PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ECV

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1 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ECV DISCIPLINA: TGT FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA 7ª AULA: AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Iiciamos a aula com a rearesetação das defiições de: Poulação cojuto de todos os elemetos de iteresse em um estudo. Amostra é um subcojuto da oulação. Características uméricas da oulação: média ( ) e desvio adrão ( ), além da roorção (). Características uméricas da amostra: média ( ) e desvio adrão (s), além da roorção amostral ( ). Imortate é o etedimeto de que os resultados da amostra forecem aeas estimativas dos valores das características da oulação. E qual a cofiaça que as estimativas resultem em bos resultados? A técica de amostragem e o cohecimeto da distribuição amostral aroriada os ermitem resoder a esta questão. AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES A defiição de amostra aleatória simles e o rocesso de seleção de uma amostra aleatória simles deedem de a oulação ser fiita ou ifiita. 1. POPULAÇÃO FINITA uma amostra aleatória simles de tamaho de uma oulação fiita de tamaho N é uma amostra selecioada de tal maeira que cada amostra ossível de tamaho teha a mesma robabilidade de ser escolhida. Em geral, ara selecioarmos amostras aleatórias simles de uma

2 oulação fiita, fazemos uso da tabela de úmeros aleatórios. Verificar o uso dos úmeros aleatórios em um eemlo. Tabela de ºs aleatórios (com 5 dígitos) Da esquerda ara a direita os sete rimeiros úmeros aleatórios de 4 dígitos são: Da esquerda ara a direita os cico rimeiros úmeros aleatórios de 2 dígitos são: e assim or diate. 2. POPULAÇÃO INFINITA - eistem casos em que a oulação é ifiita ou tão grade que, ara fis ráticos, recisa ser tratada como ifiita. Como eemlo, suoha um restaurate de fastfood; o rocesso cotíuo de visitas de clietes ao restaurate ode ser visto como roveiete de uma oulação ifiita. Uma amostra aleatória simles de uma oulação ifiita é uma amostra selecioada de tal maeira que as codições a seguir sejam satisfeitas: - cada elemeto selecioado vem dessa oulação; - cada elemeto é selecioado de maeira ideedete. CUIDADO!!!! Retorado ao eemlo do restaurate de fast-food. Qualquer cliete que etre o restaurate satisfaz a rimeira codição. O objetivo da seguda codição é evitar que ocorra um viés a seleção. Ocorreria um viés de seleção se, or eemlo, cico clietes cosecutivos selecioados fossem, todos, amigos etre si que chegassem juto ao restaurate. Poder-se-ia eserar que esses clietes aresetassem erfis semelhates. O viés deve ser evitado assegurado-se que cada cliete seja selecioado de forma ideedete, ou seja, que a escolha de um cliete em articular ão iflua a escolha de outro cliete qualquer. O McDoald s, líder mudial o ramo de restaurates fast-food imlemetou um sistema de amostragem aleatória simles eatamete ara esse tio de situação: algus clietes do McDoald s aresetavam cuos de descoto. Toda vez que a emresa quisesse que o cliete aresetasse cuo de descotos, o cliete era servido e, em seguida, solicitado a reecher um questioário de erfil do cliete. Poulações ifiitas frequetemete estão associadas a rocessos iiterrutos que oeram cotiuamete ao logo do temo. Por

3 eemlo: eças que são maufaturadas em uma liha de rodução; trasações fiaceiras que ocorrem em um baco; as chamadas telefôicas que chegam a um cetro de suorte técico; clietes que etram uma loja; etc. NOTA O úmero de diferetes amostras aleatórias simles de tamaho que odem ser selecioadas de uma oulação ifiita de tamaho N é EXERCÍCIOS C N N!!( N )! 1. Cosidere que uma oulação fiita teha 350 elemetos. Usado os três últimos dígitos de cada um dos seguites úmeros aleatórios de cico dígitos aresetados a seguir, determie os quatro rimeiros elemetos que serão selecioados ara a amostra aleatória simles. Nºs aleatórios de cico dígitos: Resosta: O tamaho da amostra é: = 4; usar os três últimos dígitos dos ºs aleatórios acima ara selecioar os quatro elemetos que farão arte da amostra. Observe que o tamaho da oulação é N = 350; ortato, somete ºs aleatórios 350 serão cosiderados. Assim, os ºs selecioados são: Os dez títulos fiaceiros mais ativos as Bolsas de New York (Nyse), Nasdaq e America (Ame) com caitalização de mercado acima de US$ 500 milhões são os seguites: 1) Alied Material 2) Cisco Systems 3) Itel 4) Lucet Techologies 5) Microsoft 6) Nasdaq 100 7) Netel 8) Oracle 9) SPDR 10) Su Microsystems a) suoha que uma amostra aleatória de cico títulos fiaceiros seja selecioada ara um estudo detalhado do comortameto dos egócios. Iiciado com o rimeiro dígito aleatório da tabela de ºs aleatórios com 5 dígitos e ledo a colua de cima ara baio, use os ºs aleatórios de um úico dígito aleatório ara selecioar uma amostra aleatória simles de 5 títulos fiaceiros a serem usados esse estudo; b) de acordo com a Nota acima, quatas amostras aleatórias simles de tamaho 5 odem ser selecioadas da lista de dez títulos

4 fiaceiros? Resosta: a) Nasdaq; Oracle; Microsoft; Lucet; Alied b) Devemos calcular a combiação de N = 10 e = ! 10! C !(10 5)! 5!.5! amostras. 3. Idique se as oulações a seguir devem ser cosideradas fiitas ou ifiitas: a) Todos os eleitores iscritos do estado de Sata Cataria. b) Todos os aarelhos de televisão que oderiam ser roduzidos elo arque idustrial de Maaus. c) Todos os edidos que oderiam ser rocessados or uma emresa de ecomeda ostal. d) Todas as chamadas telefôicas de emergêcias que oderiam ser feitas a uma delegacia de olícia local. e) Todos os comoetes que a Itelbras roduziu o segudo turo de trabalho o dia 17 de maio de A relação a seguir areseta os 25 melhores times de futebol americao da temorada Use a oa colua dos úmeros aleatórios que se iicia com ara selecioar uma amostra aleatória simles de seis times de futebol. Use os dois rimeiros dígitos de cada liha da oa colua ara realizar o seu rocesso de seleção. Quais os times selecioados? 1.Ohio 6. Kasas 11. Carolia 16.Aubur 21. Colorado 2. Miami 7. Teas 12. Boise Ste 17.NDame 22. TCU 3. Georgia 8. Iowa 13. Marylad 18.Pittsburg 23. Florida Ste 4. Califoria 9. Michiga 14. VTech 19.Marshall 24. Florida 5. Oklahoma 10. WSte 15. Pe Ste 20.WVirgiia 25. Virgiia 5. Cosidere uma oulação fiita com cico elemetos rotulados A, B, C, D e E. Dez ossíveis amostras aleatórias simles de tamaho 2 odem ser selecioadas. a) relacioe as dez amostras, iiciado com AB, AC e assim or diate. b) usado a amostragem aleatória simles, qual é a robabilidade de cada amostra de tamaho 2 ser selecioada? c) cosidere que o úmero aleatório 1 corresode a A, o úmero aleatório 2 corresode a B e assim or diate. Relacioe a amostra aleatória simles de tamaho 2 que será selecioada usado-se os dígitos aleatórios

5 ESTIMAÇÃO POR PONTO Para estimar o valor do arâmetro de uma oulação calculamos uma característica corresodete da amostra, deomiada estatística amostral. Como eemlo, ara estimar a média (µ) e o desvio adrão (σ) de uma oulação calculamos as estatísticas amostrais corresodetes: a média amostral ( ) e o desvio adrão amostral (s). Podemos aida estimar a roorção () da oulação usado a roorção amostral ( ). Relembrado, as eressões ara o cálculo são: i s ( i ) 2 1 Ao realizar os cálculos utilizado as eressões acima, eecutamos o rocedimeto estatístico deomiado estimação or oto. A média amostral ( ) é a estimação or oto da média oulacioal (µ); o desvio adrão amostral (s) é o estimador or oto do desvio adrão oulacioal (σ) e, a roorção amostral ( ) é o estimador or oto da roorção () da oulação. É de se eserar que a estimação or oto difira bastate dos arâmetros oulacioais corresodetes. Essa difereça (veremos um eercício) deve ser eserada orque é usada uma amostra e ão um ceso de toda a oulação ara desevolver a estimação or oto. Alicação: Uma erguta de uma esquisa realizada com uma amostra de 150 idivíduos roduziu 75 resostas Sim, 55 resostas Não e 20 resostas Sem oiião. a) qual é a estimação or oto da roorção da oulação que resodeu Sim? b) qual é a estimação or oto da roorção da oulação que resodeu Não? a) b) 75 0, ,37 150

6 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Vamos fudametar osso estudo a reseito da distribuição amostral, usado um eemlo real. O diretor de essoal da Electroics Associates, Ic. (EAI) foi icumbido de desevolver um erfil dos 2500 geretes da emresa. As características a serem idetificadas icluem o salário médio aual dos geretes e a roorção de geretes que cocluíram o rograma de treiameto gerecial da emresa. Usado os 2500 geretes como a oulação ara esse estudo, odese ecotrar o salário médio aual e o status do rograma de treiameto de cada idivíduo cosultado os registros de essoal da emresa. Usado o cojuto de dados da EAI e as fórmulas já cohecidas, a média oulacioal e o desvio adrão corresodetes aos dados de salário aual foram comutados: Média oulacioal: US$ Desvio adrão da oulação: US$4.000 Os dados referetes ao status o rograma de treiameto mostram que 1500 geretes cocluíram o rograma de treiameto. Assim, a roorção da oulação de geretes que cocluiu o rograma de 1500 treiameto é: 0, Assim, µ = US$ , σ = US$ e arâmetros da oulação de geretes da EAI. = 0,60 são os Suoha agora que todas as iformações ecessárias sobre todos os geretes da EAI ão estivessem rotamete disoíveis o baco de dados da emresa. A questão a cosiderar agora é como o diretor de essoal da emresa ode obter estimativas dos arâmetros da oulação de geretes usado uma amostra, em vez de todos os 2500 geretes da oulação. Imagie a decisão de coletar e usar os dados referetes a uma amostra de 30 geretes. Já sabemos como fazer isso! Lembrar que, etre os 2500 geretes da emresa, 2, amostras aleatórias simles de 30 geretes da EAI odem ser obtidas. Foi, etão, selecioada uma amostra aleatória simles de 30 geretes e coletados os registros referetes ao salário aual e a

7 situação o rograma de treiameto gerecial de cada gerete selecioado. Os dados estão registrados a Tabela a seguir: Tabela: Salários auais e situação o rograma de treiameto gerecial referete a uma amostra aleatória simles de 30 geretes da EAI Salário aual Programa de Salário aual Programa de (US$) Treiameto Gerecial (US$) Treiameto Gerecial 1 = ,30 Sim 16 = ,00 Sim 2 = ,90 Sim 17 = ,30 Não 3 = ,50 Sim 18 = ,00 Sim 4 = ,90 Sim 19 = ,60 Sim 5 = ,60 Não 20 = ,00 Sim 6 = ,00 Sim 21 = ,90 Sim 7 = ,30 Sim 22 = ,00 Sim 8 = ,40 Sim 23 = ,80 Não 9 = ,70 Sim 24 = ,20 Não 10 = ,70 Sim 25 = ,60 Não 11 = ,60 Sim 26 = ,30 Não 12 = ,40 Não 27 = ,90 Não 13 = ,80 Sim 28 = ,40 Sim 14 = ,70 Não 29 = ,90 Sim 15 = ,20 Não 30 = ,10 Não As estatísticas amostrais calculadas com os dados da tabela resultaram os seguites valores: i ( ) 2 i s ,63 30 Desse modo, em relação à amostra aleatória simles de 30 geretes da EAI aresetada a Tabela, US$ é a estimação or oto de µ; US$ é a estimação or oto do desvio adrão σ, e 0,63 é a estimação or oto da roorção. Resumo das estimações or oto obtidas de uma amostra aleatória simles de 30 geretes da EAI Parâmetro Poulacioal Estimativa or oto µ = salário médio aual = salário médio aual da US$ amostra US$ σ = desvio adrão do salário s = salário médio aual da aual da oulação US$ amostra US$ = roorção da oulação que = roorção da amostra que cocluiu o PTG 0,60 cocluiu o PTG - 0,63

8 O resumo mostra claramete que a estimação or oto difere bastate dos arâmetros oulacioais corresodetes. Já sabemos a razão disso! ESTAMOS PRONTOS ara estudar o comortameto dos valores das estatísticas amostrais utilizadas a estimação dos arâmetros oulacioais. Vamos selecioar uma outra amostra aleatória simles de 30 geretes da EAI; calculamos as estimações or oto: Média da amostra: Proorção da amostra: 0,70 Observe que os valores roduzidos or essa amostra diferem da rimeira amostra. De fato, ão se ode eserar que uma seguda amostra aleatória simles de 30 geretes da EAI roduza as mesmas estimações or oto que a rimeira. Vamos reetir diversas vezes o rocesso de selecioar uma amostra aleatória simles de 30 geretes da EAI, calculado a cada vez os valores de e. A tabela a seguir cotém uma arte dos resultados obtidos ara 500 amostras aleatórias simles: Tabela: valores de e em 500 amostras aleatórias simles de 30 geretes da EAI Número da Média da amostra Proorção da amostra amostra , , , , ,50 A tabela a seguir orgaiza os dados e forece a distribuição de frequêcia e frequêcia relativa dos 500 valores de. Já defiimos uma variável aleatória como uma descrição umérica do resultado de um eerimeto. SE CONSIDERARMOS QUE O PROCESSO DE SELECIONAR UMA AMOSTRA ALEATÓRIA SIMPLES É UM EXPERIMENTO, a média amostral é uma descrição umérica do resultado do eerimeto. Desse modo, a média amostral é uma variável aleatória e, a eemlo do que ocorre

9 com qualquer variável aleatória, tem um valor médio ou eserado, um desvio adrão e uma distribuição de robabilidade. Tabela: Distribuição de frequêcia de em 500 amostras aleatórias simles de 30 geretes da EAI Salário aual médio Frequêcia Frequêcia relativa , ,99 2 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,99 6 0,012 Totais: 500 1,000 Uma vez que os diversos valores ossíveis de resultam de diferetes amostras aleatórias simles, a distribuição da robabilidade de é cohecida or distribuição amostral de. Cohecer essa distribuição amostral e suas características os ossibilitará fazer afirmações a reseito de quão róima a média da amostra está da média da oulação. As figuras a seguir sitetizam os 500 valores de e os 500 valores da roorção da amostra. A forma da distribuição dos valores já os iforma que a distribuição tem a forma de sio e isso os remete à distribuição ormal de robabilidade.

10 Assim como ocorre com, também é uma variável aleatória. O histograma de frequêcia relativa dos 500 valores da amostra os dá uma idéia da distribuição amostral de. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE A distribuição amostral de todos os valores ossíveis da média amostral. A distribuição amostral de tem um valor eserado (ou média), um desvio adrão e um formato (ou forma) característico. VALOR ESPERADO DE é a distribuição de robabilidade de O valor eserado de é a média de todos os valores ossíveis de. Assim, E( ) = µ ode µ é a média da oulação. DESVIO PADRÃO DE Para defiir o desvio adrão da distribuição amostral de, recisamos distiguir etre oulação fiita ou ifiita. Cosiderado: o desvio adrão da média amostral ; o desvio adrão da oulação; o tamaho da amostra;

11 N o tamaho da oulação; O desvio adrão de e ara oulação ifiita: ara oulação fiita é calculado or: N. N 1 N Verifica-se que o caso de oulação fiita o termo é N 1 ecessário, ois serve ara corrigir a relação etre oulação grade e tamaho da amostra relativamete equeo. Nesses casos o fator de correção ara oulações fiitas está róimo de 1 e cosequetemete a difereça etre ara oulações fiitas ou ifiitas tora-se desrezível. Diretriz geral ara o cálculo do desvio adrão da média amostral: Use a eressão Semre que: 1) a oulação for ifiita; 2) a oulação for fiita e o tamaho da amostra for meor que 5% N. do tamaho da oulação; ou seja, 0,05 Para o eemlo da EAI, temos que N = e = 30. A oulação é fiita e a relação / N = 0,012. Como o tamaho da amostra é meor que 5% do tamaho da oulação odemos igorar o fator de correção ara oulação fiita e calcular o desvio adrão da 4000 média: 730,3. 30 O desvio adrão da média amostral recebe a deomiação de erro adrão da média. O erro adrão da média vai ser útil ara determiarmos o quão distate a média amostral ode estar da média oulacioal. FORMA DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE Cosiderar dois casos: a) A oulação tem uma distribuição ormal quado a oulação tem distribuição ormal, a distribuição amostral de está ormalmete distribuída ara qualquer tamaho de amostra.

12 b) A oulação ão tem uma distribuição ormal esse caso, devemos aelar ara o teorema do limite cetral que diz: ao selecioar amostras aleatórias simles de tamaho de uma oulação, odemos aroimar a distribuição amostral da média da amostra or meio de uma distribuição ormal à medida que aumetamos o tamaho da amostra. A figura mostra o fucioameto do teorema do limite cetral em relação a três oulações diferetes: a oulação I segue uma distribuição uiforme; a oulação II segue uma distribuição deomiada orelha-de-coelho ; a oulação III tem distribuição similar à distribuição eoecial. Nehuma delas assa, em erto, da distribuição ormal. As três lihas seguites da figura mostram a forma da distribuição amostral à medida que o tamaho da amostra aumeta. Observe

13 que ara amostras de tamaho = 30, as formas das distribuições são aroimadamete ormais. VALOR PRÁTICO DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE Distribuição amostral do salário médio aual de uma amostra aleatória simles de 30 geretes da EAI A robabilidade de uma média amostral estar detro de US$ 500 da média da oulação Relação etre tamaho da amostra e a Distribuição amostral de

14 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE A roorção amostral é o estimador or oto da roorção da oulação. A fórmula ara calcular a roorção amostral é: Em que = úmero de elemetos cotidos a amostra que ossuem a característica de iteresse; = tamaho da amostra.

15 A distribuição amostral de é a distribuição de robabilidade de todos os valores ossíveis da roorção amostral. Para determiar quão róima a roorção amostral está da roorção oulacioal, é reciso eteder as roriedades da distribuição amostral de : o valor eserado de, o desvio adrão amostral e a forma da distribuição amostral de. Valor eserado de : que é a média de todos os valores ossíveis de, é igual a roorção oulacioal de. E( ) No caso da EAI, o valor eserado de é o valor de = 0,60. Desvio adrão de : da mesma forma que rocedemos ara determiar o desvio adrão da média amostral, o desvio adrão da roorção amostral deede de a oulação ser fiita ou ifiita. Assim, as eressões ecessárias são: N (1 ) Poulação fiita: N 1 Poulação ifiita: (1 ) Em relação ao cálculo do desvio adrão da roorção amostral, seguimos a mesma regra rática que recomedamos ara o cálculo do desvio adrão da média amostral. Para oulações fiitas com /N 0,05 o fator de correção ão recisa ser alicado; caso a relação /N > 0,05, o fator de correção ara oulações fiitas deverá ser usado. Para o caso da EAI, sabemos que a roorção de geretes que articiaram do curso de treiameto gerecial é = 0,60; a relação /N = 30/2500 = 0,012 os mostra que odemos igorar o fator de correção ara oulações fiitas, o que resulta: (1 ) 0,60(1 0,60) 0, Forma da distribuição amostral de : a roorção amostral é. Assim, o valor de é uma variável aleatória biomial que

16 idica o úmero de elemetos cotidos a amostra e que ossuem a característica de iteresse. Sedo uma costate, a robabilidade de / é idêtica à robabilidade biomial de. Isso sigifica que a distribuição amostral de também é uma distribuição discreta de robabilidade. Portato, estamos tratado de uma distribuição biomial; ela ode ser aroimada or meio de uma distribuição ormal desde que: 5 (1 ) 5 Assim, ode-se escrever: a distribuição amostral de ode ser aroimada or meio de uma distribuição ormal semre que a codição acima seja satisfeita. Lembrado o caso da EAI, sabemos que = 0,60. Com uma amostra aleatória simles de tamaho = 30, temos:. = 18.(1-) = 12 Assim, a distribuição amostral de ode ser aroimada ela distribuição ormal aresetada a Figura a seguir: Distribuição amostral da roorção amostral referete à roorção de geretes da EAI que articiaram do rograma de treiameto gerecial Valor rático da Distribuição amostral de : ela ode forecer iformações robabilísticas a reseito da difereça etre a roorção amostral e a roorção da oulação. Retoremos ao eemlo da EAI e vamos suor que o diretor de

17 essoal queira saber qual é a robabilidade de obter um valor de que se situe o itervalo de 0,05 da roorção oulacioal de geretes da EAI que articiaram do rograma de treiameto. Objetivamete o que o diretor quer saber é a robabilidade de obter uma amostra com uma roorção amostral que se situe etre 0,55 e 0,65. Ora, tedo em vista que odemos aroimar a distribuição amostral de or uma distribuição ormal que ossua uma média igual a 0,60 e desvio adrão amostral de 0,0894, determiamos os valores da variável aleatória ormal adrão (z) corresodetes a = 0,55 e a = 0,65. 0,55 0,60 z 0,56 0,0894 0,65 0,60 z 0,56 0,0894 Probabilidade de se obter uma roorção amostral etre 0,55 e 0,65 Etrado com os valores de z a tabela de distribuição ormal adrão, ecotramos os valores das resectivas áreas: Para z = -0,56, a área etre z=-0,56 e z=0 é igual a 0,2123; Para z = 0,56, a área etre z=0 e z=0,56 é igual a 0,2123. Portato, a robabilidade de selecioar uma amostra que foreça uma detro de 5% do valor da roorção oulacioal é 0, ,2123 = 0,4246, ou seja, 42,46%. DOIS MINUTOS PARA PENSAR: Imagie que o diretor resolva solicitar ao aalista uma alterativa que roduza um aumeto a robabilidade de selecioar uma amostra com que difira em 0,05 da roorção oulacioal. Qual a alterativa oderá roduzir uma robabilidade maior que 42,46%?

18 OUTROS MÉTODOS DE AMOSTRAGEM Amostragem aleatória estratificada a amostragem aleatória estratificada, os elemetos que fazem arte dos estratos devem ser o mais similares ossível e devem ertecer somete a um estrato. Deois que os estratos são formados etrai-se uma amostra aleatória simles de cada um deles. Há fórmulas esecíficas disoíveis ara se combiar os resultados das amostras de estrato idividuais em uma estimativa do arâmetro oulacioal de iteresse. Amostragem or coglomerados esse tio de amostragem, os elemetos da oulação são divididos em gruos distitos deomiados coglomerados. Etrai-se uma amostra aleatória simles de coglomerados. Todos os elemetos cotidos em cada coglomerado amostrado formam a amostra. Essa técica roduz bos resultados quado os elemetos cotidos os coglomerados ão forem similares. Amostragem sistemática os casos de grades oulações, gasta-se muito temo ara selecioar uma amostra aleatória simles usado a técica dos úmeros aleatórios. Uma alterativa à amostragem aleatória simles é a amostragem sistemática. Vamos esclarecer o rocedimeto usado um eemlo. Seja selecioar uma amostra de tamaho 50 de uma oulação de elemetos. Primeiramete etrai-se um elemeto em cada 5000/50 = 100 elemetos. A amostra sistemática, esse caso, tem iício ao selecioar um elemeto dos rimeiros 100 elemetos da lista da oulação. Feita a seleção, o seguite será o cetésimo elemeto seguite da lista, e assim sucessivamete. Vamos suor que o elemeto selecioado etre os 100 rimeiros da lista seja o elemeto 47. A amostra de tamaho 50 será comletada com os seguites elemetos:

19 Amostragem de coveiêcia é uma técica de amostragem ão robabilística. Como o ome idica, a amostra é idetificada or coveiêcia. Os elemetos são icluídos a amostra sem robabilidades reviamete esecificadas ou cohecidas de eles serem selecioados. Como eemlos de uso dessa técica temos o caso de amostras de aimais selvages caturados, gruos de volutários ara esquisa de cosumidores, rofessor que usa seus aluos bolsistas simlesmete orque eles estão disoíveis, etc. Amostragem de julgameto é uma técica adicioal de amostragem ão robabilística; essa abordagem, a essoa que cohece mais rofudamete o tema do estudo escolhe os elemetos que julga serem os mais reresetativos da oulação. Etretato a qualidade dos resultados da amostra deede do julgameto da essoa que a selecioa. EXERCÍCIOS 1) A média de uma oulação é 200 e seu desvio adrão é 50. Uma amostra aleatória simles de tamaho 100 será selecioada e a média amostral será usada ara estimar a média da oulação. a) Qual é o valor eserado de ; b) qual é o desvio adrão de ; c) aresete a distribuição amostral de ; d) o que a distribuição amostral de idica? 2) A média de uma oulação é 200 e seu desvio adrão é 50. Uma amostra aleatória simles de tamaho 100 será selecioada e a média amostral será usada ara estimar a média da oulação. a) qual é a robabilidade de a média da amostra estar detro de ±5 da média da oulação? b) qual é a robabilidade de a média da amostra estar detro de ±10 da média da oulação? 3) Suoha que o desvio adrão da oulação seja 25. Calcule o erro adrão da média ara tamahos de amostra iguais a 50, 100, 150 e 200. O que se ode afirmar sobre o tamaho do erro adrão da média quado o tamaho da amostra for aumetado? 4) O custo médio do esio as uiversidades úblicas orteamericaas é US$ or ao. Use esse valor como média oulacioal e cosidere que o desvio adrão da oulação é US$ 900. Suoha que uma amostra aleatória de 50 uiversidades úblicas seja selecioada.

20 a) aresete a distribuição amostral de em que é a média amostral do custo do esio as 50 uiversidades; b) qual é a robabilidade de a amostra aleatória simles roduzir uma média amostral que se situe detro dos US$ 250 da média oulacioal; c) qual é a robabilidade de a amostra aleatória simles roduzir uma média amostral que se situe detro dos US$ 100 da média oulacioal. 5) O custo médio aual dos seguros de automóvel é US$ 687. Use esse valor como média oulacioal e suoha que o desvio adrão da oulação seja US$ 230. Cosidere uma amostra de 45 aólices de seguro de automóveis. a) aresete a distribuição amostral de em que é a média amostral do custo aual dos seguros de automóvel; b) qual é a robabilidade de a média amostral estar detro dos US$ 100 da média oulacioal; c) qual é a robabilidade de a média amostral estar detro dos US$ 25 da média oulacioal; d) o que você recomedaria se uma seguradora quisesse a média amostral ara estimar a média oulacioal detro de ±US$ 25? 6) A roorção de uma oulação é 0,40. Uma amostra aleatória simles de tamaho 200 será selecioada e a roorção amostral será usada ara estimar a roorção da oulação. a) qual é a robabilidade de a roorção amostral estar detro de ±0,03 da roorção oulacioal; b) qual é a robabilidade de a roorção amostral estar detro de ±0,05 da roorção oulacioal? 7) A roorção oulacioal é 0,30. Qual é a robabilidade de a roorção amostral estar detro de ±0,04 da roorção oulacioal corresodete a cada um dos seguites tamahos de amostra: a) = 100 b) = 200 c) = 500 d) = e) qual a vatagem de um tamaho de amostra maior? 8) A Iteret Eress divulgou que 56% das famílias dos EUA têm acesso à Iteret. Use a roorção oulacioal = 0,56 e suoha que uma amostra de 300 famílias seja selecioada. a) aresetar a distribuição amostral de em que é a roorção de famílias que têm acesso à Iteret; b) qual é a robabilidade de a roorção amostral estar detro de ±0,03 da roorção oulacioal;

21 c) resoda o item (b) cosiderado os tamahos de amostra 600 e ) Um esquisador relata os resultados de uma esquisa afirmado que o erro adrão da média é 20. O desvio adrão da oulação é 500. a) qual é o tamaho da amostra utilizada essa esquisa? b) qual a robabilidade de a estimação or oto estar detro de ±25 da média da oulação?

22 Tabela de úmeros aleatórios (cico dígitos)