CURSO DE MATEMÁTICA ANÁLISE COMBINATÓRIA & BINÔMIO DE NEWTON. a quantidade que atende ao enunciado:

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1 DISCIPLIN: SSUNO: SÉRIE UL CURSO DE MEMÁIC ÁLGEBR NÁLISE COMBINÓRI & BINÔMIO DE NEWON. (UERJ UENF ) Para motar um saduíche, os clietes de uma lachoete odem escolher: - um detre os tios de ão: calabresa, orégao e queijo; - um detre os tamahos; equeo e grade; - de um até cico detre os tios de recheio: sardiha, atum, queijo, resuto e salame, sem ossibilidade de reetição de recheio um mesmo saduíche. Calcule: ) quatos saduíches distitos odem ser motados? B) o úmero de saduíches distitos que um cliete ode motar, se ele ão gosta de orégao, só come saduíches equeos e deseja dois recheios em cada saduíche. Q) Resolução: ) Cosiderado N a quatidade que atede ao euciado: N ( ) ( ) () N 8 saduíches. N ( ) ( ) 5 5 B) Cosiderado N a quatidade que atede ao euciado: 5 5! N ( ) () N ( ) () N!! Resostas: ) 8 B). saduíches. ) (FUVES SP) figura abaio rereseta arte do maa de uma cidade ode estão assialadas as casas de João (), de Maria (B), a escola (C) e um ossível camiho que João ercorre ara, assado ela casa de Maria, chegar à escola. Qual o úmero total de camihos distitos que João oderá ercorrer, camihado somete ara orte ou leste, ara ir de sua casa à escola assado ela casa de Maria? Q) Resolução: Cosiderado N o úmero total de camihos que atede ao euciado: N,, P P 5! 5! N!!!! N (5 ) ( ) N 5 camihos distitos. Resosta: htt://

2 ) (UFMG ) Numa escola, há rofessores de Matemática e 5 de Português. Pretede-se formar, com esses rofessores, uma comissão de sete membros.. Quatas comissões distitas odem ser formadas?. Quatas comissões distitas odem ser formadas com, elo meos, um rofessor de Matemática?. Quatas comissões distitas odem ser formadas com, elo meos, dois rofessores de Matemática e, elo meos, três rofessores de Português? diate os cálculos utilizado: Q) Resolução:.. Sedo N o úmero de comissões solicitado, 5 5 5! N N N N 7 7 7!.8! N N ! 7!.8!.. Sedo N o úmero de comissões com elo meos rofessor de Matemática: N N 5 Ode é o úmero de comissões distitas aeas com rofessores de Português. 7 N N Mat 5 Port.. Para as comissões de 7 rofessores: Mat Port Mat Port Cosiderado, e os totais corresodetes às comissões distitas, de 7 rofessores, a serem formadas coforme a chave iformada acima: ; 8 ; Sedo N o úmero total de comissões distitas, de 7 rofessores, as codições da erguta: N N 9 85 Resostas:.) 8.7.) 7.5.) htt://

3 ) (IME RJ/5) O sistema de seguraça de uma casa utiliza um teclado umérico, coforme ilustrado a figura. Um ladrão observa de loge e ercebe que: a seha utilizada ossui quatro dígitos; o rimeiro e o último dígito ecotram-se uma mesma liha; o segudo e o terceiro dígito ecotram-se a liha imediatamete suerior. Calcule o úmero de sehas que deverão ser eerimetadas elo ladrão ara que com certeza ele cosiga etrar a casa. Q) Resolução: Pelas iformações do euciado cocluímos: a seha utilizada ossui quatro dígitos: trata-se de um código umérico de dígitos; o rimeiro e o último dígito ecotram-se uma mesma liha: ª ou ª ou ª lihas; o segudo e o terceiro dígito ecotram-se a liha imediatamete suerior: ª ou ª ou ª lihas º e º DÍGIOS º e º DÍGIOS Nº DE SENHS ª LINH 8 ª LINH 8 ª LINH 9 OL DE SENHS 7 Resosta: 7 sehas, o máimo. 5) (UNIRIO) Uma essoa quer comrar emadas uma lachoete. Há emadas de camarão, frago, legumes e almito. Sabedo-se que odem ser comradas de zero a emadas de cada tio, de quatas maeiras diferetes esta comra ode ser feita? Q5) Resolução: Utilizado o esquema clássico de bolas e traços, coforme eemlo abaio: Cosiderado o total de maeiras distitas de ser efetuada a comra as codições do euciado:, 9! P9 8!! Resosta: 8 maeiras distitas. - - htt://

4 ) (I SP) Quatos aagramas com seis caracteres distitos odemos formar usado as letras da alavra QUEIMDO, tedo duas cosoates e que, etre elas, haja elo meos uma vogal? Maeira º cálculo: odos os aagramas com duas cosoates e quatro vogais:, N C C V V V V ( ) (5 ) (P ) N 8 Ode: (.)... é o úmero de maeiras de escolhermos duas cosoates (a ordem iteressa); (5...)... é o úmero de maeiras de escolhermos quatro vogais (a ordem iteressa);, (P )... é o úmero de maeiras de arrumarmos as seis letras (a ordem iteressa). º cálculo: odos os aagramas com duas cosoates e quatro vogais, tedo as cosoates jutas: N 5 CC V V V V ( ) (5 ) (P ) N Devido às cosoates estarem jutas cosideraremos aeas cico eças... Ode: (.)... é o úmero de maeiras de escolhermos duas cosoates (a ordem iteressa); (5...)... é o úmero de maeiras de escolhermos quatro vogais (a ordem iteressa); (P5 )... é o úmero de maeiras de arrumarmos as quatro vogais e as duas cosoates (jutas). Sedo assim: N N, ode é a quatidade de aagramas edida a questão. Resosta: Maeira ) Deveremos escolher cosoates etre disoíveis: (ideedete da ordem); ) Deveremos escolher vogais etre 5 disoíveis: 5 (ideedete da ordem); ) Escolhidas as letras, deveremos ermutá-las ara obtermos todos os aagramas ossíveis com tais letras, ou seja: 5 N P ( ) (5 ) (7 ) N 8. ) Precisamos ecluir os aagramas que aresetam as cosoates jutas; 5) Deveremos escolher cosoates etre disoíveis: (ideedete da ordem); ) Deveremos escolher vogais etre 5 disoíveis: 5 (ideedete da ordem); 7) Deveremos mater as cosoates jutas: C C V V V V 8) Deveremos ermutar as eças que comõem o aagrama, ou seja: 5 N (P5 ) (P ) ( ) (5 ) ( ) ( ) N. Sedo assim: N N, ode é a quatidade de aagramas edida a questão. 8 Resosta: htt://

5 7) (Darwi GP) No desevolvimeto de a) o termo ideedete de. b) o termo médio. c) o termo em. Q7) Resolução: 8, calcule: ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) ( )... ( ) a) em (), o termo ideedete de ocorre ara 8 () 8 ( ) (7 ) ( ) 5 b) o termo médio o desevolvimeto do biômio (9 termos ) ou seja, 5ª osição 5. 8 é o termo que ocua a osição ( º de termos ), Como o 5º termo já foi calculado o item (a) aterior, o termo médio é igual a. c) o termo em será ecotrado em ( ) fazedo-se 8 () 8 ( ) (5 ) (8 ) 8 Resostas: a). b). c) htt://

6 8) (Da Vici) Sabedo que úmeros biomiais comlemetares são iguais, utilize a idetidade abaio. cohecida como Relação de Stifel, ode,( satisfaz a equação m 8 m m 7 Q8) Resolução: ) IN e, ara calcular o úmero iteiro m que ( ) m 8 m m 7 8 Sabemos que o úmero biomial comlemetar de é calculado efetuado a oeração abaio: 8 m 8 8 ode ( 8 m) 8 m 8 m 8 8 ssim, o comlemetar de é ; 8 m m 8 8 Como, reescrevedo a equação ( ), teremos: 8 m m ( ) m m m 7 licado, agora, a Relação de Stifel a equação ( ): m m m m m 7 m m 7 ( imossível ) m m 7 9 m Resosta: m =. - - htt://

7 9) (Da Vici) resete algebricamete uma aroimação com duas casas decimais ara a otêcia (,). Q9) Resolução: Utilizado-se dos cohecimetos do desevolvimeto do biômio de Newto ( a), ode cada um dos seus (+) termos é formado coforme eressão do termo geral abaio: (), IN (,) (,) (,) () (), (),78, (), alisado sob o critério de aroimação com recisão de duas casas decimais odemos afirmar que: (,) (,) (,) (,),,, DESPREZÍVEL Com o cohecimeto do dígito da casa dos milésimos, odemos afirmar que: (,),. Resosta: aroimadamete, htt://

8 SÉRIE CS C) (Fatec-SP) Uma emresa distribui a cada cadidato a emrego um questioário com três ergutas. Na rimeira o cadidato deve declarar sua escolaridade, escolhedo uma das cico alterativas. Na seguda, deve escolher, em ordem de referêcia, três de seis locais ode gostaria de trabalhar. Na última, deve escolher os dois dias da semaa em que quer folgar. Quatos questioários com cojutos diferetes de resostas ode o eamiador ecotrar? Resolução C) Cosiderado a quatidade total de questioários que atede ao euciado, 7 (5 ) ( ) (5 ) ( ) (5 ) ( ) (. ) Resosta C). C) (UFRJ) Quatos úmeros de algarismos odemos formar os quais o algarismo aarece ao meos uma vez? Resolução C) Cosiderado a quatidade total de úmeros que atede ao euciado, Cosiderado N todos os úmeros de algarismos do Sistema Decimal de Numeração; Cosiderado N todos os úmeros de algarismos do Sistema Decimal de Numeração, que ão ossuem o algarismo ; N N... ( ) N (9 ) ( ) ( ) ( ) N N (8 ) (9 ) (9 ) (9 ) N Substituido N e N em ( ): Resosta C) 8. C) (PUC-SP) O ovo sistema de lacas de veículos utiliza um gruo de três letras (detre letras) e um gruo de algarismos (or eemlo: BC ). Uma laca dessas será "PLÍNDROM" se os dois gruos que a costituem forem "PLÍNDROMOS". O gruo B é "PLÍNDROMO", ois as leituras da esquerda ara a direita e da direita ara a esquerda são iguais; da mesma forma o gruo é "PLÍNDROMO". Quatas lacas "PLÍNDROMS" distitas oderão ser costruídas? Resolução C) Cosiderado a quatidade total de úmeros que atede ao euciado, [ ( ) ( ) () ] [ ( ) ( ) () () ] 7 Resosta C) htt://

9 C) (UFMG-5 modificada) Para um gruo de essoas, serão sorteadas viages ara três cidades distitas, B e C. Cico dessas essoas irão ara a cidade ; quatro, ara a cidade B; e três, ara cidade C. Nesse gruo, estão driaa, Luciaa e Sílvio, que são amigos e gostariam de ir ara a mesma cidade. Cosiderado essas iformações, RESPOND:. De quatas maeiras distitas se odem sortear as viages de modo que driaa, Luciaa e Sílvio viajem ara a cidade?. De quatas maeiras distitas se odem sortear as viages de modo que driaa, Luciaa e Sílvio viajem ara a mesma cidade? Resolução C) (diaa), L (Luciaa) e S (Sílvio) GRUPOS FORMDOS CÁLCULOS Nº DE MNEIRS L S N CIDDE => L S B => C => 9 7 N ( ).(5 ).() N L S N CIDDE B => B => L S C => 9 5 N ( ).( ).() N 5 L S N CIDDE C => B => C => L S 9 N ( ).( ) 5 N ) N ) N N 89 N Resostas C) ). ) htt://

10 C5) (UNICMP-SP/5 modificada) Com as letras, y, z e w odemos formar moômios de grau k, isto é, q r s eressões do tio y z w, ode, q, r e s são iteiros ão-egativos, tais que q r s k. Quado um ou mais desses eoetes é igual a zero, dizemos que o moômio é formado elas demais letras. Por eemlo, y z é um moômio de grau 7 formado elas letras y e z (esse caso, s ). Quatos moômios de grau odem ser formados com, o máimo, letras? Resolução C5) a) O úmero de moômios de grau com, o máimo, letras, é igual ao úmero de soluções da equação q r s, com, q, r e s iteiros ão-egativos. Utilizado o sistema clássico de bolas e traços (otos e barras), ode cada BOL rereseta uma das quatro icógitas-letras (, q, r e s) e cada RÇO é usado ara searar duas icógitas. Permutaremos bolas ( variáveis ão egativas) e traços (searadores). q r s 7! P, 7 P, 7 5!! Um eemlo de cofiguração ara a solução ode ser reresetado or (,,, ). Resosta C5) 5. C) (Da Vici) Se os úmeros biomiais, e, esta ordem, estão em rogressão aritmética, determie os ossíveis valores que ode assumir. Resolução C)! ( )! [ ( ) ]! ( )!!! ( )( ) ( )( ) P (,, ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ou Resosta C) = ou =. - - htt://

11 C7)(Darwi GP) Determie a osição do termo ideedete de, o desevolvimeto do biômio segudo as otêcias decrescetes de. Resolução C7) 5 ERMOS ( 5 ( ) 5 ( ) ) ( ) ( ) ( ) = 5 ( ) ( ) ( ) Em ( ): 5 5 ( ) ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) 5 5 Resosta C7) o termo ideedete de ocua a ª osição, segudo as otêcias decrescetes de. - - htt://

12 C8) (FUVES SP) Calcule o termo ideedete de o desevolvimeto de. Resolução C8) alisado o biômio, o qual ossui 7 termos, cujo termo geral é: " " a ( ) (a) ) ( ) ( ) ( ()... ) ( = ) ( Em (): ) ( Resosta C8). C9) (Darwi GP) O Desevolvimeto do biômio areseta termos com radical. Calcule o valor de. Resolução C9) Cada um dos termos do desevolvimeto do biômio será: / / ).( ).(. Como, os úicos valores de } IN { que são múltilos de são, e, ou seja, temos valores de que roorcioam termos com radical. htt:// - - ssim, =... Calculado, ara = : 9 9 Sabemos que: 9 ssim, ) ( Resosta C9) =.