O jogo MAX_MIN - Estatístico

Transcrição

1 O jogo MAX_MIN - Estatístico José Marcos Lopes Resumo Apresetamos este trabalho um jogo (origial) de treiameto para fortalecer os coceitos de Média, Mediaa, Moda, Desvio Padrão e Desvio Médio da Estatística Descritiva. As medidas de posição e de dispersão utilizadas em cada rodada são obtidas através de sorteio de fichas apropriadas. Cada ficha, cotempla uma medida de posição e uma de dispersão. O material utilizado é composto de dados e 6 fichas. O jogo se completa após 6 rodadas. No iício de cada rodada é sorteada uma das fichas. A ficha defie quais medidas serão utilizadas aquela rodada. Cada jogador poderá efetuar até três laçametos em cada rodada. O primeiro laçameto é sempre realizado com os cico dados. Posteriormete, o jogador decide se aproveitará ou ão seus outros dois laçametos. Para o segudo laçameto o jogador pode reservar algus dados e laçar apeas aqueles ão reservados. De forma aáloga para o terceiro laçameto. Após a fialização da sua jogada, o jogador aota os valores das faces obtidas os cico dados e os valores que obteve para as correspodetes medidas de posição e de dispersão. Ao fial de cada rodada o jogador que obteve a maior medida de posição marca dois potos, o que obteve a seguda maior medida de posição marca poto, o que obteve a meor medida de dispersão marca 3 potos, o que obteve a seguda meor medida de dispersão marca potos e o que obteve a terceira meor medida de dispersão marca poto. Quado ocorrer empate cada jogador recebe a potuação correspodete. Após a realização das rodadas cada jogador soma seus potos e vece aquele que obteve a maior potuação. Formulamos algus problemas, evolvedo situações de jogo, que quado resolvidos pelos próprios aluos poderão cotribuir com a apreesão destes importates coceitos da Estatística Descritiva. Palavras chave: Esio, estatística descritiva, jogos.. Itrodução Cosideramos este trabalho um jogo de treiameto que pode ser utilizado com aluos do esio fudametal ou médio com o objetivo de fortalecer o estudo das pricipais medidas de posição e de dispersão da estatística descritiva. Iicialmete os aluos realizam algumas rodadas do jogo e posteriormete o profesor trabalha com os problemas formulados. Ajudar as criaças e os joves a compreeder progresivamete as ideias estocásticas fudametais ão é tarefa simples. Equato a estatística, como ciecia, está em um período de otável epasão, o úmero de ivestigações sobre o esio de estatística é aida escasso, estamos apeas começado a cohecer as pricipais dificuldades dos aluos os coceitos mais importates. É ecessário eperimetar e avaliar métodos de esio adaptados a atureza específica da estatística, pois em sempre se pode trasferir os pricipios gerais do esio de matemática. (Bataero, 000) Acreditamos que o uso, em sala de aula, do jogo aqui cosiderado jutamete com os problemas que formulamos, pode cotribuir para a apreesão destes importates coceitos pelos aluos. E J. M. Cotreras, G. R. Cañadas, M. M. Gea y P. Arteaga (Eds.), Actas de las Joradas Virtuales e Didáctica de la Estadística, Probabilidad y Combiatoria (pp ). Graada, Departameto de Didáctica de la Matemática de la Uiversidad de Graada, 03.

2 . O jogo MAX_MIN Estatístico O jogo MAX_MIN Estatístico é um jogo de treiameto para fortalecer os coceitos de Média, Mediaa, Moda, Desvio Padrão e Desvio Médio da Estatística Descritiva. O jogo utiliza simultaeamete, em cada rodada, uma medida de posição e uma medida de dispersão. Assim, em cada rodada o jogador deve estabelecer uma estratégia que combia essas duas medidas. O jogo pode ser disputado por dois ou mais jogadores. O jogo se completa com a realização de seis rodadas. As medidas de posição e de dispersão utilizadas em cada rodada são obtidas através de sorteio de fichas apropriadas. Cada ficha cotempla uma medida de posição e uma de dispersão. Material: (cico) dados hoestos, com faces umeradas de a 6; 6 fichas que idicam as medidas de posição e de dispersão Média Desvio Padrão Média Desvio Médio Mediaa Desvio Padrão Moda Desvio Padrão Moda Desvio Médio Mediaa Desvio Médio Calculadora (opcioal) Um copo plástico para o laçameto dos dados e uma folha de papel para aotar as potuações de cada rodada. Regras:. No iício de cada rodada é sorteada uma das seis fichas. A ficha defie quais medidas serão utilizadas aquela rodada.. Cada jogador poderá efetuar até três laçametos em cada rodada. O primeiro laçameto é sempre realizado com os cico dados. Posteriormete, o jogador decide se aproveitará ou ão seus outros dois laçametos. Para o segudo laçameto o jogador pode reservar algus dados e laçar apeas aqueles ão reservados. De forma aáloga para o terceiro laçameto. Vale a face de cima dos dados. 3. Após a fialização da sua jogada, o jogador aota em uma folha de papel os valores das faces obtidas os cico dados e os valores que obteve para as correspodetes medidas de posição e de dispersão. 4. Ao fial de cada rodada o jogador que obteve a maior medida de posição marca dois potos, o que obteve a seguda maior medida de posição marca poto, o que obteve a meor medida de dispersão marca 3 potos, o que obteve a seguda meor medida de dispersão marca potos e o que obteve a terceira meor medida de dispersão marca poto. Quado ocorrer empate cada jogador recebe a potuação correspodete. Caso o jogador calculou de maeira errada uma das medidas etão ão marcará potos aquela rodada.. Após a realização das seis rodadas cada jogador soma seus potos e vece aquele que obteve a maior potuação. Cometários sobre o jogo O jogo MAX_MIN Estatístico é uma variate do jogo MEDVAR apresetado em Lopes (0). O jogo MEDVAR utiliza a média e a variâcia. Agora, o jogo aqui proposto, Págia 48

3 cosidera as três pricipais medidas de posição: média, mediaa e moda e também as duas pricipais medidas de dispersão: desvio padrão e desvio médio da estatística descritiva. Os dados reservados tato o primeiro como o segudo laçameto ão podem ser modificados, ou seja, dado reservado ão pode ser utilizado os laçametos subsequetes. A ordem em que cada jogador realiza seus laçametos pode ser estabelecida em sorteio ou de comum acordo etre os jogadores. Cosideramos que mais de quatro jogadores pode torar o jogo casativo e desmotivar os participates. Como o jogo utiliza dados o fator sorte ão pode ser totalmete desprezado. Etretato, trata-se de um jogo de estratégia. Em cada jogada o jogador deve procurar obter a maior medida de posição, mas também obter a meor medida de dispersão, ou seja, o jogo auilia a compreesão da variabilidade dos dados de uma amostra, coceito esse fudametal o estudo da Estatística. O jogador deve estabelecer uma estratégia que combie esses dois objetivos: maior medida de posição e meor medida de dispersão. Uma simulação de jogada pode ser como segue. Supoha que a ficha sorteada foi. Média Desvio Padrão O jogador obteve o primeiro laçameto as faces: 3, 3, 3, 4 e. Reserva o dado com a face e laça ovamete os outros 4 dados e obtém as faces, 3, 4 e 6. Reserva o dado com a face 6 e laça ovamete os outros três dados obtedo as faces:, e. Assim, o jogador obteve esta rodada as faces :,,, e 6 e obteve média igual a 3,6 e desvio padrão igual a,. Caso o jogador tivesse ficado apeas com o seu primeiro laçameto, ou seja, ão tivesse utilizado os outros dois laçametos, etão teria obtido a média 3,6 e desvio padrão 0,8. Portato, este caso, teria a mesma média, mas um desvio padrão aproimadamete três vezes meor, isto é, uma jogada muito melhor para o jogo MAX_MIN Estatístico. 3. Situações-problema evolvedo o jogo MAX_MIN - Estatístico Apresetamos esta seção algus problemas que evolvem situações do jogo MAX_MIN Estatístico. O objetivo pricipal da resolução dessas situações problema é o de fortalecer e fiar os coceitos presetes as medidas de posição e de dispersão. Etedemos que o professor pode permitir o uso de calculadoras a resolução dos problemas. Cosideramos, este ível de escolaridade, ser importate saber calcular essas medidas, mas mais importate do que saber calcular é saber iterpretar esses coceitos. O jogo aqui proposto eige esse tipo de iterpretação quado das escolhas mais adequadas para cada jogada. Depois de jogadas algumas partidas e da resolução de algus problemas evolvedo situações de jogo, espera-se que os aluos sejam capazes de perceber que em sempre será coveiete buscar somete obter os maiores valores possíveis para as faces dos dados. Deve-se procurar estabelecer um equilíbrio etre o maior valor para a medida de posição e o meor valor para a medida de dispersão. Quado da realização do jogo é coveiete que os aluos aotem suas jogadas, pois isso poderá auiliá-los a resolução das situações-problema. Estamos supodo que ates da realização do jogo os aluos já teham estudado, "da forma tradicioal", as medidas de posição: média, mediaa e moda e também as medidas de dispersão: desvio padrão e desvio médio. Dado um cojuto de valores observados,,...,, a média (aritmética), Me, é defiida por: Págia 483

4 Me... i i a mediaa, Md, é a realização que ocupa a posição cetral da série de observações quado estas estão ordeadas segudo suas gradezas em ordem crescete (ou decrescete). Quado o úmero de observações é par, usa-se como mediaa a média aritmética das duas observações cetrais. A moda, Mo, é defiida como a realização mais frequete do cojuto O desvio padrão, DP, é defiido pela raiz positiva da variâcia, ou seja, DP Me Me... Me i i Me e o desvio médio, DM, é defiido por: DM Me Me... Me. Problema. Em uma rodada do jogo MAX_MIN Estatístico, o Jogador obteve as faces (,, 6, 6, 6), o Jogador obteve as faces (,,, 6, 6), o Jogador 3 obteve as faces (, 3, 4, 6, 6) e o Jogador 4 obteve as faces (, 3, 4,, 6). Supodo que a ficha sorteada foi Média Desvio Padrão qual jogador fez a melhor jogada? Por que? Cometários e sugestões. O Jogador obteve a média Me 4 e o desvio padrão DP,4. O Jogador obteve a média Me 4 e o desvio padrão DP =,0. O Jogador 3 obteve a média Me = 4 e o desvio padrão DP =,90 e o Jogador 4 obteve a média Me = 4 e o desvio padrão DP =,4. Portato, a melhor jogada foi feita pelo Jogador 4, pois todos obtiveram a mesma média e o Jogador 4 obteve o meor valor para o desvio padrão. Neste caso, o Jogador marca potos pela maior média; o Jogador marca + = 3 potos, sedo potos pela medida de posição e poto pela medida de dispersão. De modo aálogo, o Jogador 3 marca + = 4 potos e o Jogador 4 marca + 3 = potos. Problema. Nas mesmas codições do problema, se a ficha sorteada foi: Média Desvio Médio qual jogador fez a melhor jogada? Por que? Cometários e sugestões. Da solução do problema sabemos que os quatro jogadores obtiveram o mesmo valor para a média. Agora, o Jogador obteve o desvio médio DM ,4. Págia 484

5 O Jogador obteve o desvio Médio DM = ; o Jogador 3 obteve o desvio médio DM =,6 e o Jogador 4 obteve o desvio médio DM =,. Portato, da mesma forma que o problema, para o jogo MAX_MIN Estatístico a melhor jogada foi feita pelo Jogador 4. Problema 3. No jogo MAX_MIN Estatístico as três medidas de posição: média, mediaa e moda podem ser iguais? Justificar sua resposta. Cometários e sugestões. A resposta é sim. Um caso possível é quado o jogador obtém as faces (, 4, 4,, 6). Temos este caso Me = Md = Mo = 4. Um outro caso, mais trivial, é quado as cico faces dos dados são iguais, como por eemplo, (3, 3, 3, 3, 3). Neste último caso temos que Me = Md = Mo = 3. Para o caso geral, quado o cojuto de dados possue uma distribuição simétrica etão Me = Md = Mo. Em uma distribuição assimétrica positiva, observamos a relação Me > Md > Mo e em uma distribuição assimétrica egativa temos que Me < Md < Mo. Problema 4. No jogo MAX_MIN Estatístico o desvio padrão é sempre maior do que o desvio médio? Justificar sua resposta. Cometários e sugestões. A resposta é ão. Para os casos ode o jogador obteha todas as faces iguais, ou seja, os casos: (,,,, ); (,,,, ); (3, 3, 3, 3, 3); (4, 4, 4, 4, 4); (,,,, ) e (6, 6, 6, 6, 6) teremos DP = DM = 0. Assim, o desvio padrão pode ser igual ao desvio médio. Não só para o jogo MAX_MIN Estatístico, como para qualquer cojuto de dados 4 com distribuição fracamete assimétrica temos a relação empírica: DM DP (Toledo e Ovalle, 983, p. 7). Assim, para essas distribuições o desvio padrão (positivo) é sempre maior do que o desvio médio (positivo). Os problemas a seguir eploram algumas propriedades das medidas de posição e de dispersão. Essas propriedades podem ser obtidas em livros de Estatística Básica, como por eemplo, em Toledo e Ovalle (983). Na sequêcia vamos utilizar as otações: Mei, Mdi, DPi e DM i para idicar, respectivamete, os valores da média, da mediaa, do desvio padrão e do desvio médio obtidos pelo jogador i, para i =,, 3, 4. Problema. Em uma rodada do jogo MAX_MIN - Estatístico foi sorteada a ficha: Média Desvio Padrão. Supodo que o Jogador obteve as faces (, 3, 4,, ), o Jogador obteve as faces (3, 4,, 6, 6) e o Jogador 3 obteve as faces (,, 3, 4, 4). Quais os valores obtidos por esses jogadores para a média e para o desvio padrão. Eiste alguma relação etre os valores das faces e os valores obtidos para a média e para o desvio padrão? Justificar sua resposta. Cometários e sugestões. Para a média temos este caso que Me = 3,8; Me = 4,8 e Me 3 =,8. Para o desvio padrão temos que DP = DP = DP 3 =,7. É fácil observar que as faces dos dados do jogador são iguais as faces dos dados do jogador adicioadas de e as faces dos dados do jogador 3 são aquelas do jogador subtraídas de. Assim, para o problema temos as seguites relações: Me = Me = Me 3 + e DP = DP = DP 3. O problema cofirma as duas seguites propriedades. Propriedade. Somado se (ou subtraido se) um valor costate c a cada elemeto do cojuto de dados, a média fica somada (ou subtraída) por essa costate. Págia 48

6 Propriedade a. Somado se (ou subtraido se) um valor costate c a cada elemeto do cojuto de dados, o desvio padrão ão se altera. Para o caso do problema, a costate c é igual a. Problema 6. Cosiderado-se a mesma jogada do problema e supodo que a ficha sorteada foi Mediaa Desvio Médio Eiste alguma relação etre os valores das faces e os valores obtidos para a mediaa e para o desvio médio? Justificar sua resposta. Cometários e sugestões. Para a medida de posição mediaa temos este caso que Md = 4; Md = e Md 3 = 3. Para a medida de dispersão desvio médio temos que DM = DM = DM 3 =,04. Da mesma forma que o problema temos agora as seguites propriedades. Propriedade. Somado se (ou subtraido se) um valor costate c a cada elemeto do cojuto de dados, a mediaa fica somada (ou subtraída) por essa costate. Propriedade a. Somado se (ou subtraido se) um valor costate c a cada elemeto do cojuto de dados, o desvio médio ão se altera. Problema 7. Em uma rodada do jogo MAX_MIN Estatístico foi sorteada a ficha Média Desvio Padrão Supodo que o Jogador obteve as faces (,,,, 3) e o Jogador obteve as faces (,, 4, 4, 6). Quais os valores obtidos por esses jogadores para a média e para o desvio padrão? Eiste alguma relação etre os valores das faces e os valores obtidos para a média e para o desvio padrão? Justificar sua resposta. Cometários e sugestões. Para a média temos este caso que Me =,8 e Me = 3,6. Para o desvio padrão temos que DP = 0,748 e DP =,496. É fácil observar que as faces dos dados do jogador são iguais as faces dos dados do jogador multiplicadas por. Assim, para o problema 7 temos as seguites relações: Me = Me e DP = DP. O problema 7 cofirma as duas seguites propriedades. Propriedade 3. Multiplicado se (ou dividido se) cada elemeto do cojuto de dados por uma costate c arbitrária, a média fica multiplicada (ou dividida) por essa costate. Propriedade 3a. Multiplicado se (ou dividido se) cada elemeto do cojuto de dados por uma costate c arbitrária, o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa costate. Para o caso do problema 7, a costate c é igual a. Problema 8. Cosiderado-se a mesma jogada do problema 7 e supodo que a ficha sorteada foi Mediaa Desvio Médio Eiste alguma relação etre os valores das faces e os valores obtidos para a mediaa e para o desvio médio? Justificar sua resposta. Cometários e sugestões. Para a mediaa temos este caso que Md = e Md = 4. Para o desvio médio temos este caso que DM = 0,64 e DM =,8. Observamos assim que este caso Md = Md e DM = DM. Da mesma forma que o problema 7 temos agora as duas seguites propriedades. Págia 486

7 Propriedade 4. Multiplicado se (ou dividido se) cada elemeto do cojuto de dados por uma costate c arbitrária, a mediaa fica multiplicada (ou dividida) por essa costate. Propriedade 4a. Multiplicado se (ou dividido se) cada elemeto do cojuto de dados por uma costate c arbitrária, o desvio médio fica multiplicado (ou dividido) por essa costate. Depededo do iteresse do professor, outros problemas evolvedo o jogo MAX_MIN Estatístico e outras propriedades das medidas de posição e de dispersão poderão ser formulados. Para um estudo mais avaçado pode-se solicitar aos aluos que demostrem matematicamete, para o caso geral, as propriedades, a,, a, 3, 3a, 4, 4a. 4. Cosiderações fiais Apresetamos este trabalho uma proposta de uma situação didática que pode ser utilizada pelo profesor dos esio fudametal ou médio para fortalecer o apredizado dos coceitos básicos da Estatística Descritiva. Da mesma forma que para o esio de Matemática, acreditamos que ão eiste uma úica e melhor forma para se esiar Estatística, o profesor deve cohecer várias alterativas e procedimetos o setido de motivar e melhorar o cohecimeto de seus aluos aquilo que pretede esiar. Referecias Bataero, C. (000). Sigificado y compresió de las medidas de posició cetral. Uo, Revista de Didáctica de las Matemáticas,, 4-8. Lopes, J. M. (0) Uma proposta para o estudo dos coceitos de média e variâcia. Ecotro aual de professores de matemática-profmat0, Coimbra. APM. Toledo, G. L. y Ovalle, I. I. (983) Estatística básica. São Paulo: Atlas, 49p. Págia 487