Recredenciamento Portaria MEC 347, de D.O.U

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1 Portaria MEC 347, de D.O.U ESTATÍSTICA I / MÉTODOS QUANTITATIVOS E PROCESSO DECISÓRIO I / ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO Elemetos de Probabilidade Quest(i) Ecotramos, a atureza, dois tipos de feômeos: Determiísticos - que ão depedem do úmero de ocorrêcias, pois os resultados são sempre os mesmos, como, por eemplo, o fato de sabermos que a certa temperatura um determiado corpo passará de um estado para o outro (sólido para o líquido, ou líquido para o gasoso). Aleatórios - os resultados ão são previsíveis, mesmo que haja um grade úmero de repetições do mesmo feômeo, como, por eemplo, o laçameto de uma moeda, de um dado, ou mesmo a determiação da vida útil de um compoete eletrôico. Espaço Amostral (S) Cada eperimeto aleatório correspode a vários resultados possíveis. Assim, ao laçarmos uma moeda, por eemplo, há dois resultados possíveis: cara ou coroa. Já, ao laçarmos um dado de seis faces, teremos como resultados possíveis:,, 3, 4, 5 e 6. Ao cojuto desses resultados possíveis damos o ome de espaço amostral (S) ou cojuto uiverso. Por eemplo: - o laçameto de uma moeda: S = {ca, co}; - o laçameto de um dado: S = {,, 3, 4, 5, 6} - o laçameto de duas moedas ao mesmo tempo: S = {(ca, co), (ca, ca), (co, ca), (co, co)} - o laçameto de dois dados simultâeos: S = {... Cada elemeto de S, que correspode a um resultado, recebe o ome de poto amostral, por eemplo, o úmero é um poto amostral do laçameto de um dado, ou seja, pertece à S ( S ). Evetos complemetares É a probabilidade de um eveto ão ocorrer. Por eemplo: se p é probabilidade de se tirar o úmero 4 em um dado de seis faces, q represeta a probabilidade disso ão ocorrer. Evetos idepedetes q p Dois evetos são idepedetes quado a realização (ou ão realização) de um eveto ão afeta a probabilidade da realização do outro, e vice-versa. É a probabilidade de um e de outro, este caso, a probabilidade deles se realizarem simultaeamete é dada pelo produto das probabilidades de cada eveto. p p p Por eemplo: qual a probabilidade de, o laçameto de dois dados, sair o úmero o primeiro e o úmero 5 o segudo? Evetos mutuamete eclusivos É quado a realização de um eveto eclui a realização do outro. Assim, por eemplo, o laçameto de uma moeda o eveto tirar cara ou tirar coroa são mutuamete eclusivos, já que ao realizar um deles, o outro ão se realiza. É a probabilidade de um ou de outro. Sedo assim: p p p Por eemplo: qual a probabilidade de, o laçameto um dado, sair o úmero ou o úmero 5? Eveto (A) É um subcojuto do espaço amostral S, por eemplo: seja S o espaço amostral do laçameto de um dado de seis faces, S = {,, 3, 4, 5, 6} e A = {, 4, 6} um subcojuto de S, só dos úmeros pares. A está cotido em S ( A S ), logo A é um eveto de S. Se A = S, chamamos A de eveto certo, e se A =, chamamos de eveto impossível. Os evetos geralmete são defiidos por seteças do tipo: obter um umero ímpar o laçameto de um dado ; obter cara o laçameto de uma moeda,... Cálculo de Probabilidade Tomamos S como espaço amostral e cosideramos que todos os elemetos de S teham a mesma chace de acotecer (cojuto equiprovável). Chamamos de probabilidade de um eveto A o º real p(a) tal que: ( A) p( A) ( S)

2 Portaria MEC 347, de D.O.U Eercícios e resoluções ) Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quado retiramos uma carta de um baralho de 5 cartas? ) Qual a probabilidade de sair um rei quado retiramos uma carta de um baralho de 5 cartas? 3) Em um lote de peças, 4 são defeituosas. Sedo retirada uma peça, calcule: a. a probabilidade de essa peça ser defeituosa. b. a probabilidade de essa peça ão ser defeituosa. 4) No laçameto de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5. 5) De dois baralhos de 5 cartas retiram-se, simultaeamete, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segudo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segudo ser o 5 de paus? 6) Uma ura A cotém: 3 bolas bracas, 4 pretas, verdes; uma ura B cotém: 5 bolas bracas, pretas, verde; uma ura C cotém: bolas bracas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada ura. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, seguda e terceira uras serem, respectivamete, braca, preta e verde? 7) De um baralho de 5 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a seguda ser o rei de paus? 8) Qual a probabilidade de sair uma figura quado retiramos uma carta de um baralho de 5 cartas? 9) Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quado retiramos uma carta de um baralho de 5 cartas? 0) No laçameto de um dado, qual a probabilidade de se obter um úmero ão-iferior a 5? ) São dados dois baralhos de 5 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segudo. Qual a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, ão ecessariamete essa ordem? ) Dois dados são laçados cojutamete. Determie a probabilidade de a soma ser 0 ou maior que 0.

3 Portaria MEC 347, de D.O.U Eercícios: probabilidade. Determie a probabilidade de cada eveto: a) o úmero par o laçameto de um dado. R: / b) uma carta de ouros ao se etrair uma carta de um baralho de 5 cartas. R: /4. Um úmero iteiro é escolhido aleatoriamete detre os úmeros,,3,...,38,49 e50. Determie a probabilidade de: a) o úmero ser dividido por 5. R: /5 b) um úmero termiar em 3. R: /0 c) um úmero ser dividido por 6 ou por 8. R: 6/5 d) um úmero ser dividido por 4e por 6. R: /5 3. Dois dados são laçados simultaeamete. Qual é a probabilidade de: a) A soma ser meor que 4? R: / b) A soma ser 9? R: /9 c) O primeiro resultado ser maior do que o segudo? R: 5/ 4. Qual é a probabilidade de sair um Rei ou uma carta de Copas, quado retiramos uma carta de um baralho? R: 4/3 5. Um lote é formado por 0 peças boas, quatro com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) Ela ão teha defeitos graves; R: 7/8 b) Ela ão teha defeitos; R: 5/8 c) Ela seja boa, ou teha defeitos graves; R: 3/4 6. Um dado é laçado e o úmero da face de cima é observado. a) se o resultado obtido for par, qual a probabilidade de ele ser maior ou igual a cico? R: /3 b) Se o úmero obtido for maior ou igual a cico, qual a probabilidade de ele ser par? R: / c) Se o resultado obtido for ímpar, qual a probabilidade de ele ser meor que 3? R: /3 d) Se o resultado for meor que 3, qual a probabilidade de ele ser ímpar? R: / 7. Dois dados, um verde e um vermelho, são laçados e observados os úmeros das faces de cima: a) Qual a probabilidade de ocorrerem úmeros iguais? R: /6 b) Qual a probabilidade de ocorrerem úmeros diferetes? R: 5/6 c) Qual a probabilidade de a soma dos úmeros ser 7? R: /6 d) Qual a probabilidade de a soma dos úmeros ser? R: /36 e) Qual a probabilidade de a soma dos úmeros ser meor ou igual a? R: OBS - Em algus casos, é ecessário fazer o cálculo do úmero de maeiras de um eveto ocorrer, e para isso, os valemos da relação etre o úmero de elemetos do espaço amostral e o úmero de elemetos do eveto: A P A U (U) é o úmero de elemetos do espaço amostral U (A) é o úmero de elemetos do eveto A. O cálculo do º de elemetos do espaço amostral ou de um eveto é dado por uma combiação: C, p! p! p! É o úmero total de combiações de elemetos tomados de p em p. este úmero é represetado por: biomial. p, chamado de úmero Eemplo: Cosidere um cojuto de 0 frutas em que 3 estão estragadas. Escolhedo aleatoriamete frutas desse cojuto, determie a probabilidade de: a) ambas ão estarem estragadas. O cálculo de maeiras de escolher duas furtas etre dez é o úmero total de combiações de 0 frutas ( elemetos) tomados de em (p em p), ou seja, = 0 e p =. 0! 0! 098! 90 U C0, 45! 0!!8!!8! O cálculo do úmero de maeiras de escolher duas frutas ão estragadas etre 7 (0 3 = 7). A C 7! 7! 765! 4! 7!!5!!5! 7, 7 U 45 5 Sedo assim: A P A e a probabilidade desse eveto é de 7/5. b) pelo meos uma estar estragada. Este eveto é complemetar ao P(A), portato: Em um lote de peças, quatro são defeituosas. Sedo retiradas aleatoriamete duas peças, calcule: a) a probabilidade de ambas serem defeituosos. R: / b) a probabilidade de ambas ão serem defeituosas. R: 4/33 c) a probabilidade de ao meos uma ser defeituosa. R: 9/33

4 Portaria MEC 347, de D.O.U DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E NORMAL Na prática é, muitas vezes, mais iteressate associarmos um úmero a um eveto aleatório e calcularmos a probabilidade da ocorrêcia desse úmero, do que a probabilidade do eveto. Variável aleatória: é uma fução que relacioa o espaço amostral com a ocorrêcia de um eveto. Por eemplo: se o espaço amostral relativo ao laçameto simultâeo de duas moedas é S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} e X represeta o úmero de caras que aparecem, a cada poto amostral podemos associar um úmero para X, de acordo com a tabela abaio. PONTO AMOSTRAL (Ca, Ca) (Ca, Co) (Co, Ca) (Co, Co) Distribuição de probabilidade: é a associação a cada valo i a probabilidade p i de tais potos do espaço amostral. Assim: Logo: PONTO AMOSTRAL (Ca, Ca) (Ca, Co) (Co, Ca) (Co, Co) X 0 NÚMERO DE CARAS (X) 0 X 0 P(X) / / = /4 / / = /4 / / = /4 / / = /4 P(X) /4 /4 /4 Distribuição biomial: variável aleatória discreta. k k f X P( X k) p q ou seja k! k k f X P( X k) p q k! k! Em que: - P(X = k) é a probabilidade de que o eveto se realize k vezes em provas. - p é a probabilidade que o eveto ocorra em uma só prova (sucesso). - q é a probabilidade que o eveto ão se realize o decurso dessa prova (isucesso, p). ) Determie a probabilidade de obtermos eatamete 3 caras em 6 laces de uma moeda. R: 5/6 ) Jogado-se um dado três vezes, determie a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 duas vezes. R: /9 3) Dois times de futebol, A e B, jogam etre si 6 vezes. Ecotre a probabilidade de o time A: a) gahar dois ou três jogos; R: 400/79 b) gahar pelo meos um jogo. R: 665/79 4) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é /3. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de acertar eatamete tiros? R: 40/43 5) Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquia, que apreseta 0% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles? R: 9,84% Distribuição Normal (Curva ormal): etre as distribuições teóricas de variável aleatória cotíua, uma das mais empregadas é a distribuição ormal. Muitas das variáveis aalisadas a pesquisa socioecoômica correspodem à distribuição ormal ou dela se aproimam. Por eemplo: Seja X a variável aleatória que represeta os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquia. Vamos supor que essa variável teha distribuição ormal com média = cm e desvio padrão s = 0,04 cm. Pode haver iteresse em cohecer a probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor etre e,05 cm. É fácil otar que essa probabilidade, idicada por P( < X <,05), correspode à área hachurada a figura: Tomado X como uma variável aleatória com distribuição ormal de média e desvio padrão s, etão a variável: z s As probabilidades associadas à distribuição ormal padroizada são ecotradas em tabelas, ão havedo ecessidade de serem calculadas. A tabela os dá a probabilidade de Z tomar qualquer valor etre a média 0 e um dado valor z, isto é: P(0 < Z < z). Temos, etão:,05 0,05 z,5 s 0,04 0,04 Logo, P(0 < Z <,5) = 0,3944, pela tabela, ou seja a probabilidade de um parafuso fabricado por essa máquia apresetar um diâmetro etre a média = e o valor =,05 é 0,3944. Escrevemos, etão: P( < X <,05) = P(0 < Z <,5) = 0,3944 ou 39,44%. Eemplos:

5 Portaria MEC 347, de D.O.U ) Determie as probabilidades: a) P(-,5 < Z < 0) A probabilidade procurada correspode à parte hachurada da figura: Eercícios: ) Sedo Z uma variável com distribuição ormal reduzida, calcule: a) P(0 < Z <,44) R: 0,45 e) P(Z > -,03) R: 0,9788 b) P(-0,85< Z < 0) R: 0,303 f) P(Z>,08) R: 0,40 c) P(-,48 < Z <,05) R: 0,904 g) P(Z < -0,66) R: 0,546 d) P(0,7 < Z <,89) R: 0,064 h) P(Z<0,60) R: 0,758 Sabemos que: P(0 < Z <,5) = 0,3944. Pela simetria da curva, temos: P(-,5 < Z < 0) = P(0 < Z <,5) = 0,3944. b) P(-0,5 < Z <,48) A probabilidade procurada correspode à parte hachurada da figura: Temos: P(-0,5 < Z <,48) = P(-0,5 < Z < 0) + P(0 < Z <,48) Como: P(-0,5 < Z < 0) = P(0 < Z < 0,5) = 0,95 e P(0 < Z <,48) = 0,4306, obtemos: P(-0,5 < Z <,48) = 0,95 + 0,4306 = 0,6. c) P(Z > 0,6) A probabilidade procurada correspode à parte hachurada da figura: ) Um teste padroizado de escolaridade tem distribuição ormal com média 00 e desvio padrão 0. Determie a probabilidade de um idivíduo submetido ao teste ter ota: a) maior que 0; R: 0,08 b) maior que 80; R: 0,977 c) etre 85 e 5; R: 0,8664 d) maior que 00. R: 0,5 3) Os pesos de 600 estudates são ormalmete distribuídos com média 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Determie o úmero de estudates que pesam: a) etre 60 e 70 kg; R: 0,6338 b) mais que 63, kg; R: 0,6480 c) meos que 68 kg. R: 0,6879 4) A duração de um certo compoete eletrôico tem média de 850 dias e desvio padrão de 40 dias. Sabedo que a duração é ormalmete distribuída, calcule a probabilidade de esse compoete durar: a) etre 700 e.000 dias; R: 0,9998 b) mais de 800 dias; R: 0,8944 c) meos de 750 dias. R: 0,006 OBS: Para esses eercícios use a tabela da curva ormal reduzida de 0 a z (dispoível o site). Temos: P(Z > 0,6) = P(Z > 0) - P(0 < Z < 0,6) Como: P(Z > 0) = 0,5 e P(0 < Z < 0,6) = 0,58, obtemos: P(Z > 0,6) = 0,5-0,58 = 0,74. ) Os salários semaais dos operários idustriais são distribuídos ormalmete, em toro da média de R$ 500,00 com desvio padrão de R$ 40,00. Calcule a probabilidade de um operário ter um salário semaal situado etre R$ 490,00 e R$ 50,00. Devemos, iicialmete, determiar os valores da variável de distribuição ormal reduzida. Assim: z 0,5 e z 0, Logo, a probabilidade procurada é dada por: P(490 < X < 50) = P(-0,5 < Z < 0,5) = P(-0,5 < Z < 0) + P(0 < Z < 0,5) = 0, ,95 = 0,90. É, pois, de se esperar que, em média, 9,0% dos operários teham salários etre R$ 490,00 e R$ 50,00. REFERÊNCIAS CRESPO, Atoio Arot. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 009. MORETTIN, Luiz Gozaga. Estatística Básica: probabilidade. São Paulo: McGraw-Hill, 994

6 Portaria MEC 347, de D.O.U TEORIA DA AMOSTRAGEM A amostragem e em particular os processos de amostragem aplicam-se em varias áreas do cohecimeto e costituem, muitas vezes, a úica forma de obter iformações sobre uma determiada realidade que importa cohecer. A teoria da amostragem estuda as relações eistetes etre uma população e as amostras etraídas dessa população. É útil para a avaliação de gradezas descohecidas da população, ou para determiar se as difereças observadas etre duas amostras são devidas ao acaso ou se são verdadeiramete sigificativas. Amostragem é o processo de determiação de uma amostra a ser pesquisada. A amostra é uma parte de elemetos selecioada de uma população estatística. Equato que um seso evolve um eame a todos os elemetos de um dado grupo, a amostragem evolve um estudo de apeas uma parte dos elemetos. A amostragem cosiste em selecioar parte de uma população e observá-la com vista a estimar uma ou mais características para a totalidade da população. Algus eemplos da utilização da amostragem são: - Sodages da opiião pública que servem para cohecer a opiião da população sobre variadas questões. As mais comus são as sodages políticas. - Ispeção de mercado utilizada com o ituito de descobrir as preferêcias das pessoas em relação a certos produtos. - Para estimar a prevalêcia de uma doeça rara, a amostra pode ser costituída por algumas istituições médicas, cada uma das quais tem registro dos pacietes. Segue abaio a simbologia usada ao relacioar população e amostra: MEDIDAS POPULAÇÃO AMOSTRA Tamaho N Total T t Média Aritmética Variâcia Absoluta ² s² Desvio Padrão s Proporção p Plao de amostragem e tipos de amostrages O plao de amostragem defie o tipo de amostragem a ser utilizado. Os tipos de plaejametos amostrais mais utilizados são: Amostragem sistemática, Amostragem proporcioal estratificada, Amostragem por coglomerado e Amostragem aleatória simples. Amostragem sistemática: a amostragem já está ordeada segudo algum critério, como fichas em um fichário, listas telefôicas... Cosideremos uma população, com elemetos ordeados, de tamaho N e dela tiramos uma amostra de tamaho, através de uma amostragem sistemática, da seguite maeira: - Defiimos FS como fator de sistematização (ou itervalo de amostragem), dado por: FS = N/. - Sorteamos um úmero etre e FS. Esse úmero é simbolizado por m, que será o primeiro elemeto da amostra. N 000 Eemplo: seja N = 000 e = 00, logo: FS 5 00 Imagie que 3 seja o úmero sorteado etre e 5. Portato, os elemetos da população umerados por 3, 8, 3,..., 998 irão compor a amostra. Amostragem proporcioal estratificada: Muitas vezes a população, se divide em subpopulações (estratos). Como é provável que a variável em estudo apresete, de estrato em estrato, um comportameto heterogêeo, covém que o sorteio dos elemetos da amostra leve em cosideração tais estratos. É isso que fazemos quado empregamos a amostragem proporcioal estratificada, que, além de cosiderar a eistêcia dos estratos, obtém os elemetos da amostra proporcioal ao úmero de elemetos dos mesmos Eemplo: dada a população de operários da idustria automobilística, selecioar uma amostra proporcioal estratificada de 5% de operários para estimar seu salário médio. Usado a variável critério cargo para estratificar essa população, e cosiderado amostras de 5% de cada estrato obtido, chegamos ao seguite quadro: CARGO POPULAÇÃO AMOSTRA (5%) Chefes de seção Operários especializados Operários ão especializados TOTAL Amostragem por coglomerados: Neste tipo de amostragem a população total é subdividida em várias partes relativamete pequeas (ormalmete homogêeas), e algumas dessas subdivisões, ou coglomerados, são selecioadas ao acaso, para itegrarem a amostra global. Amostragem Aleatória simples: é um tipo de amostragem que utiliza uma técica probabilística. É também chamada de amostragem casual ou radômica. A característica pricipal é que todos os elemetos da população têm igual probabilidade de pertecer á amostra. Na prática a amostragem aleatória simples pode ser realizada umerado-se a população de a N e sorteado-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, k úmeros dessa seqüêcia, os quais correspoderão aos elemetos pertecetes á amostra. Amostras com e sem reposição Se cada elemeto da população pode ser escolhido mais de uma vez para participar de uma mesma amostra temos a chamada amostra com reposição. Se cada elemeto da população puder ser escolhido apeas uma úica vez para participar de uma mesma amostra, temos a chamada amostra sem reposição. Na prática, demostra-se que o uso de amostras sem reposição acarreta em meores erros do que com amostras com reposição.

7 Portaria MEC 347, de D.O.U DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Cosiderem-se todas as amostras possíveis de tamaho que podem ser retiradas de uma população de tamaho N (com ou sem reposição). Para cada amostra pode-se calcular uma gradeza estatística, como a média, o desvio padrão etc., que varia de amostra para amostra. Com os valores obtidos para determiada gradeza, podemos costruir uma distribuição de probabilidades, que será deomiada de distribuição amostral. Distribuição amostral das médias: se os valores da média e do desvio padrão de uma população, de tamaho N, forem respectivamete e, e desta população são retiradas todas as possíveis amostras de tamaho, sem reposição, os valores da epectâcia (média aritmética, este caso) e do desvio padrão da distribuição amostral das médias correspodete serão: N N Se a população for ifiita, ou se amostragem for tomada com reposição, os valores acima ficarão: E( ) _ E( ) _ Eemplo: Cosidere-se a população P = {, 3, 5, 6 } e todas as amostras possíveis de tamaho = etraídas com reposição. Para cada amostra vai-se calcular a média. Ter-se-á assim um cojuto de 6 valores que serão dispostos em uma tabela, com as respectivas probabilidades, e que costituirá etão a distribuição amostral da média da amostra. Determie: (a) a média da população; (b) o desvio-padrão da população; (c) a média da distribuição amostral das médias amostrais; (d) o desvio-padrão da distribuição amostral das médias. As possíveis amostras com as respectivas médias são: Amostras (,) (,3) (,5) (,6) (3,3) (3,5) (3,6) (5,5) 3 3, ,5 5 Amostras (5,6) (6,6) (3,) (5,) (6,) (5,3) (6,3) (6,5) 5, ,5 4 4,5 5,5 Colocado estes resultados em uma tabela (distribuição amostral da média) vem: f f,0 /6 /6,0 /6 4/6 3,0 3/6 9/6 3,5 /6 7/6 4,0 /6 8/6 4,5 /6 9/6 5,0 /6 5/6 5,5 /6 /6 6,0 /6 6/6 60/ a) média: 3, 75 4 i i b) 7,75 3,75, 90 c) E( ) _, etão E ( _ ) 3, 75 d) como é o tamaho da amostra:,90,36,36 é deomiado erro padrão da média. Ele mede a variabilidade etre as médias amostrais e dá uma idéia do erro que se comete ao se substituir a média da população pela média da amostra. Eercício: uma população se costitui dos úmeros, 3, 4, 5. Cosidere todas as amostras possíveis de tamaho, que podem ser etraídas dessa população com reposição. Determie: a) a média da população; b) o desvio-padrão da população; c) a média da distribuição amostral das médias amostrais; d) o desvio-padrão da distribuição amostral das médias. Distribuição amostral das proporções: se o valor da proporção de ocorrêcia de em eveto em uma população, de tamaho, for, e desta população são retiradas todas as possíveis amostras de tamaho, sem reposição, os valores da epectâcia e do desvio padrão da distribuição amostral das proporções correspodete serão: ( ) N E ( p) p N Se a população for ifiita, ou se amostragem for tomada com reposição, os valores acima ficarão: E ( p) p ( ) Eemplo: cosidere-se a população P = {, 3, 5, 6 } e todas as amostras possíveis de tamaho = obtidas com reposição. Para cada amostra vai-se calcular a proporção P de elemetos pares a população. Ter-se-á assim um cojuto de 6 valores que serão dispostos em uma tabela, com as respectivas probabilidades, e que formarão etão a distribuição amostral da proporção.