S É R I E : E s t a t í s t i c a B á s i c a - E n f o q u e : S o c i a i s E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A GENERALIDADES...

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2 7 8 9 SUMÁRIO.. GENERALIDADES..... INTRODUÇÃO..... DIVISÃO DA ESTATÍSTICA..... MENSURAÇÃO Itrodução Formas de mesuração.... RESUMO DE PEQUENOS CONJUNTOS DE DADOS..... INTRODUÇÃO..... MEDIDAS DE POSIÇÃO OU TENDÊNCIA CENTRAL As médias A mediaa A moda..... MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU DISPERSÃO A amplitude O desvio médio (absoluto) A variâcia O desvio padrão A variâcia relativa O coeficiete de variação.... RESUMO DE GRANDES CONJUNTOS DE DADOS INTRODUÇÃO..... DISTRIBUIÇÕES POR PONTO OU VALORES..... DISTRIBUIÇÕES POR CLASSES OU INTERVALOS ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS A freqüêcia relativa ou percetual A freqüêcia acumulada simples ou absoluta A freqüêcia acumulada relativa ou percetual Outros elemetos APRESENTAÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Distribuição de freqüêcias por potos ou valores Distribuição de freqüêcias por classes ou itervalos..... RESUMO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Medidas de posição ou tedêcia cetral Medidas de variabilidade ou dispersão Medidas de assimetria Medida de Curtose... 7 Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

3 PROPRIEDADES DAS MEDIDAS Medidas de posição Medidas de dispersão EXERCÍCIOS.... RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS.... REFERÊNCIAS... Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

4 GENERALIDADES.. INTRODUÇÃO ESTATÍSTICA DESCRITIVA Por ode quer que se olhe ou escute uma coleção de úmeros são ormalmete euciados como estatísticas. Estes úmeros referem-se aos mais diversos campos de atividades: esportes, ecoomia, fiaças, etc. Assim tem-se por exemplo: * O úmero de carros vedidos o país aumetou em %. * A taxa de desemprego atige, hoje, 7,%. * As ações da Telebrás subiram R$,, hoje. * Resultados do Caraval o trâsito: mortos, feridos. Um úmero é deomiado uma estatística (sigular). No fechameto da bolsa as ações da Vale foram cotadas a R$.. As vedas de uma empresa o mês costituem uma estatística. Já uma coleção de úmeros ou fatos é deomiado de estatísticas (plural). Por exemplo, As vedas da empresa Picuíhas totalizaram:, milhões em jaeiro,,7 em fevereiro e. em março. No etato o termo Estatística tem um setido muito mais amplo, do que apeas úmeros ou coleção de úmeros. A Estatística pode ser defiida como: A ciêcia de coletar, orgaizar, apresetar, aalisar e iterpretar dados uméricos com o objetivo de tomar melhores decisões. Assim como advogados possuem regras de evidêcia e cotabilistas possuem práticas comumete aceitas, pessoas que tratam com dados uméricos seguem algus procedimetos padrões. Algus destes métodos serão vistos esta disciplia e outros em uma seguda disciplia. Não esquecedo que mesmo duas disciplias de Estatística ão esgotam o assuto, ou seja, elas dão apeas uma idéia dos procedimetos e técicas existetes para se lidar com dados uméricos... DIVISÃO DA ESTATÍSTICA A Estatística que lida com a orgaização, resumo e apresetação de dados uméricos é deomiada de Estatística Descritiva. Assim pode-se defiir a Estatística Descritiva como sedo: Os procedimetos usados para orgaizar, resumir e apresetar dados uméricos. Cojutos de dados desorgaizados são de pouco ou ehum valor. Para que os dados se trasformem em iformação é ecessário orgaizá-los, resumi-los e apresetá-los. O resumo de Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

5 7 8 9 cojutos de dados é feito através das medidas e a orgaização e apresetação através das distribuições de freqüêcias e dos gráficos ou diagramas. Estatística Idutiva. Muitas vezes, apesar dos recursos computacioais e da boa votade ão é possível estudar todo um cojuto de dados de iteresse. Neste caso estuda-se uma parte do cojuto. O pricipal motivo para se trabalhar com uma parte do cojuto ao ivés do cojuto iteiro é o custo. O cojuto de todos os elemetos que se deseja estudar é deomiado de população. Note-se que o termo população é usado um setido amplo e ão sigifica, em geral, cojuto de pessoas. Pode-se defiir uma população como sedo: Uma coleção de todos os possíveis elemetos, objetos ou medidas de iteresse. Assim, são exemplos de populações:. O cojuto das redas de todos os habitates de Porto Alegre;. O cojuto de todas as otas dos aluos de Estatística;. O cojuto das alturas de todos os aluos da Uiversidade; etc. Um levatameto efetuado sobre toda uma população é dito de levatameto cesitário ou simplesmete ceso. Fazer levatametos, estudos, pesquisas, sobre toda uma população (ceso) é, em geral, muito difícil. Isto se deve à vários fatores. O pricipal é o custo. Um ceso custa muito caro e demada um tempo cosiderável para ser realizado. Assim, ormalmete, se trabalha com partes da população deomiadas de amostras. Uma amostra pode ser caracterizada como: Uma porção ou parte de uma população de iteresse. Utilizar amostras para se ter cohecimeto sobre populações é realizado itesamete a Agricultura, Política, Negócios, Marketig, Govero, etc., como se pode ver pêlos seguites exemplos: * Ates da eleição diversos órgãos de pesquisa e impresa ouvem um cojuto selecioado de eleitores para ter uma idéia do desempeho dos vários cadidatos as futuras eleições. * Uma empresa metal-mecâica toma uma amostra do produto fabricado em itervalos de tempo especificados para verificar se o processo está sob cotrole e evitar a fabricação de ites defeituosos. * O IBGE faz levatametos periódicos sobre emprego, desemprego, iflação, etc. * Redes de rádio e tv se utilizam costatemete dos ídices de popularidade dos programas para fixar valores da propagada ou etão modificar ou elimiar programas com audiêcia isatisfatória. Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

6 7 8 9 * Biólogos marcam pássaros, peixes, etc. para tetar prever e estudar seus hábitos. O processo de escolha de uma amostra da população é deomiado de amostragem. Riscos da amostragem. O processo de amostragem evolve riscos, pois toma-se decisões sobre toda a população com base em apeas uma parte dela. A teoria da probabilidade pode ser utilizada para forecer uma idéia do risco evolvido, ou seja, do erro que se comete ao utilizar uma amostra ao ivés de toda a população, desde que, é claro, a amostra seja selecioada através de critérios probabilísticos, isto é, ao acaso. sedo: Baseado os coceitos ateriores pode-se defiir Estatística Idutiva ou Iferecial como A coleção de métodos e técicas utilizados para se estudar uma população baseados em amostras probabilísticas desta mesma população... MENSURAÇÃO... INTRODUÇÃO O processo de selecioar o modelo matemático ou estatístico a ser utilizado com uma dada técica de pesquisa ou procedimeto operacioal evolve algumas decisões importates. A tomada de decisão do modelo matemático ou estatístico a ser aplicado costuma ser precedida pela mesuração do feômeo evolvido. E uma primeira dificuldade surge a ecessidade de se defiir o que é mesuração. Se o termo se referir somete aqueles tipos de medidas comumete utilizados em ciêcias tais como a física (por exemplo: medidas de comprimeto, massa ou tempo) ão haverá muitos problemas a escolha do sistema matemático. Mas se o coceito de medida for ampla o suficiete para icluir certos procedimetos de categorização ormalmete utilizados em Ciêcias Sociais, etão o problema tora-se mais complexo. Pode-se distiguir etre diversos íveis de mesuração e para cada um existem diferetes modelos estatísticos apropriados.... FORMAS DE MENSURAÇÃO Existem quatro formas de mesuração ou tipos ou íveis de medidas ou aida escalas que são cohecidas como: omial, ordial, itervalar e razão. Nível omial. A operação básica e mais simples em qualquer ciêcia é a de classificação. Na classificação teta-se separar cojutos de elemetos com respeito a certas categorias, tomado decisões sobre quais elemetos são mais parecidos e quais são diferetes. O objetivo é colocar os elemetos em categorias tão homogêeas quato possível quado comparados com as difereças existetes etre as categorias. Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

7 7 8 9 Os termos ível omial de medida ou escala omial são utilizadas para se referir a àqueles dados que só podem ser classificados em categorias. Se bem que o setido estrito ão existe a realidade uma medida ou escala evolvida. Existe apeas uma cotagem. Variáveis que podem ser colocadas esta categoria são, por exemplo, a classificação das pessoas quato à religião, sexo, estado civil, etc. Não existe uma ordem particular etre as categorias ou grupos e além disso duas categorias quaisquer são mutuamete excludetes, isto é, uma pessoa ão pode ser ao mesmo tempo católico e protestate. Além disso as categorias são exaustivas, sigificado que um membro da população deve aparecer em uma e somete uma das categorias. Observe a tabela um abaixo. Tabela - Exemplo de variável omial Estado civil Número de pessoas Casado Solteiro Viúvo Divorciado Total 7 Deve-se ser salietado que as classes ou categorias podem ser rotuladas com úmeros, mas isto ão sigifica que se pode efetuar operações aritméticas com estes úmeros. Neste caso a fução dos úmeros á a mesma dos omes, apeas idetificar uma categoria. Nível ordial. O ível ordial é o tipo omial em que se pode ordear as categorias. A úica difereça etre os dois íveis é a relação de ordem que se pode estabelecer etre as categorias. No etato, ão é possível afirmar o quato uma categoria é maior do que a aterior, isto é, ão se pode afirmar o quato uma categoria possui da característica. A avaliação através de coceitos é feita por uma escala ordial. Veja um exemplo a tabela dois abaixo. Tabela - Exemplo de variável em escala ordial Coceitos Número de aluos A B C D E Total Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - [7]

8 7 8 9 Não se pode afirmar este caso que quem tirou A teve um úmero de acertos duas vezes maior que quem tirou C. A úica coisa que se sabe é que quem tem A acertou mais questões do quem tem B e este de quem tem C e assim por diate. As famílias podem ser classificadas de acordo com seu estatus sócio ecoômico em : alta, média alta, média, média baixa, baixa. Não é possível etretato afirmar que a difereça etre a alta e a média alta seja a mesma que etre a média e a média baixa. Esta escala além de possuir a propriedade simétrica da escala omial é também ati-simétrica o setido de que a relação que existe etre A e B pode ão existir etre B e A. Por exemplo, a relação maior que é ati-simétrica, o setido que se A > B etão pode ão ser verdade que B > A. A relação trasitiva cotiua verdadeira, isto é: se A > B e B > C etão A > C. A B C D Pode-se dizer que a distâcia AD = AB + BC + CD, mas ão se pode comparar as distâcias AB e CD, em outras palavras, quado se traduz relações de ordem em operações matemáticas ão se pode, em geral, utilizar as operações usuais de adição, subtração, multiplicação e divisão. Nível itervalar. No setido estrito da palavra o termo mesuração pode ser utilizado para se referir a situações em que se pode, ão somete ordear objetos com respeito ao grau de que eles possuem certa característica, mas também idicar a exata distâcia etre eles. Se isto for possível, será obtido o que se deomia de uma escala de itervalo. A escala de medida itervalar é uma escala omial em que a distâcia etre as categorias, ao cotrário da ordial, é sempre a mesma. Ou seja, ela possui todas as características da escala ordial mais o fator de que a distâcia etre as diversas categorias (ou valores) é sempre costate. As escalas de medir temperaturas como a Fahreheit e a Celsius são exemplos de escalas de itervalo. No etato, ão se pode afirmar que uma temperatura de graus é duas vezes mais quete que uma de graus, embora se possa dizer que a difereça etre graus e graus é a mesma que etre 7 graus e 9 graus. Isto porque este tipo de escala ão possui um zero absoluto. Ou seja, o valor zero a escala é apeas um poto de referêcia e ão sigifica a ausêcia de calor. Escores padroizados são também exemplos deste tipo de ível de medida. Tora-se evidete que uma escala de itervalo requer o estabelecimeto de algum tipo de uidade física a qual todos cocordem, isto é, um padrão e que seja replicável, isto é, possa ser aplicada muitas vezes e forecedo sempre os mesmos resultados. Comprimeto é medido em termos de cm ou metros, tempo em segudos, temperatura em cetígrados ou Fahreheit, reda em dólar ou Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - [8]

9 7 8 9 reais. Por outro lado ão existem tais uidades para iteligêcia, autoritarismo, ou prestígio que seja uâime etre todos os cietistas sociais e que possa ser assumida costate de uma situação para outra. Nível de razão. Este é o mais alto ível de medida. É caracterizado por apresetar todas as características da escala itervalar mais um zero absoluto. Aqui o zero pode ser etedido como a ausêcia da característica e as comparações de valor (razão) tem setido. Um exemplo de variável deste tipo é o peso. Um valor igual a zero sigifica ausêcia de peso e um valor de kg é duas vezes mais pesado que um de kg. Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - [9]

10 RESUMO DE PEQUENOS CONJUNTOS DE DADOS.. INTRODUÇÃO Para se aalisar um cojuto de valores é ecessário primeiramete, para fis de otação, distiguir se este cojuto é resultado de um ceso ou de uma amostragem. A Estatística Descritiva pode ser estudada cosiderado os cojutos de valores aalisados como sedo amostras ou etão populações. Como o caso mais comum é a obteção de amostras a otação apresetada será feita cosiderado os valores como resultados de amostrages. No etato, covém ficar ateto, com a bibliografia, pois depededo do autor a orietação pode ser outra. A difereça, cosiderada do poto de vista da descrição dos dados, é apeas otacioal. Assim o tamaho de uma população (quado fiita) é represetado, ormalmete por N, equato que o tamaho de amostra é represetado por. Afora algumas exceções os valores calculados a amostra são represetados por letras latias equato que os correspodetes a população o são pelas mesmas letras só que gregas. Para facilitar o estudo da Estatística Descritiva os cojutos de valores serão cosiderados como pequeos e grades. Assim se um cojuto tiver ou meos valores a aálise será feita sem o agrupameto. Caso o cojuto teha mais do que valores etão primeiramete será feito o agrupameto de acordo com o tipo de variável cosiderada. O valor é apeas um poto de referêcia escolhido arbitrariamete e depededo da situação pode-se cosiderar o agrupameto com mais ou meos valores evolvidos. Um cojuto de dados, de qualquer tamaho, pode ser resumido de acordo com os seguites medidas:. Medidas de tedêcia cetral ou posição. Medidas de dispersão ou variabilidade.. Medidas de assimetria.. Medidas de achatameto ou curtose... MEDIDAS DE POSIÇÃO OU TENDÊNCIA CENTRAL Um cojuto de valores (amostra) será represetada por: x, x,..., x, ode é o úmero de elemetos do cojuto, isto é, o tamaho da amostra. Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

11 AS MÉDIAS (a) A média aritmética A média aritmética do cojuto x, x,..., x é represetada por x e calculada por: x = (x + x x ) / = (b) A média geométrica xi A média geométrica dos valores positivos: x, x,..., x, é represetada por m g e calculada por: m g = x x... x (c) A média harmôica A média harmôica dos valores positivos x, x,..., x é represetada por m h e calculada por: m h = = = x x x x x x xi Observado a expressão do cálculo da média harmôica pode-se verificar que ela é defiida como sedo: O iverso da média aritmética dos iversos. Exemplo: Calcular as médias dos seguites cojutos de dados: (a) 9 (b) (c) / / / 7/ Para o cojuto em (a) tem-se: x = ( + 9) / = m g = 9. = 9 = m h = / ( + /9) = 8/ =,8 Para o cojuto em (b) tem-se: x = ( + ) / = m g =. = =, 9 m h = / (/ + /) = / =,8 Para o cojuto em (c) tem-se: x = [/ + / + / + 7/] / = 9/8 =, m g = = =, m h = = = =, (d) Relação etre as três médias As três médias matém a seguite relação etre elas, desde que os valores sejam positivos e diferetes etre si. x > m g > m h Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

12 7 8 9 (e) A média aritmética poderada A média aritmética poderada do cojuto x, x,..., x k, com pesos w, w,..., w, é represetada por m p e calculada por: i i m p = (x w + x w x w k ) / (w + w w k ) = x w wi Exemplo A média da primeira prova de Estatística da turma foi de, e foi realizada por aluos. Na seguda prova compareceram aluos que tiveram uma média de,. A terceira prova realizada por aluos teve média de,. Qual a média geral das provas? Solução: i i m p = x w wi = (,. +,. +,.) / ( + + ) = 87 / =,.... A MEDIANA A mediaa de um cojuto ordeado de valores, aotada por m e, é defiida como sedo o valor que separa o cojuto em dois subcojutos do mesmo tamaho. Assim se (úmero de elemetos) é ímpar a mediaa é o valor cetral do cojuto. Caso cotrário a mediaa é a média dos valores cetrais do cojuto. Tem-se: m e = x (+)/ se é ímpar e m e = [x (/) + x (/)+ ] / se é par Exemplo Para o cojuto: 8 9 A mediaa é: m e = x (7+)/ = x =, Ou seja, a mediaa é o quarto valor a seqüêcia ordeada de elemetos. Se o cojuto acima fosse: 8 Etão a mediaa seria: me = [x (/) + x (/)+ ] / = [x (/) + x (/)+ ] / = (x + x ) / = ( + ) / = / =,... A MODA A moda de um cojuto de valores, aotada por m o, é defiida como sedo o valor (ou os valores) do cojuto que mais se repete. Covém lembrar que a moda ao cotrário da mediaa e da Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

13 7 8 9 média pode ão ser úica, isto é, um cojuto pode ser bimodal, trimodal, etc. ou mesmo amodal (sem moda). Exemplo: Dado o cojuto: 7 9 A moda será: mo =, pois este valor se repete vezes o cojuto e qualquer outro se repete duas ou meos vezes... MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU DISPERSÃO... A AMPLITUDE A mais simples das medidas de dispersão é a amplitude, aotada por h, e defiida como sedo a difereça etre os valores extremos do cojuto, isto é: h = x max - x mi Exemplo: A amplitude do cojuto: - 8, vale: h = x max - x mi = - (-) =.... O DESVIO MÉDIO (ABSOLUTO) A amplitude é uma medida simples e fácil de calcular. Tem a virtude de dar uma idéia da variabilidade do cojuto. No etato ela ão leva em cosideração todos os valores do cojuto como seria desejável. Assim prefere-se, em geral, trabalhar com medidas que utilizam toda a iformação dispoível. Uma destas medidas é o desvio médio absoluto ou simplesmete desvio médio. O desvio médio é represetado por dma e defiido como sedo a média das distâcias que os valores do cojuto se ecotram da média. dma = [ x - x + x - x x - x ] / = xi x Exemplo: Calcular o dma do cojuto: -7 8 A média é x = ( ) / = 8/ = Etão o desvio médio será: dma = [ ] / = ( ) / = / =, Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

14 A VARIÂNCIA O desvio médio apesar de ituitivamete fácil de iterpretar e simples de calcular ão é muito utilizado em Estatística. O que de fato é a medida de dispersão usual é a variâcia e pricipalmete sua raiz quadrada que é deomiada de desvio padrão. A variâcia é aotada por s e defiida como sedo a média dos quadrados dos desvios em relação a média aritmética. Por desvio etede-se a difereça etre um valor do cojuto e a média. s = [(x - x ) + (x - x ) (x - x ) ] / = ( xi x) Nem sempre esta expressão é a mais idicada para ser utilizada. Quado a média é um valor decimal ão exato ela ão é muito prática, uma vez que etrará o cálculo vezes aumetado os erros de arredodameto que ocorrem. Neste caso é melhor se valer de uma expressão alterativa que pode ser derivada da expressão acima desevolvedo o quadrado detro do somatório e fazedo algumas simplificações. Trabalhado iicialmete apeas com o umerador da fórmula acima vem: ( xi x) = ( xi xi x x ) + = xi x xi x Observado que x = tem-se que: xi = x e aida que: xi = vem: x x ( xi x) = x i x x + = xi x Dividido este resultado por e simplificado a seguda parcela vem: s = ( xi x) i = x x Esta é uma seguda expressão para o cálculo da variâcia e em muitas situações é mais vatajosa de ser usada. Neste caso a variâcia pode ser caracterizada como sedo: a média dos quadrados meos o quadrado da média.... O DESVIO PADRÃO A variâcia por ser um quadrado ão permite comparações com a uidade que se está trabalhado. Para se ter uma medida de variabilidade com a mesma uidade do cojuto utiliza-se a raiz quadrada da variâcia, que é deomiada de desvio padrão. Assim a expressão para o desvio é: s = ( xi x) i = x x Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

15 7 8 9 Exemplo: Calcular a variâcia e o desvio padrão do cojuto: -7 8 A média é x = ( ) / = 8/ = Etão variâcia será: s = [(-7 - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + (8 - ) + ( - ) ] / = = ( ) / = 8 / =,7 E o desvio padrão: s =,... A VARIÂNCIA RELATIVA A variâcia relativa, represetada por g é o quociete etre a variâcia absoluta e o quadrado da média. Isto é: g = s / x... O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO O coeficiete de variação é a raiz quadrada da variâcia relativa. Isto é: g = s / x Exemplo: Calcular a variâcia relativa e o coeficiete de variação do cojuto: -7 8 A média é x = ( ) / = 8/ = Etão variâcia será: s = [(-7 - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + (8 - ) + ( - ) ] / = = ( ) / = 8 / =,7 O desvio padrão será: s =, Etão a variâcia relativa será: g = (8/) / 9 =, E o coeficiete de variação será: g = s / x =, / = 8,9% Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

16 RESUMO DE GRANDES CONJUNTOS DE DADOS... INTRODUÇÃO Para se trabalhar com grades cojutos de dados é ecessário iicialmete agrupar estes dados. O agrupameto é feito em tabelas, deomiadas de distribuições de freqüêcias. Para se costruir uma distribuição de freqüêcias é comum fazer a distição etre dois tipos de variáveis. A variável (ou cojuto) discreta (valores que são resultados de cotagem) e a variável (ou cojuto) cotíuo (valores que são resultados de uma medida). Em geral variáveis discretas são agrupadas em distribuições por poto ou valores e variáveis cotíuas em distribuições por classes ou itervalos. A separação ão é rígida e depede basicamete dos dados cosiderados. Poderá ser ecessário usar uma distribuição por classes ou itervalos mesmo quado a variável é discreta... DISTRIBUIÇÕES POR PONTO OU VALORES. Cosidere-se um cojuto de valores resultados de uma cotagem. Poderia ser, por exemplo, o úmero de irmãos dos aluos da turma U, disciplia de Estatística. Número de irmãos dos aluos da turma U - disciplia Estatística Esta coleção de valores, que apresetadas desta forma ão é iformação, pode ser trasformada em iformação mediate sua represetação em uma distribuição de freqüêcias por potos ou valores. Para tal, coloca-se o cojuto em uma tabela em que a colua da esquerda é represetada pêlos diferetes úmeros ordeados (os potos ou valores) e a colua da direita pelo úmero de vezes que cada valor se repetiu (as freqüêcias simples ou absolutas). Para o exemplo, a tabela três, tem-se: Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

17 7 8 9 Tabela - Distribuição de freqüêcias por poto ou valores do úmero de irmãos dos aluos da turma U. Disciplia Estatística. Número de irmãos Número de aluos 7 8 Total.. DISTRIBUIÇÕES POR CLASSES OU INTERVALOS Cosidere-se um cojuto de valores resultados de uma medida. Poderia ser, por exemplo, a idade dos aluos da turma U da disciplia de Estatística. Idade (em meses) dos aluos da turma U - Disciplia Estatística Este cojuto de valores, obviamete ão pode ser apresetado da mesma forma que o aterior, pois quase ão há repetições. Neste caso é ecessário costruir uma tabela deomiada de distribuição de freqüêcias por classes ou itervalos. Evidetemete haverá perda de iformação este processo, mas o gaho obtido pela facilidade de iterpretação e compreesão dos dados compesa. O procedimeto para costruir uma distribuição de freqüêcias por classes ou itervalos segue os seguites passos: Determiar a amplitude dos dados: h = x max - x mi. Decidir sobre o úmero de classes k a ser utilizado. Recomeda-se um úmero de classes etre e. Para que a decisão ão seja totalmete arbitrária pode-se usar a raiz quadrada do úmero de valores como o úmero de classes, ou seja, k. Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - [7]

18 7 8 9 Determiar a amplitude de cada classe. Sempre que possível mater todas as amplitudes iguais. Para tato deve-se dividir a amplitude dos dados h pelo úmero de classes k, arredodado para mais, ou seja, h i h / k. Cotar o úmero de valores pertecetes a cada classe. Em geral, utiliza-se a simbologia ( - -- ), para idicar um itervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Também poderia ser utilizado o itervalo aberto à esquerda e fechado à direita (--- ), aberto de ambos os lados ( --- ) ou aida fechado de ambos os lados ( --- ). Um exemplo de uma distribuição por classes ou itervalos é apresetado a tabela. Tabela - Idades dos aluos da turma U - Disciplia Estatística. Idades Número de aluos Total.. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Além da freqüêcia simples ou absoluta pode-se defiir aida:... A FREQÜÊNCIA RELATIVA OU PERCENTUAL A freqüêcia relativa simples ou percetual é defiida como sedo o quociete etre a freqüêcia simples f i e o total de dados. fr i = f i / Exemplo: Na tabela três tem-se: fr = 8 / =, = %, sigificado que % dos aluos da turma possuem irmãos. Na tabela quatro tem-se: Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - [8]

19 7 8 9 fr = 9 / =,8 = 8%, sigificado que 8% dos aluos possuem idades maiores ou iguais a meses porém meores do que 7 meses.... A FREQÜÊNCIA ACUMULADA SIMPLES OU ABSOLUTA. A freqüêcia acumulada simples ou absoluta da liha i é defiida como sedo a soma das freqüêcia simples ou absolutas até a liha i. F i = f + f f i Exemplo: Na tabela três tem-se: F = f + f + f + f = =, sigificado que aluos da turma possuem até irmãos.... A FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA OU PERCENTUAL A freqüêcia acumulada relativa ou percetual da liha i é defiida como sedo a soma das freqüêcia relativas ou percetuais até a liha i. Fr i = fr + fr fr i, ou etão, como sedo o quociete da freqüêcia acumulada simples pelo total de dados. Fr i = F i / Exemplo: Na tabela quatro tem-se: Fr = ( + 9) / = %, isto é, % dos aluos possuem idades meores do que 7 meses.... OUTROS ELEMENTOS (i) Na tabela três os valores da colua da esquerda são deomiados de potos ou valores. Cada um deles é represetado por x i, ode i varia de até k, sedo k o úmero de lihas da tabela. (ii) Na tabela quatro os valores da colua da esquerda são deomiados de classes ou itervalos. As classes, também, variam de até k. (iii) Limite iferior da classe i. Aota-se por li i. Na tabela o limite iferior da terceira classe é: 7. é:. (iv) Limite superior da classe i. Aota-se por ls i. Na tab. o limite superior da quita classe Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - [9]

20 7 8 9 (v) Amplitude da classe i. Aota-se por h i e é calculada como a difereça etre os limites superior ou iferior da classe i. Assim h i = ls i - li i. Na tabela quatro a amplitude da classe quatro é: h = ls - li = - 9 = meses. (vi) Poto médio da classe. Como ão é possível trabalhar com classes é ecessário escolher um represetate da classe. Este represetate é deomiado de poto médio da classe. É represetado por x i e calculado por: x i = (li i + ls i ) / ou etão x i = li i + h i /. Na tabela quatro o poto médio da terceira classe é: x = (li + ls ) / = (7 + 9) / = 8 meses. Exemplo Na tabela, abaixo, estão ilustrados os cálculos das freqüêcias relativas percetuais, da freqüêcia acumulada simples e da freqüêcia acumulada percetual. Tabela - Exemplos de freqüêcias Número de irmãos Número de aluos fr i F i Fr i Total APRESENTAÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS... DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS POR PONTOS OU VALORES. Uma distribuição de freqüêcias por potos ou valores é apresetada graficamete através de um diagrama de lihas ou coluas, ode a variável x i é represetada o eixo das abcissas (horizotal) e as freqüêcias (que podem ser de qualquer tipo) o eixo das ordeadas (vertical). Vejase um exemplo de diagrama de coluas simples a figura. Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

21 7 8 9 Figura - Diagrama de coluas simples do úmero de irmãos dos aluos da turma U - Disciplia de Estatística... DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS POR CLASSES OU INTERVALOS Uma distribuição de freqüêcias por classes ou itervalos é apresetada graficamete através de um diagrama deomiado de histograma. Um histograma é um gráfico de retâgulos justapostos ode a base de cada retâgulo é a amplitude de cada classe e a altura é proporcioal a freqüêcia (simples ou relativa) de modo que a área de cada retâgulo seja igual a freqüêcia cosiderada. Desta forma a altura de cada retâgulo será igual a: f i / h i ou etão fr i / h i. Veja-se o cálculo das alturas a tabela e o exemplo a figura. Também pode ser costruído um histograma utilizado-se as freqüêcias acumuladas. Neste caso o diagrama resultate é deomiado de ogiva. Se os potos médios de cada classe de um histograma forem uidos através de segmetos de retas teremos etão um diagrama deomiado de polígoo de freqüêcias. Tabela - Cálculo das ordeadas do histograma Idades Número de aluos f i / h i ----, , , , ----, ----, , Total ---- Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

22 7 8 9 fi / hi,7 Figura - Histograma de freqüêcia simples do úmero de irmãos dos aluos da turma U - Disciplia de Estatística,,,,,, RESUMO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS... MEDIDAS DE POSIÇÃO OU TENDÊNCIA CENTRAL (i) A média aritmética A média aritmética de uma distribuição de freqüêcias por potos ou valores ou aida por classes ou itervalos é dada por: x = (f x + f x f x ) / (f + f f ) = fi xi Exemplos: A média da distribuição da tabela três, utilizado a tabela 7 para fazer os cálculos será: Tabela 7 - Cálculo da média de uma distribuição por potos ou valores Número de irmãos Número de aluos f i.x i 7 8 Total 9 Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

23 7 8 9 x = f x i i = 9 / =,9 irmãos. Ou seja, o úmero médio de aluos da turma U, de Estatística, é de,9. Já para a tabela quatro é ecessário primeiro obter os valores dos potos médios de cada classe ou itervalo. Fazedo os cálculos a tabela 8, vem: Tabela 8 - Cálculo da média de uma distribuição por classes Idades Número de aluos x i f i x i Total ---- Deste modo a média das idades será: x = f x i i = / = 8, meses, ou seja, 8 meses e dias. (ii) A mediaa (a) A mediaa de uma distribuição de valores ou potos é obtida da mesma forma que para dados ão agrupados, isto é: m e = x (+)/ se é ímpar e m e = [x (/) + x (/)+ ] / se é par Observação: Neste caso deve-se trabalhar como se o cojuto ão estivesse agrupado. Exemplo Para os valores da tabela três a mediaa é: m e = [x / + x (/)+ ] / = [x + x ] / = ( + ) / =, pois da oitava posição até a vigésima oitava posição todos os valores são iguais a um, e a mediaa é a média etre os valores que se ecotra a vigésima quita e vigésima sexta posição. (b) A mediaa de uma distribuição de freqüêcias por classes ou itervalos é dada pela seguite expressão: Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

24 7 8 9 m e = lii + h i i-, ode f i F li i = limite iferior da classe mediaa, isto é, a classe que cotém o ou os valores cetrais; h i = amplitude da classe mediaa; f i = freqüêcia simples da classe mediaa; F i- = freqüêcia acumulada simples da classe aterior à classe mediaa. Exemplo Cosiderado que a classe mediaa, a tabela quatro, é a que cotém os valores x e x, isto é, a terceira classe, vem: m e = li + h = 7 + [( - ) / 8] = 7 + = 8 meses. f F (iii) A moda (a) A moda de uma distribuição de valores ou potos é obtida da mesma forma que para dados ão agrupados, ou seja, observado o valor ou os valores que mais se repetem. m o = valor da liha com maior freqüêcia (se existir apeas uma). Exemplo Para os valores da tabela três a moda é, pois este valor com uma freqüêcia de é o que mais se repete. (b) A moda de uma distribuição de freqüêcias por classes ou itervalos é dada pelas seguites expressões: m o = lii + hi f fi+ + f i- i+ m o = fi fi- lii + hi f f f, deomiada de moda de Kig ou, etão, por: i i- i+, deomiada de moda de Kzuber, ode: li i = limite iferior da classe modal, isto é, a classe de maior freqüêcia; h i = amplitude da classe modal; f i = freqüêcia simples da classe modal; f i- = freqüêcia simples da classe aterior à classe modal; f i+ = freqüêcia simples da classe superior à classe modal. Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

25 7 8 9 Exemplo vem: Cosiderado que a classe de maior freqüêcia, a classe modal, a tabela quatro, é a primeira, m o = li h f + f = + = meses. m o = f li + h f f = + [ / ( - 9)] = + = meses. (iv) Relação etre as três medidas de posição Karl Pearso estabeleceu a seguite relação aproximada etre as três medidas de posição: x - m o = (x - m e ), Ou seja, em uma distribuição de freqüêcias à difereça etre a média e a moda é vezes maior do que a difereça etre a média e a mediaa.... MEDIDAS DE VARIABILIDADE OU DISPERSÃO (a) A amplitude A amplitude de uma distribuição de freqüêcias é defiida como sedo a difereça etre os valores extremos da distribuição, isto é: h = x max - x mi, para a distribuição por potos ou valores e h = ls k - ls, para a distribuição por classes ou itervalos. Exemplo: A amplitude da distribuição da tabela três é: h = x max - x mi = - = irmãos Já a amplitude da distribuição da tabela quatro vale: h = ls 7 - li = 7 - = meses (b) O desvio médio (absoluto) O desvio médio absoluto de uma distribuição de freqüêcias é dado por: dma = [ f x - x + f x - x f k x - x ] / = f i xi x Exemplo: Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

26 7 8 9 O dma da distribuição da tabela três utilizado a tabela 9 para os cálculos, vale: Tabela 9 - Cálculo do desvio médio absoluto Número de irmãos Número de aluos fi xi - x 7 7 -,9 =, -,9 = 8, ,9 =,8 -,9 =, -,9 = 8, -,9 = 9, -,9 = 8, Total, f dma = i x x i =, / =,9 irmãos (c) A variâcia A variâcia de uma distribuição de freqüêcias pode ser avaliada por qualquer uma das seguites expressões: s = [f (x - x ) + f (x - x ) f k (x k - x ) f ] / = i (xi x) f i = xi x (d) O desvio padrão O desvio padrão de uma distribuição de freqüêcias é determiado extraido-se a raiz quadrada da variâcia. Assim, do desvio padrão é: s = Exemplo: f i (xi x) f ixi = x. A variâcia e o desvio padrão da distribuição da tabela. Tabela - Ilustração do cálculo da variâcia Idades Número de aluos x i f i x i f i x Total Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

27 7 8 9 A variâcia da distribuição será: s = fixi = 8 / - 8, = 87-89, =,9 x O desvio padrão vale: s = i i f x x = 7,7 A variâcia relativa: g = s / x =,7 O coeficiete de variação vale: g = s / x =, =,%... MEDIDAS DE ASSIMETRIA A assimetria (skewess) de um cojuto de dados, agrupados ou ão, pode ser avaliada por meio da seguite relação devida a Karl Pearso: a = ( x - m e ) / s Se a for igual a zero etão a distribuição (ou cojuto) é dito simétrico. Se a > etão a assimetria é positiva sigificado que o gráfico da distribuição tem uma cauda alogada à direita. Caso a seja egativo a cauda do gráfico será alogada à esquerda. Se uma distribuição de freqüêcias é simétrica etão as medidas de posição coicidem, isto é: x = m e = m o. Se a distribuição é positivamete assimétrica etão x > m e > m E se a distribuição é egativamete assimétrica etão x < m e < m o Outra forma de avaliar a assimetria é utilizado o mometo cetrado de terceira ordem. Isto é: g = f i(xi x) / s = f (x x) / s. ri i A assimetria é um úmero puro (positivo, zero ou egativo). Ela ão tem uidade e ão deve ser expressa em percetual.... MEDIDA DE CURTOSE A curtose (kurtosis) de um cojuto de dados, agrupados ou ão, pode ser avaliada por meio do mometo cetrado de quarta ordem, isto é: fi(xi x) g = /s = f (x x) /s. ri i Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - [7]

28 7 8 9 A curtose é um úmero puro (positivo, zero ou egativo). Ela ão tem uidade e ão deve ser expressa em percetual. A subtração do valor é para que, a exemplo da assimetria, o coeficiete varie em toro de zero. A curtose é uma medida de achatameto e compara um cojuto de dados com a curva ormal que teria um coeficiete de curtose (achatameto) igual a zero (três segudo algumas referêcias). Essa iterpretação ão é uâime e algus autores dizem que a curtose mede a cocetração dos valores as caudas da distribuição e ão o achatameto. De qualquer forma coforme o valor do coeficiete de curtose um cojuto de dados pode ser: Mesocúrtico (com curtose igual a curva ormal) se o coeficiete for igual a zero; Leptocúrtico (mais potiagudo que uma ormal) se o coeficiete for maior do que zero e Platicúrtico (mais achatado do que uma ormal) se o coeficiete for meor do zero..7. PROPRIEDADES DAS MEDIDAS.7.. MEDIDAS DE POSIÇÃO (i) Se todos os valores de um cojuto de dados forem somados a uma costate etão as medidas de posição aumetam desta costate. Em símbolos. Dado um cojuto de dados x e somado a este cojuto uma costate c. Etão para y = x + c, tem-se: y = x + c O mesmo acotece com a mediaa e a moda. (ii) Se todos os valores de um cojuto de dados forem multiplicados a uma costate etão as medidas de posição ficam multiplicadas por esta costate. Em símbolos. Se um cojuto de dados x for multiplicado por uma costate c. Etão para y = cx, tem-se: y = cx O mesmo acotece com a mediaa e a moda..7.. MEDIDAS DE DISPERSÃO (i) Se todos os valores de um cojuto de dados forem somados a uma costate etão as medidas de dispersão ão se alteram. Em símbolos. Dado um cojuto de dados x e somado a este cojuto uma costate c. Etão para y = x + c, tem-se: s y = s x O mesmo vale para a variâcia e para o dma. O coeficiete de variação e a variâcia relativa são exceções, pois são medidas derivadas, que combiam uma medida de posição a média o Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - [8]

29 7 8 9 deomiador que se altera e uma medida de dispersão o desvio padrão ou a variâcia o umerador que ão se altera. (ii) Se todos os valores de um cojuto de dados forem multiplicados a uma costate etão as medidas de posição ficam multiplicadas por esta costate, sedo que a variâcia fica multiplicada pelo quadrado desta costate. Em símbolos. Se um cojuto de dados x for multiplicado por uma costate c. Etão para y = cx, tem-se: s y = cs x O mesmo vale para a o dma. Já a variâcia que é um quadrado fica multiplicada pelo quadrado da costate. O coeficiete de variação e a variâcia relativa são exceções, pois são medidas derivadas, que combiam uma medida de posição, a média o deomiador que se altera, e uma medida de dispersão, o desvio padrão ou a variâcia o umerador, que também se altera. Como tato o umerador quato o deomiador se alteram a mesma proporção, etão a razão etre as duas alterações passará a ser um. Portato tato a variâcia relativa quato o coeficiete de variação são idiferetes a uma multiplicação do cojuto de valores por uma costate. Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - [9]

30 EXERCÍCIOS () É possível ecotrar a seguite série de desvios tomados em relação a média aritmética:, -,, - 7 e? Justifique. () Dados dois grupos de pessoas, o grupo A com elemetos e o grupo B com elemetos. Se o peso médio do grupo A for de 8 kg e o do grupo B for de 7 kg etão é verdade que o peso médio dos dois grupos cosiderados em cojuto é de 7 kg? Justifique. () Um cocurso realizado simultaeamete os locais A, B e C, apresetou as médias: 7, e, obtidos por, e cadidatos, essa ordem. Qual foi a média geral do cocurso? () Para um dado cocurso, % dos cadidatos eram do sexo masculio e obtiveram uma média de 7 potos em determiada prova. Sabedo-se que a média geral dos cadidatos (idepedete de sexo) foi de potos, qual foi a média dos cadidatos do sexo femiio? () Determiar a moda dos seguites cojutos: (.),, 9,,, 7, e (.),,, 7,,,,,,, e (.) 8,,,,,, 9,,,,,,e (.), 8,, 7, 8,, 8, 8, 7, 8, 8, 8, 8, 8 e 8 () Determiar a mediaa dos seguites cojutos: (.) (.),,,7, -, -. (.) / / /7 / -/ -/ -/ /8 (7) Para os cojutos abaixo, determiar com aproximação cetesimal, as seguites medidas: (a) A amplitude (b) O desvio médio (c) A variâcia (d) O desvio padrão (e) O coeficiete de variação. (7.),,8,,9. (7.) -7/ -/ / 7/ / (8) Dados os seguites cojutos de valores: (a) 7 9 (b) 8 (c) 7 9. Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

31 7 8 9 Calculado a média e o desvio padrão do cojuto em (a), determiar, através das propriedades, a média e o desvio padrão dos cojutos em (b) e (c). (9) Quareta aluos da UFRGS foram questioados quato ao úmero de livros lidos o ao aterior. Foram registrados os seguites valores: 8 (9.) Orgaize os dados em uma tabela adequada. (9.) Qual o percetual de aluos que leram meos do que livros. (9.) Qual o percetual de aluos que leram ou mais livros. (9.) Classifique a variável e o tipo de distribuição utilizada. () O cojuto de dados abaixo represeta uma amostra de elemetos:,7,8,7,,,8 8,,,7,88,,9,,8 7,,,9,8 8,,,8, 7,77,,88,,,78,,,9,9,7 8,7,9,7 8,9,,, (.) Agrupe os dados em uma distribuição de freqüêcias, cosiderado o limite iferior igual a zero, o superior igual a e utilizado cico classes de mesma amplitude. (.) Costrua um histograma de freqüêcias relativas. (.) Ua os potos médios de cada retâgulo, obtedo o polígoo de freqüêcias relativas e classifique o cojuto quato à assimetria. () A tabela registra simultaeamete aluguéis de imóveis urbaos e de imóveis rurais. (.) Calcule e iterprete fr para cada caso. (.) Calcule e iterprete F para cada caso. (.) Calcule e iterprete Fr - Fr para cada caso. Aluguéis Zoa Urbaa Zoa Rural () O histograma abaixo represeta os salários, em uidades moetárias (u.m.) dos empregados de uma empresa: Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

32 7 8 9 (.) Que percetual de empregados recebem 8 u.m. ou mais? (.) Quatos empregados recebem de a u.m.? (.) Quatos empregados recebem meos que u.m. ou mais que u.m.?,9,8,7,,,,,, fri/hi () Um livro com págias apresetou um úmero de erros de impressão por págia coforme tabela: (.) Qual o úmero médio de erros por págia? (.) Qual o úmero mediao de erros por págia? (.) Qual o úmero modal de erros por págia? (.) Qual o desvio padrão do úmero de erros por págia? () Durate certo período de tempo o redimeto de ações foram os que a tabela registra. (.) Calcule o redimeto médio. (.) Calcule o redimeto mediao. (.) Calcule o redimeto modal. (.) Calcule o desvio padrão do redimeto. (.) Calcule o coeficiete de variação do redimeto. () Uma região metropolitaa tem quarteirões com os seguites úmeros de casas por quarteirão: (.) Costrua, com os dados, uma distribuição de freqüêcias por itervalos fazedo com que as classes teham amplitudes igual a. (.) Calcule o úmero médio de casas por quarteirão. Erros N o de págias Total Ação Taxa (%),9,,,,7, 7, 8, 9,, Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

33 7 8 9 (.) Determie o úmero mediao de casas por quarteirão. (.) Calcule a variâcia do úmero de casas por quarteirão. (.) Calcule, pelos dois processos, o úmero modal de casas por quarteirão. () De um levatameto feito etre famílias resultou a tabela ao lado. Determie: (.) O úmero médio de filhos. (.) O úmero mediao de filhos. (.) O úmero modal de filhos. (.) O desvio padrão do úmero de filhos. Número de filhos Número de famílias Total (7) As iformações abaixo dizem respeito a distribuição de três variáveis. Idique, justificado, qual delas tem média mais represetativa. Distribuição A Distribuição B Distribuição C = = x = 8 fx = fx = fx = fx = fx = fx = (8) Idetifique, justificado, qual a variável mais homogêea. Distribuição A Distribuição B = x = fx = fx = fx = f(x - x) = 7 (9) Uma variável x tem média igual a e variâcia igual a. Calcule a média e a variâcia da variável dada por y = (x + ) / () Uma variável x tem média igual a e desvio padrão igual a. Calcule o coeficiete de variação da variável y = x + () Uma variável x tem média igual a e coeficiete de variação igual a,. Calcule o coeficiete de variação da variável y = (x - ) / () Os operários de um setor idustrial têm, em uma época, um salário médio de salários míimos (sm) e desvio padrão de sm. Um acordo coletivo prevê, para uma época, um aumeto liear de Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

34 7 8 9 %, mais uma parte fixa correspodete a 7% de um salário míimo. Calcule a média e o desvio padrão dos salários a época. () Uma variável x assume valores o itervalo [; ]. (.) Sabedo que x tem uma distribuição assimétrica positiva você diria que a média de x é:, meor que ou maior que. Justifique. (.) E se x tiver uma distribuição simétrica? () O que se pode dizer se fosse dada a iformação de que o salário mediao de um cojuto de profissioais é de sm? () Um a comuidade A tem motoristas profissioais cujo salário médio é de sm. A comuidade B, com desses profissioais, remuera-os com uma média de sm. (.) É correto afirmar que A remuera melhor seus motoristas profissioais que B? (.) Diate das iformações dispoíveis há garatia que os salários idividuais de A são maiores que os de B? Por que? () Abaixo você ecotra duas distribuições que refletem os comportametos de x e y (tamahos de famílias) em duas comuidades, sedo que uma de base cultural alemã e outra italiaa. Utilize tais iformações para uma aálise que idique qual das duas comuidades tem famílias maiores. X f Y f (7) O departameto de pessoal de certa firma fez um levatameto dos salários dos fucioários do setor admiistrativo, obtedo os resultados da tabela: (7.) Determie o salário médio dos fucioários (7.) Determiar a variâcia e o desvio padrão dos salários. (7.) Determiar o salário mediao. (7.) Determiar o salário modal pêlos critérios de Kig e Czuber. Faixa salarial (em s.m.) Percetual de fucioários ----, ----, , 7 ---, Total, Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

35 7 8 9 (7.) Se for dado um aumeto de % para todos os fucioários, qual será o ovo salário médio e o ovo desvio padrão dos salários? (7.) Se for dado um aboo de, s.m. a todos os fucioários como fica a média e o desvio padrão dos salários? (8) O que acotece com a média e o desvio padrão de um cojuto de dados quado: (8.) Cada valor é multiplicado por. (8.) Soma-se o valor a cada valor. (8.) Subtrai-se a média de cada valor. (8.) De cada valor subtrai-se a média e em seguida divide-se pelo desvio padrão (9) A média aritmética etre dois valores é igual a e a média geométrica igual a. Qual a média harmôica etre estes dois valores? () Idetifique os tipos de escalas utilizadas para cada uma das seguites características das uidades de observação, retiradas de uma tabela do Guia do Usuário do aplicativo Microsoft Excel: mês, tipo de produto, vededor, região do país, uidades vedidas e total de vedas. Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

36 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS () Não, pois a soma dos desvios é diferete de zero. () Não, pois deve ser utilizada a média poderada e ão da média aritmética simples. (), () () (.) Amodal (.) (.) e (.) 8 () (.) 8 (.), (.) 7/ (7) (7.) (a), (b),77 (c),7 (d),8 (e) 99,9% (7.) (a) 7/ =,8 (b) 9/8 =,8 (c), (d), (e) 8,% (8) Observe que o cojuto em (b) é igual ao cojuto em (a) multiplicado por e o cojuto em (c) é igual ao cojuto em (a) multiplicado por e subtraído de uidades. (9) (9.) (tabela ao lado) (9.) / = % (9.) 9/ =,% (9.) Distribuição por poto ou valores Variável quatitativa discreta. N de livros N de aluos Total () (.) Variável Freqüêcias Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - []

37 7 8 9 (.), fr / h,8,,,9,,, (.) Assimétrico positivo (leve cauda para à direita),,8,,,9,,, () (.) Zoa urbaa: fr =, % dos aluguéis observados estão etre e. Zoa rural: fr =, % dos aluguéis ivestigados ete etre e. (.) Zoa urbaa: F = aluguéis ivestigados são meores do que 7. Zoa rural: F = 9 9 aluguéis ivestigados são meores do que 7. (.) Zoa urbaa: Fr - Fr =,9 -, =, = % dos aluguéis estão etre e 9. Zoa rural: Fr - Fr =, -,8 =, = % dos aluguéis estão etre e 9. () (.) % (.) 7 (.) () (.), erros (.), erros (.) Zero erros (.),8 erros () (.),% (.).% (.),% (.),% (.),% Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - [7]

38 7 8 9 () (.) Número de casas por quarteirão Número de quarteirões (.),7 casas (.), casas (.) 8,8 casas (.),7 e, casas () (.),8 filhos (.) filhos (.) filhos (.), filhos (7) É a variável da distribuição A cujo coeficiete de variação é,, o meor detre as distribuições. (8) É a variável da distribuição B cujo coeficiete de variação é,, o meor detre as distribuições. (9) x = 7, s = () g = % () g =,7 =,7% () x = 8,7 sm s =, sm (.) É maior do que. (.) Seria, pois é o poto médio do itervalo total de x. () Que metade dos profissioais recebem até sm. () (.) Sim, em média. (.) Não, pois se teria que, o míimo, cohecer os dois desvios padrões para poder fazer alguma afirmação a este respeito. () A comparação pretedida deve ser feita pelas médias. As famílias de base cultural alemã têm, em média,, membros, equato que os de base italiaa têm,. Etão as de base alemã tem média famílias levemete maiores. Prof. Lori Viali, Dr. - viali@mat.ufrgs.br - [8]