ANÁLISE COMBINATÓRIA: ASPECTOS HISTÓRICOS

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1 ANÁLISE COMBINATÓRIA: ASECTOS HISTÓRICOS Durate muito temo a Aálise Combiatória ou Cálculo Combiatório foi cosiderado comletamete desligado do cálculo aritmético, segudo Re astor (99) o coceito modero do úmero é, orém uma das rovas do ael reoderate que a oção de ordem desemeha as diversas teorias matemáticas. Segudo Wieleiter o roblema mais atigo que se relacioa com a teoria dos úmeros e com a Aálise Combiatória, é o da formação dos quadrados mágicos. Chamamos de quadrados mágicos (de ordem ) um arrajo de úmeros,,... em um quadrado de forma que cada liha, colua e diagoal deste quadrado ossua a mesma soma. Como vemos abaio: O rimeiro quadrado mágico cohecido é o Lo Shu, que segudo Needham (99) data do século I d.c., mas que ode ser tão atigo a oto de ter sido escrito or volta de a.c. (Berge, 97): Na aálise combiatória estuda-se formação, cotagem e roriedades dos agruametos que odem costituir-se, segudo determiados critérios, com os objetos de uma coleção. Esses agruametos distiguem-se, fudametalmete, em três esécies: arrajos, ermutações e combiações, e odem ser formados de objetos distitos ou reetidos. Aida o ricíio do século XIX ão havia sigificado reciso ara o emrego dos termos arrajo e ermutação. Leibiz desigava as ermutações or variações, que é a alavra hoje utilizada or algus autores ara idicar arrajos. A Aálise Combiatória serve hoje de base a várias teorias da Aálise Matemática: robabilidades, determiates, teoria dos úmeros, teoria dos gruos, toologia, etc. Tal assuto é foco de muita ateção, ois a literatura ão eiste uma defiição satisfatória desta ciêcia e de suas ramificações. Estudado a Aálise Combiatória Em diversas situações, somos submetidos a códigos, sehas e cotra-sehas. Tratado-se de seguraça a iteret, ossos s e cotas em redes sociais os edem uma seha de seguraça ara que se teha acesso à cota. Esta seha, esera-se, ser tão segura quato recisar, a oto de iguém coseguir decifrá-la. Mas, e se alguém tetar decifrar esta seha? É imortate esar, que criar uma seha somete com úmeros, facilitaria muito a vida de um mal-itecioado, ois o úmero de tetativas ara quebrar esta seha seria relativamete equeo. or isso, misturar úmeros, letras miúsculas, maiúsculas e caracteres eseciais otecializam a seguraça de suas sehas. O que vamos estudar este bimestre é o camiho do mal-itecioado. Quatas tetativas, e quato temo deve ser deserdiçado ara se quebrar uma seha, ou fazer uma cotagem recisa, ou acertar a ossibilidade de um determiado time de futebol ser rebaiado em um cameoato.... RINCÍIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (FC) ara eteder o FC, vamos aalisar o seguite eemlo: Você está em uma lachoete ode você mesmo mota o seu saduíche. Você ode escolher etre dois tios de ães e quatro tios de recheio. Suodo que os ães sejam itegral ou de ceteio, e os recheios sejam de queijo, frago, salada e resuto. Obviamete, eiste um úmero máimo de escolhas diferetes que você oderá fazer esta lachoete. ara o ão de itegral, odemos escolher recheios; assim como se tivéssemos escolhido o ão de ceteio: recheios. Isso totaliza 8 diferetes saduíches ara ser motados.

2 Etão, são ães, recheios e o total é 8. Qual é a oeração matemática que oera o com o e resulta em 8? A multilicação! Assim, o FC ada mais é do que a multilicação dos evetos searados. Em matemática: Quado um eveto é comosto or etaas sucessivas e ideedetes, de tal forma que as ossibilidades da rimeira etaa é m e as ossibilidades da seguda etaa é, cosideramos etão que o úmero total de ossibilidades de o eveto ocorrer é dado elo roduto m.. Eemlo Ao laçarmos uma moeda e um dado temos as seguites ossibilidades: Moeda: cara ou coroa (duas ossibilidades) Dado:,,,,, 6 (seis ossibilidades) Observado o ocorrido, vemos que o eveto tem duas etaas com ossibilidades em uma e 6 em outra, totalizado.6 ossibilidades. Eemlo Quatos úmeros de algarismos odemos escrever com os algarismos, e 6? E de algarismos distitos? odemos escrever.. 7 úmeros de algarismos. Três algarismos distitos:.. 6 úmeros de algarismos distitos.. Thiago ossui blusas diferetes e calças diferetes. De quatas maeiras ele oderá escolher uma blusa e uma calça ara se vestir?. Quatos úmeros de dois algarismos odem ser formados utilizado elemetos do cojuto {,, }?. Quatos úmeros de dois algarismos diferetes (distitos) odem ser formados utilizado elemetos do cojuto {,, }?. Quatos úmeros de três algarismos odem ser formados utilizado elemetos do cojuto {,, }?. Quatos úmeros de três algarismos diferetes (distitos) odem ser formados utilizado elemetos do cojuto {,, }? 6. Um estádio ossui ortões. De quatas maeiras diferetes um torcedor ode etrar e sair desse estádio? 7. Um estádio ossui ortões. De quatas maeiras diferetes um torcedor ode etrar e sair desse estádio utilizado, ara sair, um ortão diferete do que etrou? 8. Mariaa desehou uma badeira retagular de listras e deseja itá-la, de modo que duas listras cosecutivas ão sejam itadas da mesma cor. Se ela ossui láis de cores diferetes, de quatas maeiras oderá itar sua badeira? 9. Numa rova havia ites ara que os aluos resodessem V (verdadeiro) ou F (falso). De quatas maeiras diferetes um aluo que vai chutar todas as reostas oderá resoder esses ites?. Um aiel lumioso retagular é comosto or lâmadas. De quatas maeiras diferetes esse aiel ode estar ilumiado? (cosidera-se o aiel ilumiado se, elo meos, uma de suas lâmadas estiver acesa).

3 . FATORIAL Cosiderado um úmero atural maior que (um), odemos defiir como fatorial desse úmero (!) o úmero:! ( )( )( ) Lê-se! como fatorial ou fatorial de. Veja algus eemlos:!.... 8! ! ! Defiição:! Eemlo:. Simlifique e resolva as oerações com fatorial:!...!.. Simlificamos a multilicação.., que está o umerador e deomiador, etão:!.! arado ara esar um ouco, ão recisaríamos escrever duas vezes.., este é eatamete o sigificado de! Etão, a hora de simlificarmos a eressão, faremos da seguite forma:!..!. (Cortamos os!)!!. Simlifique as eressões:! 8! 9! a) b) 8!!. Ecotre o valor de a equação ( )! 7 c)! ( )!. Calcule ou simlifique: 7! a) 6! b)! c)!!!6! d)!! 9! e)! ( )!

4 . ARRANJO SIMLES ara a escolha do residete e vice de uma determiada turma, cadidataram-se aluos: Aa, Daiel e Marta. Os dois cadidatos mais votados serão escolhidos, resectivamete, residete e vice. Quatas são as ossibilidades de resultados desta eleição? rimeiramete, cosideremos todas as ossibilidades, costruido um diagrama de árvore: Assim, se Aa for residete, Daiel ou Marta odem ser vice Se Daiel for residete, Aa ou Marta odem ser vice E, se Marta for residete, Aa ou Daiel odem ser vice De acordo com o diagrama, são 6 as ossibilidades. Note que a ordem dos eleitos imorta, ou iterfere, o resultado da eleição. or eemlo, com Aa e Daiel, é diferete se Aa for residete e Daiel vice do que se Daiel for residete e Aa vice. Este tio de agruameto é deomiado arrajo simles. Neste caso, temos um arrajo de elemetos tomados a, e o úmero total de arrajos é idicado or A. 6, Um arrajo é chamado simles quado ão ocorre reetição de elemetos em um agruameto. Em arrajos simles, os agruametos diferem-se ela ordem dos elemetos. A quatidade total de agruametos é idicada or A, ou do agruameto e é o úmero de elemetos escolhidos deste agruameto, assim: ARRANJO SIMLES A, Eemlos: 9! 9! 9.8.7! A 9, (9 )! 7! 7!!! ! A, ( )!!! A, ode é o úmero de elemetos! ( )!. Calcule: a) A 6, b) A 9, c) A 7, d) A 8, 6 e) A, A9, f) A, A,. ara acessar sua cota bacária via iteret, uma essoa recisa cadastrar uma seha comosta or caracteres distitos, detre disoíveis. De quatas maeiras diferetes essa essoa ode cadastrar a sua seha?. Quatas alavras de letras distitas odemos formar com a alavra NUMEROS?. Um estudate tem láis de cores diferetes. De quatas formas ele ode itar um maa dos estados da região Sul do Brasil, sem reetir ehuma cor?

5 . ERMUTAÇÃO SIMLES Nos casos de arrajos simles, em que, temos uma ermutação simles, ou seja, um arrajo de elemetos tomados a. Idicamos a quatidade total de ermutações simles de elemetos or, e obtemos este valor da seguite maeira:!!! ( )!! A, ermutação simles é todo arrajo de elemetos distitos tomados a. A quatidade total de ermutações simles é calculada or:!! Eemlos: 6! !... ERMUTAÇÃO SIMLES!. Calcule: a) 7 c) 6 e) b) 7 d) f) A 8, A 7 7,. Quatos aagramas tem a alavra: a) AMOR b) LUCRO c) TECLADO d) TRIÂNGULO. Na fila do caia de uma adaria estão três essoas. De quatas maeiras elas odem estar osicioadas esta fila?. De quatas maeiras distitas odemos colocar em fila idiaa seis homes e seis mulheres em qualquer ordem?. De quatas maeiras diferetes odemos orgaizar quatro DVDs em uma rateleira? 6. Determie o úmero de aagramas da alavra SAULO que começam or vogal.

6 . COMBINAÇÃO SIMLES ara se caracterizar uma Combiação ao se escolher o gruo de elemetos a ordem desses elemetos ão forma gruos diferetes como acotecia os roblemas de Arrajos. Eemlo: Uma equie será formada or dez essoas. Três essoas serão escolhidas ara comor uma reresetação da equie um toreio. Qual o úmero de diferetes reresetações que odem ser formadas? rimeiramete é ecessário idetificar a atureza dessas escolhas. Vamos suor que detre essas essoas estão Bruo, Michele e aulo. Se trocarmos a ordem dos elemetos teremos uma equie diferete? or eemlo, a equie Bruo, Michele e aulo é diferete da equie aulo, Bruo e Michele? Claro que ão é. Trocado a ordem desses elemetos teremos o mesmo gruo. Isso caracteriza que o roblema é de combiação. Chamaremos combiações simles de elemetos distitos tomados a aos gruos formados or elemetos tomados dos elemetos, de tal forma que aeas a atureza dos elemetos determiam gruos diferetes, com a mesma quatidade de elemetos. COMBINAÇÃO! C, SIMLES ( )!! Note: A forma de calcularmos combiações e arrajos é muito arecida. Nas combiações, dividimos os arrajos or seus agruametos cosiderados iguais, justo or ão deeder de ordem. Eemlo: Ates de saírem ara uma festa, três amigos decidem or fazer um edido de tele-etrega em uma izzaria. O tamaho da izza a ser escolhida ermite aos amigos que escolham sabores detre os disoíveis a izzaria. Quatas são as diferetes ossibilidades de izzas a serem escolhidas? Resolução: Não muda ada, se eles escolherem os sabores frago, milho e queijo, ou queijo, milho e frago. Estas duas ordes de edidos cofiguram a mesma izza, assim, este caso ão trata-se de um arrajo. Logo, temos dos sabores ara escolher e recisamos ecluir os casos reetidos: C!.9.8.7! ( )!! 7!!, Assim, são diferetes ossibilidades de edidos de uma izza com sabores.. Calcule: a) C, b) C 8, c) C7, -C 7, d) C 6, e) C,. Qual é a chace de um aostador acertar a Mega Sea, aostado em 6 das 6 dezeas a serem sorteadas?. Um time de futebol é comosto de jogadores, sedo goleiro, zagueiros, meio camistas e atacates. Cosiderado-se que o técico disõe de goleiros, 8 zagueiros, meio camistas e 6 atacates, determie o úmero de maeiras ossíveis que esse time ode ser formado.

7 6. ERMUTAÇÃO COM REETIÇÃO Quado estudamos as ermutações Simles, vimos que a quatidade de elemetos distitos deede uicamete do úmero de elemetos, assim,!. Mas, e se ão tivermos todos os elemetos distitos em um agruameto? ara resoder esta erguta, vamos calcular a quatidade de agruametos da alavra ESSOAS. Se esta alavra ão tivesse letras reetidas, teríamos 7! aagramas. orém, esta alavra ossui letras S reetidas, que ao serem ermutadas etre si, dão origem a aagramas iguais. Assim, a alavra ESSOAS tem meos de 7! aagramas. Como a alavra ESSOAS ossui letras S, cada aagrama se reete! vezes. Assim, o úmero de aagramas dessa alavra é dado or: 7! ! 8!! A quatidade de ermutações de elemetos com reetições, dos quais,,... k são as quatidades dos diferetes elemetos e... k, é dada or: ERMUTAÇÃO (!,,..., ) k COM REETIÇÃO!!... k! Eemlo: Quatos aagramas ossui a alavra CARROSSÉIS? Resolução: Note que a alavra ossui letras, mas algumas delas se reetem. Etão, de iício,. A letra R se reete duas vezes e a letra S aarece três vezes. Todas as outras letras são sigulares e ão se reetem. Assim, (duas letras R) e (três letras S). E, ortato, calculamos:! !!.!..! (,). Determie quatos aagramas tem cada alavra abaio: a) MONITOR b) AMERICANA c) LIBERTADOR d) CALCULADORA e) RENASCIMENTO. ermutado os algarismos do úmero.6, quatos úmeros: a) são obtidos? b) ares são obtidos? c) meores que. são obtidos?. (FURG-RS) Maoela decidiu escolher uma seha ara seu trocado a ordem das letras de seu ome. O úmero de maeiras como ela ode fazer isso, cosiderado que a seha deve ser diferete do rório ome, é: a) 87 b) 8 c).9 d) e).9. (ENEM-MEC) A escrita Braille ara cegos é um sistema de símbolos o qual cada caractere é um cojuto de 6 otos disostos em forma retagular, dos quais elo meos um se destaca em relação aos demais. or eemlo, a letra A é reresetada ela figura ao lado. O úmero total de caracteres que odem ser formados o sistema Braille é: a) b) c) 6 d) 6 e) 7 MAIS NO SITE: Em htt:// eiste uma tabela comleta com os caracteres em Braille, icluido úmeros, acetuações e regras de otuação. Cofira!

8 7. BINÔMIO DE NEWTON Equato estudates do Esio Fudametal, ossos rofessores de matemática os cobravam que soubéssemos desevolver os rodutos otáveis. Este assuto trata-se de uma forma geérica de se desevolver biômios elevados a qualquer grau, desde que seja Natural, com a ajuda da Aálise Combiatória. Um biômio do tio ) ( é chamado biômio de Newto. Atividade: Cotiue o desevolvimeto dos biômios abaio: ) ).( ( ) ( ) ( ) ( Deededo do valor de, este rocesso ode ser muito trabalhoso. Etão, estudaremos uma maeira meos trabalhosa de se obter qualquer dos termos de um biômio do tio ) ( sem efetuar todo o seu desevolvimeto. 7. TRIÂNGULO DE ASCAL ara auiliar o etedimeto, assista aos vídeos que disoibilizei a ágia de sua turma o site htt:// ou utilize seu leitor de QR as images ao lado: Sabemos que, em uma combiação simles, a ordem dos elemetos ão imorta, e a quatidade total de combiações simles ode ser idicada or! )! (!, C C. BINÔMIO DE NEWTON: O TRIÂNGULO DE ASCAL... No estudo do Biômio de Newto, como forma de simlificar a escrita, utilizaremos a otação: biomial de sobre, ou biomial de classe odemos orgaizar os úmeros biomiais em uma estrutura triagular, cohecida como Triâgulo de ascal. Observado arte desse triâgulo, otamos que os úmeros biomiais que ossuem: Mesmo umerador, ecotram-se a mesma liha Mesmo deomiador, ecotram-se a mesma colua. Alicado as combiações ao triâgulo ao lado, escrevemos: 6 or eemlo: )!! (! 6 )!! (!,, C C

9 roriedades do Triâgulo de ascal: ª roriedade: Tomado qualquer liha do triâgulo, termos eqüidistates são iguais; ª roriedade: A artir da ª liha e eceto o rimeiro e último elemeto de cada liha, cada elemeto do triâgulo é a soma do elemeto imediatamete suerior a ele com o elemeto aterior a este. ª roriedade: A soma de todos os elemetos de qualquer liha do triâgulo é igual a.. Um rofessor elaborou o seguite quebra-cabeças ara seus aluos, dizedo que esta tabela é arte de um Triâgulo de ascal. Comlete-o:. Calcule o valor de: a) 8 b) c).... Quatos elemetos tem a 8ª liha do Triâgulo de ascal? E qual a soma de seus elemetos?. De um gruo de essoas, deseja-se formar uma comissão com o míimo o máimo itegrates. Quatas comissões diferetes odem ser formadas? 7. FÓRMULA DO BINÔMIO DE NEWTON Eiste uma fórmula ara ráida ara escrevermos o Biômio de Newto. A artir desta fórmula, destacamos: Em qualquer dos termos do desevolvimeto de ( ), a soma dos eoetes de e é. O desevolvimeto de ( ) ossui termos. Os eoetes de decrescem, de em, de até. Os eoetes de crescem, de em, de até. Os elemetos da liha do Triâgulo de ascal corresodem ao coeficiete do desevolvimeto de ( ). ( ) ( ). Efetue o desevolvimeto de. Efetue o desevolvimeto de ( ) ( ) 7. TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON ara ecotrarmos um termo esecífico do biômio de Newto, sem recisar desevolver todo o biômio, utilizamos o termo geral, ou termo geérico do Biômio de Newto: Eemlo: O º termo do biômio ( T 6 ) é: 6 T 6.().8

10 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES E ENEM. (FUVEST) Cosidere todas as trita e duas seqüêcias, com cico elemetos cada uma, que odem ser formadas com os algarismos e. Quatas dessas seqüêcias ossuem elo meos três zeros em osições cosecutivas? a) b) c) 8 d) e) 6. (VUNES) De uma ura cotedo bolas coloridas, sedo bracas, retas, vermelhas e verde, retiram-se, de uma vez, bolas. Quatos são os casos ossíveis em que aarecem eatamete uma bola de cada cor? a) b) 7 c) d) 8 e). (MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser itado com uma úica cor, escolhida detre quatro disoíveis. Sabedo-se que dois círculos cosecutivos uca serão itados com a mesma cor, etão o úmero de formas de se itar os círculos é: a) b) c) 79 d) 96 e). (UEL) Um rofessor de Matemática comrou dois livros ara remiar dois aluos de uma classe de aluos. Como são dois livros diferetes, de quatos modos distitos ode ocorrer a remiação? a) 86 b) 7 c) 76 d) e). (UNIV. EST. DE FEIRA DE SANTANA) O úmero de equies de trabalho que oderão ser formadas um gruo de dez idivíduos, devedo cada equie ser costituída or um coordeador, um secretário e um digitador, é: a) b) 6 c) 8 d) 6 e) 7 6. (MACK) Um juiz disõe de essoas, das quais somete são advogados, ara formar um úico júri com 7 jurados. O úmero de formas de comor o júri, com elo meos advogado, é: a) b) 8 c) 6 d) e) 8 7. Do cardáio de uma festa costavam dez diferetes tios de salgadihos dos quais só quatro seriam servidos quetes. O garçom ecarregado de arrumar a travessa e servi-la foi istruído ara que a mesma cotivesse semre só diferetes tios de salgadihos frios, e só diferetes dos quetes. De quatos modos diferetes, teve o garçom a liberdade de selecioar os salgadihos ara comor a travessa, reseitado as istruções? a) 9 b) c) d) 8 e) 8 8. (ITA) O úmero de soluções iteiras, maiores ou iguais a zero, da equação z w é: a) 6 b) 8 c) d) e) 6 9. (ENEM-MEC ) Doze times se iscreveram em um toreio de futebol amador. O jogo de abertura do toreio foi escolhido da seguite forma: rimeiro foram sorteados times ara comor o Gruo A. Em seguida, etre os times do Gruo A, foram sorteados times ara realizar o jogo de abertura do toreio, sedo que o rimeiro deles jogaria em seu rório camo, e o segudo seria o time visitate. A quatidade total de escolhas ossíveis ara o Gruo A e a quatidade total de escolhas dos times do jogo de abertura odem ser calculadas através de: a) uma combiação e um arrajo, resectivamete. b) um arrajo e uma combiação, resectivamete. c) um arrajo e uma ermutação, resectivamete. d) duas combiações. e) dois arrajos.