Atividades Série Ouro 08) CORRETO. S c. Assim: 07. c Sejam x r, x e x + r os três números em progressão aritmética.

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1 Atividades Série Ouro Resoluções Matemática 8A ( + 7) ( + ) omo a igualdade obtida é falsa, os úmeros, + 7 e + ão odem estar, essa ordem, em rogressão geométrica.. d Os deósitos mesais formam uma rogressão geométrica de razão. a a 8 a aq 8 A soma dos deósitos a cada meses é: a q a S q 8 S 9 reais Portato, em aos o motate total dos deósitos foi de R$. 9, R$ 8. 99,.. d Sejam e, resectivamete, o segudo e o terceiro termos da rogressão aritmética. PA (,, ) PG (,, ) ( ) + ( ) + ou omo os terceiros termos são estritamete ositivos, etão.. (, 8) ) INORRETO. O úmero de circuferêcias é +. ) INORRETO. omrimeto da maior circuferêcia: π mm omrimeto da meor circuferêcia: π mm Portato, o comrimeto da maior circuferêcia é 7, vezes o comrimeto da meor. ) ORRETO. (,,,..., ) PA r 8) ORRETO. a π πmm a π πmm π+ π S 7πmm 7πcm. c S a ; a ; q S S > 99, > 99, <, < omo e 7 8, etão 7. Portato, o meor úmero tal que S > 99, é 7.. d A distâcia total d ercorrida corresode a vezes a medida dos lados dos quadradihos. d,, cm 7. c Sejam r, e + r os três úmeros em rogressão aritmética. r+ + + r ( + r,, + r 9) PG ( r,, + r) PG + r r + r r r r r+ r our r ( 8,, ) PA r (,, ) PA omo os três úmeros em rogressão aritmética são ositivos, etão os termos da PA são 8, e. 8. a) Os temos gastos ara resolver cada questão formam uma rogressão geométrica de razão. a+ a+ a a + a, a+ a+ a a, Etesivo Terceirão Matemática 8A

2 Subtraido a seguda equação da rimeira, temos: a,, a 7 a a S, 7, 7 7 7, 8 O úmero de questões da rova é 8. b) omo ara resolver a eúltima questão o aluo gasta miutos, ara resolver a última questão o aluo gasta miutos. S a+ a+ a a + a + a S, + S 7, Portato, o temo ecessário ara resolver todas as questões é 7, miutos. 9. Sejam r e z + r. + + z 8 r+ + + r 8 8 Progressão aritmética: ( r,, + r ) Progressão geométrica: ( r,, + r+ 8) Portato: + r r 8 + r r r r + 8r 8 r 8our omo a rogressão aritmética é crescete, etão r 8. Portato: z + r z + 8 z. A medida de cada lado do quadrado ABD é igual à medida de cada diagoal do quadrado. L L L L A medida de cada lado do quadrado A B D é igual à medida de cada diagoal do quadrado ABD. L L L L Assim, a sequêcia ( L, L, L,...) é uma rogressão geométrica de razão. Sedo l a medida dos lados do quadrado ABD, temos: L L. d L 9 9, ( ) 87, +, 87. a O logaritmo a base de é um úmero etre 8 e 9, ois 8 9 < <. Assim, log( ) 8,d (d é a arte decimal). O logaritmo a base de 8,d é um úmero etre e, ois < 8,d <. Assim, log( 8, d), d (d é a arte decimal). O logaritmo a base de,d é um úmero egativo, ois,d <. Assim, log(,d ) k, sedo k um úmero ositivo. O logaritmo de um úmero egativo ão é real. Portato, ara que aareça uma mesagem de erro a tecla LOG recisa ser ressioada vezes.. d, log,,, ( ), ( ). b e (e ) e e e m m (e ) m e [ (e )] ± [ (e )] ( e) m e ± e e ++ e m e ± e + e + m e ± (e + ) m e ± (e + ) m m e oum e m e e e Portato, o cojuto solução da equação é S {}. Etesivo Terceirão Matemática 8A

3 . a) As quatidades de visualizações do vídeo em cada dia formam uma rogressão geométrica de razão. Quatidade de visualizações do vídeo Dias em cada dia Observação: Outra maeira de determiar o valor de é utilizar a soma dos rimeiros termos de uma rogressão geométrica. b) a 7 7 q a Portato, o décimo dia o vídeo teve 7 visualizações. Etesivo Terceirão Matemática 8A

4 Atividades Série Ouro Resoluções Matemática 8B. d Iicialmete, tem-se: ( + + ) [ + ( + )] ( ) Utilizado o termo geral, tem-se: T ( + ) T ( ) ( ) T k k k k k k k k T Para que o eoete de seja igual a, deve-se ter k, ou seja: k + Observado que k, tem-se 7 e k ou 9 e k. Logo: T + T ( + ) T ( 7+ 8) T 8 Portato, o coeficiete de é igual a 8.. V F V V V ) VERDADEIRA ou + 7 ou 7 7 Logo, a e b ou a eb,. Portato, 7 a+ b +. ) FALSA Logo, o desevolvimeto ossui 9 termos. ) VERDADEIRA ( ) ) VERDADEIRA ) VERDADEIRA e 8 T ( cos θ) ( 7se θ) T 7 cos θ se θ T 7 se θ cos θ T 77 ( seθ cosθ) T 7 se ( θ ) T (!) 7 se ( θ ). c Seja + 9, etão, elevado ao cubo ambos os membros da igualdade, tem-se: ( + 9) ( ) + ( ) ( 9) + ( ) ( 9) + ( 9) + ( ) ( 9) ( + 9) + 9 ( 9) ( ) b Utilizado o termo geral, tem-se: T ( + ) k k k T ( ) k + k T Para que o termo seja ideedete de, deve-se ter + k. Observado que k, tem-se k, ou seja: T T + T Portato, o coeficiete do termo ideedete de, essa easão, é igual a.. e T (, ) (, ) T (, ) (, ) T, T, 7, 7. d [( + + ) ( + )] [( + ) ] [( + + ) ( + )] [( + ) ] [( + ) ] ( ) + + [( + ) ] ( ) ( ) [( + + ) ( + )] ( + ) ( + ) + ( + ) Observado que ( + ) ossui 7 termos do seto grau, que ( + ) ossui termos do quarto grau, que ( + ) ossui termos do segudo grau e que é o termo ideedete, coclui-se que o desevolvimeto ossui termos. Etesivo Terceirão Matemática 8B

5 8. (, 8) + ) FALSA. + Se o desevolvimeto desse biômio ossui cico termos, etão Para calcular a soma dos coeficietes, odemos substituir : Logo: é igual a : + ) FALSA Se, etão o biômio ossui termos e o termo médio é o Nesse caso, o coeficiete do termo médio desse biômio é igual a: +. Portato: ) VERDADEIRA. Se o eoete é igual a, etão o biômio ossui ( + ) termos Logo, se é ímar, ecessariamete ( + ) é ar. 8) VERDADEIRA. osiderado que a soma dos coeficietes é igual a e substituido [ ], temos: c ) FALSA. k O rimeiro termo é igual a T ( ) ( ). O último termo é igual a T+ ( ) ( ). k + Utilizado a relação de Fermat, tem-se: O roduto destes termos é igual a k T T+. + k 9. a k+ k O termo geral do biômio é dado or: k+ T+ ( ) ( ). b 7! 8 ( )! 7 T+ 7! 8 ( )!! omo é racioal ara qualquer atural, ara que o termo 7! +! 8 ( )! geral seja racioal, é ecessário e suficiete que seja divisível or e or, ois esse caso, os eoetes das otêcias de bases e, resectivamete, são úmeros iteiros. Portato, deve ser um úmero atural divisível or e ão maior do que. Para cada valor de que satisfaz essas codições, há um termo racioal do desevolvimeto do biômio. Logo, {,,, 8,,,, }, ou seja, eistem 8 arcelas racioais.. b (7 + )! 8 ( )! 8! 8 ( )!! ( )! 7 Portato, é um úmero ímar. e Se (a, b, c) são úmeros ão ulos e formam, esta ordem, uma rogressão geométrica, etão b E c. Se o, e termos do desevolvimeto de ( + X) 999 a b estão, esta ordem, em rogressão geométrica, etão: E T T T T E 999 E E 8 8 E 999, 8 E 9, 99 8( > ). b Portato, 8. E. d Observe que: E E E Utilizado a relação de Stifel, sucessivas vezes, tem-se: + E ( + ) Etesivo Terceirão Matemática 8B

6 E E ( + ) E E ( + ) E E ( + ) + + E + + Prosseguido da mesma forma, tem-se: E + E + Utilizado o fato de que combiações com taas comlemetares são iguais, tem-se: + ( ) E + E + ( + ) E! ( + ) E. 8 No roduto dos cico fatores, o termo em ocorrerá os casos em que multilicamos dois fatores do ọ grau, de dois biômios distitos, e três fatores de grau zero, dos demais biômios. omo,, eistem rodutos de dois fatores do ọ grau que origiam um termo em. Os rodutos são os seguites: Logo, o coeficiete de da easão é igual a d Observe que: (!) + ( + )!!!! ( )!! + +!! [( + ) + ] ( + )!! ( + ) ( + )!! ( + ) ( + )!! + (!) + ( )!!!!!! ( )! + ( )!! ( )!! ( )!! Logo: (!) + ( + )!! ( + )!! (!) + ( )!! ( )!! Utilizado o termo geral, tem-se: 9 T 9 ( + ) k k k T ( ) 9 9 k T + k ( + ) + Para que o termo seja ideedete de, deve-se ter + k. Observado que k 9, tem-se e k, ou e k ou k, ou seja: ( ) T + + T + + T ( ) T Portato, o coeficiete do termo em é igual a. 9. e I. VERDADEIRA. De acordo com o teorema das combiações com taas comlemetares, tem-se:, ois II. VERDADEIRA. De acordo com a roriedade da soma das combiações de uma mesma liha, tem-se: (liha ). III. VERDADEIRA. De acordo com a roriedade da soma das combiações de uma mesma colua, tem-se: (colua ). a 8 8 8! 8! a 8 8 ( ) 8 a, b ab!! a a! ( 8 a)! a. 7 (, ) ) VERDADEIRA.! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( ) ( )! ) FALSA.,, ) FALSA. P ( )! 7! 7 8 Logo, é um úmero ar. 8) FALSA. Se o oliômio ossui termos, etão o eoete do biômio deve ser igual a, ou seja,. Logo,. Portato, é um úmero ar. ) VERDADEIRA. Os divisores aturais e ares de costituem o cojuto {,,, }. A quatidade de rodutos de fatores distitos é igual a,. Etesivo Terceirão Matemática 8B

7 Atividades Série Ouro Resoluções Matemática 8. a + + m m omo os coeficietes agulares das retas são distitos e, as retas são cocorretes e ão erediculares etre si.. a mr m s s : ( ) Portato, a reta s assa elo oto (, ).. d A(, ) B(, ) Sedo M o oto médio do segmeto AB, temos: M + +, (, ). e A distâcia etre duas retas aralelas é a distâcia de um oto qualquer de uma delas à outra. () s : 8 8 (, ) () r : d + + ( ) d. b a + b + c b a c a b c b a omo >, etão a e b são diferetes de. Assim, a reta ão é b aralela ao eio em ao eio. Além disso, o coeficiete agular da a reta é <, ou seja, a reta é descedete (a fução corresodete é decrescete). b Poto de itersecção da reta com o eio das abscissas: a b c b a b c c c, b a a. c r : + 7 m r Assim, o coeficiete agular da reta s, que cotém a outra diagoal é m s. Equação da reta s: ( ( )) d + 9 e e e Os vértices do triâgulo são os otos A(,, ) B(, ) e ( 7., ) O triâgulo AB é retâgulo e os catetos medem e 7. Portato: Área 9 8., u.c. A altura h do traézio é a distâcia etre as retas suortes das bases. + + (, ) 8+ 8 h ( ) +, + ( 8) 9. b + (, ) (, ) r r r r r r r r r Medida da hioteusa do triâgulo retâgulo: a + a + a 9 a Portato: + r r 7 r r r Etesivo Terceirão Matemática 8

8 . (,,, 8, ) ) ORRETO. B(7, ) A(, ) (7, ) O triâgulo AB é retâgulo em. ) ORRETO. Área u.a. ) ORRETO Portato, a reta AB itersecta o eio das ordeadas o oto,. 8) ORRETO. oeficiete âgulo da reta AB: m AB 7 Poto médio do segmeto AB: ,, Portato, a equação da mediatriz r do segmeto AB é: m r ) ORRETO. + A equação da reta B é 7. Ambas as retas são verticais e aralelas etre si.. (,, ) ) INORRETO ( falso) ) ORRETO. + + Se é racioal, etão é irracioal. ) ORRETO. + m r, tgθ m r, omo tgθ> tg, o meor âgulo que a reta r forma com o eio das abscissas é maior que. 8) INORRETO. s: + + m s omo mr m s, as retas ão são aralelas. ) ORRETO. + Portato, a reta r itersecta o eio das ordeadas o oto,.. (,,, 8, ) t A s B r s: e B(, ) r t: e A(, ) + s t: e (, ) + ) ORRETO. Área Área ) ORRETO. AB ( ) + ( ) 8 A ( ) + ( ) 8 B ( ) + ( ) r omo ( 8) + ( 8), o triâgulo é retâgulo o vértice A. ) ORRETO. O triâgulo é isósceles, ois AB A 8. 8) ORRETO. A altura relativa ao lado B mede. ) ORRETO. O oto B(, ) ertece ao rimeiro quadrate.. (,,, 8) ) VERDADEIRA. k+ ( ) 7 k 7 k 7 ) VERDADEIRA. k ( verdadeiro) Assim, ara qualquer valor de k a reta r assa elo oto, 7. Para que a reta s asse or esse oto, devemos ter: Etesivo Terceirão Matemática 8

9 7 + k 7k k 7 ) VERDADEIRA. k k rk : m r s: + k + m s k k k k r //s k k ouk k 8) VERDADEIRA. Sedo t a reta eredicular à reta s o oto (,, ) temos: s: + k + k k k m s m t t : ( ) + + ) FALSA. k 7 r: 7 Portato, a distâcia do oto (, ) à fera r é: (, 8,, ) ) INORRETO. r: Portato, A(., ) ) ORRETO. r: Portato, B, e,. ) INORRETO. A distâcia etre r e s é a distâcia do oto à reta r. r: d r, + ( ) 8) ORRETO. r: m r s// r m s t r m t ) ORRETO. A reta t assa elo oto A(., ) ( ) + ) INORRETO. A reta horizotal que assa elo oto A(, ) é o eio das abscissas, cuja equação é. ) ORRETO. A equação da reta vertical que assa elo oto A(, ) é.. e c E D b a A t s B r Observe a figura que os triâgulos ABD e AE são semelhates. AD AE 8 Assim, a reta r assa elos otos (, ) e ( 8, ). A reta s assa elos otos (, ) e ( 8., ) omo as retas são erediculares, temos: m r 8 m s 8 m r m s ( ) ( ) + ou 8 omo >, etão 8. I. ORRETA. Equação da reta r: (, a) a+ a II. INORRETA. Os coeficietes agulares das retas s e t são iguais a: m s m t 8 III. INORRETA. omo a e b +, a ordeada do oto médio é +, diferete de. Etesivo Terceirão Matemática 8

10 Atividades Série Ouro Resoluções Matemática 8D V. rateada π9, V π, π 9, dourada Vrateada 8π 8π 8 V 9π 8π 88π 88 dourada. c Embalagem origial: V πr h AL πrh Embalagem alterada: L V πr H A πrh As codições do euciado são: V V H r πr hπr H r h R H () h R A < A, A L L L πrh < πrh πrh rh < RH rh Dividimos or Rh: r H r < () R h R Substituímos () em (): r r r r R < < < R R R R r Além disso: r r H < < < R R h. a I. FALSA. Área lateral da lata quadrada: A L (Q).. 8 cm Área lateral da lata redoda: A L (R) π.. π 8 cm Assim, A L (R) < A L (Q). II. VERDADEIRA. Volume da lata quadrada: V(Q). cm Volume da lata redoda: V(R) π.. π 7 cm Assim, V(R) < V(Q). III. FALSA. Área total da lata quadrada: A T (Q) A L (Q) + A T (Q) cm Área total da lata redoda: A T (R) A L (R) + π. A T (R) π + π π 7, cm A omo T(R) 7,,78, a quatidade de folha metálica A T(Q) 9 usada ara roduzir a lata redoda é aroimadamete 78,% da quatidade ecessária ara roduzir a lata quadrada.. O volume de cocreto corresode à difereça etre o volume de um risma cujas dimesões são 8 metros, metros e metros e o volume de um cilidro de altura metros e base com raio metros. Vcocreto 8 π Vcocreto 8, Vcocreto, V 98,8 m cocreto. c O volume de madeira é dado ela difereça etre o volume do láis e o volume do grafite. Vmadeira π + π π 9 + π V madeira (π+ π) (9 π+π) Vmadeira π π V πmm madeira. d No euciado, afirma-se que a irâmide formada terá base quadragular e cetro O. osiderado que a irâmide tem vértice O, temos: A F h O O D A base da irâmide é um quadrado cujos lados medem cm. Todas as arestas da irâmide medem cm. Sedo h a altura da irâmide, temos: EO cm (metade da diagoal da base) Triâgulo retâgulo OO E: h + 9 h 9 8 h h cm Virâmide 9 Virâmide cm E Etesivo Terceirão Matemática 8D

11 7. d I. FALSA. Sedo a variação de altura de água o iterior da iscia, em uma hora, temos: 7 L,7 m, 7,7 π,m, Assim, h(t), t (h é uma fução afim). II. VERDADEIRA. omo a fução h é crescete, temos: h(t), 7,t,7 t, Portato, o domíio da fução h é D {t t,}. III. FALSA. O temo total será de, horas., h h +, h h +, mi h +, mi h + mi +, mi h + mi +, s h mi s 8. a Na figura a seguir, a região colorida corresode à área da base do sólido retirado do cilidro. D A F A área dessa região é a difereça etre a área de um setor circular de 9 e raio cm e a área de um triâgulo retâgulo cujos catetos medem cm. π A colorida (π ) cm Assim, o volume do sólido retirado é: V (π ) V (π ) ( π ) cm 9. b E D º F A º B Triâgulo retâgulo ABD: tg cm A altura h da água, quado o coo está sobre a suerfície, é a soma da altura do cilidro DEF com a metade da altura do cilidro ABD. h + h ( ) cm. a Seja L a medida das arestas do cubo. A base da irâmide retirada é um triâgulo equilátero cujos lados medem L e cada face lateral dessa irâmide é um triâgulo retâgulo isósceles (metade de um quadrado). Área total do cubo:. L Área total do sólido aós a irâmide ser retirada: L (L ) 9L L,7 L + +,L,L omo,89, a suerfície etera sofreu uma redução de L aroimadamete %.. d B M A N D As faces AB e AD do tetraedro ABD, laificadas, formam um losago ABD. O segmeto MN, com etremidades os otos médios dos lados do losago, mede cm. Assim, a distâcia ercorrida elo iseto é MP + PN cm.. b a r a a+ r 9 a+ a a 9 a Assim, como a rogressão aritmética é (,, 9), a base da irâmide é um triâgulo equilátero cujos lados medem e a altura da irâmide é 9. Virâmide 9 V 7 irâmide B M A P N D Etesivo Terceirão Matemática 8D

12 . d. M A N D O baricetro de um triâgulo equilátero divide qualquer mediaa a razão :. Assim, o lao que assa elos baricetros A, B, e D determia a irâmide o quadrado MNPQ, cuja medida dos lados é / da medida dos lados da base da irâmide, ou seja,. Sedo L a medida do quadrado ABD, temos: L + L (área do quadrado ABD) 9 9 O B A P N Sedo h a altura da irâmide, temos: h + h 8 cúbitos h 8, m, m M Q. a Volume do objeto: V + V + cm Desidade em g/cm : g kg/m, g/cm cm Sedo m a massa do objeto, temos: m, m 7,8 g 77 g B P h S L. a Se o coe é equilátero, etão: (R) g R h R Vcoe π cm 7 πr h π 7 R (R ) R cm 7 7 O coe e a irâmide têm a mesma altura, de medida h R. O raio da base do coe equilátero e a aresta da base da irâmide têm a mesma medida R. Portato: R VPirâmide R VPirâmide R VPirâmide VPirâmide cm c Sedo L a medida dos lados da base da irâmide e h a altura comum do coe e da irâmide, temos: L L cm π( ) h Vcoe π8 π V irâmide h 8. a Sedo h a altura da água o reciiete cilídrico, temos: Vcilidro Vcoe π h π8 h h cm 9. a Sedo h a altura da água o reciiete cúbico, temos: Vrisma Vcoe h π8 9 h 7 h,7 m. c A suerfície lateral do coe foi costruída com um setor circular de e raio cm. Assim, a geratriz do coe mede cm e o comrimeto da base é igual ao comrimeto do setor. Sedo R a medida do raio da base e h a altura do coe, temos: π R cm πr R g h + R h + h h cm Etesivo Terceirão Matemática 8D

13 Atividades Série Ouro Resoluções Matemática 8E. e P ( ) + ip ( i) + i: Pi () + iipi ( i) i + Pi () + ( ) P( ) ( ) + Pi () P( ) : P( ) + i P( i) + P ( ) Pi () P( ) Pi () Pi (). + i z a+ bi z+ z b a a+ bi + a+ bi b a b b z z (a+ bi) (a bi) a b i a + b a a + a a + 9 a 9 a a (a > ) Portato: a b z + i. i+ + i + i i + i + i ( + i i) i+ i i i + i i + i i + i ii + i i +i Portato: i eθ 9 (cos 9 + i se9 ) + i ( ) + tgθ omo o afio de ertece ao.º quadrate, etão θ 8. (cos + i se ). e z z+ z+ z ( + i) ( i) + + i+ i i ( + ) + A equação rereseta uma circuferêcia com cetro o oto (, ) e raio.. a c a + abi+ b i i c a b + i (ab ) c a b ab ab ab 7 omo a, b e c são úmeros iteiros ositivos, etão a 7 e b. Portato: c a b c 7 c 8. d w w + ( 7) ( ) + ( + 7) ( 7) ( ) + ( + 7) c O afio do úmero comleo z é o oto A (, ). O afio do úmero comleo w é o oto B (, ). Sedo o afio do vértice ão cosecutivo a w, ou seja, o vértice oosto a w, tem-se que A é o oto médio do segmeto B. + + Portato, o vértice é o úmero comleo i. 8. v i u + i tg θ omo o afio do úmero comleo u ertece ao.º quadrate, etão θ. Assim, o argumeto de v é igual a 9. v (cos 9 + i se9 ) v ( + i ) v i Etesivo Terceirão Matemática 8E

14 9. z+ z + i a+ bi+ ( a + b ) + i a+ bi+ a + b + i a+ a + b b a+ a + b a+ a + a + a a oua Assim, z + i ou z + i. omo o afio de z + i ertece ao.º quadrate e o afio de z + i ertece ao.º quadrate, o argumeto de z é o de maior medida. z + i tgθ π θ. b z a+ bi a+ bi+ i a + ( b+ ) a + ( b+ ) A equação rereseta uma circuferêcia com cetro o oto (, ) e raio.. b A (, ) B (, ) (, b) omo a área do triâgulo AB é igual a uidades de área, temos: b b b+ b + b+ ou b+ b oub omo b <, etão b.. e a) z+ w z w z+ w w z z w z( z) z z+ z + i ou z i Portato: z + + b) z+ w ( z+ w) z + zw+ w z + w + z + w z ( z + w + w ) ( ) z + z w + w z + w + z + w. c ( + ) ( ) i ( + ) i Para que a igualdade aterior seja verdadeira, o resto da divisão de ( + ) or deve ser igual a. ( + ) k + ( + ) 8k + ( + ) ( k + ) Portato, ecessariamete ( + ) é um múltilo ositivo de.. i z + i tgθ omo o afio de z ertece ao.º quadrate, etão θ. Assim, o argumeto de z é igual a 9. z (cos 9 + i se9 ) z ( + i ) z i. a a + bi 8 (a) + (b) 8 a + 9b b ai b + ( a) a + b a + 9b a + b Subtraido a seguda equação da rimeira, temos: 8b b a + b a + a 8 a 7 a+ bi a + b 7+ Etesivo Terceirão Matemática 8E