Estatística I Aula 4. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

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1 Estatística I Aula 4 Prof.: Patricia Maria Bortolo, D. Sc.

2 PROBABILIDADE

3 Ates de estudarmos probabilidades é preciso saber quais são as possibilidades de um determiado feômeo/experimeto Precisamos estudar Técicas de Cotagem!!! O estudo de o que é possível Obs.: esse coteúdo está o fial da Uidade 5 da sua apostila!!

4 Diagrama de árvore Marcos e Érico disputam um toreio de têis. O primeiro que gahar dois jogos seguidos, ou que gahar um total de três jogos, vece o toreio. O diagrama dos resultados possíveis do toreio é: E M M E M E M E M E M E M E M E M E Resultados Possíveis: MM MEMM MEE MEMEM MEMEE EE EMM EMEE EMEMM EMEME 10 resultados possíveis

5 Multiplicação de Escolhas Os pacietes de um estudo médico são classificados pelo grupo saguíeo A, B, AB ou O, e pela pressão saguíea alta, baixa ou ormal. De quatas maeiras pode um paciete ser classificado? baixa ormal R: Haverá 4 x 3 = 12 classificações possíveis. A B AB O alta baixa ormal alta baixa ormal alta baixa ormal alta Se uma escolha cosiste em dois passos, o primeiro dos quais pode ser realizado de m maeiras, e para cada uma dessas o segudo passo pode ser realizado de maeiras, etão a escolha total pode ser feita de m. maeiras

6 Multiplicação de Escolhas (Geeralizada) Se uma escolha cosiste em k passos, o primeiro dos quais pode ser realizado de 1 maeiras, para cada uma dessas o segudo passo pode ser realizado de 2 maeiras, para cada combiação de escolhas feitas os dois primeiros passos o terceiro passo pode ser realizado de 3 maeiras,..., e para cada uma dessas combiações de escolhas os primeiros k-1 passos o k-ésimo passo pode ser realizado de k maeiras, etão a escolha total pode ser feita de k maeiras.

7 Exemplo 1 Um vededor de automóveis ovos oferece um carro em quatro estilos, dez acabametos e três potêcias. De quatas maeiras diferetes pode ser ecomedado um desses carros? Solução: Como 1 = 4, 2 = 10 e 3 = 3, há 4 x 10 x 3 = 120 maeiras diferetes de ecomedar um desses carros.

8 Exemplo 2 Cotiuado com o exemplo aterior, quatas escolhas existem se o comprador também precisar escolher o carro com trasmissão automática ou maual e com ou sem ar-codicioado? Solução: Como 1 = 4, 2 = 10, 3 = 3, 4 = 2 e 5 = 2, há 4 x 10 x 3 x 2 x 2 = 480 escolhas diferetes.

9 Notação Fatorial É o produto de todos os iteiros positivos meores do que ou iguais ao iteiro positivo é deomiado fatorial de e deotado por!. Assim 1! = 1 2! = 2 x 1 3! = 3 x 2 x 1 4! = 4 x 3 x 2 x 1...! = x (-1) x (-2) x... x 3 x 2 x 1

10 Arrajos Permite cotar de quatas formas diferetes, levado em cosideração a ordem, posso escolher r objetos detre objetos distitos. De quatas formas posso escolher duas das cico vogais a, e, i, o, u? ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, ia, ie, io, iu, oa, oe, oi, ou, ua, ue, ui, uo Equivale a multiplicar 5 x 4, pois teho cico opções a primeira escolha e quatro opções para a seguda escolha Detre 20 cadidatas a Miss de quatas formas podem ser escolhidas o primeiro e segudo lugar? Há 20 opções para o primeiro lugar e depois 19 para o segudo lugar, logo, há 20 x 19 = 380 possíveis resultados. De quatas maeiras os 48 membros de um sidicato podem escolher um presidete, um vice-presidete, um secretário e um tesoureiro? 48 x 47 x 46 x 45 = maeiras

11 Arrajos Geeralizado e ecotrado uma expressão para o cálculo:! A(, r) ( 1)( 2)...( r 1) ( r)! a seguda parte da fórmula vem do fato de que ( 1)( 2)...( r ( 1)( 2)...( r 1) ( r)!! A(, r) ( r)! 1) ( r)!

12 Permutações São um caso especial dos arrajos em que os objetos distitos são tomados todos de uma só vez, ou seja, r =.! ), ( 1! 0!! )! (! ), ( )! (! ), ( P P r r P

13 Exemplo 3 Quatas permutações de três objetos, a, b e c existem? 3! = 3x2x1=6 abc acb bac bca cab cba

14 Exemplo 4 De quatas maeiras oito professores substitutos podem ser distribuídos para lecioar oito turmas de um curso de Ecoomia? Solução: Tomado = 8 a fórmula P (,) =! = 8! = maeiras.

15 Amostras Ordeadas Muitos exemplos de probabilidade estão ligados à escolha de uma bola de uma ura cotedo bolas (ou cartas de baralho, ou pessoas de uma população). Quado escolhemos uma bola após outra da ura, digamos r vezes, chamamos a escolha da amostra ordeada de tamaho r. Cosideramos dois casos: (i) Amostragem com reposição: aqui a bola é recolocada a ura, ates da escolha da próxima. Ora, já que há diferetes maeiras de escolher cada bola, existem, pelo pricípio fudametal da cotagem:... = r amostras ordeadas diferetes, com reposição, de tamaho r. (ii) Amostragem sem reposição: aqui a bola ão é recolocada a ura ates da escolha da próxima. Assim, ão há repetição a amostra ordeada. Em outras palavras, uma amostra ordeada, sem reposição, de tamaho r é simplesmete uma r-permutação dos objetos da ura. Ou seja, há! A(, r) ( 1)( 2)...( r 1) ( r)! amostras ordeadas diferetes, sem reposição, de tamaho r de uma população de objetos.

16 Exercícios 1. Se ão são permitidas repetições 1. Quatos úmeros de 3 dígitos podem ser formados dos seis dígitos 2, 3, 5, 6, 7 e 9? 2. Quatos destes são meores que 400? 3. Quatos são pares? 4. Quatos são ímpares? 5. Quatos são múltiplos de 5? Dica: em cada caso desehe três caixas para represetar um úmero arbitrário, e etão escreva, em cada caixa, o úmero de dígitos que podem ser colocados ela.

17 Exercícios - Solução Se ão são permitidas repetições 1 - A caixa à esquerda pode ser preechida de 6 maeiras; a seguir, a do meio pode ser preechida de 5 maeiras; e, fialmete, a da direita pode ser preechida de 4 maeiras: Assim, existem 6 x 5 x 4 = 120 úmeros 2 A caixa da esquerda pode ser preechida somete de 2 maeiras, por 2 ou 3, já que cada úmero deve ser meor que 400; a caixa do meio pode ser preechida de 5 maeiras; e, fialmete, a da direita pode ser preechida de 4 maeiras: Assim, existem 2 x 5 x 4 = 40 úmeros 3 - A caixa da direita pode ser preechida somete de 2 maeiras, por 2 ou 3, já que os úmeros devem ser pares; a da esquerda pode ser preechida de 5 maeiras; e, fialmete a do meio pode ser preechida de 4 maeiras: Assim, existem 5 x 4 x 2 = 40 úmeros

18 Exercícios - Solução Se ão são permitidas repetições 4 A caixa da direita pode ser preechida somete de 4 maeiras, por 3, 5, 7 ou 9, já que os úmeros devem ser ímpares; a da esquerda pode ser preechida de 5 maeiras; e, fialmete, a do meio pode ser preechida de 4 maeiras: Assim, existem 5 x 4 x 4 = 80 úmeros 5 A caixa da direita pode ser preechida somete de 1 maeira, por 5, já que os úmeros devem ser múltiplos de 5; a da esquerda pode ser preechida de 5 maeiras; e, fialmete, a do meio pode ser preechida de 4 maeiras: Assim, existem 5 x 4 x 1 = 20 úmeros

19 Exercícios - Solução 2 - De quatas maeiras um grupo de 7 pessoas pode se dispor em uma fila? Solução: As sete pessoas podem se dispor em uma fila de 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! = maeiras

20 Exercícios - Solução 3 - (i) De quatas maeiras 3 rapazes e 2 moças podem se setar em uma fila? (ii) De quatas maeiras eles podem se setar em uma fila se os rapazes devem ficar jutos e as meias também? (iii) De quatas maeiras eles podem se setar em uma fila, se somete as meias devem setar jutas? Solução: (i) As cico pessoas podem se setar em uma fila de 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 maeiras (ii) Existem duas maeiras de distribuí-los segudo o sexo: RRRMM ou MMRRR. Em cada caso, os rapazes podem se setar de 3 x 2 x 1 = 3! = 6 maeiras e as moças de 2 x 1 = 2! = 2 maeiras. Etão existem, ao todo, 2 x 3! x 2! = 2 x 6 x 2 = 24 maeiras (iii) Existem 4 maeiras para distribuí-los segudo o sexo: MMRRR, RMMRR, RRMMR, RRRMM. Note que cada maeira correspode ao úmero 0, 1, 2 ou 3, de rapazes setados à esquerda das moças. Em cada caso, os rapazes podem se setar de 3! maeiras e as moças de 2! maeiras. Portato existem, ao todo, 4 x 3! x 2! = 4 x 6 x 2 = 48 maeiras

21 Exercícios - Solução 4 - Seja uma ura cotedo 8 bolas. Ache o úmero de amostras ordeadas de tamaho 3. (i) com reposição (ii) sem reposição. Solução: (i) Cada bola pode ser escolhida de 8 maeiras a amostra ordeada, etão, existem 8 x 8 x 8 = 8 3 = 512 amostras com reposição (ii) A primeira bola, a amostra ordeada, pode ser escolhida de 8 maeiras, a seguite de 7 e a última, de 6 maeiras. Assim, existem 8 x 7 x 6 = 336 amostras sem reposição.

22 Combiações Quado a ordem a qual os elemetos são escolhidos ão importa Para eteder a fórmula que se aplica a esses casos vamos aalisar os arrajos de 3 letras escolhidas etre a, b, c e d. Formamos A(4,3) = 4!/1! = 4x3x2 = 24 possíveis escolhas São permutações das mesmas 3 letras da primeira colua. 3! = 6 permutações em cada liha. abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb Essas são as combiações. O úmero de combiações multiplicado por 3! é igual ao úmero de arrajos de 4 letras 3 a 3.

23 Combiações )!!(! ), ( )!!(!! ), ( ), ( ), (! ), ( 4 3! (4,3) (4,3) (4,3) 3! (4,3) r r r C r r r r A r C r C r r A A C ou A C

24 Exemplo 5 De quatas maeiras diferetes uma pessoa pode escolher três livros de uma lista de dez best-sellers, supodo que é icosequete a ordem de escolha dos três livros? Solução: Substituido = 10 e r = 3 a expressão de C(,r) C(, r)! r!( r)! C(10,3) 10! 3!7! 10987! 327! maeiras

25 Exemplo 6 De quatas maeiras diferetes o diretor de um laboratório de pesquisa pode escolher dois químicos detre sete cadidatos e três físicos detre ove cadidatos? Solução: Os dois químicos podem ser escolhidos de C(7,2) maeiras e os três físicos podem ser escolhidos de C(9,3) maeiras, de modo que pela multiplicação de escolhas, todos os cico jutos podem ser escolhidos de C(7,2) C(9,3) 765! 25! 7! 2!5! 9876! 326! 9! 3!6! maeiras

26 Exercícios 1. De quatas maeiras uma comissão formada de 3 homes e 2 mulheres pode ser escolhida detre 7 homes e 5 mulheres? 2. Um aluo precisa respoder a 8 das 10 questões em um exame. 1. Quatas alterativas ele tem? 2. Quatas alterativas, se ele deve respoder às 3 primeiras questões? 3. Quatas, se deve respoder ao meos 4 das 5 primeiras questões?

27 Exercícios - Solução 1. De quatas maeiras uma comissão formada de 3 homes e 2 mulheres pode ser escolhida detre 7 homes e 5 mulheres? Solução: Os três homes podem ser escolhidos detre os 7 de C(7,3) maeiras e as 2 mulheres, detre as 5, de C(5,2) maeiras. Logo, a comissão pode ser escolhida de C(7,3) C(5,2) 7654! 324! 7! 3!4! 543! 23! 5! 2!3! maeiras

28 Exercícios - Solução 2 - Um aluo precisa respoder a 8 das 10 questões em um exame. 1 - Quatas alterativas ele tem? Solução: as questões podem ser selecioadas de C(10,8) maeiras, ou seja, 45 maeiras 10! 1098! C( 10,8) !2! 28! 2 - Quatas alterativas, se ele deve respoder às 3 primeiras questões? Solução: Se ele respode às 3 primeiras questões, etão pode escolher as outras 5 questões, detre as 7 últimas, de C(7,5), ou seja de 21 maeiras. 7! 765! C( 7,5) !2! 25!

29 Exercícios - Solução 2 - Um aluo precisa respoder a 8 das 10 questões em um exame. 3 - Quatas, se deve respoder ao meos 4 das 5 primeiras questões? Solução: Se respoder a todas as 5 primeiras questões, etão pode escolher as outras 3, detre as cico últimas de C(5,3) = 10 maeiras. 5! 543! C( 5,3) !2! 23! Por outro lado, se respoder somete a 4 das 5 primeiras questões, etão ele pode escolher estas 4 de C(5,4) = 5 maeiras e as outras 4 questões, detre as 5 últimas, de C(5,4) = 5 maeiras; logo, ele pode escolher as 8 questões de 5 x 5 = 25 maeiras. Assim, tem um total de 35 escolhas. C(5,4) C(5,4) 5! 1!4! 54! 54! ! 14! 5! 1!4! No total = 35 maeiras de escolher

30 Probabilidade Defiições Prévias Experimeto Aleatório: é um experimeto cujo resultado fial é descohecido a priori, e que se repetido um grade úmero de vezes, apreseta uma certa estabilidade quato ao cojuto fial dos resultados obtidos Lei dos Grades Números Se determiada situação, experimeto ou tetativa é repetida um grade úmero de vezes, a proporção de sucessos tederá para a probabilidade de que um dado resultado qualquer seja um sucesso.

31 Probabilidade Defiições Prévias Espaço Amostral (Ω): é o cojuto que cotém todos os possíveis resultados de um experimeto aleatório. O experimeto aleatório laçameto de um dado tem como espaço amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} O experimeto aleatório retirada de uma carta do baralho para observação do aipe tem como espaço amostral Ω = {copas, ouros, paus, espadas} Eveto: é todo e qualquer subcojuto do espaço amostral Ω O eveto pode ser, a jogada do dado: Obter o. par, o que dá o subcojuto E par = {2, 4, 6} Obter o. ímpar, o que dá o subcojuto Ei mpar = {1, 3, 5} Na retirada da carta do baralho obter um paus E = {paus}

32 Probabilidade Defiições Prévias Eveto Complemetar E: são os demais elemetos do espaço amostral que ão fazem parte do eveto E. O eveto complemetar de E par é {1, 3, 5} Usado os diagramas de cojutos visualizamos E E Ω Eveto Uião: quado o eveto evolve duas ou mais características simultâeas A uião dos evetos meor que cico e ser úmero par : E par = {2, 4, 6} U E meor que cico = {1, 2, 3, 4} resulta o eveto E par U E meor que cico = {1, 2, 3, 4, 6} O cojuto tem todos os elemetos que pertecem a um ou outro eveto

33 Probabilidade Defiições Prévias Eveto Itersecção: quado os evetos ocorrem simultaeamete. A a itersecção dos evetos meor que cico e ser úmero par : E par = {2, 4, 6} U E meor que cico = {1, 2, 3, 4} resulta o eveto E par E meor que cico = {2, 4} O cojuto tem os elemetos que têm as duas características simultaeamete Evetos Mutuamete Exclusivos: quado os evetos ão podem ocorrer simultaeamete, ou seja, sua itersecção é o cojuto vazio Os evetos a jogada do dado é par e é impar são mutuamete exclusivos pois ão há elemetos em comum os dois cojutos. A itersecção é o cojuto vazio.

34 Probabilidade O coceito clássico de Probabilidade Se há possibilidades igualmete prováveis, das quais uma deve ocorrer, e s são cosideradas como favoráveis, ou etão um sucesso, a probabilidade de um sucesso é de s/.

35 Exemplos Qual a probabilidade de se tirar um ás de um baralho bem misturado de 52 cartas? Solução: por bem misturado queremos dizer que cada carta têm a mesma chace de ser tirada, podedo, portato, aplicar-se o coceito de probabilidade clássica. Como há s = 4 ases etre as = 52 cartas, a probabilidade de tirar um ás é: s 4 52 Qual a probabilidade de obter um 3, um 4, um 5 ou um 6 uma jogada de um dado equilibrado? 1 13 Solução: por equilibrado queremos dizer que cada face do dado tem a mesma chace de aparecer, podedo, portato, aplicar-se o coceito de probabilidade clássica. Como s = 4 e = 6, vemos que a probabilidade procurada é: s

36 Exemplos Se K represeta cara e C represeta coroa, os oito resultados possíveis de três jogadas de uma moeda equilibrada são KKK, KKC, KCK, CKK, CCK, CKC, KCC e CCC. Quais são as probabilidades de obter duas caras ou três caras? Solução: ovamete, moeda equilibrada sigifica que cada face da moeda tem a mesma chace de aparecer, podedo, portato, aplicar-se o coceito de probabilidade clássica. Cotado as possibilidades, vemos que para duas caras temos s = 3 e = 8 e que para três caras temos s = 1 e = 8. Assim, a probabilidade de obter duas caras s 3 é e a de obter três caras é s

37 Exemplos Se três de um grupo de vite levatadores de peso têm usado esteróides aabolizates e quatro quaisquer deles são testados para o uso de esteóides, qual é a probabilidade de que exatamete um dos três levatadores de peso do grupo seja icluído o teste? 20! Solução: Há C( 20,4) maeiras de 4!16! 432 escolher os quatro levatadores de peso a serem testados e essas possibilidades podem ser cosideradas igualmete prováveis em virtude da aleatoriedade da escolha. O úmero de resultados favoráveis é o úmero de maeiras pelas quais podemos escolher um dos três levatadores de peso que tem usado esteóides e três dos 17 levatadores de peso que ão têm usado esteóides, a saber, s C( 3,1) C(17,3) Segue que a probabilidade de pegar exatamete um dos levatadores de peso que tem usado esteróides é: s

38 A desvatagem da probabilidade clássica é a sua aplicabilidade limitada, porque em poucas situações da vida prática as possibilidade podem ser cosideradas como igualmete prováveis. Isso ocorre, por exemplo, se quisermos saber se uma experiêcia irá corroborar ou refutar uma ova teoria; se uma expedição será capaz de localizar um caso de um avio afudado; se o desempeho de uma pessoa justificará um aumeto salarial; se o ídice da bolsa de valores terá alta ou queda. Detre os diversos coceitos de probabilidade, o de maior uso é a...

39 Iterpretação Frequecial da Probabilidade Ou iterpretação experimetal A probabilidade de um eveto (acotecimeto ou resultado) é a proporção do úmero de vezes em que evetos do mesmo tipo ocorrem a logo prazo. Se dissermos que há uma probabilidade de 0,78 de um avião da liha São Paulo Salvador chegar o horário, queremos dizer que esses vôos chegam o horário em 78% das vezes.

40 Exemplos Uma pesquisa coduzida há poucos aos mostrou que detre mulheres de faixa etária dos 20 aos 30 aos que casaram ovamete depois do divórcio, voltaram a se divorciar. Qual é a probabilidade de uma mulher divorciada da faixa etária dos 20 aos 30 aos divorciar-se ovamete? Solução: o passado isso ocorreu 1.358/8.319 x 100 = 16,3% das vezes, de modo que podemos usar 0,163 como uma estimativa da probabilidade solicitada. Os registros idicam que 34 de 956 pessoas recetemete visitaram a África Cetral cotraíram malária. Qual é a probabilidade de que uma pessoa que recetemete visitou a África Cetral ão teha cotraído malária? Solução: como = 922 das 956 pessoas ão cotraíram malária, estimamos que a probabilidade solicitada é de aproximadamete 922/956 = 0,96. Mas será que probabilidade s estimadas dessa maeira são cofiáveis???

41 Lei dos Grade Números Mais a frete veremos técicas para medir a cofiabilidade da estimativa, por ora o teorema deomiado Lei dos Grades Números os diz que A probabilidade de um eveto (acotecimeto ou resultado) é a proporção do úmero de vezes em que evetos do mesmo tipo ocorrem a logo prazo. etretato, o teorema também cohecido como lei das médias refere-se a proporções de sucessos o logo prazo, e quase ada tem a dizer sobre qualquer experimeto isolado. Como seria possível testar a veracidade desta lei???