Disciplina: Probabilidade e Estatística (MA70H) Profª Silvana Heidemann Rocha Estudante: Código: APRESENTAÇÃO DE DADOS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA

Transcrição

1 Miistério da Educação UIVERSIDADE TECOLÓGICA FEDERAL DO PARAÁ Câmpus Curitiba Diretoria de Graduação e Educação Profissioal Departameto Acadêmico de Estatística 1 Disciplia: Probabilidade e Estatística (MA70H) Profª Silvaa Heidema Rocha Estudate: Código: APRESETAÇÃO DE DADOS PARA VARIÁVEL QUATITATIVA 1 TABELA E GRÁFICO PARA VARIÁVEL QUATITATIVA DISCRETA Tabela de distribuição de frequêcias, com os dados ão agrupados em classes Histograma de haste TABELA E GRÁFICOS PARA VARIÁVEL QUATITATIVA COTÍUA 1 Tabela de distribuição de frequêcias, com os dados agrupados em classes o Elemetos de uma tabela de distribuição de frequêcias, com k classes: Variável (X), cuja amostra é represetada por X: x 1, x, x 3,, x e a amplitude amostral (AA X ) é calculada por AA X = máx{x 1, x,, x } mí{x 1, x,, x } Tamaho da amostra () Classe de frequêcias (i), com i = 1,, 3,, k Limites de classe Limite iferior (l i ) Limite superior (L i ) Amplitude de classe ou itervalo de classe (h i ), com h i = L i l i Amplitude total da distribuição (AT), com AT = L k l 1 Poto médio de classe (x i ), com x i = L i+l i k Frequêcia simples ou absoluta de classe ( i ), com i=1 i =. Frequêcia relativa de classe (fr i ), com fr i = i e i=1 fr i = 1 j Frequêcia acumulada de classe (F i ), com F j = i=1 i j Frequêcia relativa acumulada de classe (Fr i ), com Fr j = i=1 fr i Desidade de frequêcia relativa de classe (Δ i ), com Δ i = fr i h i Histograma de frequêcia simples ou histograma de frequêcia absoluta 1 Quado uma variável discreta apresetar uma quatidade grade de resultados, de forma que a tabela de distribuição de frequêcias sem itervalos de classe teha muitas lihas, é usual agrupar os dados em itervalos de classe. Também é usual elaborar tabela de distribuição de frequêcias, com dados agrupados em classes, quado uma variável estiver com escala itervalar ou com escala de razão. o etato, deve-se ter cautela ao realizar operações matemáticas quado a variável estiver com escala itervalar, pois os resultados matemáticos podem ão represetar a realidade. k

2 Histograma de frequêcia relativa Histograma de desidade de frequêcia relativa: obrigatório para distribuição de frequêcias, com amplitudes de classes diferetes. Histograma de frequêcia acumulada Histograma de frequêcia relativa acumulada Polígoo de frequêcia (absoluta, relativa, acumulada, relativa acumulada) Polígoo de desidade de frequêcia relativa Curva polida 3 DIAGRAMA DE CAIXA (BOX PLOT): usado para visualizar evetuais assimetria e potos discrepates, os dados. 4 DIAGRAMA RAMO-E-FOLHAS: usado para preservar os dados brutos, orgaizados em rol 5 OBSERVAÇÕES SOBRE TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊCIAS, COM DADOS AGRUPADOS EM CLASSE Usualmete, é recomedado que uma tabela de distribuição de frequêcias, com dados agrupados em classe, apresete de 4 a 0 classes. uma tabela de distribuição de frequêcias, com dados agrupados em classe: o ão pode haver classe com frequêcia ula; o uma mesma classe, só podem ser agrupados elemetos semelhates etre si, de modo que o poto médio da respectiva classe represete realmete todos os elemetos agrupados aquela classe; o o úmero de classes, k, é calculado por chute iicial e as fórmulas mais comus são: k =, para 400, e k = 1 + 3,3 log (fórmula de Sturges) o a amplitude de classe é calculada por chute iicial por meio da fórmula h i = AA X k, com AA X = máx{x 1, x,, x } mí{x 1, x,, x }, isto é, AA X é a amplitude amostral; o as amplitudes de classe ão precisam ser todas iguais; o mais importate é que ehuma classe teha frequêcia ula, pois, ao se tetar ajustar uma curva de desidade de probabilidade ao histograma de desidade de frequêcia relativa, mediate testes de aderêcia ou de ajustameto, são realizadas divisões pela frequêcia simples de cada classe; o em geral, o limite iferior da primeira classe, l 1, é igual ao meor valor observado a amostra, mas isso ão é obrigatório; o mais importate é que o poto médio de cada classe realmete represete os dados agrupados aquela classe.

3 Tabela geérica para dados agrupados em classe 3 Classe (i) Variável (X) Frequêcia simples ( i ) Poto médio (x i ) Frequêcia relativa (fr i ) Frequêcia acumulada (F i ) Frequêcia relativa acumulada (Fr i ) Desidade de frequêcia relativa ( i ) 1 l 1 L 1 1 x 1 fr 1 F 1 Fr 1 1 l L x fr F Fr k l k L k k x k fr k F k Fr k k Total 1,000 Fote: A autora. EXERCÍCIOS 1) Preecha a tabela abaixo: Classe (i) Peça de automóvel da fábrica Carro Popular, segudo o diâmetro, em cetímetros Almirate Tamadaré Agosto/018 Diâmetro, em cm (X) º de peças ( i ) Total 30 Fote: Dados fictícios. Poto médio (x i ) Frequêcia relativa (fr i ) Frequêcia acumulada (F i ) Frequêcia relativa acumulada (Fr i ) Desidade de frequêcia relativa ( i ) ) Esboce o histograma de frequêcia, o histograma de frequêcia relativa e o histograma de desidade de frequêcia relativa. Qual deles represeta adequadamete os dados? Justifique. 3) Esboce o polígoo de frequêcia, o polígoo de frequêcia relativa e o polígoo de desidade de frequêcia relativa, sobre o respectivo histograma do exercício. Após, esboce a respectiva curva polida. 4) Esboce o histograma de frequêcia relativa acumulada e, sobre ele, o respectivo polígoo de frequêcia relativa acumulada. Após, esboce a respectiva curva polida.

4 6 MEDIDAS ESTATÍSTICAS PARA UM COJUTO DE DADOS QUATITATIVOS 4 Das medidas estatísticas, abaixo, é preciso verificar quais delas são adequadas à escala da variável em questão. Medidas de posição, separatrizes ou quatis Mediaa (Me ou x ) Tercil (T) Quartil (Q) Decil (D) Percetil ou cetil (P) Medidas de tedêcia cetral Médias 3 Média aritmética (x ): simples, poderada Média geométrica (x g): simples, poderada Média harmôica (x h): simples, poderada Mediaa (x ) Moda (Mo) Medidas de dispersão ou de variabilidade Amplitude total (AT) Desvio médio absoluto (DMA) Variâcia Populacioal (σ ) Amostral (s ) Desvio-padrão Populacioal (σ) Amostral (s) Coeficiete de variação (CV) Populacioal Amostral Medidas de forma: assimetria 4 e curtose 5 Mometos 6 : Mometos absolutos, mometos cetrados, mometos cojutos Quado os dados estão discretizados, há vários métodos para calcular os quatis e, geralmete, os resultados obtidos são diferetes, de método para método. Aqui, para dados discretizados, o cálculo dos quatis será feito pelo método mais básico. Quado os dados estão agrupados em classe, o cálculo dos quatis pode ser feito a partir da tabela de distribuição de frequêcias ou pelo histograma de desidade de frequêcia relativa, supodo os dados estarem distribuídos uiformemete detro de cada classe. 3 as egeharias, a maioria das vezes, os levatametos de dados evolvem variáveis quatitativas cotíuas, para as quais o adequado é a média aritmética, geralmete. Por isso, esta disciplia, serão trabalhadas fórmulas obtidas a partir da média aritmética. Os coceitos, defiições e aplicações dos outros tipos de média podem ser ecotrados em MILOE, G. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Thomso Learig, 006; em PEDROSA, A. C., GAMA, S. M. Itrodução computacioal à probabilidade e estatística com Excel. 3. ed. Porto-PT: Porto, Para os iteressados em cohecer um pouco mais sobre assimetria, vide MILOE, G. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Thomso Learig, Idem 6 Ibidem.

5 7 COCEITOS OU DEFIIÇÕES SOBRE MEDIDAS ESTATÍSTICAS MEDIDAS DE POSIÇÃO, SEPARATRIZES OU QUATIS PARA UM COJUTO COTÍUO Seja X: x (1), x (), x (3),, x () um cojuto de dados quatitativos, ordeados, para uma variável X. Os coceitos referetes às medidas de posição "mediaa", "tercil", "quartil", "decil" e "percetil", para um cojuto cotíuo, estão represetados abaixo, respectivamete. Essas medidas são deomiadas geericamete por "quatil". Dos quatis, os mais comus são a mediaa, os quartis e os percetis. 50% das observações 50% Mí Mediaa ( x ~ ) Máx 1 1 das observações T 0 T 1 T T 3 5% das observações 5% 5% 5% Q 0 Q 1 Q Q 3 Q 4 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% D 0 D 1 D D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 D 10 1% P 99 P 10 P 0 P 50 P 90 P MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES (MÉDIA ARITMÉTICA OU MÉDIA, mais simplesmete) 7..1 Populacioal Seja x 1, x, x 3,, x um cojuto de dados quatitativos para uma variável X, levatados por meio de um receseameto. A média aritmética populacioal de X, deotada por μ X, é dada por μ X = = x 1+x + +x. 7.. Amostral Seja x 1, x, x 3,, x um cojuto de dados quatitativos para a variável X, levatados por meio de amostragem. A média aritmética amostral de X, deotada por x, é dada por x = = x 1+x + +x.

6 7.3 MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE Amplitude Amostral Seja X: x 1, x, x 3,, x um cojuto de dados quatitativos, amostrais, para uma variável X. A amplitude amostral de X, deotada por AA X, é dada por AA X = máx(x) mí(x), ode máx(x) e mí(x) são os valores máximo e míimo de X, respectivamete Desvio Médio Absoluto Seja X: x 1, x, x 3,, x um cojuto de dados quatitativos, amostrais, para a variável X. O desvio médio absoluto de X, deotado por DMA(X), é dado por: DMA(X) = i=1 x i x = x 1 x + x x + + x x, com x = Variâcia a) Populacioal Seja X: x 1, x, x 3,, x um cojuto de dados quatitativos, populacioais, para a variável X. A variâcia populacioal de X, deotada por σ X ou por σ, é dada por: σ X = i=1 (x i μ X ) = (x 1 μ X ) +(x μ X ) + +(x μ X ), com μ X = b) Amostral Seja X: x 1, x, x 3,, x um cojuto de dados quatitativos, amostrais, para a variável X. A variâcia amostral de X, deotada por s X ou por s, é dada por: Desvio-padrão s X = i=1 (x i x ) 1 = (x 1 x ) +(x x ) + +(x x ) 1 Calcula-se extraido a raiz quadrada da variâcia., com x = a) Desvio-padrão populacioal da variável X, deotado por σ X ou por σ: σ X = σ X = (x i μ X ) i=1, com μ X = b) Desvio-padrão amostral da variável X, deotado por s X ou por s: s X = s X = (x i x ) i=1, com x = 1

7 7.3.5 Coeficiete de Variação 7 Relativiza o desvio-padrão em relação à média do cojuto de dados. a) Coeficiete de variação populacioal da variável X, deotado por CV X : CV X = σ X μ X. 100%, ode σ X e μ X são o desvio-padrão populacioal e a média populacioal da variável X, respectivamete. b) Coeficiete de variação amostral da variável X, deotado por CV X : CV X = s X x. 100%, ode s X e x são o desvio-padrão amostral e a média amostral da variável X, respectivamete. EXERCÍCIOS 1) Cosidere os cojutos de dados amostrais X:, 5, 17, 5, 40 e Y: 3, 1, 10, 9, 1, 3, sedo X e Y duas variáveis em escala de razão. Para resumir descritivamete esses cojutos de dados, calcule e iterprete as respectivas medidas estatísticas solicitadas: a) b) AA c) x d) x e) Mo f) Q1 g) Q3 h) P10 i) P90 j) s k) CV ) Represete os cojutos de dados do exercício 1, em um úico diagrama de potos. Em qual deles a variabilidade dos dados é maior? Justifique sua resposta. 3) Esboce um diagrama ramo-e-folhas e um diagrama box-plot para cada cojuto de dados do exercício 1. 4) Calcule, respectivamete, um coeficiete de assimetria para ambos os cojutos de dados do exercício 1. Verifique se há potos discrepates.

8 8 5) Um comerciate atacadista vede determiado produto em sacas que deveriam coter 16,50 kg. A pesagem de uma amostra de 400 sacas revelou os resultados represetados a tabela abaixo: i Massa (kg) º de sacas xi fri Fi Fri Δ i 14,55 15,55 15,55 16, ,5 16, ,75 17, ,05 18,00 80 Total 400 Fote: Dados fictícios. a) Preecha a tabela dada. b) Esboce o histograma de desidade de frequêcia relativa e, sobre ele, o respectivo polígoo e a curva polida. c) Esboce o histograma de frequêcia relativa acumulada e, sobre ele, o respectivo polígoo e a curva polida. d) Determie e iterprete as medidas estatísticas, abaixo, utilizadas para resumir descritivamete o cojuto de dados. ão se esqueça de colocar a respectiva uidade de medida, em cada valor calculado. Obteha as medidas, abaixo, maualmete; por meio de calculadora cietífica, usado as fuções estatísticas, aquilo que for possível; por uma plailha eletrôica; por um software estatístico: a amplitude total da distribuição; o peso médio, o peso mediao e a moda bruta, por saca; a variâcia, o desvio-padrão e o coeficiete de variação; o primeiro quartil, o terceiro quartil, o décimo percetil e o oagésimo percetil; um coeficiete de assimetria e um coeficiete de curtose. e) Classifique essa distribuição de frequêcias, quato à assimetria e à curtose f) Abaixo de qual peso ecotram-se 70% das sacas? g) Acima de qual peso ecotram-se as 100 sacas mais pesadas? h) O peso médio por saca é uma boa medida de tedêcia cetral para represetar essa distribuição de frequêcias? Justifique.

9 9 6) Cosidere o cojuto de dados populacioais de uma variável X, represetado por X: x 1, x, x 3,, x. Usado propriedades de somatório, mostre que a variâcia populacioal de X, dada por σ X = i=1 (x i μ X ), pode ser escrita mais coveietemete 7 por σ X = μ X, com μx =. 7) Cosidere o cojuto de dados amostrais de uma variável X, represetado por X: x 1, x, x 3,, x. Usado propriedades de somatório, mostre que a variâcia amostral de X, dada por s X = i=1 (x i x ) 1 ( ) ( 1), com x =., pode ser escrita mais coveietemete8 por s = i=1 xi X 1 8) Abaixo, está represetada uma tabela geérica de distribuição de frequêcias, com itervalos de classe, para uma variável X. esse caso, a variâcia amostral é dada por: s X = k i=1 (x i x ) i 1 Use propriedades de somatório para demostrar que: ode: Tabela geérica: s X = k i=1 = (x 1 x ) 1 +(x x ) + +(x k x ) k 1 (x i x ) i 1 = k x i 1 ( k i ), ( 1) i é a frequêcia absoluta a i-ésima classe, é o tamaho da amostra, com = k i=1 i, k é o úmero de classes da distribuição de frequêcias, x i é o poto médio da i-ésima classe. i X i x i 1 l 1 L 1 1 x 1 l L x k l k L k k x k Total 7 O uso da fórmula que represeta a defiição de variâcia ocasioa perda de casas decimais, caso a média ão seja um valor iteiro ou um decimal exato. Essa outra fórmula dimiui os erros decorretes de arredodameto. 8 Idem.

10 9) Cosidere o cojuto de dados populacioais de uma variável X, represetado por 10 X: x 1, x, x 3,, x. O que acotece com a média populacioal μ X = variâcia populacioal σ X = μ X, quado: a) Soma-se uma costate real ão ula c, a cada valor de X? b) Multiplica-se cada valor de X por uma costate real ão ula c? e com a 10) Cosidere o cojuto de dados populacioais de uma variável X, represetado por X: x 1, x, x 3,, x, cuja média populacioal e variâcia populacioal são dadas por μ X = e σ X = i=1 (x i μ X ) = μ X, respectivamete. Aida, cosidere as variáveis Y e Z, tais que, Y: x 1 + c, x + c, x 3 + c,, x + c e Z: cx 1, cx, cx 3,, cx, com c R +, sedo R o cojuto dos úmeros reais. Prove que: a) μ Y = μ X + c b) σ Y = σ X c) μ Z = cμ X d) σ Z = c σ X 11) Assiale V para verdadeiro e F para falso. Justifique as seteças falsas: ( ) a prática, a média será tato mais represetativa do cojuto de dados, quato meor for o valor do seu coeficiete de variação. (...) Uma curva simétrica se caracteriza por possuir a moda maior que a mediaa e que a média. (...) uma distribuição de frequêcias em que a variável estudada só apreseta um úico valor, o desvio-padrão será 1. (...) Se, uma distribuição de frequêcias, 50% dos dados situam-se abaixo da média, pode-se dizer que essa distribuição é simétrica. (...) Se todos os elemetos de um cojuto de dados populacioais forem multiplicados por uma costate real ão ula, a média ão se alterará e a variâcia ficará multiplicada por essa costate. (...) Em qualquer distribuição de frequêcias, a mediaa sempre será igual a média aritmética etre o primeiro e o terceiro quartis. 1) um processo de amostragem, peças de um mesmo tipo foram ispecioadas, tedo sido coletados dados referetes ao úmero de defeitos por peça. Os resultados foram os seguites: 5, 6, 4, 8, 7, 5, 10, 5, 5, 7, 7, 7, 10, 10, 5, 5, 4, 3, 6, 4. a) Idetifique a variável, classifique-a e idetifique sua escala de medida. b) Costrua uma tabela de distribuição de frequêcias e o histograma adequado para a variável, levado em cota a classificação dela.