INTERVALOS DE CONFIANÇA ESTATISTICA AVANÇADA

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1 INTERVALOS DE CONFIANÇA ESTATISTICA AVANÇADA Resumo Itervalos de Cofiaça ara médias e roorções com alicações a Egeharia. Ferado Mori

2 Itervallos de Cofiiaça ara Médiias e Proorções Uidade 1 - Iterferêcia Estatística 1.1 Itrodução Usualmete é imraticável observar toda uma oulação. Eamia-se etão uma amostra. Se essa amostra for bastate reresetativa os resultados obtidos oderão ser geeralizados ara toda a oulação. O esquisador ode levatar hióteses das ossibilidades das geeralizações dos resultados aos eerimetos semelhates. Deverá testar essas hióteses que oderão ser rejeitadas. Um eerimeto ode ter or fialidade a determiação da estimativa de um arâmetro de uma fução. Toda coclusão tirada or uma amostragem quado geeralizada ara a oulação virá acomahada or um grau de icerteza ou risco. Ao cojuto de técicas e rocedimetos que ermitem dar ao esquisador um grau de cofiaça as afirmações que faz ara a oulação baseadas os resultados das amostras, damos o ome de Iterferêcia Estatística. O roblema da iferêcia é medir o grau de icerteza ou risco dessas geeralizações. 1

3 Uidade - Estimação de Parâmetros 1. Itrodução Um dos objetivos básicos da eerimetação é a estimação de arâmetros. Estuda-se uma oulação cuja distribuição é cosiderada cohecida or meio de sua fução de desidade de robabilidade, 1,,, f ode é uma variável aleatória e θ i, i =1,,..., são os arâmetros da distribuição. 1.1 Eemlo: 1 1 : N, ode f,, e Portato a distribuição de, que é ormal deede de dois arâmetros µ e σ. Temos de avaliar um ou mais arâmetros da distribuição oulacioal tomado or base uma amostra casual simles 1,,...,. O ricial roblema é rocurar fuções de observações que foreçam estimativas dos arâmetros. As distribuições dessas fuções devem estar cocetradas o mais ossível em toro dos verdadeiros valores dos arâmetros θ. Estas fuções são estimadoras: é o valor umérico deles calculados usado as observações 1,,..., são as estimativas dos arâmetros 0. Logo: 1 i é um estimador de µ e 0 é uma estimativa. i1 1 S 1 i1 i é um estimador de σ e S S 0 é uma estimativa calculada a amostra.

4 . Tios de Estimação.1 Estimação or oto Na estimação or oto, a artir das observações calcula-se uma estimativa usado o estimador ou estatística. A distribuição or amostragem dos estimadores tora ossível o estudo das qualidades de um estimador. As riciais qualidades de um bom estimador são: a) Cosistêcia b) Ausêcia de vício c) Eficiêcia d) Suficiêcia Quato maior grau de cocetração da distribuição amostral do estimador em toro do verdadeiro valor do arâmetro oulacioal, tato melhor será o estimador. a) Cosistêcia Defiição: um estimador é cosistete se estimar θ, se P é um estimador cosistete ara µ. lim 0. Se é uma variável aleatória com E e Var Etão: P > Var P > ara todo 0, temos: Quado, lim 0 Logo, a distribuição de se cocetra em toro de µ quado a amostra é suficietemete grade. 3

5 b) Ausêcia de vício ou justeza Defiição: um estimador θ é ão viciado, ão tedecioso, ão viesado ou justo se: lim E E. Se tedecioso. Eemlo: :, E dizemos que o estimador é assitoticamete ão N. Sabemos que é um estimador ão viciado de µ, ois. 1 S Vamos mostrar que i 1 é um estimador ão viciado de i ES E i E i i 1 1 i1 1 E i i 1 i 1 1 i i1 E i 1 i 1 1 E i 1 i1 1 1 E i E i E 1 1 i1 i1 1 i E S E E 1 i1 4

6 Como: Ei = E1 E E E E i1 e: E E VAR E E De maeira idêtica chega-se a: E Reescrevedo temos: 1 E E S E 1 E S E S 1 ES Assim : O que demostra que S é um estimador ão viciado de. 5

7 c) Eficiêcia Dados dois estimadores 1 e defiimos eficiêcia de um arâmetro com relação ao outro ara um mesmo tamaho de amostra como: VAR E f VAR 1 d) Suficiêcia Defiição: um estimador de θ é suficiete se cotém o máimo ossível de iformação com relação ao arâmetro or ele estimado. 1 Quatidade de iformação: VAR. Estimação or itervalo A estimação or otos de um arâmetro ão ossui uma medida do ossível erro cometido a estimação. Uma maeira de eressar a recisão da estimação é estabelecer limites que com certa robabilidade icluam o verdadeiro valor do arâmetro da oulação. Esses limites são chamados limites de cofiaça: determiam um itervalo de cofiaça (IC) o qual deverá estar o verdadeiro valor do arâmetro. Logo a estimação or itervalo cosiste a fiação de dois valores tais que (1-) seja a robabilidade de que o itervalo or eles determiado coteha o verdadeiro valor do arâmetro. : ível de icerteza ou grau de descofiaça. 1 : coeficiete de cofiaça ou ível de cofiabilidade. Portato: os dá a medida da icerteza desta iferêcia (ível de sigificâcia). Logo, a artir de iformação de amostra devemos calcular os limites de um itervalo, valores críticos, que em 1 % dos casos iclua o valor do arâmetro a estimar e em % dos casos ão iclui o valor do arâmetro. 6

8 Uidade 3 Itervalos de Cofiaça ara Médias 1. Itrodução A cada dois aos acostumamo-os a acomahar as esquisas eleitorais. Geralmete elas são mostradas assim: Cadidato Iteção de Voto João 31% Maria 30% José 10% Pedro % E, usualmete essa iformação é acomahada or uma outra, a tão famosa margem de erro da esquisa. Suodo que ela seja de dois otos ercetuais ara cima ou ara baio, o que vale dizer que o cadidato João tem etre 9% e 34% dos votos. Costruir um itervalo de cofiaça ada mais é do que estabelecer uma margem de erro ara um estimador e calcular o grau de cofiaça corresodete a essa margem. Ou como é mais comum, estabelecido um grau de cofiaça, calcular a margem de erro que corresoda a essa cofiaça. Como se faz isso? É ecessário cohecermos a distribuição de robabilidades do estimador. 1.1 Procedimeto ara a costrução do IC ara a média com variâcia cohecida: a) Retiramos uma amostra casual simles de elemetos; b) Calculamos a média da amostra ; c) Calculamos o desvio adrão da média amostral: d) Fiamos o ível de sigificâcia α, e com ele determiamos Z α tal que: P( z >z ) ou seja P z>z e P z< z logo devemos ter: P z < z 1 7

9 α/ (1-α) α/ z α z α Precisamos determiar a artir dessa formula o IC. Como P z ou z. P z. z. 1 P z. z z P z que é a formula do IC ara a média de oulações ormais com variâcias cohecidas. Os limites já cohecidos são: z 1 z.. Usado otação simlificada: 1 1 % 1, IC Observe que a fórmula só vale ara oulações que obedecem a distribuição ormal. 8

10 1. Eemlos de Alicação: 1..1) De uma oulação ormal, com σ =9 tiramos uma amostra de 5 observações obtedo 5 15 i. Determie um IC de limites de 90% ara µ. i1 Queremos cohecer a média oulacioal com cofiaça de 90%. 1 90% 10% 1 i1 15 6, z z z 1,64 45% 0,45 i 0,6 5% 90% 5% -z α z α z P(6,08 1,64[0,6] < µ < 6,08 + 1,64[0,6]) = 0,90 P(6,08 0,984 < µ < 6,08 + 0,984) = 0,90 9

11 5,096 µ 7,064 P (5,096 < µ < 7,064) = 0,90 IC (µ, 90%) = (5,096; 7,064) Portato temos 90% de cofiaça que o verdadeiro valor µ oulacioal se ecotra etre 5,096 e 7,064 ou etão corremos um risco de 10% de que o verdadeiro valor da média oulacioal seja meor que 5,096 ou maior que 7, ) De uma oulação de elemetos com distribuição aroimadamete ormal com σ = 400 tira-se uma amostra de 5 elemetos obtedo-se = 150. Fazer um IC ara µ ao ível de 5%. Como a oulação é aroimadamete ormal, tem distribuição ormal. Usamos ara N o fator de correção N 1 ara oulações fiitas e amostragem sem reosição. Os dados são: N=1000, σ = 400, = 5, = 130, α = 5% N ,95 N z z 1,96 47,5% P (150 1,96\[3,95] < µ <150 1,96 [3,95] ) = 0,95 P (14,5 < µ < 157,75) = 0,95 ou IC ( µ, 95%) = (14,5 ; 157,75) 10

12 1..3) De uma oulação ormal com σ = 5 retiramos uma amostra de 50 elemetos e obtemos = 4. a) Fazer um IC ara a média ao ível de 5%? b) Qual o erro de estimação ao ível de 5%? c) Para que o erro seja 1, com robabilidade de acerto de 95%, qual deverá ser o tamaho da amostra? a) Dados do roblema = 50; σ = 5 ; = 4 e α = 5% z z 1,96 47,5% ,71 P (4 1,96 [0,71] < µ < 4 + 1,96 [0,71]) = 0,95 P (4 1,39 < µ < 4 + 1,39) = 0,95 P (40,61 < µ < 43,39) = 0,95 b) Como: E e z E z. 1,96 (0,71) 1,39 c) Se P (E 1) = 0,95 =? Como descohecemos, z z 1,96 47,5% 1,96 1 1,96 5 9,8 96,04 96 elemetos Logo se tomarmos uma amostra de o míimo 96 elemetos, teremos 95% de cofiaça de que o erro será o máimo 1. 11

13 Uidade 3 Itervalos de Cofiaça ara Proorções 1. Itrodução Cosidere uma amostra grade quado > 30. Precisamos costruir IC ara arâmetro de oulações ão ormais, com distribuições biomiais, de Poisso, de freqüêcias relativas, logo, de distribuições aroimadamete ormais ou etão de oulações ormais com variâcias descohecidas. Nessas codições odemos costruir aroimadamete o IC ara o arâmetro seguido o modelo de IC ara médias de oulações ormais com médias descohecidas. Lembrado que oulacioal é cohecida q P N, ou : N 0,1 assitoticamete. tem distribuição Para costruirmos o IC ara descohecida, determiamos 0 a amostra e cosideramos:. q 0 0 Logo ao ível α de sigificâcia, P z z 1 Sedo: 0 0 z P z 1 e desevolvedo como foi feito ara a média chegamos a formula do IC ara a roorção oulacioal, P 0 z. 0 z. 1 ou IC, 1 % 1, 1

14 1. Eemlos de Alicação: 1..1) Retiramos de uma oulação uma amostra de 100 elemetos e ecotramos 0 sucessos. Ao ível de 1% costruir um IC ara a roorção real de sucessos a oulação. Dados: = 100 = 0 = º. de sucessos a amostra α = 1% z 0 0, e q 0, ,5% 0, 0,8 0, z,57 0,5% 99% 0,5% -z α z α z P (0,,57 [0,04] 0, +,57 [0,04]) = 0,99 P (0, 0,108 0, + 0,108) =0,99 P (0,097 0,308) = 0,99 P (9,7% 30,8% ) = 0,99 IC (, 99%) = [9,7% ; 30,8%] Portato corremos um risco de 1% de que a verdadeira roorção oulacioal erteça ao IC dado ateriormete ou etão ossa cofiaça de que erteça ao IC determiado é de 99%. 13

15 1..) Para estiar a orcetagem de aluos de um curso favoráveis a modificação do currículo escolar torou-se uma amostra de 100 aluos dos quais 80 foram favoráveis. a) Fazer um IC ara a roorção de todos os aluos do curso favoráveis a modificação ao ível de 4%? b) Qual o valor do erro de estimação cometido o item aterior? Dados do roblema: = 100 = 80 = º. de aluos favoráveis a modificação α = 4% a) P z 80 0,80 q 0, z 48% q,05 0,8(0, ) 100 0,04 % 96% % -z α z α z P(0,8,05 [0,04] 0,80 +,05 [0,04] ) = 0,96 P (0,8 0,08 0,80 + 0,08) = 0,96 P (0,7180 0,88) = 0,96 P (71,80% 88,%) = 0,96 IC (, 96%) = [71,8% ; 88,%] Temos uma cofiaça de 96% que de 71,86% a 88,% dos aluos do curso serão favoráveis a modificação curricular. 14

16 b) 0 Z Z e Z. e,50 0,04 0,08 e 8,% e O erro de estimação cometido o item aterior é de 8,% ara 96% de cofiaça e uma amostra de 100 aluos. 1..3) Uma votação realizada etre 400 eleitores escolhidos ao acaso, detre todos os eleitores de um determiado distrito idicou que 55% deles são a favor do cadidato A. Determiar os limites de cofiaça de 99% ara a roorção de todos os eleitores do distrito favoráveis ao cadidato A. = 400 α = 1% 0,55 q 0, ,55 0, , 049 Z P P P Z 49,5%,57 0,55,57 0,49 0,55,57 0,49 0,99 0,55 0,064 0,55 0,064 0,99 0,48,6% 61,4% 0,99 ou IC, 99% 48,6% ; 61,4% Se o úmero de eleitores desse distrito fosse de essoas, qual seria a votação do cadidato A? 15

17 48,58% de = votos 61,4% de = votos O cadidato A oderia eserar um míimo de votos a um máimo de votos, com 99% de cofiabilidade. 1..4)Uma orgaização uiversitária deseja estimar a orcetagem de estudates que são favoráveis a uma ova costituição ara o coro docete. Ela selecioa uma amostra de 00 estudates, aleatoriamete, e costata que 10 são favoráveis a esta ova costituição. a) Fazer um IC ara, a verdadeira orcetagem com estudates favoráveis a oulação ao ível de 1%. b) Qual deverá ser o tamaho da amostra ara se ter um erro de o máimo 5% com robabilidade de 99% estar certo. a) ,6 00 q 0,8 z,57 0 q 0,60,4 00 0,495 0,035 P 0z 0z 1 P P 0,6 (,570,035) 0,6 (,570,035) 99% 0,60,090 0,60,090 99% IC, 99% 0,510; 0,69 51%; 69% b) e = 0,05 q e z e z 0,4 0,6 0,05,57,5 0,40, ,05 16

18 EXERCICIOS 1) De uma oulação ormal com arâmetros descohecidos, tiramos uma amostra de tamaho 100, obtedo 11 e S 11. ) A altura dos homes de uma cidade areseta distribuição ormal. Para estimar a altura média dessa oulação levatou-se uma amostra de 150 essoas. Obtedo-se i cm e i cm. i1 i1 A ível de %, determiar um IC ara a altura média dos homes da cidade. 3) De uma oulação ormal com 16, levatou-se uma amostra obtedo-se as observações: 10, 5, 10,15. Determiar a ível de 13% um IC ara a média da oulação. 17

19 4) Dada uma oulação ormal com VAR() = 3, levatou-se uma amostra de elemetos tal que de 1%. 4 i1 i 0,8. Costruir um IC ara a verdadeira média oulacioal µ ao ível 1) A eeriêcia com trabalhadores de certa idústria idica que o temo ecessário ara que um trabalhador, aleatoriamete selecioado, realize uma tarefa é distribuído de maeira aroimadamete ormal com desvio adrão de 1 miutos. Uma amostra de 5 trabalhadores foreceu 140mi. Determiar os limites de cofiaça de 95% ara a média µ da oulação de todos os trabalhadores que fazem aquele serviço. ) Em uma liha de rodução de certa eça mecâica, colheu-se uma amostra de 100 ites costatado-se que 4 eças eram defeituosas. Costruir o IC ara a roorção P das eças defeituosas ao ível de 10%. 18

20 3) Em uma esquisa de oiião etre 600 essoas esquisadas, 40 resoderam sim a determiada erguta. Estimar a orcetagem de essoas com essa mesma oiião a oulação, dado um itervalo de 95% de cofiabilidade. 4) Uma votação realizada etre 400 eleitores escolhidos ao acaso, detre todos os eleitores de um determiado distrito idicou que 55% deles são a favor do cadidato A. Determiar os limites de cofiaça de 99% ara a roorção de todos os eleitores do distrito favoráveis ao cadidato A. 5) Uma fábrica de eças esecifica em suas embalages que a roorção de defeitos é de 4%. Um cliete dessa fábrica isecioa uma amostra de 00 eças e costata que 1 são defeituosas. Baseado esses dados em quatas amostras o cliete ecotraria uma roorção de defeitos maior que o esecificado elo fabricate? 6) Uma amostra aleatória de 80 otas de matemática de uma oulação com distribuição ormal de 5000 otas areseta média de 5,5 e desvio adrão de 1,5. a. Quais os limites de cofiaça de 95% ara a média das 5000 otas? b. Com que grau de cofiaça diríamos que a média das otas é maior que 5,0 e meor que 6,0. 19

21 7) Uma loja tem os valores de suas vedas diárias distribuídas ormalmete com desvio adrão $530,00. O gerete da loja, quado iquirido elo doo afirmou veder em média $34.70,00. Posteriormete levatou-se uma amostra de 10 valores das vedas de determiado dia obtedo-se uma média de $34.314,00. a. Costruir um IC ara a veda média diária a ível de 5%. b. Costruir um IC ara a veda média diária a ível de 1%. 8) Uma fábrica de eças esecifica em suas embalages que a roorção de defeitos é de 4%. Um cliete dessa fábrica isecioa uma amostra de 00 eças e costata que 1 são defeituosas. Baseado esses dados em quatas amostras o cliete ecotraria uma roorção de defeitos maior que o esecificado elo fabricate? 9) Uma amostra aleatória de 80 otas de matemática de uma oulação com distribuição ormal de 5000 otas areseta média de 5,5 e desvio adrão de 1,5. a. Quais os limites de cofiaça de 95% ara a média das 5000 otas? b. Com que grau de cofiaça diríamos que a média das otas é maior que 5,0 e meor que 6,0. 10) Uma loja tem os valores de suas vedas diárias distribuídas ormalmete com desvio adrão $530,00. O gerete da loja, quado iquirido elo doo afirmou veder em média $34.70,00. Posteriormete levatou-se uma amostra de 10 valores das vedas de determiado dia obtedo-se uma média de $34.314,00. a. Costruir um IC ara a veda média diária a ível de 5%. b. Costruir um IC ara a veda média diária a ível de 1%. 0

22 11) Que tamaho de amostra seria ecessário retirar de uma oulação ormal com σ = 1, a fim de estimar a duração média de uma tarefa em miutos, com um erro de o máimo miutos e com robabilidade de 95% de estar correto? 16) Uma orgaização uiversitária deseja estimar a orcetagem de estudates que são favoráveis a uma ova costituição ara o coro docete. Ela selecioa uma amostra de 00 estudates, aleatoriamete, e costata que 10 são favoráveis a esta ova costituição. a) Fazer um IC ara, a verdadeira orcetagem com estudates favoráveis a oulação ao ível de 1%. b) Qual deverá ser o tamaho da amostra ara se ter um erro de o máimo 5% com robabilidade de 99% estar certo. a) 1

23 EXERCÍCIOS PROPOSTOS INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA MEDIAS ; P t ˆ t ˆ P z z N ; ˆ N1 s N N1 ; 1) Numa tetativa de melhorar o esquema de atedimeto, um médico rocurou estimar o temo médio que gasta com cada aciete. Uma amostra aleatória de 49 acietes, colhida um eríodo de três semaas, acusou uma média de 30 mi, com desvio adrão de 7 mi. a) Costrua um itervalo de 95% de cofiaça ara o verdadeiro temo médio de cosulta b) Qual é o erro rovável máimo associado à sua estimativa a arte a? c) Qual é a robabilidade de a verdadeira média eceder 33 mi? ) Solicitou-se a 100 estudates de um colégio que aotassem suas desesas com alimetação e bebidas o eríodo de uma semaa. Há 500 estudates o colégio. O resultado foi uma desesa média de $ 40 com um desvio adrão de $ 10. Costrua um itervalo de 95% de cofiaça ara a verdadeira média. 3) Procurado dimesioar a ajuda de custo ara seus 50 vededores, uma emresa acomahou os gastos de 15 vededores e verificou uma desesa média de 0 u.m. (uidades moetárias). Se a emresa acredita que o desvio-adrão ara o gasto é de u.m., determie um itervalo de cofiaça de 93% ara o gasto médio dos vededores. 4) Uma amostra iloto de 10 elemetos, que foi retirada de uma oulação de 106 elemetos, foreceu desvio de,4 uidades. Qual deve ser o tamaho de uma amostra ara que a estimativa da média oulacioal, foreça um erro de estimativa de 1, uidades ao ível de cofiaça de 98%? 5) Que tamaho de amostra será ecessário ara roduzir um itervalo de 90% de cofiaça ara a verdadeira média oulacioal, com erro de 1,0 em qualquer dos setidos, se o desvio adrão da oulação é de 10,0? 6) Uma amostra de 107 idivíduos de determiada rofissão mostrou reda média de R$ 859,00. Sabe-se que o desvio adrão oulacioal é de R$ 5,00. Costrua um itervalo de 96% de cofiaça ara a reda média dos idivíduos dessa rofissão. 7) Uma amostra aleatória de 40 cotas ão comerciais a filial de um baco acusou saldo médio diário de $140. Sabe-se que o desvio adrão da oulação é de $30. Costrua um itervalo de 99% de cofiaça ara a verdadeira média. 8) Uma fábrica roduz válvulas cuja vida útil tem desvio adrão de 100 horas. Uma amostra de 40 válvulas revelou vida média de horas. Costrua um itervalo de 94% de cofiaça ara a vida média de todas as válvulas roduzidas ela fábrica.

24 9) Tomou-se uma amostra de 5 criaças de 11 aos e verificou-se que a altura média era de 1,50m, com desvio adrão de 5 cm. Costrua um itervalo de 98% de cofiaça ara a altura média de criaças de 11 aos. 10) Uma amostra de 5 famílias de certa região revelou reda familiar mesal média de R$ 55,00, com desvio adrão de R$ 5,00. Costrua um itervalo de 90% de cofiaça ara a reda familiar mesal média da região. 11) Um ortodetista rocurou estimar o temo médio que gasta com cada aciete. Uma amostra aleatória de 19 acietes acusou uma média de meia hora, com desvio adrão de 7 miutos. Costrua um itervalo de 95% de cofiaça ara o verdadeiro temo médio de cosulta. 1) Determie o úmero de observações ecessário ara estimar o temo médio de serviço de atedimeto a chamadas de um bombeiro hidráulico, se o erro máimo deve ser de 0,6 hora ara um ível de cofiaça de 95%, sabedo-se que o temo de atedimeto tem uma distribuição ormal de desvio adrão 1 hora. 13) Qual o tamaho de amostra ecessário ara estimar o temo médio que o vededor de uma loja de móveis gasta com cada cliete, a meos de miutos, ara obter um ível de cofiaça de 99%? Suoha = 1 miutos. 14) Qual o tamaho de amostra ecessário ara estimar a média de idade de uma oulação de imigrates com 9% de cofiaça, sabedo que o desvio adrão oulacioal é de 1 ao e o erro máimo é de 0,05? 15) No eercício 9), qual o erro máimo que oderá ser cometido se for usada uma amostra de 60 idivíduos? 16) Uma firma emrega 00 vededores. Numa amostra de 5, a desesa mesal média com combustível foi de $ 0,00, com desvio adrão de $ 0,00. Costrua um itervalo de 99% de cofiaça ara a desesa mesal com combustível. 17) De uma oulação ormal com arâmetros descohecidos, tiramos uma amostra de tamaho 100, obtedo 11 e S 11. Fazer um IC ara µ ao ível α =10%. 18) A altura dos homes de uma cidade areseta distribuição ormal. Para estimar a altura média dessa oulação levatou-se uma amostra de 150 essoas obtedo-se média 17 cm e variâcia de 16,61. Ao ível α = %, determiar um IC ara a altura média dos homes da cidade. 19) De uma oulação ormal com 16 observações: 10, 5, 10,15. Determiar a um ível α = 13% um IC ara a média da oulação., levatou-se uma amostra obtedo-se as 0) Dada uma oulação ormal com VAR() = 3, levatou-se uma amostra de elemetos tal que a média é 0,. Costruir um IC ara a verdadeira média oulacioal µ ao ível de 1%. 3

25 1) A eeriêcia com trabalhadores de certa idústria idica que o temo ecessário ara que um trabalhador, aleatoriamete selecioado, realize uma tarefa é distribuído de maeira aroimadamete ormal com desvio adrão de 1 miutos. Uma amostra de 5 trabalhadores 140mi. foreceu Determiar os limites de cofiaça de 95% ara a média µ da oulação de todos os trabalhadores que fazem aquele serviço. ) Que tamaho de amostra seria ecessário retirar de uma oulação ormal com σ = 1, a fim de estimar a duração média de uma tarefa em miutos, com um erro de o máimo miutos e com robabilidade de 95% de estar correto? 3) Registraram-se os valores de 0,8; 0,30; 0,7; 0,33; e 0,31 segudos, obtidos em 5 medições de temo de reação de um idivíduo a certo estímulo. Sabe-se que os idivíduos com alta sesibilidade visual o temo de reação são meores ou iguais a 0,30 segudos. Calcule o itervalo de cofiaça com 95% de cofiaça e verifique se o idivíduo em questão ode ser cosiderado como de alta sesibilidade visual? 4) O deartameto de essoal de uma grade emresa gostaria de calcular as desesas odotológicas familiares de seus emregados, ara defiir se é ossível oferecer-lhes um lao de seguro odotológico. Uma amostra aleatória de 10 emregados revela as seguites desesas odotológicas familiares ( em dólares) corresodetes ao ao aterior: 110, 36, 46, 85, 510, 08, 173, 45, 316, 179. Obteha o itervalo de cofiaça da média com coeficiete de cofiaça de 90%. 5) Um gerete de vedas deseja saber qual o valor médio dos edidos feitos em determiado ao. a) Etraiu-se uma amostra de 15 edidos, ecotrado-se média de $35,00 e desvio adrão de $5,00, costrua um itervalo de cofiaça de 99% ara a verdadeira média. b) Qual deveria ser o tamaho da amostra de edidos se: o erro amostral ão fosse suerior a 0,0 da verdadeira média; o ível de cofiaça desejado fosse de 99%; e o desvio adrão da oulação em que se baseia a eeriêcia fosse estimado em 0,80? 6) De uma distribuição ormal com variâcia,5 obteve-se a seguite amostra: 7,5; 5,6; 8,; 6,1; 5,0. Determiar o itervalo de cofiaça ara a média oulacioal com coeficiete de cofiaça de 95%. 7) Um cojuto, comosto or 1 aimais em eeriêcia, foi alimetado com uma dieta esecial durate certo temo e verificou-se que os aumetos de eso foram: 30,, 3, 6, 4, 49, 34, 36, 3, 33, 8, 30. Ecotrar os limites de cofiaça ara a média, ao ível de cofiaça de 90%. 8) Suohamos que se reteda estimar a reda média or família uma grade cidade. Com base em iformações assadas, admite-se que o desvio adrão das redas das famílias é de R$.000,00. Qual deve ser o tamaho da amostra, a fim de que o erro de estimativa da reda média seja o máimo de R$ 100,00, com robabilidade igual a 96%? 4

26 INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA PROPORÇOES P z z. 1 N N 1 1) Em recete esquisa levada a efeito juto a 00 habitates de uma grade cidade, 40 se mostraram favoráveis a ea de morte. Costrua um itervalo de 99 % de cofiaça ara a verdadeira roorção dos habitates daquela cidade favoráveis à ea. ) Uma amostra aleatória de 100 fregueses da arte da mahã de um suermercado revelou que aeas 10 ão icluem leite em suas comras. a) Qual seria a estimativa otual da ercetagem dos que comram leite? b) Costrua um itervalo de 90 % de cofiaça ara a verdadeira roorção dos que comram leite. 3) Um gruo de esquisa de mercado costatou que 5 % dos 00 fregueses recetemete etrevistados um grade shoig ceter residem a mais de 15 milhas do local. a) Costrua um itervalo de 95 % de cofiaça ara a ercetagem efetiva de fregueses que moram a mais de 15 milhas do shoig ceter 4) Qual o tamaho da amostra ecessário ara obter um itervalo de 95 % de cofiaça ara a roorção oulacioal, se o erro tolerável é de 0,08? 5) Um istituto de esquisa retede avaliar a roorção de eleitores que votarão um determiado cadidato, com 91% de cofiaça de que ão errará or mais que 3%. Para isto, levatou uma ré-amostra de 100 eleitores selecioados ao acaso a oulação. A roorção de eleitores deste cadidato foi de 0%. Determie o tamaho da amostra ecessário ara atigir a recisão desejada. 6) Uma outra esquisa eleitoral feita com 00 eleitores mostrou que 38% deles retedem votar o cadidato de determiado artido. Costrua um itervalo de 93% de cofiaça ara a roorção de eleitores que retedem votar esse cadidato. 7) Uma amostra aleatória de 500 doas de casa revelou que 375 delas referem certa marca de sabão em ó. Costrua um itervalo de 96% de cofiaça ara a roorção de doas de casa que referem a marca de sabão em ó. 8) Suoha que estejamos iteressados em estimar a orcetagem de cosumidores de certo roduto. Se uma amostra de tamaho 300 foreceu 100 idivíduos que cosomem o roduto, determie: 5

27 a) o itervalo de 95% de cofiaça ara a roorção de idivíduos que cosomem o roduto. b) o tamaho da amostra ara que o erro da estimativa ão ultraasse 0,0, com 95% de cofiaça. 9) Ates de uma eleição, certo artido está iteressado em estimar a roorção de eleitores favoráveis a seu cadidato. Uma amostra iloto de tamaho 100 revelou que 60% dos eleitores eram favoráveis ao cadidato em questão. a) Determie o tamaho de amostra ecessário ara que o erro cometido a estimativa seja de o máimo 0,01, com 80% de cofiaça. b) Se, a amostra fial, com o tamaho de amostra obtido em a), observou-se que 55% dos eleitores eram favoráveis ao cadidato, costrua um itervalo de 94% de cofiaça ara a roorção. 10) Qual o erro máimo que ode ser cometido ara estimar a roorção de idivíduos de certa oulação com reda suerior a 10 salários míimos, com 98% de cofiaça, se uma amostra de 00 idivíduos 50 têm reda suerior a 10 salários míimos? 11) Qual o tamaho de amostra ecessário ara estimar a roorção de cosumidores que cosomem determiada marca de chocolate, com cofiaça de 91%, se o erro ão ode ultraassar 0,01? Imagia-se que a roorção amostral de cosumidores desta marca de chocolate seja de 45%. 1) Um fabricate de flashes deseja estimar a robabilidade de um flash fucioar. Como se trata de um teste destrutivo, ele deseja mater o tamaho da amostra o meor ossível. Determie o úmero de observações que devem ser feitas ara estimar a robabilidade a meos de 0,04 com 95% de cofiaça se ele crê que a orcetagem de defeituosos ão suere 6%. 13) Qual o tamaho de amostra que o deartameto de trâsito de uma grade cidade deve tomar ara estimar a ercetagem de arquímetros defeituosos, se o objetivo é ter 95% de cofiaça de ão errar or mais de 10%? Com base em eeriêcia assada, a ercetagem de arquímetros defeituosos é estimada em 0%. 14) De um gruo de 0 secretárias de uma grade firma de advocacia, escolhidas aleatoriamete, 5 ão se mostraram satisfeitas com o trabalho que vêm eecutado. Há 50 secretárias emregadas a firma. Costrua um itervalo de 90% de cofiaça ara a roorção de secretárias isatisfeitas. 15) Em uma liha de rodução de certa eça mecâica, colheu-se uma amostra de 100 ites costatado-se que 4 eças eram defeituosas. Costruir o IC ara a roorção P das eças defeituosas ao ível de 10%. 16) Em uma esquisa de oiião etre 600 essoas esquisadas, 40 resoderam sim a determiada erguta. Estimar a orcetagem de essoas com essa mesma oiião a oulação, dado um itervalo de 95% de cofiabilidade. 17) Uma votação realizada etre 400 eleitores escolhidos ao acaso, detre todos os eleitores de um determiado distrito idicou que 55% deles são a favor do cadidato A. Determiar os limites de 6

28 cofiaça de 99% ara a roorção de todos os eleitores do distrito favoráveis ao cadidato A. Se o úmero de eleitores desse distrito fosse de essoas, qual seria a votação do cadidato A? 18) Uma fábrica de eças esecifica em suas embalages que a roorção de defeitos é de 4%. Um cliete dessa fábrica isecioa uma amostra de 00 eças e costata que 1 são defeituosas. Baseado esses dados em quatas amostras o cliete ecotraria uma roorção de defeitos maior que o esecificado elo fabricate com 99% de cofiaça? 19) Uma amostra aleatória de 80 otas de matemática de uma oulação com distribuição ormal de 5000 otas areseta média de 5,5 e desvio adrão de 1,5. a) Quais os limites de cofiaça de 95% ara a média das 5000 otas? b) Com que grau de cofiaça diríamos que a média das otas é maior que 5,0 e meor que 6,0. 0) Uma loja tem os valores de suas vedas diárias distribuídas ormalmete com desvio adrão $530,00. O gerete da loja, quado iquirido elo doo afirmou veder em média $34.70,00. Posteriormete levatou-se uma amostra de 10 valores das vedas de determiado dia obtedo-se uma média de $34.314,00. a) Costruir um IC ara a veda média diária a ível de 5%. b) Costruir um IC ara a veda média diária a ível de 1%. 1) Uma fábrica de eças esecifica em suas embalages que a roorção de defeitos é de 4%. Um cliete dessa fábrica isecioa uma amostra de 00 eças e costata que 1 são defeituosas. Baseado esses dados em quatas amostras o cliete ecotraria uma roorção de defeitos maior que o esecificado elo fabricate com 99% de cofiaça? ) Uma orgaização uiversitária deseja estimar a orcetagem de estudates que são favoráveis a uma ova costituição ara o coro docete. Ela selecioa uma amostra de 00 estudates, aleatoriamete, e costata que 10 são favoráveis a esta ova costituição. a) Fazer um IC ara, a verdadeira orcetagem com estudates favoráveis a oulação ao ível de 1%. b) Qual deverá ser o tamaho da amostra ara se ter um erro de o máimo 5% com robabilidade de 99% estar certo. 3) Um cadidato a deutado estadual afirma que terá 65% dos votos dos eleitores de uma cidade. Um Istituto de Pesquisa colhe uma amostra de 300 eleitores dessa cidade, ecotrado 160 que votarão o cadidato. Obteha o itervalo de cofiaça com 98% de cofiaça e verifique se a afirmação do cadidato é válido? 4) Uma amostra aleatória de 65 doas de casa revela que 70% delas referem a marca A de detergete. Costruir o itervalo de cofiaça ara roorção de doas de casa que referem a marca A? Use coeficiete de cofiaça de 90%. 7

29 ESTIMAÇÃO DE VARIÂNCIAS P e e 1 e 1s 1 s, e 1 su if 1) Determie o ível 99%, o itervalo de cofiaça ara o desvio-adrão da oulação em que foi retirada uma amostra de 30 elemetos com 477,7 de variâcia. ) Qual o itervalo de cofiaça que coterá com 90% a verdadeira variâcia de uma oulação ormal que resultou desvio-adrão de 15,61 de uma amostra de 30 elemetos? 3) Suoha que uma amostra de tamaho 5 teha forecido um desvio de 6 uidades. Costrua um itervalo de cofiaça de 95% ara a verdadeira variâcia oulacioal. 4) O desvio adrão das durações de uma amostra de 0 lâmadas elétricas foi de 100 horas. Costrua um itervalo de 90% de cofiaça ara a variâcia da duração das lâmadas. 5) O desvio adrão das tesões de rutura de 10 cabos esaiados or uma comahia foi de 180 kg. Costrua um itervalo de 98% de cofiaça ara a variâcia da tesão de rutura dos cabos. 6) Para um roduto articular, o desvio adrão das vedas auais foi de $ 00, com base uma amostra de 16 estabelecimetos. Costrua um itervalo de 95% de cofiaça ara o desvio adrão das vedas auais. 8

30 RESPOSTAS Itervalos de Cofiaça de Médias 1) a) 8,4 31,96 b) e = 1,96 c) 0,0013 ) 38,5 41,75 3) 19,1 0,79 4) ~5 5) ~73 6) 854,0 863,98 7) 17,76 15,4 8) 970,1 109,88 9) 141,6 158,38 10) 516,44 533,56 11) 6,63 33,37 1) 11 13) 40 14) ) 0,07 16) 10,16 9,84 17) 110,0 113,80 18) 171, 17,77 19) 4,98 11,0 0),03,43 1) 135,3 144,7 ) 38 3) 0,68 0,38, ada se ode afirmar quato a alta sesibilidade visual. 4) 180,9 341,9 5) a) 31,16 38,84 b) 107 6) 5,17 7,79 7) 7,74 34,93 8)

31 Itervalos de Cofiaça de Proorções 1) 0,13 07 ) a) 0,9 b) 0,85 0,95 3) 0, ) 148 5) 533 6) 0,3 0,44 7) 0,71 0,79 8) a) 0,8 0,38 b) 14 9) a) 3994 b) 0,54 0,56 10) 0,07 11) ) ) 6 14) 0,1 0,38 15) 0,0079 0,071 16) 0,3608 0,439 17) 0,4860 0, e votos 18) 0,0160 0, ) 0,0160 0,1040 a) 5,3 5,77 b) 99,97% 0) a) ,50 e 34.64,49 b) ,6 e ,73 1) 176 ) a) 0,51 0,69 b) 600 3) 0,466 0,600, a afirmação do cadidato ão é válida com 98% de cofiaça. 4) 0,67 0,73 1) 16,7 3,49 ) 166,05 399,05 3) 1,95 69,67 4) 6303, ,70 5) 13456, ,53 6) 147,74 309,59 Estimação de variâcias 30

32 31

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