Matemática. Resoluções. Aula 13. Extensivo Terceirão Matemática 5A a a c (f g)( c. x

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1 ula.. a f ( ) fg ( ( )) g( ) fg ( ( )) 8 fg ( ( )).. c g ( ) 8 gf (( )) 8 (( f )) gf (( )) 8 ( ) gf (( )) 89 gf (( )) 9.. a f ( ) + f(f( )) f ( ) + ( f f)( ) ( + ) + ( f f)( ) +.. d g ( ) + 8 g( ) f ( ) + fg ( ( )) f( 8) 8+.. a f ( ) + f() + 8 g ( ) + 8 gf (()) g( 8) f ( ) f( ) g ( ) ( g f)( ) gf (( )) ( g f)( ) g() ( g f)( ).. e f ( ) + f( ) + g ( ) gf (( )) g().8. b g ( ) g( ) ( ) f ( ) + fg ( ( )) f( ) ( ) + Resoluções.9. a g ( ) gt ( + ) t+ t+ f ( ) + 8 (f g)( t + ) f(t + ) (f g)( t + ) ( t + ) + 8 (f g)( t+ ) ( t+ ) +.. c ff (( )) f ( ),.. b f ( ) a ( ) + b a a+ b a a+ b a+ b + b b Portato: a b.. d g ( ) t g() t t f ( ) t fg ( ( )) f( t) t t t f( g( )) Matemática t t.. b Substituido b por zero, temos: fa ( + b) + f( a b) fa ( ) fb ( ) fa ( + ) + fa ( ) b f( a) f( ) fa ( ) fa ( ) f ( ) fa ( ) f( ) f( a) fa ( ) [( f ) ] fa ( ) ou f( ) omo f ão é uma fução ideticamete ula, etão f( ). Etesivo Terceirão Matemática

2 .. a f ( ) fg ( ( )) [ g( )] g( ) fg ( ( )) ( ) ( ) fg ( ( )) + + fg ( ( )) + O gráfico da fução f g é uma parábola com a cocavidade voltada para cima e que itersecta o eio das ordeadas o poto (, ). O gráfico que melhor represeta a fução é o da alterativa a... e g ( ) ( + k ) ula.. a f ( ) + f ( ) +.. d f ( ) ( f f )( ) f( f ( )) ( f f )( ) f ( ) + ( f f )( ) ( ) g( k) ( k) + k g( k) + k k g( k ) + k k.. d h( ) f( ) f() fh ( ( )) f( ) f( ) ( f f )( ).. b Seja f: uma fução ijetora. Etão: em f( ) f( )em k hf (( )) h() f( ) f ( ) fh ( ( )) + hf (( )) + ( ).. d f ( ) a + b f( ) a + b a+ b f( ) + f( ) a+ b+ a+ b f( ) + f( ) 8a+ b ( a+ b) ff (( ) + f( )) f( ).8. d f ( ) + f( + ) + + f ( ) + 8 fg ( ( )) g( ) g ( ) + 8 g ( ).. c Uma fução f: é sobrejetora quado todo elemeto de é imagem de pelo meos um elemeto de. Portato, Im( f)... a f ( ) f ( ) +.. d f ( ) + + Se gk ( )é o meor possível, etão k é a abscissa do vértice da parábola que represeta a fução. k b V a ( ).9. a) p ( ), p+ t (), ( +, t ) + t () +, t + t (), t + b) t (),, t +,, t, t t aos.. 8 ( f g)( ) + f + Se, temos: Portato: f( ) 8 Etesivo Terceirão Matemática

3 + + f ( ).. b a) INORRET. Se > m, f ão é ijetora. b) ORRET. c) INORRET. Se m, f pode ou ão ser ijetora e pode ou ão ser sobrejetora. Portato, f pode ou ão ser bijetora. d) INORRET. e) INORRET..8. d g ( ) g ( ).9. c f ( ) a + b f( ) a ( ) + b b a f( ) a + b b b a a a f ( ) + f ( ) f ( ).. d I. VERDDEIR f ( ) f ( ) + Portato, a iversa da fução f é a própria f. II. VERDDEIR Poto de itersecção dos gráficos de f e g: f ( ) g ( ) + +, +, +,,, g f área delimitada é a difereça etre as áreas de dois triâgulos., Área, III. FLS Área 8 IV. VERDDEIR, º º, g Na figura, os triâgulos coloridos de verde e de azul são retâgulos e isósceles. ssim, os âgulos agudos medem e cosequetemete as retas são perpediculares... e Eistem ifiitas possibilidades para o domíio e o cotradomíio da fução f de modo que ela seja bijetora. Por eemplo, se D(f ) [, ] e D(f ) [, ], a fução f é bijetora. Veja o gráfico: f f Note que a fução é ijetora (valores distitos de têm images distitas) e sobrejetora, pois Im(f )[, ] D(f ). Detre as alterativas apresetadas, a úica que tora a fução bijetora é a alterativa e. Veja o gráfico da fução defiida por f ( ) +, cujo domíio é Df () [, + [. Nessa fução, o cojuto imagem é Im(f) [, + [. Observação: Uma fução fica determiada quado for especificada sua lei de formação, seu domíio e seu cotradomíio. O cojuto imagem fica determiado cohecedo-se a lei de formação e o domíio. Portato, seria mais apropriado que a questão solicitasse o domíio e o cotradomíio, pois eistem fuções ão bijetoras cujo domíio é D() f [, + [ e o cojuto imagem é Im(f) [, + [. Para isso, basta que o cotradomíio seja diferete do cojuto imagem e Im( f ) D(f). Eemplo: f:[, + [ f ( ) + Etesivo Terceirão Matemática

4 .. c a) ORRET. Se uma fução é crescete, etão f( ) f( ), ou seja, a fução é ijetora. b) ORRET. Se uma fução é decrescete, etão f ( ) f ( ), ou seja, a fução é ijetora. c) INORRET. Uma fução ijetora pode ser crescete, decrescete ou em crescete em decrescete. Observe o gráfico da fução f: *, defiida por f ( ). Eiste > tal que f ( ) < f ( ). ssim, a fução ão é crescete. Eiste > tal que f( ) > f( ). ssim, a fução ão é decrescete. Portato, a fução ão é crescete em decrescete. No etato, é ijetora. d) ORRET... d f ( ) ( + ) + ssim, f : { a} { } é defiida por f ( ). + codição de eistêcia da fução iversa de f é: + Portato, a... e O gráfico da fução f:, defiida por f ( ), é: O cojuto imagem de f é Im( f ) +. ssim, a fução ão é sobrejetora, pois Im(f) D(f). No gráfico observa-se que: fução f ão é ijetora. fução f é crescete para >. fução f é decrescete para <. Não eiste tal que f ( )<... d O gráfico da fução iversa de f é uma reta que passa pelos potos (, ) e (, ). f ( ) a + b f ( ) a + b b f ( ) a + b a+ a f ( ) + g() + f ( g( )) f ( ) +.. (8, ) ) INORRETO. O cojuto imagem de uma fução costate tem um úico elemeto. Portato, a fução ão é ijetora, pois elemetos distitos do domíio têm a mesma imagem. ) INORRETO. O cojuto imagem de uma fução quadrática ão é, pois a fução tem um valor míimo ou um valor máimo. Portato, o cojuto imagem é diferete do cotradomíio e a fução ão é sobrejetora. ) INORRETO. Se g ( ) f ( ) +, o gráfico da fução g correspode ao gráfico da fução f, trasladado de uma uidade para cima o plao cartesiao. 8) ORRETO. Uma fução afim, de em, é ijetora e sobrejetora (o cojuto imagem é igual ao cotradomíio). ssim, é bijetora e, portato, ivertível. ) ORRETO. fução seo é limitada e varia de a. Portato, o cojuto imagem é Im( f ). [, ].. a omo f( ) + f( ) 9, etão f( ) e f( ) ou f( ) e f( ). ssim, temos as seguites possibilidades: f( ) ff (( )) f() ssim, f( ). f( ) ff (( )) f( ) Não é possível, pois f(). f( ) ff (( )) f( ) Não é possível, pois o valor de f() é úico. Portato, f( )..8. e I. ORRET. II. INORRET. Nem toda relação é uma fução. Eemplo: {,, } e {,,, } relação de em defiida por R {(, ) } ão é uma fução, pois: R {(, ),(, ),(, ),(, )} Etesivo Terceirão Matemática

5 Para o elemeto eistem dois elemetos de, e, tais que (, ) R e (, R ). III. INORRET. Em uma fução sobrejetora o cojuto imagem é igual ao cotradomíio. Im( f) Df () IV. ORRET. Em uma fução ijetora, temos que: f ( ) f ( ).9. a f ( ) + + a + + a + a a + a + + a ( ) a a ssim, f ( ). Para que f ( ), devemos ter a... f( ) osidere a seguite trasformação: f ( ) Determiamos a iversa da fução f. f ( ) ( ) 9+ Portato: f : { } f + ( ) 9 ula.. c a) INORRETO. b V 8 a ( ) V f( ) + 8 O vértice da parábola é o poto (, ). b) INORRETO. f ( ) + 8 ( + 8) ou Os zeros da fução são e. c) ORRETO. d) INORRETO. O gráfico da fução é uma parábola com a cocavidade voltada para baio. O cojuto imagem da fução é Im(f) ], ]... d ordeada do vértice da parábola é. V ( p) p p p.. c f ( ) 8 ou V V b ( 8) a f( ) 8 8 ssim, os potos e são (, ) e (, ) e o vértice da parábola é (, 8). base do triâgulo V mede e a altura relativa a essa base mede 8. Portato: V 8.. c O gráfico da fução f é uma reta que passa pelos potos (, ) e,. f ( ) a + b f( ) a + b b a f a b + a f ( ).. c f ( + ) f ( ) ( ) ( ) f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) Etesivo Terceirão Matemática

6 .. a f g( ) g f ( ) ( k) + + k k+ + k k.. a gk ( ) k fgk ( ( )) f( k ) ( ) b g ( ) gf (( )) ( ) ( g f)( ) + ( g f)( ).9. d V () t V () t + t t t 8 t 8 miutos.. a fução h é fução composta das fuções g e f. h ( ) gf (( )) h() ( ) + h ( ).. b f g( ) g f ( ) ( + k) + k ( + k) + k + k+ k k+ k k.. d f( ) i f f( ) f() i f f() f() f( ) i f f ( ) f( ) f( ) i f f( ) f( ) f f( ) + f f() + f f( ) + f f( ) b α ( ) ( ) ou Os zeros da fução são e. abscissa do vértice da parábola é +. ordeada do vértice é α ( ) ( ) α. reta r passa pelos potos (, ) e (, α). a+ b a + b b a α a + b α a a a α b a ( α) α α + α omo a abscissa do poto é, temos: α + α α (, α) omo a área do triâgulo O é 9, temos: O O 9 α 9 α.. a f( ) ( ) + + f ( ) fução f é par. g( ) ( ) g ( ) fução g é ímpar... c f ( + ) f( ) f + f f f + f 8 f.. c Sedo h e, respectivamete, a medida da altura e da área de um triâgulo equilátero cujos lados medem. h( ) ( ) O gráfico que represeta h em fução da medida dos lados é uma semirreta com origem o poto (, ). omo h( ),, o gráfico (II) represeta a medida da altura. O gráfico que represeta em fução da medida dos lados é parte de uma parábola com origem o poto (, ). omo ( ),, o gráfico (III) represeta a medida da área... d g ( ) a ( + ) ( ) g( ) a ( + ) ( ) a g ( ) ( + ) ( ) g ( ) + omo g ( ) f( + ), temos: + f( + ) f( + ) + f( + ) ( ) + ( ) f ( ) + Portato: V 9 V f( ) ( ) + ( ) V V 9 ( ), Etesivo Terceirão Matemática

7 .8. 8 (, 8, ) ) INORRETO. osidere a fução ijetora g:, defiida por g ( ) + e a fução f:, defiida por f ( ). gf (( )) + gf (( )) fução g f, de em, ão é ijetora. ) INORRETO. g é decrescete > g ( ) < g ( ) f é decrescete g ( ) < g ( ) fg ( ( )) > f( g ( )) > fg ( ( )) > f( g ( )) fução f g é crescete. ) ORRETO. f é crescete > f ( ) > f ( ) g é decrescete > g ( ) < g ( ) g ( )> para todo real g ( ) < g ( ) > g ( ) g ( ) f g f ( ) ( ) g ( ) > f ( ) > f ( ) f ( ) > f ( ) g ( ) g ( ) f ( ) f ( ) > g ( ) g ( ) Portato, a fução f g é crescete. 8) ORRETO. f é decrescete > f ( ) < f ( ) g é decrescete > g ( ) < g ( ) > f ( ) + g ( ) < f ( ) + g ( ) ( f+ g)( ) < ( f+ g)( ) fução f + g é decrescete. ) ORRETO. Se os gráficos de f e de g ão itersectam o eio das abscissas, etão f() e g(), para todo real. Portato, f ( ) g ( ) para todo real, ou seja, o gráfico de f g ão itersecta o eio das abscissas e > + ou (I) > > (II) ssim, de (I) e (II), temos que. Df () { } [, + [.. a) ou O úmero áureo é +. b) F() F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) 8 F( ) F( 8) F( 9) F( ) + F( 8) + F( ) F( 8) + F( 9) + F( ) F( 9) + F( ) + 89 F( ) 89, F( ) Etesivo Terceirão Matemática

8 ula.. d Para cada uma das listas, temos:,,, 8, 9,,,,, 8, 8,,,, 8, 9,,,,, 9,,,,, Média , Mediaa , , , , Resoluções,,, + Logo, a úica lista a qual a média das otas é maior do que a mediaa é,,,,, 9... b Sedo V o volume total de esgoto gerado, se % desse esgoto gerado é tratado, etão a quatidade ão tratada correspode a % do volume total V. % V 8 bilhões de litros V, bilhões de litros. Uma campaha para melhorar o saeameto básico essas cidades tem como meta a redução da quatidade de esgoto laçado as águas diariamete, sem tratameto, para bilhões de litros os próimos meses. Se o volume de esgoto gerado permaecer o mesmo (, bilhões de litros), etão o volume tratado será de 8, bilhões de litros. ssim, o percetual de esgoto tratado será: 8,/,,8 8%... e média aritmética é dada por: X X X,.. e média da produção do primeiro e terceiro ao é igual a +,. média da produção do segudo e quarto ao é igual a 9 +,. Logo, a média da produção do primeiro e do terceiro ao é igual à média da produção do segudo e do quarto ao... e O âgulo de um cadidato que recebeu votos, em um uiverso de, é dado por: 8.. a Seja a quatidade de aluos da turma. Utilizado o coceito de média aritmética poderada, temos:, +, ( ), ( )+, +,, 8, 8,,8.. c O cojuto ordeado, composto por valores, é dado por: (,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ) média aritmética é dada por: X , moda é o valor mais frequete, ou seja: Mo Em valores, a mediaa é a média aritmética etre o. e o. valores: Me +.8. e Vamos supor que a ida foram utilizados ôibus para levar p passageiros. Se a ida a média de passageiros por ôibus foi igual a,, etão: p 8, 8... omo < e p <, etão, ecessariamete, p 8 e, ou p e 8. Se, a volta, foram usados ôibus a meos, para trazer os mesmos passageiros, etão a quatidade de ôibus ão pode ser igual a, pois, se, etão: p Um úico ôibus ão pode trasportar 8 passageiros, pois o úmero máimo é. Logo, resta uma úica possibilidade: a de que a ida 8 ôibus trasportaram passageiros. Na volta, a média de passageiros por ôibus é igual a: p 8 Matemática Portato, a volta a média foi igual a passageiros por ôibus. Etesivo Terceirão Matemática

9 .9. b ota X, obtida a ª. avaliação, é tal que: d s otas da ạ avaliação, em ordem crescete, formam a seguite sequêcia: (,;,;,;,;,;,; 9,) ota média da ạ avaliação é igual a:, +, +, +, +, +, + 9,, X, Em valores, a mediaa é igual ao valor cetral (º. valor), ou seja, Me,. moda do cojuto é igual a,, pois é o valor que ocorre com maior frequêcia. s otas da ạ avaliação, em ordem crescete, formam a sequêcia: (,;,;,;,;,; 8,; 8,) ota média da ạ avaliação é igual a:, +, +, +, +, + 8, + 8,, X, mediaa é igual ao º. valor, ou seja, Me,. moda do cojuto é igual a,. Portato, a mediaa é superior à moda em cada avaliação... a) VERDDEIR. Percetual de aluos com otas iferiores à média a ạ avaliação:,, % b) FLS. Percetual de aluos com otas superiores à mediaa a ạ avaliação:, 8, 8% c) FLS. Percetual de aluos com otas iferiores à moda a ạ avaliação:, 9, 9% d) FLS. Percetual de aluos com otas superiores à média a ạ avaliação:, 8, 8% e) FLS. Percetual de aluos com otas superiores à mediaa a ạ avaliação:, 8, 8%.. c O cojuto ordeado das otas é igual a: (,,,,,,,,,,, 8, 8, 8, 9, 9, ) Se a moda foi úica, etão a ota de Paula pode ser igual a, ou 8, pois estes são os valores que apresetam as maiores e mesmas frequêcias. O termo cetral desta sequêcia com valores é igual a (9º. termo). omo eistem valores iguais a (8º., 9º. e º. valores), ecessariamete, mesmo com a itrodução de um ovo valor descohecido à sequêcia, referete à ota de Paula, a mediaa ão sofrerá alteração, permaecedo igual a. Portato, a ota de Paula é igual a... e I. VERDDEIR. Média de X: X Média de Y: Y ( + k)+ ( + k)+ + + k Y Y Y X+ k II. FLS. Desvio padrão de X: Dp X k + ( ) ( ) + ( ) + + ( ) X X X Desvio padrão de Y: Dp Dp Dp Dp Y Y Y Y Dp ( ) + ( ) + + ( ) Y Y Y ( ) ( ) ( ) + k X+ k k + + X k k X k ( ) + ( ) + + ( ) X X X X III. VERDDEIR. Média de X: X Média de Y: Y ( )+( )+ +( ). k. k. k Y Y Y X k. k Etesivo Terceirão Matemática

10 IV. VERDDEIR. Desvio padrão de X: Dp X ( ) + ( ) + + ( ) X X X Desvio padrão de Y: Dp Dp Dp Y Y Y ( ) + ( ) + + ( ) Y Y Y ( ) ( ) ( ) k X k k + X k k + + X k ( ) + ( ) + + ( ) X X X k Se K é uma costate posiitva, etão: Dp Dp Y Y k k Dp ( ) + ( ) + + ( ) X X X X V. VERDDEIR. média do cojuto X ão é alterada com a itrodução ao cojuto de um ovo valor igual a X. Observe: Média do cojuto X: X X Média do cojuto Y: X Y + X X Y + + ( + ) X Y + Y X Desvio padrão de X: Dp X ( ) + ( ) + + ( ) X X X Desvio padrão de Y: Dp Dp Dp Y Y Y ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) Y Y Y X Y ( ) + + ( ) + + X X X ( ) + + ( ) + ( ) + + ( ) X X X + O resultado idica que as epressões de Dp X e Dp Y possuem o mesmo umerador, porém o deomiador de Dp Y é maior, de modo que Dp Y < Dp X. Etesivo Terceirão Matemática

11 .. e Vamos orgaizar os dados em uma tabela de frequêcias: Idade (aos) Poto médio (P) Frequêcia acumulada (F) Frequêcia simples (f) P f ( ) média aritmética das idades, em aos, é dada por: X ,, , 8, 8, Desta forma, o comprimeto da liha vertical da última colua, idicado a frequêcia acumulada até aos de idade, tem comprimeto igual a:,8 cm cm.. d área da região sob o gráfico, limitada pelos eios horizotal e vertical, e pela vertical do ọ dia, é igual à soma das medidas das áreas das figuras geométricas que compõem a poligoal: ível cm cm cm cm cm dia do mês Pela decomposição em triâgulos, retâgulos e trapézios, a medida da área total é igual a: cm Dividido a medida da área total por dias, obtém-se o ível médio diário de água do reservatório: 9 X cm ível Nível médio diário os dias dia do mês Etesivo Terceirão Matemática

12 .. a média M dos primeiros meses é tal que: M ( +,) M, M Logo, os primeiros meses a quatidade de refrigerates vedidos foi 8. Desta forma, a quatidade vedida em maio, deotada por H, é tal que: H H 8 H Observe que [, )... média aritmética é tal que: + 8, , Logo, ou. Pela tabela, um quarto do úmero de aleitametos da região possui tempo de aleitameto igual a,8. Desta forma,,8,8,..8. d média aritmética dos valores é dada por: X variâcia populacioal é dada por: ( X) + ( X) + ( X) V Logo, tem-se: ou (ão covém, pois a sequêcia é crescete) Portato, projeção de veda para o ao de era 8 bilhões de reais. quatidade vedida o primeiro semestre foi igual a, bilhões de reais. Dessas iformações, coclui-se que a projeção de vedas o segudo semestre era de 8,, bilhões de reais. Se o percetual de vedas do primeiro semestre de se mativesse o segudo semestre de, para os produtos mais vedidos, etão o valor correspodete às vedas de produtos eletrôicos o segudo semestre de seria igual a 9% de, bilhões de reais, ou seja: 9,, bilhão de reais.. a) média aritmética das otas é dada por: X , b) turma é composta por aluos. Os dois termos cetrais ocupam a ạ e ạ posições. Observado a tabela, costata-se que ambos os valores cetrais são iguais a 9, de modo que a mediaa das otas é dada por: 9 Me ula.. e escolha da salada pode ser feita de modos. escolha da care pode ser feita de modos. escolha da bebida pode ser feita de modos. escolha da sobremesa pode ser feita de modos. escolha de uma salada, uma care, uma bebida e uma sobremesa pode ser feita de modos... d Para a escolha da forma de cotribuição eistem maeiras. Para a escolha do valor da cotribuição, eistem maeiras. Logo, para a escolha da forma de cotribuição e do valor da cotribuição eistem maeiras... a omo o algarismo ão está dispoível, para que o úmero formado seja divisível por, eiste úica possibilidade para a escolha do algarismo das uidades, pois tal algarismo deve ser igual a. escolha do algarismo das uidades de milhar pode ser feita de modos. escolha do algarismo das ceteas pode ser feita de modos. escolha do algarismo das dezeas pode ser feita de modos. ssim, para formar o úmero divisível por, formado por algarismos distitos, eistem modos... e O gabarito da questão pode ser escolhido de modos. O gabarito da questão pode ser escolhido de modos. Se cada uma das questões pode ser respodida de modos distitos, a quatidade total de modos de se preecher o cartão de respostas é igual a... a Eistem opções de escolha para cada um dos dois últimos algarismos. Logo, o úmero máimo de telefoemas que ele teria que dar até cotactar o cliete é igual a:.. d Para um úmero ser divisível por, ele deve ser também divisível por e. ssim, deve ser um úmero par e cuja soma dos algarismos é um múltiplo de. Dessa forma, os úmeros são:,,,,,, e. Logo, 8 úmeros são divisíveis por... d O primeiro aluo tem 8 opções de escolha, equato o segudo tem apeas opções. Logo, pelo pricípio fudametal da cotagem, eistem 8 opções para escolherem os dois armários. Etesivo Terceirão Matemática

13 .8. a O úmero total de sehas é dado por: c quatidade total de sehas é igual a ( ) (. )... d Eistem possibilidades de escolha de um caractere: algarismos e letras. Para a seha de caracteres eistem escolhas possíveis. Eatamete % dessa quatidade de sehas correspodem a, sehas, ou 9 sehas. Se em miuto são aalisadas sehas, etão em 9 miutos serão aalisadas 9 sehas. O tempo de 9 miutos correspode a h e miutos... a Para pedir uma casquiha com uma úica bola eistem: + + modos. Para pedir uma casquiha com eatamete duas bolas de grupos distitos eistem: + + modos. Para pedir uma casquiha com três bolas, cada uma de um grupo distito, eistem: modos. Logo, para pedir a casquiha com uma, duas ou três bolas, eistem: + + modos.. c O úmero de modos distitos de se realizar essa pitura é 8... d Eistem códigos iiciados em, ou seja de até ZZ, iclusive. pós os códigos iiciados com a letra, os seguites começam com a letra. Os primeiros códigos iiciados com a letra iiciam-se em e termiam em Z. Desta forma, até o código Z são codificados eatamete + livros. Para idetificar o último livro, de úmero 9, são ecessários mais 9 códigos. Os últimos livros têm os seguites códigos:,,, D, E, F e G. Logo, o último livro tem código G... b Quatidade de úmeros pares com úico algarismo: Quatidade de úmeros pares com eatamete algarismos distitos: + Quatidade de úmeros pares com eatamete algarismos distitos: + Quatidade de úmeros pares com eatamete algarismos distitos: + Total e Vamos supor que o professor possua questões dispoíveis para compor a prova bimestral. Eistem eatamete duas opções de escolha para cada questão: ou a questão é escolhida para compor a prova, ou ão é escolhida. Observado que esse raciocíio pode ser utilizado para cada uma das questões, pelo pricípio multiplicativo, cocluímos que há modos de compormos uma prova a partir de questões. Etretato, essa cotagem, foi icluída a possibilidade úica de ehuma questão ser escolhida para compor a prova. Logo, devemos ecluir essa úica opção. O úmero total de provas é igual a. Desta forma, temos: 8 8 Portato, o professor preparou eatamete 8 questões... d Se o algarismo das uidades de milhar for ímpar, podemos ter IIPP, IPIP ou IPPI, ode I represeta um algarismo ímpar e P represeta um algarismo par. Nestas codições, o úmero de aos de sorte é ( ). Se o algarismo das uidades de milhar for par, podemos ter P IIP, P IPI ou P PII, ode P é um algarismo par ão ulo. Nestas codições, o úmero de aos da sorte é ( ) 9. o todo, o itervalo cosiderado, são + 9 aos de sorte,... e Vamos deotar por X o jogador de liha covocado que pode atuar em duas posições diferetes. ssim, se X for escalado a posição para a qual ão foi covocado, tato essa posição quato a posição para a qual foi covocado terão apeas opção de escolha. omo para o goleiro temos opções e para cada uma das oito demais posições temos opções, o úmero de escalações possíveis será igual a: 8 aso X ão teha sido escalado para a posição a qual ão foi covocado, todas as dez posições de liha terão opções e o úmero de escalações possíveis será igual a: Portato, ao todo, a quatidade de escalações possíveis é igual a: ( + ) d O produto P pode ser escrito da seguite maeira: P P ( ) ( ) P 8 O úmero de divisores positivos de P é igual a (8 + ) ( + ) ( + ) ( + ) a) Se Lia e Fábio estão ausetes, sobram aluos que podem ser alocados, sem restrições, para as disciplias. Logo, eistem modos possíveis e distitos de as equipes serem formadas. b) aso Fábio participe da equipe, eiste uma úica escolha para o moitor de Matemática (Fábio). omo Lia ão gostaria de ser moitora de Física, sedo moitora, ela poderia ser de Português ou Química. ssim, eistem opções de escolha de moitoria para Lia. Escolhida a moitoria de Lia, eistem modos possíveis, para escolher o moitor de Física e modos possíveis para escolher o moitor da outra disciplia da qual Lia ão é moitora. Desta forma, eistem modos de se formar as equipes com as participações simultâeas de Lia e Fábio. c) Lia ão aceita ser moitora de Matemática, em de Física. ssim, se Lia for moitora e Fábio ão for, ecessariamete Lia será moitora de Português ou Química, ou seja, eistirão modos de Lia ocupar uma fução de moitora, modos de escolher o moitor de Matemática, modos para escolher o moitor de Física e modos de escolher o moitor da outra disciplia da qual Lia ão será moitora. Portato, serão modos de escolher a equipe, se Lia for moitora e Fábio ão for moitor. aso Fábio seja moitor e Lia ão, o moitor de Matemática será Fábio (uma úica opção de escolha) e dos aluos restates poderão ser alocados, sem restrições, às disciplias restates. Etesivo Terceirão Matemática

14 ssim, serão modos de escolher a equipe se Fábio for moitor e Lia ão for. Reuido todas as hipóteses cosideradas, a quatidade total de equipes é igual ao úmero de equipes sem Fábio e sem Lia (), adicioada à quatidade de equipes com Fábio e com Lia (), adicioada à quatidade de equipes sem Fábio e com Lia () e,aida, adicioada à quatidade de equipes com Fábio e sem Lia (), ou seja: equipes.. a) O úmero 8 pode ser decomposto da seguite maeira: 8 Observe que possui divisores aturais (,,, e ) e possui divisores aturais (, e ). quatidade de divisores aturais de 8 é igual ao produto da quatidade de escolhas de um dos divisores aturais de pela quatidade de escolhas de um dos divisores aturais de. ssim, o úmero 8 possui divisores aturais. b) Observe que 8 (8), ou seja, 8 é um quadrado perfeito. O úmero de maeiras de se decompor o úmero 8 em dois fatores está relacioado ao úmero de divisores do próprio úmero, pois para cada divisor de 8, eiste outro divisor tal que 8. lém disso, é ecessário observar que eiste um úico produto cujos fatores são iguais: eistêcia de um produto cujos dois fatores sejam iguais decorre do fato de 8 ser um quadrado perfeito. Isto ão ocorre para úmeros atuais que ão sejam quadrados perfeitos. No item aterior, costatou-se que 8 possui divisores aturais. Ecluido-se o divisor 8, eistem divisores aturais. Desta forma, eistem produtos iguais a 8 cujos dois fatores são distitos. Etretato, esta cotagem cosiderou-se icorretamete que. Logo, a cotagem correta deve cosiderar somete a metade dos produtos, ou seja, produtos distitos são iguais a 8. otado o úico caso adicioal de produto cujos fatores são iguais (8 8 8), temos 8 maeiras de o úmero 8 ser decomposto em um produto de dois fatores aturais. ula.. b Observe que...!... b! 9 8! 9 8!!!.. e ( + )! ( ( + ) + )! ( + ) ( + ) + +!!.. e! +! E!! +! E!.. c E ( + )!! E E ( + )! (+ ) ( ( ( + ) )! + ) ( )! ( )! (+ ) ( + ) ( + ) (+ ).. c Se ( )!, etão ( )!!, ou seja,. Logo, 8... b ( + )!! ( + )!! + + O úmero é múltiplo de..8. e ( E + )! + ( + )! ( + ) (+ )! ( E + ) ( + )! + ( + )! ( + ) (+ )! [( + ) + ] (+ )! E ( + ) (+ )! ( E + ) ( + )! ( + ) (+ )! E.9. d ( )! omo! e!, temos duas possibilidades para cosiderar: ou ou 8 soma das raízes da equação é igual a: c! ( + )! + (+ )! 8! ( + ) ( + )! + (+ )! 8! [( + ) + ] (+ )! 8! ( + ) (+ )! 8 ( + ) (+ ) 8 ( + ) ( + ) ou 9 (ão covém, pois > ). Portato, Etesivo Terceirão Matemática

15 .. c ( )! (+ )!! 8 ( )! ( + ) ( )! ( )! 8 ( )! [( + ) ] ( )! 8 ( )! ( )! ± 8 ±9 > 9.. e Os úmeros primos positivos e divisores de! são os úmeros primos positivos meores que, ou seja,,,,,,,, 9, e 9. Logo: b Da sequêcia!! +!! +! ! temos:!! +!! 9 9 +!! partir do!, o algarismo das uidades varia etre 9 (toda vez que subtraimos um termo) e (toda vez que adicioamos um termo). omo a sequêcia termia com uma soma (+ 999!), o algarismo das uidades será... d De acordo com as iformações do euciado, tem-se:! ( + )!! Logo: E! +! +! +! +! +! E (!!) + (!!) + (!!) + (!!) + (!!) + (8!!) E 8!! E E 8 é a melhor aproimação, detre as que foram apresetadas... d E ( )! [( + )!!] E ( )! [( + )!!] E ( )!! [( + ) ] E ( )!!.. d ( + )!! + ( + )!! [( + ) ]!!! E ( )!! E!! E (!)!! (!!) ou!! ou Logo, a soma e o produto das raízes da equação são, respectivamete, iguais a e... e E 8 (...) () E ( ) ( ) ( ) ( ) (...) ( ) E ( ) ( ) E! vezes!.8. c Usado todos os úmeros de a, coseguimos motar os seguites tipos de matrizes: liha e coluas! matrizes distitas lihas e 8 coluas! matrizes distitas lihas e coluas! matrizes distitas 8 lihas e coluas! matrizes distitas lihas e colua! matrizes distitas Portato, adicioado essas quatidades coclui-se que podem ser formadas! matrizes distitas..9. O úmero total de sequêcias é igual a!. Se cada sequêcia é formada em segudos, etão o úmero de sequêcias formadas em miuto é igual a:!!! Em uma hora, o úmero de sequêcias é igual a:! 9 8!! Em um dia, o úmero de sequêcias é igual a:!!! Em um ao, o úmero de sequêcias é igual a:! Portato, aos iiterruptos seriam ecessários para ordear os livros distitos, de todas as formas possíveis, se cada ordeação demorasse eatamete segudos... Para descobrir com quatos zeros termia um úmero iteiro, basta escrevê-lo a forma X Y, em que X e Y são úmeros aturais, e X ão é divisível por. Uma vez epresso desta maeira, o epoete Y determia a quatidade de zeros do úmero. ssim, para respoder à perguta, é ecessário escrever! a forma X Y, em que X e Y são aturais. Iicialmete, observe que (base da potêcia) ão é um úmero primo e, portato, pode ser epresso como produto de primos :. Logo, para epressar o úmero como potêcia de é ecessário, ates, escrevê-lo como produto dos primos e. Em resumo, é preciso descobrir quatos fatores e quatos fatores possui o úmero!. Os fatores ocorreram em todos os úmeros pares, ou seja, apresetam fatores os fatores, 98, 9,...,, e. Os fatores ocorreram em todos os úmeros divisíveis por, ou seja, apresetam fatores os úmeros, 9, 9,...,, e. Observe que os fatores do úmero!, ocorre meos o fator do que o fator. Logo, a quatidade de fatores o úmero! será regulada pela quatidade de fatores, já que o ecedete de fatores ão produzirá isoladamete fatores. coclusão é a de que a quatidade de algarismos zeros o fial do úmero! é igual à quatidade de fatores que compõe o úmero!. cotagem da quatidade de fatores pode ser orgaizada da seguite maeira: ojuto dos úmeros que apresetam apeas um fator : {9, 9, 8, 8,,,,,,,,,,,, } Esse cojuto possui úmeros, cada um com um fator. ojuto dos úmeros que apresetam dois fatores : {,,, } Esse cojuto possui úmeros, cada um com dois fatores. Portato, a quatidade total de fatores é igual a Desta forma, como o úmero! possui fatores iguais a, etão termia com algarismos iguais a zero. 8 Etesivo Terceirão Matemática

16 ula Resoluções Matemática.. c + 8 Multiplicado a primeira equação por e somado com a seguda, temos: Portato:.. c + + Multiplicado a primeira equação por, a seguda por, e somado as equações resultates, temos: Portato:.. d : + + : > ( + ) > ( + ) + 8> + >.. d + 9 Multiplicado a primeira equação por e somado com a seguda, temos: ssim, o sistema é possível e idetermiado. omo, a solução da equação é: S {(, )} Portato: a) (, ) (, ) b) (, ) (, ) c),, e),, Portato, (, ) ão é solução do sistema... e + + z + z z 8 z 8 z + z z c + z + z + + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + z + z + z Multiplicamos a seguda equação por e somamos com a terceira. + z + z z 9 z 9 z + z + + z + ( ) Portato, os valores de, e z são todos úmeros primos... c + + z + z + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + + z z z Multiplicamos a terceira equação por e somamos com a seguda. Etesivo Terceirão Matemática

17 + + z 9z z 9z z z + + z + ( ) + Portato, a+ b+ c + ( ) +.8. b + Multiplicado a primeira equação por e somado com a seguda, temos: + Portato, o sistema é possível e idetermiado..9. b + + Multiplicado a primeira equação por e somado com a seguda, temos: + O sistema é possível e idetermiado. Da primeira equação, temos: + Portato, o sistema admite a solução (, ), para todo úmero real... a + + z + 9 z + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + + z z z Multiplicamos a seguda equação por e somamos com a seguda. + + z z z z + + z + + Portato, os valores de, e z são proporcioais aos úmeros, e... d z + + z Multiplicamos a seguda equação por e somamos com a terceira z 8 omo a primeira e a terceira equações são equivaletes, temos o seguite sistema: z Portato, o sistema é idetermiado z + (8 ) + z z.. b + + z 8 + z + + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + + z 8 z + z Multiplicamos a seguda equação por e somamos com a terceira. + + z 8 z 8z 8 8z 8 z z + + z Portato: + z +.. e + z + z + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + z + z z omo a seguda e a terceira equações são equivaletes, temos o seguite sistema: + z z Portato, o sistema é idetermiado. + z z z z+ + z + z + z z solução do sistema é ( z, z+, z)... e Somado a primeira equação com a seguda, temos: Etesivo Terceirão Matemática

18 + z + z + z 8 z + z z omo as três equações são equivaletes, temos: z z+ Portato, o sistema é possível e idetermiado, cuja solução é (, z+, z)... e + + z + + 8z + + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + + z + z + z omo a seguda e a terceira equações são cotraditórias, o sistema é impossível... d Sejam a, b e c, respectivamete, as quatidades de cápsulas igeridas pelos pacietes, e. a+ b + c 8 b a a + b + c 8 b a b a a+ b+ c 8 a+ a+ c 8 c 8 a a+ b + c 8 a+ a+ (8 a) 8 a+ a+ a 8 a a Portato: c 8 a c 8 c 9.. c Y X Z X Z Y Y X Z (Z ) Z X Z Y Z 9 Portato: XY Z a Somado as quatro equações, temos: + + w + + w + + w ( + + w) + w + w w + + z z Resolvedo o sistema formado pelas duas primeiras equações, tem-se que e. Substituido em uma das outras duas equações, tem-se que z. Portato, o sistema é possível e determiado, cuja solução é,,, z 9 + z z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + + z z 9 z + z z z Multiplicado a seguda equação por e somado com a terceira, temos: + + z 9 + z z z z + z z Portato: a+ b+ c S {(,,, )} Somado as quatro equações, temos: + + z+ w + + z+ w + + z + w + (+ + z+ w) z + w + (+ + z+ w) z + w z + (+ + z+ w) z+ z + + z + w w + (+ + z+ w) w+ w Portato, a solução do sistema é (,.,, ) Etesivo Terceirão Matemática

19 ula.. c D SPD m m m.. c k Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. + 8 k Para que o sistema seja idetermiado, devemos ter: k k.. a D a + 8 a 9 a Reescrevemos o sistema para a 9. 9 b Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. b Para que o sistema seja idetermiado, devemos ter: b b Portato, a 9 e b... e D SPD k k+ k + k.. a D m + m + m m Observe que, de fato, o sistema é impossível para m. z m + + z + + z Multiplicamos a terceira equação por e somamos com a seguda. z z + + z omo as duas primeiras equações são cotraditórias, o sistema é impossível... a D + Observe que, de fato, o sistema é impossível para. + + z z Somado as três equações, temos: omo a igualdade obtida é falsa, o sistema é impossível... e D a+ b a b a b Reescrevemos o sistema para a b. + a+ b a b Para que o sistema seja idetermiado, devemos ter a+ b. a b a eb a+ b.8. c + z + z + z k Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + z z + z k Somamos a seguda equação com a terceira. + z z k Para que o sistema seja possível e idetermiado, devemos ter: k k.9. d + z + + z + z m Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + z + z + z m Multiplicamos a seguda equação por e somamos com a terceira. + z + z m 8 Para que o sistema seja impossível, devemos ter: m 8 m 8 Etesivo Terceirão Matemática

20 .. e D m + m+ m m Reescrevemos o sistema para m. + z + + z + + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + z + z + z Multiplicamos a seguda equação por e somamos com a terceira. + z + z Para que o sistema seja possível e idetermiado, devemos ter: m a + z + + z + 8+ z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + z + z + z Multiplicamos a seguda equação por e somamos com a terceira. + z + z Portato, o sistema é impossível (icompatível)... c + z + z + z Somamos a primeira equação com a seguda. + z + z + z Multiplicamos a seguda equação por e somamos com a terceira. + z + z (sistema possível e idetermiado) (sistema impossível).. a D b b b + b b b Observe que, de fato, o sistema é impossível para b. + b + z z Somado as três equações, temos: omo a igualdade obtida é falsa, o sistema é impossível... d D m m m m Reescrevemos o sistema para m. + z + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. + z Multiplicamos a seguda equação por e somamos com a terceira. + z Se o sistema é impossível, etão. Portato, como m e, etão m... a D a+ + a a a Reescrevemos o sistema para a. + + z + + z + + z b Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + + z + z z b Multiplicamos a seguda equação por e somamos com a terceira. + + z + z b Se o sistema é impossível, etão b b. Etesivo Terceirão Matemática

21 .. c β D β+ 9β+ 8 β + I. VERDDEIR Se β, etão D + 9. ssim, o sistema é possível e determiado, ou seja, admite uma úica solução. II. VERDDEIR Se β+, ou seja, β, o sistema admite uma úica solução. III. VERDDEIR Reescrevemos o sistema para β. + z β z z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + z β + z + z 8 omo a seguda e a terceira equações são cotraditórias, o sistema é impossível, ou seja, ão admite solução. IV. FLS Se β, o sistema admite uma úica solução... (, 8, ) ) INORRETO det( + ) det( ) det( ) 8 ) ORRETO a D a + D + a a a b Multiplicado a primeira equação por e somado com a seguda, temos: a b Para que o sistema seja idetermiado, devemos ter: b b ) INORRETO D omo o determiate é igual a, o sistema ão é possível e determiado. 8) ORRETO < < < < ) ORRETO a+ b b+ c a+ c Somado as três equações, temos: a+ b+ c 8 a+ b+ c (, 8) ) ORRET omo a primeira e seguda lihas são proporcioais (a seguda liha é o dobro da primeira), o determiate da matriz é igual a. Portato, a matriz ão tem iversa. ) INORRET Se um sistema de equações é idetermiado, admite ifiitas soluções. ) INORRET + + z + + z + + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + + z 9 z 9 z omo a seguda e a terceira equações são iguais, o sistema é possível e idetermiado. 9 z 9 z z z z + + z 9 z 9 Para z, obtemos e. Porém, eistem outras soluções. 8) ORRET Sistema liear S: + b α c + β Para que o sistema seja idetermiado, devemos ter: b α c β Sistema liear T: c + α + d β Para que o sistema seja idetermiado, devemos ter: c α d β c c 8 c c ou c Etesivo Terceirão Matemática

22 c b b d d α βα β c b b d d α β α β.. Sejam, e z os três úmeros reais. z k + z + D a) Se D, ou seja,, o sistema é determiado, ou seja, tem uma úica solução, qualquer que seja o úmero real k. b) Se, o sistema é idetermiado ou impossível. Reescrevemos o sistema para. z k + z + Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. z k + z + z k Multiplicamos a seguda equação por e somamos com a terceira. z k + z k Portato, se k k, o sistema tem uma ifiidade de soluções. c) Do sistema aterior, se k k, o sistema ão tem solução. ula.. d Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + Multiplicamos a seguda equação por e somamos com a terceira. + Portato, o sistema é possível e determiado. + + solução do sistema é (, )... e Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + 8 omo a seguda e a terceira equações são cotraditórias, o sistema é impossível, ou seja, ão admite solução... c Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a terceira. + Portato, o sistema é idetermiado, pois as três equações são equivalete, ou seja, apreseta uma úica equação. Observe que (, ) é uma solução do sistema e + z + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. + z Portato, o sistema é impossível... e + + z + + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. + + z z z z + + z + + Etesivo Terceirão Matemática

23 O sistema é possível e idetermiado, com z... d + + z + a a Resolvemos o sistema formado pela primeira e terceira equações: + e + Substituido os valores de e de a seguda equação, temos: a a a.. b a b+ c b+ c b+ c b c a b+ c a ( c) + c a c ab c ( c) ( c) c 8c c+ c c c c+ c c+ c ouc c a c a Portato, um valor de a é..8. c Resolvemos o sistema formado pelas duas primeiras equações: + e Substituido os valores de e de a terceira equação, temos: a + b c a + b c c b.9. c a a + a a + + a a a ( ) a + a a ( ) a + Para que eista somete uma matriz, o sistema é possível e determiado. + a a a a a.. d + + z + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. + + z z z z + + z O sistema é idetermiado, com z e +... e + z z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. + z + z O sistema é idetermiado, ou seja, admite ifiitas soluções... a Resolvemos o sistema formado pelas duas primeiras equações: + + e + + Substituido os valores de e de a terceira equação, temos: k k + k 9 Portato, o úmero k é um quadrado perfeito... e Sejam e, respectivamete, as quatidades de moedas de cetavos e de cetavos, temos:, +, Multiplicamos a equação por : +,, > >, > < ssim, para que e sejam úmeros iteiros positivos, o valor de deve ser um úmero par de a 8. Portato, eistem 9 maeiras de fazer a divisão... a + z z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. + z 8 + z + z + z z + z 8 + z z 8 + z omo os valores de, e z são úmeros iteiros e positivos, temos: > + z > z >, > z> z< z> ssim, z é um úmero iteiro de a. I. VERDDEIR O sistema tem soluções, uma correspodete a cada valor de z. II. VERDDEIR z + z + z + III. VERDDEIR Da equação + z, temos que + z. 8 Etesivo Terceirão Matemática

24 .. d + z + z Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. + z z z z + z + ( ) + + omo e z são úmeros iteiros positivos, temos: z 9 9 Os valores de, em ordem crescete, formam uma P de razão. Os valores de z, em ordem crescete, formam uma P de razão. Não eiste valor positivo de... b + + z z z 8 z > > > > > < < < + + < < < < < + < < < 8.. b a+ b+ c a+ b+ c Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. a+ b+ c b+ c b+ c b c a+ b+ c a+ c + c a + c omo a, b e c são úmeros aturais, temos: a + c c b c c, c c, O maior valor possível de c é. Portato: a c + ab b.8. e + + z, +, +, z, z + + z z + + z 99 Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. + + z + z + z z + + z + z + z + z omo, e z são úmeros iteiros positivos, temos: z> z<, + z> z>, z 9 Portato, detre as alterativas, aquela que uca é verdadeira é + z..9. a) Sejam a, b e c, respectivamete, os valores de cada quadro dos artistas, e. a+ b+ c a+ b+ 8c Multiplicado a primeira equação por e subtraido a seguda equação da primeira equação resultate, temos: a+ b+ 9c a+ b+ 8c a+ b+ c O valor total a ser pago por um colecioador que comprou um quadro de cada um desses três artistas é R$.,. b) a+ b+ c a+ b+ 8c Multiplicamos a primeira equação por e somamos com a seguda. a+ b + c b+ c b+ c b c a+ b + c a+ ( c) + c a+ c+ c a + c omo b, temos: c c c Portato, o preço máimo de veda de um quadro do artista é R$.,. Etesivo Terceirão Matemática 9

25 .. t m t+ m+ p 9 t m p, +, +, t m t + m+ p 9 t+ m+, p Subtraímos a seguda equação da terceira:, p p t m t m t + m+ 9 t + m t + m m + m m t m Portato, são dúzias de tagerias, dúzias de maçãs e dúzias de peras. Etesivo Terceirão Matemática

26 ula Resoluções Matemática D.. b m m m No triâgulo retâgulo, temos: + 8m área sombreada é a difereça etre a área de um círculo de raio metros e a área de um retâgulo de dimesões metros e 8 metros. S sombreada 8 Ssombreada ( 8) m.. e Observe a figura, em que as medidas idicadas estão em cetímetros. O O D No triâgulo retâgulo ODO, temos: + + S OO SO O cm.. E E E DE ( + ) ( ) +.. b P P a.. e Observe a figura, em que as medidas idicadas estão em cetímetros. o área destacada é a difereça etre a área de um triâgulo equilátero cujos lados medem cm e a área de um setor circular de e raio cm. S destacada 9 S destacada 9 S destacada 9 cm.. d Observe a figura, em que as medidas idicadas estão em decímetros. D O No triâgulo retâgulo O, temos: + região colorida de azul é um setor circular de 9 e raio dm. Sazul 9 dm ( ) região colorida de verde é a difereça etre a metade da área de um círculo de raio dm e a área do triâgulo D. Sverde dm Portato, a área comum aos dois círculos é: S Sazul + S verde S + S ( ) dm.8. d P Os triâgulos PR e PQ são semelhates. PR R PQ Q + + Portato: PQ + + R Q s t Etesivo Terceirão Matemática D

27 .9. e D β β r r r α α θ r O r.. d R + R + R + + R + R + R R + R + R Sejam α e θ as medidas dos âgulos O ˆ e OD ˆ e r o raio da circuferêcia. omo os triâgulos O e OD são isósceles, temos: O ˆ O ˆ α OD ˆ OD ˆ β Do teorema do âgulo etero, β α+ α α. β+ β α+ θ α+ α α+ θ θ α θ α α α.. cm cm α seα α.. α O θ D cm O α o o omo o triâgulo O é isósceles, o âgulo α+ + 8 α O ˆ, temos: Sedo θ a medida do âgulo + α α ˆ O mede... b omo a reta O é perpedicular à corda, o triâgulo é isósceles de base. ssim, a. Pela propriedade do âgulo iscrito, a medida do âgulo ˆ é a metade da medida do âgulo O. ˆ ssim, o âgulo ˆ mede rad. área do triâgulo é: a S se aa.. b R R R R R R R+ R R+ R R+ R Somado as equações, temos: Sejam e lados de um polígoo regular iscrito a circuferêcia. ada âgulo itero desse polígoo mede. 8 ( ) 8 medida do âgulo cetral é α. Pela propriedade do âgulo iscrito, a medida θ do âgulo D ˆ é a metade da medida do âgulo cetral. θ α.. a Observe a figura o octógoo regular cujos lados medem. + área do octógoo é a difereça etre a área de um quadrado cujos lados medem + e a área de quatro triâgulos retâgulos cujos catetos medem. S octógoo (+ ) Soctógoo área dos 8 semicírculos de raio é igual a. Portato: S sombreada Etesivo Terceirão Matemática D

28 .. m Observe a figura, em que é o cetro da circuferêcia..9. e α 8 P Q α O 8 + Liha do ível do olho omo o triâgulo PQ é isósceles, a altura relativa ao lado PQ divide-o em dois segmetos cogruetes. ssim, o raio da circuferêcia mede metros. No triâgulo retâgulo destacado, temos: + 9 m Portato, O m... c D O θ E medida α de cada âgulo itero do petágoo regular é 8 ( ) α 8. θ ( ) θ+ 9 θ Portato, a medida do meor arco E é... a) r α D R r r No triâgulo retâgulo destacado, temos: + área do losago D é: D S D S D.8. b r o r se R r r r R r R r R r Razão etre as áreas do círculo e do setor circular: S círculo r r r S setor R (r) 9r b) Observe a figura, com R r. r r r θ/ r r No triâgulo retâgulo destacado, temos: ( + r) + ( r) 9+ r+ r 9+ r+ r 8r r cm θ r se r cos( ) se cosθ se θ cos θ cosθ Etesivo Terceirão Matemática D

29 km.. Sejam O o cetro da circuferêcia e S a posição do satélite. d θ Terra S km a) No triâgulo retâgulo OS a medida α do âgulo OS ˆ é: O cosα α OS 8 medida do meor arco é. O comprimeto do arco é: 8 km b) Usado a lei dos cosseos o triâgulo OS, temos: ( S) ( O) + (OS) O OS cosθ d d + d ( + ) d d km ula.. V V V V (V) h h cm (V) d d cm (V) S ( ) h cm (V) S cm d d cm.. d Sejam L a medida dos lados do triâgulo equilátero e R o raio da circuferêcia circuscrita. altura do triâgulo equilátero é igual a h L. L S triâgulo L L R h L L Scírculo Portato: L S triâgulo L Scírculo L L.. V V F F V Observe o heágoo regular DEF da figura. F E O D (V) Os triâgulos O, O, DO, DEO, EFO e FO são equiláteros. (V) Sedo a medida dos lados do heágoo regular, temos: cm E cm cm (F) O quadrilátero EF ão é um paralelogramo, pois os lados opostos e EF ão são paralelos. (F) O âgulo DEF ˆ mede. (V) Os lados E e D são paralelos e assim DE é um trapézio. omo DE, o trapézio é isósceles... a Sejam L a medida dos lados do quadrado e R o raio da circuferêcia circuscrita. L R R L Portato, a razão etre o comprimeto da circuferêcia e o perímetro do quadrado é: L R L L.. a Seja L a medida dos lados do heágoo regular. L r L L cm O perímetro do heágoo é L cm. Etesivo Terceirão Matemática D

30 .. b F D E área do heágoo é equivalete à área do retâgulo EF. + SEF SEF SEF.. b Seja L a medida dos lados do triâgulo equilátero. h L L omo D, E, F são os potos médios dos lados do triâgulo, tem-se que DF, EF, DE e DEF são triâgulos equiláteros cujos lados medem. 9 S DEF.8. d altura h da placa é a soma da altura de um triâgulo equilátero cujos lados medem e do diâmetro de uma circuferêcia. h + + h + h, + h, +,.9. a (V) Seja L a medida dos lados do triâgulo equilátero. L L cm h L cm r h cm R h cm Razão etre as áreas dos círculos: r R r r R R h Observação: O valor da razão obtido é válido qualquer que seja a medida dos lados do triâgulo equilátero. (V) Observe a figura, em que as medida idicadas estão em cetímetros. R P b Q H Os triâgulos P e RQP são semelhates., área hachurada é a difereça etre a área do triâgulo PQR e a área do quadrado. Shachurada,,, cm.. a Seja L a medida dos lados dos heágoos regulares. distâcia etre dois lados paralelos do heágoo correspodete ao dobro da altura de um triâgulo equilátero cujos lados medem L. L L L m Área da piscia: Spiscia S heágoo L 9L Spiscia 9 9 S 9 piscia, Spiscia,8m.. e. VERDDEIR se se se cm se 8 se9 8 8cm. VERDDEIR se se se cm. VERDDEIR À medida que aumeta, o polígoo se aproima de um círculo de raio cm. Scírculo cm área do polígoo se aproima de cm. Etesivo Terceirão Matemática D

31 .. b Observe a figura, em que as medidas idicadas estão em decímetros. F Q h E h Perímetro do polígoo QEF: E h ( + )dm.. c Observe a figura, em que as medidas idicadas estão em cetímetros. Seja P um poto o iterior do triâgulo equilátero e,, z as distâcias de P aos lados do triâgulo, de medida L. omo a área do triâgulo é a soma das áreas dos triâgulos P, P e P, temos: S SP + SP+ SP L L L L z + + L + + z Para L m, temos: + + z m.. a D O o o o E omo O OD O OE cm e os âgulos DO ˆ e EO ˆ medem, os triâgulos DO e EO são equiláteros. área hachurada é a área de um triâgulo equilátero cujos lados medem 8 cm, meos duas vezes a área de um triâgulo equilátero cujos lados medem cm, meos a área de um setor circular de e raio cm. 8 Shachurada Shachurada 8 Shachurada 8 cm.. e Seja L a medida dos lados do heágoo regular. L L L distâcia d de P ao segmeto é a altura do triâgulo P relativa ao lado. d d d.. c Sejam R o raio da circuferêcia e L a medida dos lados dos triâgulos equiláteros. R R R cm L L R L cm Portato, a medida dos lados do heágoo regular é cm. Sheágoo cm.. a Sejam L a medida dos lados do heágoo regular H e a medida dos lados do heágoo regular H. L L o L / L se L L L SH L L SH.8. 9 (,, 8, ) ) ORRETO. L L P z L D β α α β Etesivo Terceirão Matemática D