Métodos Estatísticos Aplicados à Economia I (GET00117) Variáveis Aleatórias Discretas

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1 Uiversidade Federal Flumiese Istituto de Matemática e Estatística Métodos Estatísticos Aplicados à Ecoomia I (GET00117) Variáveis Aleatórias Discretas Aa Maria Lima de Farias Departameto de Estatística Agosto 2015

2 Sumário 1 Variáveis Aleatórias Variável Aleatória Fução de probabilidade Fução desidade de probabilidade Fução de distribuição acumulada Variáveis aleatórias discretas Cálculo da fução de probabilidade Fução de Distribuição Fuções de Variáveis Aleatórias Esperaça de Variáveis Aleatórias Discretas Esperaça de Fuções de Variáveis Aleatórias Propriedades da Esperaça Variâcia e desvio-padrão de uma variável aleatória Propriedades da variâcia e do desvio padrão Algumas Distribuições Discretas Itrodução Distribuição Uiforme Discreta Esperaça e Variâcia Distribuição de Beroulli Esperaça e Variâcia i

3 ii SUMÁRIO 3.4 Distribuição Biomial A Distribuição Biomial Esperaça e Variâcia Distribuição Geométrica Itrodução A Distribuição Geométrica Esperaça e Variâcia Distribuição biomial egativa Defiição Distribuição hipergeométrica Itrodução A Distribuição Hipergeométrica Esperaça e Variâcia Distribuição biomial versus distribuição hipergeomtrica A distribuição de Poisso Aproximação da biomial A distribuição de Poisso Algus resultados de cálculo Séries geométricas O úmero e (base dos logaritmos aturais) A Demostrações de propriedades de variáveis aleatórias discretas 57 A.1 Distribuição Biomial A.1.1 Esperaça A.1.2 Variâcia A.2 Distribuição geométrica A.2.1 Esperaça A.2.2 Variâcia

4 SUMÁRIO iii A.3 Distribuição Hipergeométrica A.3.1 Codições defiidoras de uma fução de probabilidade A.3.2 Esperaça A.3.3 Variâcia

5 Capítulo 1 Variáveis Aleatórias Neste capítulo, você aprederá um coceito muito importate da teoria de probabilidade: o coceito de variável aleatória. Você verá que as variáveis aleatórias e suas distribuições de probabilidade são as ferrametas fudametais a modelagem de feômeos aleatórios. Nesse capítulo, defiiremos as variáveis aleatórias discretas e cotíuas, bem como fuções que determiam seu comportameto probabilístico: fução de probabilidade para o caso discreto e fução desidade de probabildiade para o caso cotíuo. Defiiremos, aida, a fução de distribuição acumulada, que também caracteriza completamete as variáveis aleatórias, tato discretas quato cotíuas. 1.1 Variável Aleatória Cosideremos o seguite experimeto aleatório: sorteio de uma amostra de 20 fucioários de uma empresa que tem 500 fucioários. O espaço amostral deste experimeto é formado por todas as amostras possíveis e, como a ordem ão importa e ão deve haver repetição de fucioários, o úmero total de tais amostras é Ω) ( ) Cada elemeto desse espaço amostral é formado pela relação dos 20 fucioários sorteados. Em situações como essa, em geral, o iteresse ão está o fucioário em si, mas, sim, em alguma característica deste fucioário, por exemplo, sua altura, se tem curso superior ou ão, úmero de depedetes. Dessa forma, poderíamos calcular a altura média dos fucioários da amostra, o úmero médio de depedetes, a proporção de fucioários com curso superior, etc. Etão, a cada amostra possível, ou seja, a cada poto do espaço amostral associamos um úmero. Essa é a defiição de variável aleatória.

6 2 CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DEFINIÇÃO Variável aleatória Uma variável aleatória é uma fução real (isto é, que assume valores em R) defiida o espaço amostral Ω de um experimeto aleatório. Dito de outra forma, uma variável aleatória é uma fução que associa um úmero real a cada eveto de Ω. Por questões de simplicidade, muitas vezes abreviaremos a expressão variável aleatória por v.a. A coveção usual para represetar uma v.a. cosiste em usar letras maiúsculas como X, Y, etc. Um valor específico, mas geérico, desta variável será represetado pela letra miúscula correspodete: x, y, etc. Cotiuado com o exemplo da amostra de fucioários, podemos, etão, defiir as seguites variáveis aleatórias: X altura média em cetímetros e Y úmero máximo de depedetes. Estas variáveis têm aturezas distitas, quado levamos em cota os possíveis valores de cada uma. Para a variável X, os valores possíveis formam um itervalo, por exemplo, [140, 200]. Para a variável Y, os valores possíveis são úmeros iteiros, variado de 0 a 20, por exemplo. Isso os leva à seguite defiição. DEFINIÇÃO Variáveis aleatórias discretas e cotíuas Uma variável aleatória é discreta se sua imagem (ou cojuto de valores que ela assume) for um cojuto fiito ou eumerável. Se a imagem for um cojuto ão eumerável, dizemos que a variável aleatória é cotíua. A questão que se coloca, agora, é: como atribuir probabilidade aos valores, ou itervalo de valores, de uma variável aleatória? EXEMPLO 1.1 Dois dados Cosideremos o laçameto de dois dados equilibrados. Como já visto, o espaço amostral desse experimeto é formado pelos pares ordeados (i, j) em que i, j 1, 2, 3, 4, 5, 6. Esse é um experimeto em que o espaço amostral ão é formado por úmeros. Supohamos que osso iteresse esteja o máximo das faces dos dois dados. Neste caso, a v.a. X máximo das 2 faces é uma variável discreta, que pode assumir os valores 1, 2, 3, 4, 5, 6, coforme ilustrado a Tabela 1.1.

7 1.1. VARIÁVEL ALEATÓRIA 3 Tabela 1.1 Variável aleatória X máximo das faces de 2 dados Potos do espaço amostral Valor de X (1,1) 1 (1,2)(2,2),(2,1) 2 (1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1) 3 (1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(4,3),(4,2),(4,1) 4 (1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1) 5 (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1) 6 Podemos ver que o valor X 2 correspode ao eveto A {(1, 2), (2, 1), (2, 2)}, equato o valor X 1 correspode ao eveto B {(1, 1)}. Sedo assim, é de se esperar que o valor 2 seja mais provável que o valor 1, uma vez que todos os pares são equiprováveis. Podemos calcular a probabilidade de X 2 usado a seguite equivalêcia de evetos: {X 2} A {(1, 2), (2, 1), (2, 2)} Dessa forma, obtemos De maeira aáloga, obtemos P(X 2) P(A) 3 P ({X 1}) 1 P ({X 3}) 5 P ({X 4}) 7 P ({X 5}) 9 P ({X 6}) 11 Observe que coseguimos estabelecer uma probabilidade para cada valor da variável aleatória. Esse exemplo ilustra o coceito de fução de probabilidade de uma v.a. discreta, que será apresetado mais adiate. EXEMPLO 1.2 Altura média de uma amostra de fucioários Cosidere, agora, que retiremos várias amostras de 20 fucioários da empresa cosiderada ateriormete e, para cada amostra, registremos a altura média. Na Figura 1.1 temos o histograma e o polígoo de frequêcia para essas alturas. Este histograma foi costruído de forma que as áreas de cada retâgulo são iguais às frequêcias relativas das respectivas classes. Sabemos, etão, que a soma das áreas dos retâgulos é 1.

8 4 CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Figura 1.1 Histograma e polígoo de frequêcia da altura média Tedo em mete que cada frequêcia relativa é uma aproximação para a probabilidade de um elemeto pertecer à respectiva classe, podemos estimar a probabilidade de a altura média estar etre dois valores quaisquer como a área dos retâgulos evolvidos. Veja a Figura 1.2, ode a área sombreada correspode à frequêcia (probabilidade) de alturas etre os valores 168 e 178 cm. Esta área pode ser aproximada também pela área sob o polígoo de frequêcia, coforme ilustrado a Figura 1.3. As áreas sombreadas de ciza mais escuro correspodem às difereças abaixo e acima dopolígoo de frequêcias; ote que elas tedem a se compesar. Figura 1.2 Probabilidade como frequêcia relativa Figura 1.3 Probabilidade como área sob o polígoo de frequêcia Como estamos trabalhado com uma variável aleatória cotíua, faz setido pesarmos em reduzir, cada vez mais, o comprimeto de classe δ, até a situação limite em que δ 0. Nessa situação limite, o polígoo de frequêcias se trasforma em uma curva a parte positiva (ou ão-egativa) do eixo vertical, tal que a área sob ela é igual a 1. Essa curva será chamada curva de desidade de probabilidade. Na situação limite, a difereça etre as áreas sombreadas mais escuro também tederá a zero, o que os permite cocluir o seguite: o limite, quado δ 0, podemos estimar a probabilidade de a variável de iteresse estar etre dois valores A e B pela área sob a curva de desidade de probabilidade, delimitada por esses potos. Isso os permitirá calcular probabilidade de itervalos de valores de qualquer variável aletatória cotíua. Iremos, agora, apresetar as defiições formais relativas às variáveis aleatórias discretas e cotíuas.

9 1.2. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE Fução de probabilidade O comportameto de uma variável aleatória discreta fica perfeitamete determiado através da fução de probabilidade. DEFINIÇÃO Fução de probabilidade Seja X uma variável aleatória discreta. A fução de probabilidades de X é a fução f X (x) que associa, a cada valor possível x de X, sua respectiva probabilidade, calculada da seguite forma: f X (x) é a probabilidade do eveto {X x} que cosiste em todos os resultados do espaço amostral que dão origem ao valor x. f X (x) P ({X x}) P (ω) (1.1) ω Ω:X(ω)x Para ão sobrecarregar o texto, omitiremos os colchetes oriudos da otação de eveto (cojuto) e escreveremos P (X x) o lugar de P ({X x}), que seria a forma correta. Das propriedades (axiomas) da probabilidade resultam os seguites fatos sobre a fução de probabilidades de uma v.a. discreta X: f X (x) 0 (1.2) f X (x) 1 (1.3) x em que idica somatório ao logo de todos os possíveis valores de X. Note que a seguda x propriedade é decorrete do axioma P (Ω) 1, pois os evetos {X x} são mutuamete exclusivos e formam uma partição do espaço amostral. Estas são as codições defiidoras de uma fução de probabilidade. 1.3 Fução desidade de probabilidade O comportameto de uma variável aleatória cotíua fica perfeitamete determiado através da fução desidade de probabilidade.

10 6 CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DEFINIÇÃO Fução desidade de probabilidade Uma fução desidade de probabilidade é uma fução f(x) que satisfaz as seguites propriedades: 1. f(x) 0 2. A área total sob o gráfico de f(x) é igual a 1, isto é, f(x)dx 1 Dada uma fução f(x) satisfazedo as propriedades acima, etão f(x) represeta alguma variável aleatória cotíua X, de modo que P(a X b) é a área sob a curva limitada pelos potos a e b (veja a Figura 1.4), isto é. P(a X b) b a f(x)dx Figura 1.4 Probabilidade como área sob a curva da fução desidade de probabilidade Uma observação importate que resulta da iterpretação geométrica de probabilidade como área sob a curva de desidade de probabilidade é a seguite: se X é uma v.a. cotíua, etão a probabilidade do eveto {X a} é zero, ou seja, a probabilidade de X ser exatamete igual a um valor específico é ula. Isso pode ser visto a Figura 1.4: o eveto {X a} correspode a um segmeto de reta, e tal segmeto tem área ula. Lembre-se que a a f(x)dx 0. Como cosequêcia, são válias as seguites igualdades: P(a X b) P(a < X b) P(a X < b) P(a < X < b)

11 1.4. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA 7 Para deixar clara a relação etre a fução desidade de probabilidade e a respectiva v.a. X, usaremos a otação f X (x). 1.4 Fução de distribuição acumulada A fução de probabilidade e a fução desidade de probabilidade os dão toda a iformação sobre a variável aleatória X. Existe uma outra fução com tal característica (a verdade, sob determiadas codições, podemos achar outras fuções com essa característica), que é a fução de distribuição acumulada de X, cuja defiição apresetamos a seguir. DEFINIÇÃO Fução de distribuição acumulada Dada uma variável aleatória X, a fução de distribuição acumulada de X, ou simplesmete fução de distribuição, é defiida por F X (x) P (X x) x R (1.4) É iteressate otar que a fução F X está defiida para todo úmero real x. Os axiomas da probabilidade e as propriedades deles decorretes os permitem obter as seguites propriedades da fução de distribuição de uma v.a. X. 1. Como 0 P(A) 1 segue que 0 F X (x) 1 (1.5) 2. Do axioma P(Ω) 1 resulta que lim F X (x) 1 (1.6) x Note que o eveto {X < } correspode a todos os úmeros reais e, portato, iclui todos os valores de X. 3. Da propriedade P( ) 0 resulta que lim F X (x) 0 (1.7) x Note que o eveto {X < } correspode ao eveto impossível. 4. F X (x) é uma fução ão decrescete, isto é, se a < b F X (a) F X (b) (1.8) Esse resultado segue do fato de que, se a < b, etão o eveto {X a} {X b} e, portato, P({X a}) P({X b}), ou seja, F X (a) F X (b).

12 8 CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 5. F X (x) é uma fução cotíua à direita, isto é F X (b) lim h 0 F X (b + h) F X ( b + ) (1.9)

13 Capítulo 2 Variáveis aleatórias discretas Nesse capítulo, vamos estudar em mais detalhes as variáveis aleatórias discretas. 2.1 Cálculo da fução de probabilidade Da defiição de fução de probabilidade, resulta que o seu cálculo se dá em três etapas: primeiro, temos que idetificar todos os possíveis valores x da v.a. X; segudo, temos que idetificar os resultados que dão origem a cada valor x e suas respectivas probabilidades; fialmete, temos que somar todas essas probabilidades para obter f X (x) P(X x). EXEMPLO 2.1 Dois dados: máximo das faces Cosiderado ovamete a v.a. defiida a Tabela 1.1, podemos resumir a sua fução de probabilidade a seguite tabela: x f X (x) (2.1) EXEMPLO 2.2 Dois dados: soma das faces Cosideremos, ovamete, o laçameto de dois dados, mas agora vamos defiir a seguite v.a. X soma das 2 faces. Para facilitar a solução deste problema, vamos costruir uma tabela de duas etradas, em que cada dimesão represeta o resultado de um dado e em cada cela temos a soma das duas faces.

14 10 CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Como todos os potos do espaço amostral são equiprováveis, a fução de probabilidade de X é: x f X (x) (2.2) EXEMPLO 2.3 Chaves Um homem possui quatro chaves em seu bolso. Como está escuro, ele ão cosegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa, que se ecotra tracada. Ele testa cada uma das chaves até ecotrar a correta. (a) Defia um espaço amostral para esse experimeto. (b) Defia a v.a. X úmero de chaves experimetadas até coseguir abrir a porta (iclusive a chave correta). Quais são os valores de X? (c) Ecotre a fução de probabilidade de X. Solução (a) Vamos desigar por C a chave da porta e por E 1, E 2 e E 3 as outras chaves. Se ele para de testar as chaves depois que acha a chave correta, etão o espaço amostral é: Ω C, E 1 C, E 2 C, E 3 C, E 1 E 2 C, E 2 E 1 C, E 1 E 3 C, E 3 E 1 C, E 2 E 3 C, E 3 E 2 C, E 1 E 2 E 3 C, E 1 E 3 E 2 C, E 2 E 1 E 3 C, E 2 E 3 E 1 C, E 3 E 1 E 2 C, E 3 E 2 E 1 C (b) Podemos ver, a listagem de Ω, que os possíveis valores de X são x 1, 2, 3, 4 (c) Note que todas as chaves têm a mesma chace de serem sorteadas e, obviamete, cada chave testada ão é colocada de volta o bolso. Feitas essas observações, podemos ver

15 2.1. CÁLCULO DA FUNÇÃO DE PROBABILIDADE 11 que P(X 1) P(C) 1 4 P(X 2) P(E 1 C E 2 C E 3 C) P(E 1 C) + P(E 2 C) + P(E 3 C) P(X 3) P(E 1 E 2 C) + P(E 2 E 1 C) + P(E 1 E 3 C) + P(E 3 E 1 C) + P(E 2 E 3 C) + P(E 3 E 2 C) P(X 4) P(E 1 E 2 E 3 C) + P(E 1 E 3 E 2 C) + P(E 2 E 1 E 3 C) + P(E 2 E 3 E 1 C) + P(E 3 E 1 E 2 C) + P(E 3 E 2 E 1 C) Logo, a fução de probabilidade de X é x P(X x) (2.3) EXEMPLO 2.4 Nota média de dois aluos Detre os cico aluos de um curso com coeficiete de redimeto (CR) superior a 8,5, dois serão sorteados para receber uma bolsa de estudos. Os CRs desses aluos são: 8,8; 9,2; 8,9; 9,5; 9,0. (a) Desigado por A, B, C, D, E os aluos, defia um espaço amostral para esse experimeto. (b) Seja X CR médio dos aluos sorteados. Liste os possíveis valores de X. (c) Liste o eveto X 9, 0. (d) Ecotre a fução de probabilidade de X e calcule P(X 9). Solução (a) Note que aqui a ordem ão importa; logo, (Ω) ( 5 2) 10. Mais especificamete, { } (A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, C), Ω (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E) (b) Usado uma tabela de duas etradas, podemos represetar os valores de X da seguite forma:

16 12 CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS A(8, 8) B(9, 2) C(8, 9) D(9, 5) E(9, 0) 8,8+9,2 A(8, 8) 2 9, 0 8, 85 9, 15 8, 90 B(9, 2) 9, 05 9, 35 9, 10 C(8, 9) 9, 20 8, 95 D(9, 5) 9, 25 E(9, 0) (c) {X 9} {(A, B), (A, D), (B, C), (B, D), (B, E), (C, D), (D, E)}. (d) Como todos os potos do espaço amostral são equiprováveis (o sorteio é aleatório), a fução de probabilidade de X é: x 8,85 8,90 8,95 9,00 9,05 9,10 9,15 9,20 9,25 9, P(X x) e P (X 9) Fução de Distribuição Vamos calcular a fução de distribuição para as variáveis aleatórias defiidas os Exemplos 2.1 a 2.3. EXEMPLO 2.5 Dois dados: máximo das faces Cosidere a fução de probabilidade da v.a. X máximo das faces de 2 dados, dada em (2.1). Devemos otar iicialmete que ehum valor meor que 1 é possível. Logo, Para x 1, temos que F X (x) 0 x < 1 (2.4) F X (1) P (X 1) P (X < 1) + P (X 1) (2.5) Para qualquer valor de x tal que 1 < x < 2, temos f X (x) 0. Logo, F X (x) P (X 1) + P (1 < X < x) Jutado os resultados (2.5) e (2.6), obtemos F X (1) + 0 F X (1) x : 1 < x < 2 (2.6) F X (x) F X (1) 1 x : 1 x < 2

17 2.2. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 13 Com raciocíio aálogo, obtemos e para x (2, 3) F X (2) P (X 2) (2.7) P (X 1) + P (1 < X < 2) + P (X 2) F X (x) P (X 2) + P (2 < X < x) F X (2) + 0 F X (2) x : 2 < x < 3 (2.8) Usado (2.7) e (2.8), obtemos F X (x) F X (2) 4 x : 2 x < 3 Cotiuado, obtemos F X (x) F X (3) 9 F X (x) F X (4) 16 F X (x) F X (5) 25 x : 3 x < 4 x : 4 x < 5 x : 5 x < 6 Para x 6 devemos otar que o eveto {X x} correspode ao espaço amostral completo; logo F X (x) 1 x 6 Dessa forma, a fução de distribuição de X é 0 x < 1 1/ 1 x < 2 4/ 2 x < 3 F X (x) 9/ 3 x < 4 16/ 4 x < 5 25/ 5 x < 6 1 x 6 Na Figura 2.1, temos o gráfico de tal fução em que a escala vertical está em múltiplos de 2 e a horizotal, em múltiplos de 1. Note que esse gráfico tem a forma de uma escada, com saltos de descotiuidade os valores da v.a. X. A fução de probabilidade de X pode ser calculada a partir da fução de distribuição da seguite forma: f X (x) F X (x) lim δ 0 F X (x δ) F X (x) F X ( x ) (2.9) Isso sigifica que f X (x) é igual ao tamaho do salto da fução de distribuição o poto x. A coclusão que podemos tirar é a seguite: a fução de probabilidades e a fução de distribuição, ambas os dão todas as iformações sobre a variável aleatória X e a partir de uma podemos obter a outra, de forma iequívoca.

18 14 CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Figura 2.1 Fução de distribuição de X máximo das faces de 2 dados EXEMPLO 2.6 Dois dados: soma das faces Cosidere a fução de probabilidade da v.a. X soma das faces de 2 dados, obtida em (2.2). Devemos otar iicialmete que ehum valor meor que 2 é possível. Logo, Para x 2, temos que F X (x) 0 x < 2 (2.10) F X (2) P (X 2) P (X < 2) + P (X 2) (2.11) Para qualquer valor de x tal que 2 < x < 3, temos f X (x) 0. Logo, F X (x) P (X 2) + P (2 < X < x) Jutado os resultados (2.11) e (2.12), obtemos F X (2) + 0 F X (2) x : 2 < x < 3 (2.12) F X (x) F X (2) 1 x : 2 x < 3 Com raciocíio aálogo, obtemos e para x (3, 4) F X (3) P (X 3) (2.13) P (X 2) + P (2 < X < 3) + P (X 3) F X (x) P (X 3) + P (3 < X < x) F X (3) + 0 F X (3) x : 3 < x < 4 (2.14)

19 2.2. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 15 Usado (2.13) e (2.14), obtemos F X (x) F X (3) 3 x : 3 x < 4 Cotiuado, obtemos F X (x) F X (4) 6 F X (x) F X (5) 10 F X (x) F X (6) 15 F X (x) F X (7) 21 F X (x) F X (8) 26 F X (x) F X (9) 30 F X (x) F X (10) 33 F X (x) F X (11) 35 x : 4 x < 5 x : 5 x < 6 x : 6 x < 7 x : 7 x < 8 x : 8 x < 9 x : 9 x < 10 x : 10 x < 11 x : 11 x < 12 Para x 12 devemos otar que o eveto {X x} correspode ao espaço amostral completo; logo F X (x) 1 x 12 Dessa forma, a fução de distribuição de X é 0 x < 2 1/ 2 x < 3 3/ 3 x < 4 6/ 4 x < 5 10/ 5 x6 15/ 6 x < 7 F X (x) 21/ 7 x < 8 26/ 8 x < 9 30/ 9 x < 10 33/ 10 x < 11 35/ 11 x < 12 1 x 12 Os potos de descotiuidade são 2, 3,..., 12, que correspodem aos valores de X. Como ates, podemos obter a fução de probabilidade de X em cada um desses potos pelo tamaho do salto. Por exemplo, P(X 7) P(X 7) P(X < 7)

20 16 CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS EXEMPLO 2.7 Chaves Cosidere a fução de probabilidade da v.a. X Chaves de uma porta, dada em (2.3). Seguido raciocício aálogo ao adotado os dois exemplos ateriores, obtemos a seguite fução de distribuição acumulada de X úmero de chaves testadas até abrir a porta : F X (x) 0 x < 1 1/4 1 x < 2 2/4 2 x < 3 3/4 3 x < 4 1 x 4 EXEMPLO 2.8 Fução de distribuição e fução de probabilidade Dada a fução F(x) 0 x < 1 1/2 1 x < 2 k 2 x < 3 3/4 3 x < 4 1 x 4 em que k é uma costate, determie os possíveis valores de k para que F(x) seja a fução de distribuição acumulada de uma variável aleatória X. Em seguida, determie a fução de probabilidade desta v.a. X. Solução Como a fução de distribuição de qualquer v.a. X tem que ser uma fução ão decrescete, cocluímos que k tem que ser maior ou igual a 1 2. Pela mesma razão, k tem que ser meor ou igual a 3 4. Dessa forma, os possíveis valores de k pertecem ao itervalo [ 1 2, 3 ] 4. Os valores possíveis da v.a. X correspodem aos potos de descotiuidade da fução F(x). Logo, X assume os valores 1, 2, 3, 4. As probabilidades desses valores são dadas pelo tamaho do salto de F(x). Etão, k : 1 2 k 3 4, temos: P(X 1) 1 2 P(X 2) k 1 2 P(X 3) 3 4 k P(X 4)

21 2.2. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 17 EXEMPLO 2.9 Demada por produto A demada por um certo produto pode ser vista como uma variável aleatória X cuja fução de probabilidade f X (x) é estimada por Número de uidades demadadas x f X (x) P(X x) 0, 25 0, 45 0, 15 0, 15 (a) Verifique que f X (x) realmete defie uma fução de probabilidade. (b) Obteha a fução de distribuição acumulada de X. (c) Usado a fução de distribuição calculada o item aterior, calcule P(X 3, 5). Solução (a) 0, 25+0, 45+0, 15+0, 15 1 e todos os valores são ão egativos. Logo, f X é uma fução de probabilidade. (b) (c) Temos que F X (x) 0 se x < 1 0,25 se 1 x < 2 0,70 se 2 x < 3 0,85 se 3 x < 4 1,00 se x 4 P(X 3, 5) F X (3, 5) 0, 85 EXEMPLO 2.10 Uma variável aleatória discreta X tem a seguite fução de probabilidade k (x+2)! x 0, 1 f X (x) 0 x 0 e x 1 ode k é uma costate. (a) Determie o valor de k. (b) Calcule a fução de distribuição F X (x).

22 18 CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Solução (a) Os valores possíveis da v.a. são 0 e 1. Etão, temos que ter Logo, f X (0) + f X (1) 1 k 2! + k 3! 1 k 2 + k 6 1 3k + k 6 1 k f X (0) f X (1) (b) A fução de distribuição de X é 0 se x < 0 3 F X (x) 4 se 0 x < 1 1 se x Fuções de Variáveis Aleatórias Dada uma v.a. X, podemos obter outras variáveis aleatórias através de fuções de X e, da mesma forma que calculamos a fução de probabilidade de X, podemos calcular a fução de probabilidade dessas ovas variáveis. EXEMPLO 2.11 Fução de variável aleatória: Y X 2 Cosidere a v.a. X cuja fução de probabilidade é dada a tabela abaixo: x f X (x) 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 0,1 Cosideremos a fução Y g(x) X 2. Etão, Y é uma ova variável aleatória, cujos possíveis valores são 0, 1, 4, 9. Para calcular as probabilidades desses valores, temos que idetificar os valores de X que origiaram cada um deles. Temos a seguite equivalêcia de evetos: {Y 0} {X 0} {Y 1} {X 1} {X 1} {Y 4} {X 2} {X 2} {Y 9} {X 3}

23 2.4. ESPERANÇA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 19 (O símbolo represeta é equivalete a ). Como os evetos são mutuamete exclusivos, segue que P (Y 0) P (X 0) 0, 2 P (Y 1) P (X 1) + P (X 1) 0, 5 P (Y 4) P (X 2) + P (X 2) 0, 2 P (Y 9) P (X 3) 0, 1 e podemos resumir essa fução de probabilidade como y f Y (y) 0,2 0,5 0,2 0,1 (2.15) DEFINIÇÃO Fução de Variável Aleatória Seja X uma variável aleatória discreta com fução de probabilidade f X (x). Se defiimos uma ova v.a. Y g(x), ode g é uma fução real qualquer, etão a fução de probabilidade de Y é calculada como f Y (y) P(Y y) f X (x) {x g(x)y} 2.4 Esperaça de Variáveis Aleatórias Discretas No estudo de variáveis aleatórias e suas distribuições de probabilidades, associamos úmeros aos potos do espaço amostral, ou seja, o resultado é sempre uma variável quatitativa (ote que os resultados cara e coroa ão defiem uma variável aleatória; para tal, temos que associar úmeros, 0 e 1, por exemplo, a esses resultados). Sedo assim, faz setido pergutar qual é o valor médio da variável aleatória X? DEFINIÇÃO Esperaça de uma variável aleatória discreta Seja X uma variável aleatória discreta que assume os valores x 1, x 2,... com probabilidades p 1, p 2,... respectivamete. A esperaça ou média de X é defiida como E (X) p i x i x i P (X x i ) (2.16) i i ode o somatório se estede por todos os valores possíveis de X.

24 20 CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Podemos ver, etão, que a esperaça de X é uma média dos seus valores, poderada pelas respectivas probabilidades. EXEMPLO 2.12 Vedas e comissões Em determiado setor de uma loja de departametos, o úmero de produtos vedidos em um dia pelos fucioários é uma variável aleatória P com a seguite distribuição de probabilidades (esses úmeros foram obtidos dos resultados de vários aos de estudo): Número de produtos Probabilidade de veda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 Cada vededor recebe comissões de veda, distribuídas da seguite forma: se ele vede até dois produtos em um dia, ele gaha uma comissão de R$10,00 por produto vedido. A partir da terceira veda, a comissão passa para R$50,00 por produto. Qual é o úmero médio de produtos vedidos por cada vededor e qual a comissão média de cada um deles? Solução O úmero médio de produtos vedidos por fucioário é E(P) 0 0, , , , , , , 05 2, 05 Com relação à comissão, vamos costruir sua fução de probabilidade: Número de produtos P Comissão C Probabilidade de veda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 A partir dessa fução de probabilidade, podemos calcular: E(C) 0 0, , , , , , , 05 46, 5 ou seja, a comissão média diária de cada vededor é R$ 46,50. Note que a esperaça de X tem a mesma uidade de medida dos valores de X Esperaça de Fuções de Variáveis Aleatórias Vimos que é possível obter ovas variáveis aleatórias a partir de fuções g(x) de uma variável X e através da fução de probabilidade de X podemos obter a fução de probabilidade

25 2.4. ESPERANÇA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 21 de Y. Sedo assim, podemos calcular a esperaça de Y. Foi exatamete isso o que fizemos o caso das comissões o exemplo aterior, ode tíhamos { 10P, se P 2 C (P 2), se P > 2 Aalisado atetamete aquele exemplo e otado que, por defiição de fução, a cada valor de X correspode um úico Y g(x), obtemos o resultado geral sobre a esperaça de fuções de variáveis aleatórias. DEFINIÇÃO Esperaça de Fuções de uma Variável Aleatória Seja X uma variável aleatória discreta com fução de probabilidade f X (x). Se defiimos uma ova v.a. Y g(x), etão E (Y ) E [g (X)] x g (x) f X (x) (2.17) EXEMPLO 2.13 Cosidere a v.a. X, já aalisada o Exemplo 2.11, ode calculamos E(X 2 ). x f X (x) 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 0,1 Naquele exemplo, calculamos a fução de probabilidade da v.a. Y X 2, resumida em (2.15), e, a partir dela, podemos calcular: ( E (Y ) E X 2) 0 0, , , , 1 2, 2 Usado o resultado (2.17), podemos fazer simplesmete: ( E X 2) ( 2) 2 0, 1 + ( 1) 2 0, , , , , 1 2, 2 sem ecessidade do cálculo da fução de probabilidade de Y Propriedades da Esperaça No que segue, X é uma variável aleatória discreta com fução de probabilidade f X (x) e a, b 0 são costates reais quaisquer. Temos, etão, os seguites resultados, cujas demostrações são imediatas, a partir da defiição de esperaça: E(a) a (2.18)

26 22 CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E(X + a) E(X) + a (2.19) E(bX) b E(X) (2.20) x mi E(X) x max (2.21) Nessa última propriedade, x mi e x max são os valores míimo e máximo da variável X. 2.5 Variâcia e desvio-padrão de uma variável aleatória A esperaça de uma variável aleatória X é o cetro de gravidade da distribuição de probabilidades. Sedo assim, a esperaça é uma medida de posição. No etato, é possível que duas variáveis bem diferetes teham a mesma esperaça, como é o caso das duas distribuições apresetadas a Figura 2.2. Nestas duas distribuições, a dispersão dos valores é diferete. Figura 2.2 Fuções de probabilidade com mesma esperaça e diferetes dispersões A dispersão de uma variável aleatória X será, iicialmete, medida pela sua variâcia. DEFINIÇÃO Variâcia de uma variável aleatória A variâcia de uma variável aleatória X é defiida como Var (X) E [X E (X)] 2 (2.22) O termo X E(X) é o desvio em toro da média. Sedo assim, a variâcia é a média dos desvios quadráticos em toro da média E(X).

27 2.5. VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA 23 Vamos ver como calcular a variâcia de uma v.a. discreta. Para isso, vamos defiir g(x) [X E(X)] 2. Etão, usado o resultado dado a equação (2.17), temos que Var (X) E [g (X)] x [x E(X)] 2 f X (x) Desevolvedo o quadrado e usado as propriedades do somatório e da esperaça vistas a seção aterior, resulta Var (X) { x 2 2x E(X) + [E(X)] 2} f X (x) x x x 2 f X (x) 2 E(X) x xf X (x) + [E(X)] 2 x f X (x) x x x x 2 f X (x) 2 E(X) E(X) + [E(X)] 2 1 x 2 f X (x) 2 [E(X)] 2 + [E(X)] 2 x 2 f X (x) [E(X)] 2 Mas, se defiimos h(x) X 2, etão E [h(x)] x x 2 f X (x). Logo, podemos escrever Var (X) E(X 2 ) [E(X)] 2 (2.23) que pode ser lida de maeira mais fácil como a variâcia é a esperaça do quadrado meos o quadrado da esperaça. Da defiição de variâcia, resulta que sua uidade de medida é o quadrado da uidade de medida da variável em estudo, sedo assim, uma uidade sem sigificado físico. Para se ter uma medida de dispersão a mesma uidade dos dados, defie-se o desvio-padrão como a raiz quadrada da variâcia. DEFINIÇÃO Desvio padrão de uma variável aleatória O desvio-padrão de uma variável aleatória X é defiido como a raiz quadrada de sua variâcia: DP (X) Var (X) (2.24) Propriedades da variâcia e do desvio padrão Sedo a variâcia e o desvio-padrão medidas de dispersão, é fácil ver que são válidas as seguites propriedades, ode a, b 0 são costates quaisquer: Var(X) 0 (2.25) DP(X) 0 (2.26)

28 24 CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Var (a) 0 (2.27) DP(a) 0 (2.28) Var (X + a) Var (X) (2.29) DP (X + a) DP(X) (2.30) Var (bx) b 2 Var (X) (2.31) DP(bX) b DP(X) (2.32) EXEMPLO 2.14 Cosidere a v.a. Y com fução de probabilidade dada por y f Y (y) 0, 25 0, 30 0, 20 0, 10 0, 07 0, 05 0, 03 e seja Z 2Y 3. Vamos calcular a esperaça e a variâcia de Y e Z. Solução Vamos calcular agora E(Y 2 ) : E(Y ) 3 0, , , , , , , 03 0, 17 E(Z) 2 E(Y ) 3 2 0, , 66 E(Y 2 ) 9 0, , , , , , , 03 10, 33 Logo Var(Y ) 10, 33 0, , 3011 Usado as propriedades da variâcia, temos que Var(Z) 2 2 Var(Y ) 41, 2044 EXEMPLO 2.15 Um lojista matém extesos registros das vedas diárias de certo aparelho. O quadro a seguir, dá a distribuição de probabilidades do úmero de aparelhos vedidos em uma semaa. Se o lucro por uidade vedida é de R$500,00, qual o lucro esperado em uma semaa? Qual é o desvio-padrão do lucro?

29 2.5. VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA 25 x úmero de aparelhos f X (x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 Solução Seja X o úmero de aparelhos vedidos em uma semaa e seja L o lucro semaal. Etão, L 500X. E (X) 0 0, , , , , , 1 2, 7 aparelhos ( E X 2) 0 2 0, , , , , , 1 10, 2 aparelhos 2 Com relação ao lucro semaal, temos que Var (X) 10, 2 (2, 7) 2 2, 91 aparelhos 2 DP (X) 1, 706 aparelhos E (L) 500 E (X) R$1350, 00 DP (L) 500 DP(X) R$852, 94 EXEMPLO 2.16 Seja uma v.a. X com fução de probabilidade dada a tabela a seguir: x f X (x) p 2 p 2 p p p 2 (a) Ecotre o valor de p para que f X (x) seja, de fato, uma fução de probabilidade. (b) Calcule P (X 4) e P (X < 3). (c) Calcule P ( X 3 2). (d) Calcule E(X) e Var(X). Solução

30 26 CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (a) Como x f X (x) 1, temos que ter: 3p 2 + 2p 1 3p 2 + 2p 1 0 p 2 ± ± 4 p 1 ou 6 6 p 1 3 Como p é uma probabilidade, temos que ter p 0. Logo, o valor correto é p 1 3. (b) P(X 4) P(X 4) + P(X 5) p + p Pr(X < 3) P(X 1) + P(X 2) 2p (c) Aqui temos que otar o seguite fato sobre a fução módulo, ilustrado a Figura 2.3. Valores y x o eixo vertical meores que k (abaixo da liha horizotal sólida) correspodem a valores de x o itervalo ( k, k) e valores y o eixo vertical maiores que k correspodem ou a x > k ou a x < k. Mais precisamete, x k x k ou x k x k k x k Figura 2.3 Fução módulo Usado esses fatos, temos que P ( X 3 2) P ({X 3 2} {X 3 2}) P (X 3 2) + P (X 3 2) P (X 1) + P (X 5) P (X 1) + P(X 5) 2p 2 2 9

31 2.5. VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA 27 (d) Temos que E(X) 1 p p p + 4 p + 5 p , 2222 E(X 2 ) 1 2 p p p p p Var(X) 35 3 ( 29 9 ) EXEMPLO 2.17 Jogo de dados Um jogador A paga R$5,00 a B e laça um dado. Se sair face 3, gaha R$20,00. Se sair face 4, 5, ou 6, perde. Se sair face 1 ou 2, tem o direito de jogar ovamete. Desta vez, laça dois dados. Se saírem duas faces 6, gaha R$50,00. Se sair uma face 6, recebe o diheiro de volta. Nos demais casos, perde. Seja L o lucro líquido do jogador A esse jogo. Calcule a fução de probabilidade de L e o lucro esperado do jogador A. Solução Sabemos que o dado é hoesto e que os laçametos são idepedetes. O diagrama de árvore para o espaço amostral desse experimeto é dado a Figura 2.4. Para calcular a probabilidade dos evetos associados aos laçametos dos dois dados (parte iferior da árvore), usamos o fato de que a probabilidade da iterseção de evetos idepedetes é o produto das probabilidades. No cálculo da probabilidade de uma face 6, multiplicamos por 2, porque a face 6 pode estar em qualquer um dos dois dados. Vemos que os valores do lucro L são: -5; 0; 15; 45 e a fução de probabilidade de L é ou Lucro l P(L l) Lucro l P(L l) E(L) ,

32 28 CAPÍTULO 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Figura 2.4 Espaço amostral para o Exemplo 2.17

33 Capítulo 3 Algumas Distribuições Discretas 3.1 Itrodução Cosidere as seguites situações: 1. (a) Laça-se uma moeda viciada e observa-se o resultado obtido e (b) perguta-se a um eleitor se ele vai votar o cadidato A ou B. 2. (a) Laça-se uma moeda vezes e observa-se o úmero de caras obtidas e (b) de uma grade população, extrai-se uma amostra de eleitores e perguta-se a cada um deles em qual dos cadidatos A ou B eles votarão e cota-se o úmero de votos do cadidato A. 3. (a) De uma ura com P bolas vermelhas e Q bolas bracas, extraem-se bolas sem reposição e cota-se o úmero de bolas bracas e (b) de uma população com P pessoas a favor do cadidato A e Q pessoas a favor do cadidato B, extrai-se uma amostra de tamaho sem reposição e cota-se o úmero de pessoas a favor do cadidato A a amostra. Em cada uma das situações ateriores, os experimetos citados têm algo em comum: em certo setido, temos a mesma situação, mas em cotextos diferetes. Por exemplo, a situação 1, cada um dos experimetos tem dois resultados possíveis e observamos o resultado obtido. Na situação 3, temos uma população dividida em duas categorias e dela extraímos uma amostra sem reposição; o iteresse está o úmero de elemetos de uma determiada categoria. Na prática, existem muitas outras situações que podem se ecaixar os modelos acima e mesmo em outros modelos. O que veremos esse capítulo são algus modelos de variáveis aleatórias discretas que podem descrever situações como as listadas ateriormete. Nesse cotexto, um modelo será defiido por uma variável aleatória e sua fução de probabilidade, explicitado-se claramete as hipóteses de validade. De posse desses elemetos, poderemos aalisar diferetes situações práticas para tetar ecaixá-las em algum dos modelos dados.

34 30 CAPÍTULO 3. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Neste capítulo, serão descritas as distribuições de probabilidade discretas mais usuais.a itrodução de cada uma delas será feita através de um exemplo clássico (moeda, ura, baralho etc.) e, em seguida, serão explicitadas as características do experimeto. Tais características são a ferrameta ecessária para sabermos qual modelo se aplica a uma determiada situação prática. Defiida a distribuição, calculam-se a média e a variâcia. 3.2 Distribuição Uiforme Discreta Supoha que seu professor de Estatística decida dar de presete a um dos aluos um livro de sua autoria. Não queredo favorecer qualquer aluo em especial, ele decide sortear aleatoriamete o gahador, detre os 45 aluos da turma. Para isso, ele umera os omes dos aluos que costam do diário de classe de 1 a 45, escreve esses úmeros em pedaços iguais de papel, dobrado-os ao meio para que o úmero ão fique visível, e sorteia um desses papéis depois de bem misturados. Qual é a probabilidade de que você gahe o livro? Qual é a probabilidade de que o aluo que tirou a ota mais baixa a primeira prova gahe o livro? E o que tirou a ota mais alta? O importate a otar esse exemplo é o seguite: o professor tomou todos os cuidados ecessários para ão favorecer qualquer aluo em especial. Isso sigifica que todos os aluos têm a mesma chace de gahar o livro. Temos, assim, um exemplo da distribuição uiforme discreta. DEFINIÇÃO Distribuição uiforme discreta A variável aleatória discreta X, que assume os valores x 1, x 2,..., x, tem distribuição uiforme se f X (x i ) P(X x i ) 1 i 1, 2,..., (3.1) Note que, em uma distribuição discreta uiforme, todos os valores são igualmete prováveis. Além disso, para que uma v.a. X teha distribuição uiforme discreta, é ecessário que X assuma um úmero fiito de valores, já que x f X (x) Esperaça e Variâcia Seja X uma v.a. discreta uiforme que assume valores x 1, x 2,..., x. Por defiição, a esperaça de X é E(X) 1 x x x x, ou seja, E(X) é a média aritmética dos valores possíveis de X.

35 3.2. DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DISCRETA 31 Com relação à variâcia, temos, por defiição, que Var(X) E [X E(X)] 2 1 (x 1 x) (x 2 x) (x x) 2 σ 2 X EXEMPLO 3.1 Laçameto de uma moeda Cosidere o laçameto de uma moeda. Vamos defiir a seguite variável aleatória X associada a esse experimeto: X 0, X 1, se ocorre cara se ocorre coroa Para que essa v.a. teha distribuição uiforme, é ecessário supor que a moeda seja hoesta e, esse caso, f X (0) f X (1) 1 2 E(X) Var(X) 1 ( ) ( ) EXEMPLO 3.2 Coserto de máquia Os defeitos em determiada máquia ocorrem aproximadamete a mesma frequêcia. Depededo do tipo de defeito, o técico leva 1, 2, 3, 4 ou 5 horas para cosertar a máquia. (a) Descreva o modelo probabilístico apropriado para represetar a duração do tempo de reparo da máquia. (b) Qual é o tempo médio de reparo desta máquia? reparo? E o desvio-padrão deste tempo de (c) São 15 horas e acaba de ser etregue uma máquia para reparo. A jorada ormal de trabalho do técico termia às 17 horas. Qual é a probabilidade de que o técico ão precise fazer hora extra para termiar o coserto desta máquia? Solução Seja T tempo de reparo, em horas.

36 32 CAPÍTULO 3. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS (a) Como os defeitos ocorrem a mesma frequêcia, o modelo probabilístico apropriado é uma distribuição uiforme: t f T (t) P(T t) 1 5 (b) E(T ) horas 5 Var(T ) DP(T ) 1, 41 horas 5 (c) Seja E o eveto técico vai ter que fazer hora extra. Etão P(E) P(T > 2) 3 5 0, Logo, a probabilidade de que ele ão teha que fazer hora extra é 0, Distribuição de Beroulli Cosidere o laçameto de uma moeda. A característica de tal experimeto aleatório é que ele possui apeas dois resultados possíveis. Uma situação aáloga surge quado da extração da carta de um baralho, em que o iteresse está apeas a cor (preta ou vermelha) da carta sorteada. DEFINIÇÃO Experimeto de Beroulli Um experimeto de Beroulli é um experimeto aleatório com apeas dois resultados possíveis; por coveção, um deles é chamado sucesso e o outro, fracasso. DEFINIÇÃO Variável aleatória de Beroulli A v.a. de Beroulli é a v.a. X associada a um experimeto de Beroulli, em que se defie { 1 se ocorre sucesso X 0 se ocorre fracasso Chamado de p a probabilidade de sucesso (0 < p < 1), a distribuição de Beroulli é x 0 1 (3.2) f X (x) 1 p p

37 3.3. DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 33 Obviamete, as codições defiidoras de uma fução de probabilidade são satisfeitas, uma vez que p > 0, 1 p > 0 e p + (1 p) 1. O valor de p é o úico valor que precisamos cohecer para determiar completamete a distribuição; ele é, etão, chamado parâmetro da distribuição de Beroulli. Vamos deotar a distribuição de Beroulli com parâmetro p por Ber(p). A fução de distribuição acumulada é dada por: 0 se x < 0 F X (x) 1 p se 0 x < 1 1 se x 1 (3.3) Na Figura 3.1, temos os gráficos da fução de probabilidade e da fução de distribuição acumulada de uma variável de Beroulli. Figura 3.1 Distribuição de Beroulli: fução de probabilidade e fução de distribuição Esperaça e Variâcia Seja X Ber(p) (lê-se: a variável aleatória X tem distribuição de Beroulli com parâmetro p). Etão, E(X) 0 (1 p) + 1 p p E(X 2 ) 0 2 (1 p) p p Var(X) E(X 2 ) [E(X)] 2 p p 2 Em resumo: X Ber(p) E(X) p Var(X) p(1 p) (3.4) É comum deotar a probabilidade de fracasso por q, isto é, q 1 p. EXEMPLO 3.3 Laçameto de uma moeda

38 34 CAPÍTULO 3. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Cosidere ovamete o laçameto de uma moeda e a seguite variável aleatória X associada a esse experimeto: { 1 se ocorre cara X 0 se ocorre coroa Seja p a probabilidade de cara, 0 < p < 1. Etão, X tem distribuição de Beroulli com parâmetro p. Note que, esse caso, a Beroulli com parâmetro p 1/2 é equivalete à distribuição uiforme. EXEMPLO 3.4 Auditoria da Receita Federal Um auditor da Receita Federal examia declarações de Imposto de Reda de pessoas físicas, cuja variação patrimoial ficou acima do limite cosiderado aceitável. De dados históricos, sabe-se que 10% dessas declarações são frauduletas. Vamos cosiderar o experimeto correspodete ao sorteio aleatório de uma dessas declarações. Esse é um experimeto de Beroulli, em que o sucesso equivale à ocorrêcia de declaração frauduleta e o parâmetro da distribuição de Beroulli é p 0, 1. Esse exemplo ilustra o fato de que sucesso, esse cotexto, em sempre sigifica uma situação feliz a vida real. Aqui, sucesso é defiido de acordo com o iteresse estatístico o problema. Em uma situação mais dramática, sucesso pode idicar a morte de um paciete, por exemplo. 3.4 Distribuição Biomial Vamos itroduzir a distribuição biomial, uma das mais importates distribuições discretas, através de um exemplo. Em seguida, discutiremos as hipóteses feitas e apresetaremos os resultados formais sobre tal distribuição e ovos exemplos. EXEMPLO 3.5 Laçametos de uma moeda Cosidere o seguite experimeto: uma moeda é laçada 4 vezes e sabe-se que p P(cara). Vamos defiir a seguite variável aleatória associada a este experimeto: X úmero de caras Como visto ates, cada laçameto da moeda represeta um experimeto de Beroulli e como o iteresse está o úmero de caras, vamos defiir sucesso cara. Para ecotrar a fução de probabilidade de X, o primeiro fato a otar é que os valores possíveis de X são: 0, que equivale à ocorrêcia de ehuma cara e, portato, de 4 coroas; 1, que equivale à ocorrêcia de apeas 1 cara e, portato, 3 coroas; 2, que equivale à ocorrêcia

39 3.4. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 35 de 2 caras e, portato, 2 coroas; 3, que equivale à ocorrêcia de 3 caras e 1 coroa e, fialmete, 4, que equivale à ocorrêcia de 4 caras e ehuma coroa. Assim, os possíveis valores de X são X 0, 1, 2, 3, 4 Vamos, agora, calcular a probabilidade de cada um desses valores, de modo a completar a especificação da fução de probabilidade de X. Para isso, vamos represetar por K i o eveto cara o i-ésimo laçameto e por C i o eveto coroa o i-ésimo laçameto. X 0 Temos a seguite equivalêcia de evetos: {X 0} C 1 C 2 C 3 C 4 É razoável supor que os laçametos da moeda sejam evetos idepedetes, ou seja, o resultado de um laçameto ão iterfere o resultado de qualquer outro laçameto. Dessa forma, os evetos C i e K j são idepedetes para i j. (Note que os evetos C i e K i são mutuamete exclusivos e, portato, ão são idepedetes se sair cara em um laçameto específico, ão é possível sair coroa esse mesmo laçameto e vice-versa). Aalogamete, os evetos C i e C j são idepedetes para i j, bem como os evetos K i e K j, i j. Pela regra da probabilidade da iterseção de evetos idepedetes, resulta que X 1 P (C 1 C 2 C 3 C 4 ) P(C 1 ) P(C 2 ) P(C 3 ) P(C 4 ) (1 p) (1 p) (1 p) (1 p) (1 p) 4 O eveto X 1 correspode à ocorrêcia de 1 cara e, cosequetemete, de 3 coroas. Uma sequêcia possível de laçametos é K 1 C 2 C 3 C 4. Vamos calcular a probabilidade desse resultado. evetos idepedetes e, portato, Como ates, os laçametos são P(K 1 C 2 C 3 C 4 ) P(K 1 ) P(C 2 ) P(C 3 ) P(C 4 ) p (1 p) (1 p) (1 p) p(1 p) 3 Mas qualquer sequêcia com 1 cara resulta em X 1, ou seja, a face cara pode estar em qualquer uma das quatro posições e todas essas sequêcias resultam em X 1. Além disso, defiida a posição da face cara, as posições das faces coroas já estão determiadas são as posições restates. Etão, temos a seguite equivalêcia: {X 1} {K 1 C 2 C 3 C 4 } {C 1 K 2 C 3 C 4 } {C 1 C 2 K 3 C 4 } {C 1 C 2 C 3 K 4 }

40 CAPÍTULO 3. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Mas os evetos que aparecem o lado direito da expressão aterior são evetos mutuamete exclusivos. Logo, P(X 1) P(K 1 C 2 C 3 C 4 ) + P(C 1 K 2 C 3 C 4 ) + P(C 1 C 2 K 3 C 4 ) + P(C 1 C 2 C 3 K 4 ) p (1 p) (1 p) (1 p) +(1 p) p (1 p) (1 p) +(1 p) (1 p) p (1 p) +(1 p) (1 p) (1 p) p 4p(1 p) 3 X 2 O eveto X 2 correspode à ocorrêcia de 2 caras e, cosequetemete, de 2 coroas. Qualquer uma dessas sequêcias tem probabilidade p 2 (1 p) 2. As sequêcias de laçametos com 2 caras e 2 coroas são as seguites: K 1 K 2 C 3 C 4 K 1 C 2 K 3 C 4 K 1 C 2 C 3 K 4 C 1 C 2 K 3 K 4 C 1 K 2 C 3 K 4 C 1 K 2 K 3 C 4 Todas essas 6 sequêcias têm a mesma probabilidade e correspodem a evetos mutuamete exclusivos. Temos a seguite equivalêcia: e, portato, {X 2} (K 1 K 2 C 3 C 4 ) (K 1 C 2 K 3 C 4 ) (K 1 C 2 C 3 K 4 ) (C 1 C 2 K 3 K 4 ) (C 1 K 2 C 3 K 4 ) (C 1 K 2 K 3 C 4 ) P(X 2) P(K 1 K 2 C 3 C 4 ) + P(K 1 C 2 K 3 C 4 ) + P(K 1 C 2 C 3 K 4 ) + P(C 1 C 2 K 3 K 4 ) + P(C 1 K 2 C 3 K 4 ) + P(C 1 K 2 K 3 C 4 ) 6p 2 (1 p) 2 X 3 e X 4

41 3.4. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 37 Os casos X 3 e X 4 são aálogos aos casos X 1 e X 0, respectivamete; basta trocar caras por coroas e vice-versa. Assim, P(X 3) 4p 3 (1 p) P(X 4) p 4 É importate otar que a hipótese de idepedêcia dos laçametos da moeda foi absolutamete fudametal a solução do exemplo; foi ela que os permitiu multiplicar as probabilidades dos resultados de cada laçameto para obter a probabilidade da sequêcia completa de laçametos. Embora essa hipótese seja muito razoável esse exemplo, aida assim é uma hipótese subjetiva. Outra propriedade utilizada foi a da probabilidade da uião de evetos mutuamete exclusivos. Mas aqui essa propriedade é óbvia, ou seja, ão há qualquer subjetividade: os evetos C 1 K 2 e K 1 C 2 são mutuamete exclusivos, pois o primeiro laçameto ou sai cara ou sai coroa; ão pode sair cara e coroa o primeiro laçameto, ou seja, cada laçameto é um experimeto de Beroulli. EXEMPLO 3.6 Bolas em uma ura Uma ura cotém quatro bolas bracas e seis bolas verdes. Três bolas são retiradas dessa ura, com reposição, isto é, depois de tirada a primeira bola, ela é recolocada a ura e sorteia-se a seguda, que também é recolocada a ura para, fialmete, ser sorteada a terceira bola. Vamos defiir a seguite variável aleatória associada a esse experimeto: X úmero de bolas bracas sorteadas O importate a otar aqui é o seguite: como cada bola sorteada é recolocada a ura ates da próxima extração, a composição da ura é sempre a mesma e o resultado de uma extração ão afeta o resultado de outra extração qualquer. Dessa forma, em todas as extrações a probabilidade de bola braca (e também bola verde) é a mesma e podemos cosiderar as extrações como idepedetes. Assim, temos uma situação aáloga à do exemplo aterior: temos três repetições de um experimeto (sorteio de uma bola), essas repetições são idepedetes, em cada uma delas há dois resultados possíveis bola braca (sucesso) ou bola verde (fracasso) e as probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas. Assim, cada extração equivale a um experimeto de Beroulli e como o iteresse está as bolas bracas, vamos cosiderar sucesso bola braca e da observação aterior resulta que P(sucesso) 4 10 Os valores possíveis de X são 0, 1, 2, 3, uma vez que são feitas três extrações. Vamos calcular a probabilidade de cada um dos valores de X. Como ates, vamos deotar por V i o eveto bola verde a i-ésima extração e por B i o eveto bola braca a i-ésima extração. Da discussão aterior, resulta que, para i j, os evetos V i e B j são idepedetes, assim como os evetos B i e B j e os evetos V i e V j.