritos. Albert Eistei ED ESCOLA DOMÉSTICA

2 AGRUPAMENTOS O pricípio fudametal da cotagem (PFC) é a pricipal técica para a resolução de problemas de cotagem. Muitas vezes, porém, se só utilizarmos o PFC, a resolução desses problemas pode se torar trabalhosa. Vamos, etão, desevolver métodos de cotagem de determiados agrupametos, baseados o PFC, os quais sigificarão a resolução de muitos problemas.

3 AGRUPAMENTOS Iicialmete, faremos o estudo dos agrupametos simples grupos de p elemetos distitos, escolhidos etre dispoíveis (p ). São eles: Arrajos, permutações e combiações. Arrajos Dado um cojuto com elemetos distitos, chama-se arrajo dos elemetos, tomados p a p, a qualquer sequêcia ordeada de p elemetos distitos escolhidos etre os existetes.

4 Se ligue Bichão!!! Como podemos cotar a quatidade de arrajos formados por p elemetos, escolhidos etre dispoíveis? Vamos utilizar o PFC: O 1º elemeto da seguêcia pode ser escolhido de formas possíveis. O 2º elemeto da seguêcia pode ser escolhido de ( 1) maeiras distitas, pois já fizemos a escolha aterior e ão há repetição de elemetos.

5 Vamos utilizar o PFC: Feitas as duas primeiras escolhas, há ( 2) maeiras distitas de escolher o 3º elemeto da sequêcia, pois ão pode haver repetição. Para escolher o p-ésimo elemeto, a partir das (p 1) escolhas ateriores, sobram (p 1) = - p + 1opções. Assim, pelo PFC, a quatidade de arrajos possíveis (idicada por A,p) é:

6 A p,.( 1).( 2)... ( p 1) 1 Podemos obter uma expressão equivalete a dividirmos tal expressão por: se multiplicarmos e ( p)! ( p) ( p 1) Daí, temos:! (,.( 1).( 2)... ( p 1) ( A p p).( p).( p p 1) )

7 Ops, Bichão!!! Notado que o umerador da expressão acima é!, obtemos uma expressão para A,p: ( p). Etão, temos: A, p (! p)!

8 Ex1: A UFVC, possui 18 professores de Matemática. Etre eles, serão escolhidos: Um diretor, um vice-diretor e um cooderador pedagógico do curso. Quatas são as possibilidades de escolha? RESOLUÇÃO: 18 Posib. 17 Posib. 16 Posib. Ou = 4896 (! p)! 18 (18 3)! ! 15! A, p A18,3 4896

9 Ex2: Felipe Aguiar, foi covidado para participar de um cocurso, um dos desafios costa em resolver a seguite equação: A, 2 6. A resposta correta ecotrada por ele foi: a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 A RESOLUÇÃO: (! p)!, p A,2! 6 ( 2)! ( 1)( ( 2)! 2)! 6 6

10 RESOLUÇÃO: 6 )! (!,2, p A p A 6 2)! (! 6 2)! ( 2)! 1)( ( 6 2)! ( 2)! 1)( ( 2 (ão - covém) '' 3 ' ) ( 2

11 Ex3: Cosiderado as letras da palavra LÓGICA, sem repetição, calcular: a) Quatos aagramas (palavras com ou sem setido) podemos formar, usado todas as letras? b) Quatos aagramas começam com LA? c) Quatos aagramas começam com cosoates? d) Quatos aagramas podem ser formados com

12 d) Quatos aagramas podem ser formados com as letras GILO, jutas, e essa ordem? e) Quatos aagramas começam e termiam por vogal? RESOLUÇÃO: a) A palavra LÓGICA possui 6 letras. Portato, o úmero total de aagramas será calculado por: A 6,6 6! 6! aagramas

13 RESOLUÇÃO: b) Devemos procurar os aagramas que começam com LA, seguido das letras G, O, C, I, por exemplo. Daí, fixamos LA e calculamos A 4,4 4! A 4,4 4! aagramas c) As cosoates são L, G, C. começado por L (por 4! exemplo), temos: A 5,5. Dá mesma forma vai ocorrer com os aagramas que começam por G e por C. etão, temos: 3 5. A5, 3.5!

14 RESOLUÇÃO: d) Como as letras GILO devem ficar jutas, e essa ordem, podem ser cosideradas como um só elemeto. Logo, podem ser formados A 3! 6 aagramas 3,3 e) Para as duas vogais (iício e fial do aagrama) temos A 3,2 aagramas e para as outras letras temos: A 4,4 OLGICA A 3,2 Daí temos: A 4,4 A3,2. A4, aagramas

15 Permutação Simples Permutação simples de elemetos distitos é qualquer grupo ordeado desses elemetos. Permutado os 3 elemetos distitos de A = {x, y, z}, por exemplo, temos: (x, y, z); (x, z, y), (y, z, x), (z, x, y) e (z, y, x). Obtemos o úmero de permutação simples igual a 6. Note que para a 1ª posição há três possibilidades (qualquer das letras), para a 2ª posição sobram duas letras (2 possibilidades) e para a 3ª temos só uma letra aida ão usada.

16 Permutação Simples Para o calculo do úmero de permutações simples, temos: P! Ou seja, P ( 10) ( 2)... 1 Portato, o úmero de permutações simples de elemetos distitos é igual a fatorial.

17 Ops, Bichão!!! Permutação Simples A permutação simples é um caso particular do arrajo. Provado, temos: P A A,, A, (! 0!! )!!

18 Permutação Simples Ex1: Vamos formar os aagramas obtidos da palavra M,O,A,B. Lembre-se: Uma aagrama correspode a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou ão uma palavra. Exemplo: MOAB MABO BOMA AMOB... BAMO Portato, para ão perdermos tempo, faça: P! P 4 4! P 4 24

19 Permutação Simples Ex2: Cosidere os aagramas formados com G, R, A, N, I, Z, O. Quatos começam e termiam por vogal? RESOLUÇÃO: Para iiciar o aagrama, temos três possibilidades (A, I, O). Defiida a vogal do iício, sobram duas opções para a vogal que irá ocupar a última letra do aagrama.

20 Permutação Simples RESOLUÇÃO: Defiidas as extremidades, as outras cico letras (uma vogal e quatro cosoates) podem ocupar qualquer posição o aagrama, um total de P5 = 5! = 120 possibilidades. Daí, temos: P5 = = 720 possibilidades.

21 Permutação Simples Ex3: Astolfo e Clepilda têm três filhos: Godofredo, Raliso e Sebastiaa. A família quer tirar uma foto de recordação de uma viagem feita a Brejiho a qual todos aparecem lado a lado. a) De quatas formas distitas os membros da família podem se distribuir? b) Em quatas possibilidades o casal aparece lado a lado?

22 Permutação Simples RESOLUÇÃO: a) P5 = 5! = 120 b) Para que (Astolfo e Clepilda) apareçam jutos (lado a lado), devemos cosiderá-los como uma úica pessoa que irá permutar com as três, um total de P4 = 4! = 24 possibilidades. Porém, para cada uma dessas 24 possibilidades, Astolfo e Clepilda podem trocar de lugar etre si, de P2 = 2! Maeiras diferetes. Assim, temos: P4. P2 = = 48.