Estatística Aplicada Medidas Resumo Apostila 4 Prof. Fábio Hipólito Aluno(a):

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1 Medidas Resumo Apostila 4 Prof. Fábio Hipólito Aluo(a): # Objetivo desta aula: Calcular as medidas de tedêcia cetral: média, moda e mediaa para distribuições de frequêcias potuais e por itervalos de classes. Calcular as pricipais medidas de dispersão (Amplitude Total, Variâcia, Desvio Padrão e Coeficiete de Variação). # Frase da apostila: O cohecimeto os faz resposáveis. (Che Guevara) # Medidas de Tedêcia Cetral Uma medida da tedêcia cetral e um valor que represeta uma etrada típica ou cetral do cojuto de dados. As três medidas da tedêcia cetral mais comumete usadas são a média, a mediaa e a moda. Média aritmética De um modo geral, a média aritmética é a mais importate de todas as mesurações uméricas descritivas. Média aritmética simples A média aritmética para DADOS NÃO-TABULADOS ou DADOS NÃO AGRUPADOS, é dada por: i x x ou para amostra x i N para população Exemplo: calcular a média aritmética simples das temperaturas máximas, em graus Celsius, registradas por um egeheiro ambietal durate 6 dias cosecutivos, em determiada localidade: 32, 18, 22, 27, 20 e Solução: x 26, 17 C 6 Média aritmética poderada A média aritmética poderada é dada por x i x. f Exemplo: determiada empresa possui três categorias de salários em seu quadro de 120 empregados, sedo que 30 deles recebem R$ 1.000,00 cada um, 50 recebem R$ 1.300,00 cada um e 40 recebem R$ 1.700,00 cada um. Determie o salário médio de todos esses empregados. i Solução: Categoria Empregados (f) Salários (x) x i.f i A , ,00 B , ,00 C , ,00 Total () ,00 xi. fi N , , Portato essa empresa paga um salário médio de R$ 1.358,33 por empregado. Média aritmética para distribuições de frequêcias por itervalos de classes Para itervalos de classes, calculamos a média aritmética utilizado a fórmula x = f ix i, ode cosideramos x como o poto médio da classe. Exemplo: para a tabela de frequêcias abaixo, dos pesos dos 60 fucioários, calcule a média aritmética. Pesos N de Fuc. (f) x f i.x i ,5 124, ,5 202, ,5 476, ,5 753, ,5 1472, ,5 865, ,5 382, ,5 104,5 Total () ,0 x = f ix i = = 73,0 kg

2 Mediaa A mediaa (símbolo: Md) é uma medida que se localiza o cetro da distribuição. Os dados da distribuição devem estar sempre em ordem crescete ou decrescete. Mediaa para dados ão tabulados A posição da mediaa em uma distribuição é dada por 1. Temos dois casos a cosiderar: 2 1º caso: quatidade ÍMPAR de valores: a mediaa se localiza exatamete o meio da distribuição. Exemplo: determie a mediaa das seguites temperaturas diárias, em graus Celsius, registradas em determiada localidade: 18, 20, 20, 21, 24, 26, 29, 29, 29, 29, 30, 33, 35. Exemplo: calcular a mediaa para a tabela de frequêcias abaixo, dos pesos dos 60 fucioários. Pesos N de Fuc. (f) Total () 60 Moda Moda para dados ão tabulados 2º caso: quatidade PAR de valores: este caso, cosideramos um valor itermediário aos dois valores cetrais. Exemplo: determie a mediaa das seguites idades: 28, 35, 38, 40, 42, 43, 46, 50, 50, 58. A moda (símbolo: Mo) de um cojuto de valores (moda para dados ão tabulados) é o valor que mais se repete. A moda pode ão existir e, mesmo que exista, pode ão ser úica. Exemplos: determiar a moda para cada um dos seguites cojutos de úmeros. a) 3, 3, 6, 7, 11, 11, 11, 13, 14, 17 Resposta: Mo = 11 (uimodal) b) 2, 6, 7, 11, 14, 15, 18, 19 Resposta: ão tem moda (amodal) Mediaa para dados tabulados A mediaa para dados tabulados é dada por ode: N F Md l 2 fmed h at i. li = limite iferior da classe mediaa Fat = frequêcia acumulada da classe aterior a da mediaa fmed = frequêcia absoluta da classe da mediaa c) 5, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 11, 11, 11 Resposta: Mo = 8 e 11 (bimodal) Moda para dados tabulados Vimos que, quado os dados ão estão tabulados, isto é, ão estão agrupados, é fácil idetificar se a distribuição ão tem moda, ou se tem um ou mais valores para represetar a moda dessa distribuição, mas após o agrupameto dos dados (tabulameto), obtemos uma tabela de frequêcias, a qual os dados perdem a sua idividualidade, ou seja, ão coseguimos idetificar quais os reais valores que temos essa tabela, e muito meos a quatidade de cada um. Dessa forma, recorremos, etão, a uma estimativa da moda, que, detre elas, destacamos:

3 1ª estimativa: Moda de PEARSON (Karl Pearso) É dada pela seguite relação empírica: Mo = 3.Md 2µ 2ª estimativa: Moda de CZUBER (Emauel Czuber) A fórmula para ecotrar a moda para dados tabulados pela 2ª estimativa é: ode: a Mo li. h a p li = limite iferior da classe modal a = difereça etre as frequêcias absolutas da classe modal e da classe aterior p = difereça etre as frequêcias absolutas da classe modal e da classe posterior Exemplo: determie a moda pelas duas estimativas estudadas, para a seguite tabela. Classes f i EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Uma arquiteta participou de um cocurso público o qual a prova foi subdividida em três partes (A, B e C), cujos pesos e respectivas otas obtidas as partes dessa prova estão aotados a tabela abaixo. Calcular a média obtida por essa arquiteta esse cocurso. Gab. 69,3 potos Partes Pesos Notas A 3 68 B 2 37 C ) Um egeheiro civil selecioou uma certa amostra de traços de cocreto para verificar os tempos, em horas, ecessários para a secagem completa (cura) dos mesmos. A tabela de frequêcia abaixo apreseta esses tempos e as respectivas quatidades de traços de cocreto. Calcular a média aritmética desses tempos. Gab. 175,4 h Tempos Nº de Traços ) Temperatura máxima, em graus Celsius, registrada em 11 dias aleatoriamete escolhidos, durate o verão do ao aterior, em determiada localidade: 21, 23, 23, 25, 27, 28, 29, 29, 30, 33 e 35. Determie a mediaa. Gab. 28 ºC 4) Nível de ruído, em decibéis, para uma amostra de 70 aparelhos. Determiar a mediaa. Gab. 82 decibéis ) Calcule a mediaa para a seguite tabela de frequêcias, referete às idades de um grupo de operários. Idades f i

4 6) A tabela de frequêcias abaixo apreseta os dados correspodetes aos tempos, em meses, de vida útil de uma amostra de bombas de combustível de automóveis de determiada marca e modelo. Gab. a) 61; b) 61,8; c) 62,0 Tempos (meses) Número de Bombas Calcular: a) Média aritmética b) Mediaa c) Moda de Czuber Medidas Separatrizes Separatriz (ou quatil) é a medida de posição que divide uma distribuição em partes iguais, sedo que os dados dessa distribuição devem estar ordeados (ordem crescete). Das medidas de posição, destacamos as seguites separatrizes: (1) os 3 quartis, que dividem uma distribuição em quatro partes iguais, cada uma com 25% dos dados: (2) os 9 decis, que dividem uma distribuição em dez partes iguais, cada uma com 10% dos dados: (3) os 99 cetis ou percetis, que dividem uma distribuição em cem partes iguais cada uma com 1% dos dados: Note que: a) Md = Q 2 = D 5 = C 50 (correspodem a 50% dos dados) b) Q 1 = C 25 (correspodem a 25% dos dados) c) Q 3 = C 75 (correspodem a 75% dos dados) Cálculo do k-ésimo percetil: 1. Ordee os escores em ordem. 2. Em seguida, multiplique k por ceto pelo úmero total de casos mais um ( + 1): R = k ( + 1) Se o valor resultate for um úmero iteiro: Etão o k-ésimo percetil será o R-ésimo elemeto do rol de escores. Se o valor resultate ão for um úmero iteiro o k- ésimo percetil é obtido por iterpolação: Deote por IR a porção iteira de R, e por FR a porção fracioária de R. Por exemplo, se R = 2,25, etão IR = 2 e FR = 0,25. Deote por X IR e X IR + 1 os escores das posições IR e IR + 1, respectivamete. O k-ésimo percetil será computado como: k ésimo percetil = X IR + FR(X IR+1 X IR ) OBS: O 100º percetil correspoderá ao maior escore. Exemplo: Calcular o 37º percetil de uma amostra de 78 elemetos: Ordeamos a amostra em ordem crescete; Calculamos R: R = k 37 (x + 1) = (78 + 1) = 29, IR = 29, FR = 0,23 O 37º percetil correspoderá a 23/100 da distâcia etre o 29º e o 30º casos:

5 P 37 = X ,23(X 30 X 29 ) Exemplo: Calcular o 25º percetil da amostra represetada a tabela abaixo: Calculamos R: R = Nota Ordem k 25 (x + 1) = (8 + 1) = 2, Determiar: a) 1º quartil (Q 1 ) b) 2º decil (D 2 ) c) 59º cetil (C 59 ) IR = 2, FR = 0,25 O 25º percetil correspoderá a 25/100 da distâcia etre o 2º e o 3º casos: P 25 = X 2 + 0,25(X 3 X 2 ) = 5 + 0,25(7 5) = 5,5 Separatrizes para distribuição por itervalo de classes O processo para se calcular os 3 quartis, os 9 decis e os 99 cetis (ou percetis) as tabelas de frequêcias é o mesmo que o da mediaa, difereciado apeas as partes proporcioais de N (úmero total de dados). Exemplo: a tabela de frequêcias abaixo apreseta o ível máximo de ruído, em decibéis, medido por um egeheiro eletricista, ocasioado por uma amostra de 72 geradores de eergia elétrica de baixa potêcia, medidos durate certo período de tempo. Classes f i Total

6 # Medidas de Dispersão São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos valores em toro da média, pois é muito comum ecotrarmos séries que, apesar de terem a mesma média, são formadas por valores bastate distitos. Variâcia Neste caso cosidera-se o quadrado de cada desvio (x i x ) 2, evitado com isso que (x i x ) = 0. Fórmulas utilizadas para o cálculo da variâcia... σ 2 = (x i x ) 2. f i N Populacioal s 2 = (x i x ) 2. f i 1 Amostral Sejam as séries: a) 20, 20, 20 e b) 15, 10, 20, 25, 30 Tem-se: x a = x b = 20. Apesar de as séries terem médias iguais, a série a ão se tem dispersão, equato os valores da série b apresetam dispersões em toro da média 20. Assim, a média é muito mais represetativa para a série a do que para a série b. Detre as diversas medidas de dispersão existetes, temos: Amplitude Total ( AT ) Variâcia ( S² ou ² ) Desvio Padrão ( S ou ) Coeficiete de Variação ( CV ). Vamos estudar a seguir cada uma delas. Amplitude Total ( AT ) É a difereça etre o maior e o meor valor de uma série. AT = X máx - X mí Exemplo 1 : para a série 25, 28, 31, 34, 37, temos AT = = 12 A utilização da amplitude total como medida de dispersão e muito limitada, pois, sedo uma medida que depede apeas dos valores exteros, e istável, ão sedo afetada pela dispersão dos valores iteros. Fórmulas simplificadas... Populacioal σ 2 = 1 [ x N i 2. f i ( x i.f i ) 2 ] Amostral s 2 = 1 [ x 1 i 2. f i ( x i.f i ) 2 ] Desvio padrão Observado-se a fórmula origial para o cálculo da variâcia, ota-se que e uma soma de quadrados. Dessa forma, se a uidade da variável for, por exemplo, metro (m) teremos como resultado metro ao quadrado (m 2 ). Para se ter a uidade origial, ecessita-se defiir outra medida de dispersão, que e a raiz quadrada da variâcia o desvio-padra o. Assim: Fórmulas para o desvio-padrão Aplicação Prática! N σ = σ 2 s = s 2 Populacioal Amostral Para comparar dois métodos de alfabetização, A e B, um professor dividiu uma amostra de aluos similares (em relação à capacidade de apreder) em dois grupos. Depois, alfabetizou os aluos de um grupo pelo método A e os do outro pelo método B. Termiado o período de alfabetização, o professor submeteu os dois grupos de aluos à mesma prova. Os aluos obtiveram, essa prova, as otas apresetadas a Tabela 1. Tabela 1 Notas dos aluos segudo método de alfabetização. A B

7 A aálise desses dados deve começar com o cálculo de médias e desvios padrões. As médias das otas da Tabela 1 estão apresetadas a Tabela 2. Observe que os aluos alfabetizados pelo método B obtiveram, em média, otas maiores que os aluos alfabetizados pelo método A. Tabela 2 Médias das otas dos aluos segudo o método de alfabetização. Método A B Médias 5,0 7,0 O professor pode querer estudar a variabilidade das otas. É usual calcular etão a variâcia e o desvio padrão. Os cálculos itermediários ecessários para a obteção das variâcias dos dados apresetados a Tabela 1 estão a Tabela 3. Tabela 3 Cálculos para obteção das variâcias dos dados da Tabela 1. A B x 1 2 x 1 x 2 2 x Agora é fácil calcular: a) a variâcia do método A: s 1 2 = = 4,00 d) o desvio padrão do método B: s 2 = 1,7143 = 1,31 O professor pode cocluir que as otas dos aluos alfabetizados pelo método A têm maior variabilidade do que as otas dos aluos alfabetizados pelo método B. Exemplo 2 : calcule o desvio padrão a partir dos dados a tabela abaixo. Salários semaais para 100 operários ão especializados Salários Semaais f i x i x i. f i x i 2 x i 2 f i Calcule o desvio padrão para o salário destes fucioários. Coeficiete de Variação ( CV ) Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação de termos relativos do grau de cocetração em toro da média de séries distitas. É dado por: b) a variâcia do método B: s 2 2 = c) o desvio padrão do método A: = 1,7143 s 1 = 4,00 = 2,00 CV = σ μ 100 CV = S x 100 Populacioal Amostral Exemplo 3 : uma empresa, o salário médio dos homes é de R$ 4.000,00, com desvio-padrão de R$ 1.500,00, e o das mulheres é em média de R$ 3.000,00, com desvio-padrão de R$ 1.200,00. Etão:

8 para os homes: CV H = = 37,5% para as mulheres: CV M = = 40% Logo, podemos cocluir que os salários das mulheres apresetam maior dispersão relativa que os dos homes. Diz-se que a distribuição possui pequea variabilidade (dispersão) quado o coeficiete der até 10%; média dispersão quado estiver acima de 10% até 20%; e grade dispersão quado superar 20%. Algus aalistas cosideram: Baixa variabilidade: CV < 15% Média variabilidade: 15% CV < 30% Alta variabilidade: CV 30% 2) Em cojuto com uma auditoria aual, uma firma de cotabilidade pública aota o tempo ecessário para realizar a auditoria de 50 balaços cotábeis. Calcule: a) a média; c) o desvio padrão; b) a variâia; d) o coeficiete de variação. Tempo ecessário para a auditoria de balaços cotábeis. Tempo de auditoria. (mi.) Nº de balaços. (f i ) Total 50 Exemplo 4 : para duas emissões de ações ordiárias da idústria eletrôica, o preço médio diário, o fechameto dos egócios, durate um período de um mês, para as ações A, foi de R$ 150,00 com um desvio padrão de R$ 5,00. Para as ações B, o preço médio foi de R$ 50,00 com um desvio padrão de R$ 3,00. Em relação ao ível do preço, qual dos tipos de ações é mais variável? Solução: CV A = = 3,33% 150 CV B = = 6,00% 50 Coclui-se que o preço diário das ações B se apresetou mais variável. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) O úmero de carros vedidos por cada um dos vededores de um egócio de automóveis durate um mês particular, em ordem crescete: 2, 4, 7, 10, 10, 10, 12, 12, 14, 15. Determie: a) a média; c) o desvio padrão; b) a variâcia; d) o coeficiete de variação. 3) A distribuição das alturas de um grupo de pessoas apresetou uma altura média de 182 cm e um desvio padrão de 15 cm, equato que a distribuição dos pesos, apresetou um peso médio de 78 kg, com um desvio padrão de 8 kg. Qual das duas distribuições apresetou maior dispersão relativa? Bibliografias utilizadas da, Foseca, Jairo S., Martis, Gilberto Adrade. Curso de estatística, 6ª edição. Atlas, 08/2012. VitalBook file. VIEIRA, Soia. Aálise de variâcia: (Aova). Atlas, 04/2006. VitalBook file.