Fundamentos de Estatística Aplicada Módulo III: Variáveis Aleatórias Unidimensionais

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Fundamentos de Estatística Aplicada Módulo III: Variáveis Aleatórias Unidimensionais Ana Maria Lima de Farias Departamento de Estatística

2 Conteúdo 1 Variáveis aleatórias discretas Variável Aleatória Função de probabilidade Esperança de Variáveis Aleatórias Discretas Esperança de Funções de Variáveis Aleatórias Propriedades da Esperança Variância e desvio-padrão de uma variável aleatória Propriedades da variância e do desvio-padrão Exercícios propostos Algumas Distribuições Discretas 17.1 Introdução Distribuição de Bernoulli Esperança e Variância Distribuição Binomial A Distribuição Binomial Esperança e Variância Exercícios propostos Variáveis Aleatórias Contínuas Introdução Função densidade de probabilidade Esperança e Variância de Variáveis Aleatórias Contínuas Distribuição uniforme i

3 ii CONTEÚDO 3.5 Densidade linear Exercícios propostos A Distribuição Normal Características gerais da distribuição normal Função de densidade de probabilidade Esperança e Variância A Densidade Normal Padrão A Tabela da Normal Padrão A Tabela da Distribuição Acumulada da Normal Padrão Cálculos com a distribuição normal Encontrando a abscissa da normal para uma probabilidade específica Exemplos de Aplicação da Distribuição Normal Exercícios propostos Solução dos exercícios Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo A Tabelas 81

4 Capítulo 1 Variáveis aleatórias discretas Neste capítulo, você aprenderá um conceito muito importante da teoria de probabilidade: o conceito de variável aleatória. Você verá que as variáveis aleatórias e suas distribuições de probabilidade são as ferramentas fundamentais na modelagem de fenômenos aleatórios. Assim como no estudo da estatística descritiva, veremos que há variáveis aleatórias discretas e contínuas, mas o foco inicial serão as variáveis discretas. O estudo das variáveis aleatórias continuas será feito posteriormente. 1.1 Variável Aleatória Consideremos o seguinte experimento aleatório: sorteio de uma amostra de 0 funcionários de uma empresa que tem 500 funcionários. O espaço amostral deste experimento é formado por todas as amostras possíveis e, como a ordem não importa e não deve haver repetição de funcionários, o número total de tais amostras é nω) = ) Cada elemento desse espaço amostral é formado pela relação dos 0 funcionários sorteados. Em situações como essa, em geral, o interesse não está nos funcionários em si, mas, sim, em alguma característica deste funcionário, por exemplo, sua altura, se tem curso superior ou não, número de dependentes. Dessa forma, poderíamos calcular a altura média dos funcionários da amostra, o número médio de dependentes, a proporção de funcionários com curso superior etc. Então, a cada amostra possível, ou seja, a cada ponto do espaço amostral associamos um número. Essa é a definição de variável aleatória. Definição 1.1 Variável aleatória Uma variável aleatória é uma função real isto é, que assume valores em R) definida no espaço amostral Ω de um experimento aleatório. Dito de outra forma, uma variável aleatória é uma função que associa um número real a cada evento de Ω. Por questões de simplicidade, muitas vezes abreviaremos a expressão variável aleatória por v.a.. A convenção usual para representar uma v.a. consiste em usar letras maiúsculas como X, Y, etc. Um valor específico, mas genérico, desta variável será representado pela letra minúscula correspondente: x, y, etc. Continuando com o exemplo da amostra de funcionários, podemos, então, definir as seguintes variáveis aleatórias: X = altura média em centímetros e Y = número máximo de dependentes.

5 CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Estas variáveis têm naturezas distintas, quando levamos em conta os possíveis valores de cada uma. Para a variável X, os valores possíveis formam um intervalo, por exemplo, [140, 00]. Para a variável Y, os valores possíveis são números inteiros, variando de 0 a 0, por exemplo. Isso nos leva à seguinte definição. Definição 1. Variáveis aleatórias discretas e contínuas Uma variável aleatória é discreta se sua imagem ou conjunto de valores que ela assume) for um conjunto finito ou enumerável. Se a imagem for um conjunto não enumerável, dizemos que a variável aleatória é contínua. Como já dito, estudaremos inicialmente as variáveis discretas. A questão que se coloca, agora, é: como atribuir probabilidade aos valores de uma variável aleatória discreta? Considere, então o seguinte exemplo. Exemplo 1.1 Dois dados Consideremos o lançamento de dois dados equilibrados. Como já visto, o espaço amostral desse experimento é formado pelos pares ordenados i, j) em que i, j = 1,, 3, 4, 5, 6. Esse é um experimento em que o espaço amostral não é formado por números. Suponhamos que nosso interesse esteja no máximo das faces dos dois dados. Vamos calcular a função de probabilidade de X. Neste caso, a v.a. X = máximo das faces é uma variável discreta, que pode assumir os valores 1,, 3, 4, 5, 6, conforme ilustrado na Tabela 1.1. Tabela 1.1 Variável aleatória X = máximo das faces de dados Pontos do espaço amostral Valor de X 1,1) 1 1,),,),,1) 1,3),,3),3,3),3,),3,1) 3 1,4),,4),3,4),4,4),4,3),4,),4,1) 4 1,5),,5),3,5),4,5),5,5),5,4),5,3),5,),5,1) 5 1,6),,6),3,6),4,6),5,6),6,6),6,5),6,4),6,3),6,),6,1) 6 Podemos ver que o valor X = corresponde ao evento A = {1, ),, 1),, )}, enquanto o valor X = 1 corresponde ao evento B = {1, 1)}. Sendo assim, é de se esperar que o valor seja mais provável que o valor 1, uma vez que todos os pares são equiprováveis. Podemos calcular a probabilidade de X = usando a seguinte equivalência de eventos: {X = } A = {1, ),, 1),, )} Dessa forma, podemos definir PX = ) = PA) = 3 36

6 1.. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE 3 De maneira análoga, obtemos P {X = 1}) = 1 36 P {X = 3}) = 5 36 P {X = 4}) = 7 36 P {X = 5}) = 9 36 P {X = 6}) = Observe que conseguimos estabelecer uma probabilidade para cada valor da variável aleatória. Esse exemplo ilustra o conceito de função de probabilidade de uma v.a. discreta. 1. Função de probabilidade O comportamento de uma variável aleatória discreta fica perfeitamente determinado através da sua função de probabilidade. Definição 1.3 Função de probabilidade Seja X uma variável aleatória discreta. A função de probabilidade de X é a função p X x) que associa, a cada valor possível x de X, sua respectiva probabilidade, calculada da seguinte forma: p X x) é a probabilidade do evento {X = x}, consistindo em todos os resultados do espaço amostral que dão origem ao valor x. p X x) = P {X = x}) = P ω) 1.1) ω Ω:Xω)=x Para não sobrecarregar o texto, omitiremos os colchetes oriundos da notação de evento conjunto) e escreveremos P X = x) no lugar de P {X = x}), que seria a forma correta. Das propriedades axiomas) da probabilidade resultam os seguintes fatos sobre a função de probabilidade de uma v.a. discreta X: p X x) 0 1.) p X x) = 1 1.3) x em que indica somatório ao longo de todos os possíveis valores de X. Note que a segunda x propriedade é decorrente do axioma P Ω) = 1, pois os eventos {X = x} são mutuamente exclusivos e formam uma partição do espaço amostral. Estas são as condições definidoras de uma função de probabilidade.

7 4 CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Cálculo da função de probabilidade Da definição de função de probabilidade, resulta que o seu cálculo se dá em três etapas: primeiro, temos que identificar todos os possíveis valores x da v.a. X; segundo, temos que identificar os resultados que dão origem a cada valor x e suas respectivas probabilidades; finalmente, temos que somar todas essas probabilidades para obter p X x) = PX = x). Exemplo 1. Dois dados: máximo das faces Consideremos novamente a v.a. definida na Tabela 1.1. Podemos resumir a função de probabilidade da variável em questão na seguinte tabela: x p X x) Exemplo 1.3 Dois dados: soma das faces Consideremos, novamente, o lançamento de dois dados, mas agora vamos definir a seguinte v.a. X = soma das faces. Para facilitar a solução deste problema, vamos construir uma tabela de duas entradas, em que cada dimensão representa o resultado de um dado e em cada cela temos a soma das duas faces Como todos os pontos do espaço amostral são equiprováveis, a função de probabilidade de X é: x p X x) Exemplo 1.4 Chaves Um homem possui quatro chaves em seu bolso. Como está escuro, ele não consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa, que se encontra trancada. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta.

8 1.. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE 5 a) Defina um espaço amostral para esse experimento. b) Defina a v.a. X = número de chaves experimentadas até conseguir abrir a porta inclusive a chave correta). Quais são os valores de X? c) Encontre a função de probabilidade de X. a) Vamos designar por C a chave da porta e por E 1, E e E 3 as outras chaves. Se ele para de testar as chaves depois que acha a chave correta, então o espaço amostral é: Ω = C, E 1 C, E C, E 3 C, E 1 E C, E E 1 C, E 1 E 3 C, E 3 E 1 C, E E 3 C, E 3 E C, E 1 E E 3 C, E 1 E 3 E C, E E 1 E 3 C, E E 3 E 1 C, E 3 E 1 E C, E 3 E E 1 C b) Podemos ver, na listagem de Ω, que X = 1,, 3, 4. c) Note que todas as chaves têm a mesma chance de serem sorteadas e, obviamente, cada chave testada não é colocada de volta no bolso. Feitas essas observações, podemos ver que PX = 1) = PC) = 1 4 PX = ) = PE 1 C E C E 3 C) = PE 1 C) + PE C) + PE 3 C) = = 1 4 PX = 3) = PE 1 E C) + PE E 1 C) + PE 1 E 3 C) + PE 3 E 1 C) + PE E 3 C) + PE 3 E C) = = 1 4 PX = 4) = PE 1 E E 3 C) + PE 1 E 3 E C) + PE E 1 E 3 C) + Logo, a função de probabilidade de X é PE E 3 E 1 C) + PE 3 E 1 E C) + PE 3 E E 1 C) = = 1 4 x PX = x) ) Exemplo 1.5 Nota média de dois alunos Dentre os cinco alunos de um curso com coeficiente de rendimento CR) superior a 8,5, dois serão sorteados para receber uma bolsa de estudos. Os CRs desses alunos são: 8,8; 9,; 8,9; 9,5; 9,0. a) Designando os alunos por A, B, C, D, E, defina um espaço amostral para esse experimento. b) Seja X = CR médio dos alunos sorteados. Liste os possíveis valores de X. c) Liste o evento X 9, 0.

9 6 CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS d) Encontre a função de probabilidade de X e calcule PX 9). a) Note que aqui a ordem não importa; logo, nω) = 5 ) = 10. Mais especificamente, { } A, B), A, C), A, D), A, E), B, C), Ω = B, D), B, E), C, D), C, E), D, E) b) Usando uma tabela de duas entradas, podemos representar os valores de X da seguinte forma: A8, 8) B9, ) C8, 9) D9, 5) E9, 0) 8,8+9, A8, 8) = 9, 0 8, 85 9, 15 8, 90 B9, ) 9, 05 9, 35 9, 10 C8, 9) 9, 0 8, 95 D9, 5) 9, 5 E9, 0) c) {X 9} = {A, B), A, D), B, C), B, D), B, E), C, D), D, E)}. d) Como todos os pontos do espaço amostral são equiprováveis o sorteio é aleatório), a função de probabilidade de X é: e P X 9) = x 8,85 8,90 8,95 9,00 9,05 9,10 9,15 9,0 9,5 9, PX = x) Exemplo 1.6 Demanda por produto A demanda por um certo produto pode ser vista como uma variável aleatória X cuja função de probabilidade p X x) é estimada por Número de unidades demandadas x p X x) = PX = x) 0, 5 0, 45 0, 15 0, 15 a) Verifique que p X x) realmente define uma função de probabilidade. b) Calcule PX 3, 5). a) 0, 5 + 0, , , 15 = 1 e todos os valores são não negativos. Logo, p X é uma função de probabilidade. b) Temos que PX 3, 5) = PX = 1) + PX = ) + PX = 3) = 0, 5 + 0, , 15 = 0, 85

10 1.3. ESPERANÇA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Esperança de Variáveis Aleatórias Discretas No estudo de variáveis aleatórias e suas distribuições de probabilidades, associamos números aos pontos do espaço amostral, ou seja, o resultado é sempre uma variável quantitativa note que os resultados cara e coroa não definem uma variável aleatória; para tal, temos que associar números, 0 e 1, por exemplo, a esses resultados). Sendo assim, faz sentido perguntar qual é o valor médio da variável aleatória X? Definição 1.4 Esperança de uma variável aleatória discreta Seja X uma variável aleatória discreta que assume os valores x 1, x,... com probabilidades p 1, p,... respectivamente. A esperança ou média de X é definida como E X) = i p i x i = i x i P X = x i ) 1.5) onde o somatório se estende por todos os valores possíveis de X. Podemos ver, então, que a esperança de X é uma média dos seus valores, ponderada pelas respectivas probabilidades. Exemplo 1.7 Vendas e comissões Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de probabilidades esses números foram obtidos dos resultados de vários anos de estudo): Número de produtos Probabilidade de venda 0,1 0,4 0, 0,1 0,1 0,05 0,05 Cada vendedor recebe comissões de venda, distribuídas da seguinte forma: se ele vende até dois produtos em um dia, ele ganha uma comissão de R$10,00 por produto vendido. A partir da terceira venda, a comissão passa para R$50,00 por produto. Qual é o número médio de produtos vendidos por cada vendedor e qual a comissão média de cada um deles? O número médio de vendas por funcionário é EP) = 0 0, , 4 + 0, + 3 0, , , , 05 =, 05 Com relação à comissão, vamos construir sua função de probabilidade: Número de produtos P Comissão C Probabilidade de venda 0,1 0,4 0, 0,1 0,1 0,05 0,05 A partir dessa função de probabilidade, podemos calcular: EC) = 0 0, , , , , , , 05 = 46, 5

11 8 CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS ou seja, a comissão média diária de cada vendedor é R$ 46,50. Note que a esperança de X tem a mesma unidade de medida dos valores de X Esperança de Funções de Variáveis Aleatórias É possível obter novas variáveis aleatórias a partir de funções gx) de uma variável X e através da função de probabilidade de X podemos obter a função de probabilidade de Y. Sendo assim, podemos calcular a esperança de Y. No entanto, o cálculo da função de probabilidade de gx) nem sempre é simples de ser feito. Mas se estivermos interessados apenas na esperança de gx), essa é facilmente calculada a partir da função de probabilidade da variável original X, conforme mostra o seguinte teorema.! Esperança de Funções de uma Variável Aleatória Seja X uma variável aleatória discreta com função de probabilidade p X x). Se definimos uma nova v.a. Y = gx), então E Y ) = E [g X)] = x g x) p X x) 1.6) Exemplo 1.8 Considere a v.a. X cuja função de probabilidade é dada a seguir: Calcule a esperança da v.a. Y = X. x p X x) 0,1 0, 0, 0,3 0,1 0,1 A esperança pode ser calculada como E X ) = ) 0, 1 + 1) 0, + 0 0, , 3 + 0, , 1 =, sem necessidade do cálculo da função de probabilidade de Y Propriedades da Esperança No que segue, X é uma variável aleatória discreta com distribuição de probabilidades p X x) e a, b 0 são constantes reais quaisquer. Temos, então, os seguintes resultados, cujas demonstrações são imediatas, a partir da definição de esperança: Ea) = a 1.7) EX + a) = EX) + a 1.8) EbX) = b EX) 1.9) x min EX) x max 1.10) Nessa última propriedade, x min e x max são os valores mínimo e máximo da variável X.

12 1.4. VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Variância e desvio-padrão de uma variável aleatória A esperança de uma variável aleatória X é o centro de gravidade da distribuição de probabilidades. Sendo assim, a esperança é uma medida de posição. No entanto, é possível que duas variáveis bem diferentes tenham a mesma esperança, como é o caso das duas distribuições apresentadas na Figura 1.1. Nestas duas distribuições, a dispersão dos valores é diferente. Figura 1.1 Distribuições de probabilidade com mesma esperança e diferentes dispersões A dispersão de uma variável aleatória X será medida pela sua variância. Definição 1.5 Variância de uma variável aleatória A variância de uma variável aleatória X é definida como Var X) = E [X E X)] 1.11) Note que a variância é uma média dos desvios quadráticos em torno de EX). Vamos ver como calcular a variância de uma v.a. discreta. Para isso, vamos definir gx) = [X EX)]. Então, usando o resultado dado na equação 1.6), temos que Var X) = E [g X)] = x [x EX)] p X x) Desenvolvendo o quadrado e usando as propriedades do somatório e da esperança vistas na seção anterior, resulta Var X) = { x x EX) + [EX)] } p X x) = x = x x p X x) EX) x xp X x) + [EX)] x p X x) = = x = x = x x p X x) EX) EX) + [EX)] 1 = x p X x) [EX)] + [EX)] = x p X x) [EX)] Mas, se definimos hx) = X, então E [hx)] = x simples para a variância. x p X x). Assim, obtemos uma expressão mais

13 10 CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS! Variância - Fórmula alternativa A variância de uma variável aleatória X pode ser calculada como Var X) = EX ) [EX)] 1.1) que pode ser lida de maneira mais fácil como a variância é a esperança do quadrado menos o quadrado da esperança. Da definição de variância, resulta que sua unidade de medida é o quadrado da unidade de medida da variável em estudo, sendo assim, uma unidade sem significado físico. Para se ter uma medida de dispersão na mesma unidade dos dados, define-se o desvio- padrão como a raiz quadrada da variância. Definição 1.6 Desvio-padrão de uma variável aleatória O desvio-padrão de uma variável aleatória X é definido como a raiz quadrada de sua variância: DP X) = Var X) 1.13) Propriedades da variância e do desvio-padrão Sendo a variância e o desvio-padrão medidas de dispersão, é fácil ver que são válidas as seguintes propriedades, onde a, b 0 são constantes quaisquer: VarX) ) DPX) ) Var a) = ) DPa) = ) Var X + a) = Var X) 1.18) DP X + a) = DPX) 1.19) Var bx) = b Var X) 1.0) DPbX) = b DPX) 1.1) Exemplo 1.9 Considere a v.a. Y com função de probabilidade dada por y f Y y) 0, 5 0, 30 0, 0 0, 10 0, 07 0, 05 0, 03 e seja Z = Y 3. Vamos calcular a esperança e a variância de Y e Z.

14 1.4. VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA 11 EY ) = 3 0, 5 1 0, , 0 + 0, , , , 03 = 0, 17 EZ) = EY ) 3 = 0, 17 3 =, 66 Vamos calcular agora EY ) : EY ) = 9 0, , , , , , , 03 = 10, 33 Logo VarY ) = 10, 33 0, 17 = 10, 3011 Usando as propriedades da variância, temos que VarZ) = VarY ) = 41, 044 Exemplo 1.10 Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho. O quadro a seguir, dá a distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana. Se o lucro por unidade vendida é de R$500,00, qual o lucro esperado em uma semana? Qual é o desvio-padrão do lucro? x= número de aparelhos p X x) 0,1 0,1 0, 0,3 0, 0,1 Seja X o número de aparelhos vendidos em uma semana e seja L o lucro semanal. Então, L = 500X. E X) = 0 0, , 1 + 0, +3 0, , + 5 0, 1 =, 7 aparelhos E X ) = 0 0, , 1 + 0, +3 0, , + 5 0, 1 = 10, aparelhos Var X) = 10,, 7) =, 91 aparelhos DP X) = 1, 706 aparelhos Com relação ao lucro semanal, temos que E L) = 500 E X) = R$1350, 00 DP L) = 500DPX) = R$853, 00

15 1 CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Exemplo 1.11 Seja uma v.a. X com função de probabilidade dada na tabela a seguir: x p X x) p p p p p a) Encontre o valor de p para que p X x) seja, de fato, uma função de probabilidade. b) Calcule P X 4) e P X < 3). c) Calcule EX) e VarX). a) Como x p X x) = 1, temos que ter: 3p + p = 1 3p + p 1 = 0 p = ± = ± 4 p = 1 ou 6 6 p = 1 3 Como p é uma probabilidade, temos que ter p 0. Logo, o valor correto é p = 1 3. b) PX 4) = PX = 4) + PX = 5) = p + p = = 4 9. ProX < 3) = PX = 1) + PX = ) = p = 9. c) Temos que EX) = 1 p + p + 3 p + 4 p + 5 p = = 9 9 = 3, EX ) = 1 p + p + 3 p + 4 p + 5 p = = = 35 3 VarX) = 35 ) 9 3 = Exemplo 1.1 Jogo de dados Um jogador A paga R$5,00 a B e lança um dado. Se sair face 3, ganha R$0,00. Se sair face 4, 5, ou 6, perde. Se sair face 1 ou, tem o direito de jogar novamente. Desta vez, lança dois dados. Se saírem duas faces 6, ganha R$50,00. Se sair uma face 6, recebe o dinheiro de volta. Nos demais casos, perde. Seja L o lucro líquido do jogador A nesse jogo. Calcule a função de probabilidade de L e o lucro esperado do jogador A.

16 1.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13 Sabemos que o dado é honesto e que os lançamentos são independentes. O diagrama de árvore para o espaço amostral desse experimento é dado na Figura 1.. Figura 1. Espaço amostral para o Exemplo 1.1 Para calcular a probabilidade dos eventos associados aos lançamentos dos dois dados parte inferior da árvore), usamos o fato de que a probabilidade da interseção de eventos independentes é o produto das probabilidades. No cálculo da probabilidade de uma face 6, multiplicamos por, porque a face 6 pode estar em qualquer um dos dois dados. Vemos que os valores do lucro L são: -5; 0; 15; 45 e a função de probabilidade de L é ou Lucro l PL = l) Lucro l L = l) EL) = = 160 = 0, Exercícios propostos 1. Cinco cartas são extraídas de um baralho comum 5 cartas, 13 de cada naipe) sem reposição. Defina a v.a. X = número de cartas vermelhas sorteadas.

17 14 CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS a) Quais são os possíveis valores de X? b) Encontre a função de probabilidade de X. c) Calcule a esperança de X.. Numa urna há sete bolas brancas e quatro bolas verdes. Cinco bolas são extraídas dessa urna sem reposição. Defina a v.a. X = número de bolas verdes. a) Quais são os possíveis valores de X? b) Encontre a função de probabilidade de X. c) Calcule a esperança e a variância de X. 3. Repita o exercício anterior para o caso de extrações com reposição. 4. Uma variável aleatória discreta X tem a seguinte função de distribuição de probabilidade onde k é uma constante. k x+)! x = 0, 1 p X x) = 0 x 0 e x 1 a) Determine o valor de k para que p X seja uma função de probabilidade. b) Calcule a esperança e a variância de X. 5. Considere o lançamento de três moedas e denote por K a ocorrência de cara e por C a ocorrência de coroa. Se ocorre o evento CCC, dizemos que temos uma sequência, ao passo que se ocorre o evento CKC temos três sequências. Defina a v.a. X = número de caras obtidas e Y = número de sequências obtidas. a) Obtenha as distribuições de X e Y. b) Calcule a esperança e a variância de X e Y. 6. Um vendedor de serviços de informática visita diariamente uma ou duas empresas, com probabilidades 0,6 e 0,4. Em cada visita, ele pode ser malsucedido e não conseguir fechar negócio com probabilidade 0,6 ou ser bem sucedido e conseguir fechar um contrato médio no valor de reais ou um contrato grande no valor de reais com probabilidades 0,3 e 0,1, respectivamente. Seja X o valor das vendas diárias desse vendedor. a) Encontre a função de probabilidade de X. b) Calcule o valor esperado dos ganhos diários desse vendedor, bem como o desvio-padrão. 7. Uma empresa de aluguel de carros tem em sua frota 4 carros de luxo e ela aluga esses carros por dia, segundo a seguinte função de distribuição de probabilidade: No. de carros alugados/dia Probabilidade de alugar 0,10 0,30 0,30 0,0 0,10 O valor do aluguel é de R$000,00 por dia; a despesa total com manutenção é de R$500,00 por dia quando o carro é alugado e de R$00,00 por dia quando o carro não é alugado. Calcule: a) o número médio de carros de luxo alugados por dia, bem como o desvio padrão; b) a média e o desvio padrão do lucro diário com o aluguel dos carros de luxo.

18 1.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS As chamadas diárias recebidas por um batalhão do Corpo de Bombeiros apresentam a seguinte distribuição: Número de chamadas/dia Percentual %) de dias a) Calcule o número médio de chamadas por dia, bem como o desvio padrão do número de chamadas diárias. b) Em um ano de 365 dias, qual é o número total de chamadas? 9. As probabilidades de que haja 1,, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que se dirige ao Barra Shopping em um sábado são, respectivamente, 0,05; 0,0; 0,40; 0,5 e 0,10. a) Qual o número médio de pessoas por carro? b) Se chegam ao shopping 50 carros por hora, qual o número esperado de pessoas no período das 13 às 18 horas?

19 16 CAPÍTULO 1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

20 Capítulo Algumas Distribuições Discretas.1 Introdução Considere as seguintes situações: 1. a) Lança-se uma moeda viciada e observa-se o resultado obtido e b) pergunta-se a um eleitor se ele vai votar no candidato A ou B.. a) Lança-se uma moeda n vezes e observa-se o número de caras obtidas e b) de uma grande população, extrai-se uma amostra de n eleitores e pergunta-se a cada um deles em qual dos candidatos A ou B eles votarão e conta-se o número de votos do candidato A. 3. a) De uma urna com P bolas vermelhas e Q bolas brancas, extraem-se n bolas sem reposição e conta-se o número de bolas brancas e b) de uma população com P pessoas a favor do candidato A e Q pessoas a favor do candidato B, extrai-se uma amostra de tamanho n sem reposição e conta-se o número de pessoas a favor do candidato A na amostra. Em cada uma das situações anteriores, os experimentos citados têm algo em comum: em certo sentido, temos a mesma situação, mas em contextos diferentes. Por exemplo, na situação 1, cada um dos experimentos tem dois resultados possíveis e observamos o resultado obtido. Na situação 3, temos uma população dividida em duas categorias e dela extraímos uma amostra sem reposição; o interesse está no número de elementos de uma determinada categoria. Na prática, existem muitas outras situações que podem se encaixar nos modelos acima e mesmo em outros modelos. O que veremos nesse capítulo são alguns modelos de variáveis aleatórias discretas que podem descrever situações como as listadas anteriormente. Nesse contexto, um modelo será definido por uma variável aleatória e sua função de probabilidade, explicitando-se claramente as hipóteses de validade. De posse desses elementos, poderemos analisar diferentes situações práticas para tentar encaixá-las em algum dos modelos dados. Neste capítulo, serão descritas as distribuições de probabilidade discretas mais usuais. A introdução de cada uma delas será feita através de um exemplo clássico moeda, urna, baralho etc.) e, em seguida, serão explicitadas as características do experimento. Tais características são a ferramenta necessária para sabermos qual modelo se aplica a uma determinada situação prática. Definida a distribuição, calculam-se a média e a variância.

21 18 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS. Distribuição de Bernoulli Considere o lançamento de uma moeda. A característica de tal experimento aleatório é que ele possui apenas dois resultados possíveis. Uma situação análoga surge quando da extração da carta de um baralho, em que o interesse está apenas na cor preta ou vermelha) da carta sorteada. Definição.1 Experimento de Bernoulli Um experimento de Bernoulli é um experimento aleatório com apenas dois resultados possíveis; por convenção, um deles é chamado sucesso e o outro, fracasso. Definição. Variável aleatória de Bernoulli A v.a. de Bernoulli é a v.a. X associada a um experimento de Bernoulli, em que se define { 1 se ocorre sucesso X = 0 se ocorre fracasso Chamando de p a probabilidade de sucesso 0 < p < 1), a distribuição de Bernoulli é x 0 1 f X x) 1 p p.1) que Obviamente, as condições definidoras de uma função de probabilidade são satisfeitas, uma vez p > 0, 1 p > 0 e p + 1 p) = 1. O valor de p é o único valor que precisamos conhecer para determinar completamente a distribuição; ele é, então, chamado parâmetro da distribuição de Bernoulli. Vamos denotar a distribuição de Bernoulli com parâmetro p por Bernp). Na Figura.1, temos o gráfico da função de probabilidade de uma distribuição de Bernoulli. Figura.1 A distribuição de Bernoulli com parâmetro p

22 .3. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Esperança e Variância Seja X Bernp) lê-se: a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p). Então, EX) = 0 1 p) + 1 p = p Em resumo: EX ) = 0 1 p) + 1 p = p VarX) = EX ) [EX)] = p p X Bernp) EX) = p VarX) = p1 p) É comum denotar a probabilidade de fracasso por q, isto é, q = 1 p. Exemplo.1 Lançamento de uma moeda Considere novamente o lançamento de uma moeda e a seguinte variável aleatória X associada a esse experimento: { 1 se ocorre cara X = 0 se ocorre coroa Seja p a probabilidade de cara, 0 < p < 1. Então, X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Exemplo. Auditoria da Receita Federal Um auditor da Receita Federal examina declarações de Imposto de Renda de pessoas físicas, cuja variação patrimonial ficou acima do limite considerado aceitável. De dados históricos, sabe-se que 10% dessas declarações são fraudulentas. Vamos considerar o experimento correspondente ao sorteio aleatório de uma dessas declarações. Esse é um experimento de Bernoulli, em que o sucesso equivale à ocorrência de declaração fraudulenta e o parâmetro da distribuição de Bernoulli é p = 0, 1. Esse exemplo ilustra o fato de que sucesso, no contexto probabilístico, nem sempre significa uma situação feliz na vida real. Aqui, sucesso é definido de acordo com o interesse estatístico no problema..).3 Distribuição Binomial Vamos introduzir a distribuição binomial, uma das mais importantes distribuições discretas, através de um exemplo. Em seguida, discutiremos as hipóteses feitas e apresentaremos os resultados formais sobre tal distribuição e novos exemplos. Exemplo.3 Lançamentos de uma moeda Considere o seguinte experimento: uma moeda é lançada 4 vezes e sabe-se que p = Pcara). Vamos definir a seguinte variável aleatória associada a este experimento: X = número de caras

23 0 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Como visto antes, cada lançamento da moeda representa um experimento de Bernoulli e como o interesse está no número de caras, vamos definir sucesso = cara. Para encontrar a função de probabilidade de X, o primeiro fato a notar é que os valores possíveis de X são: 0, que equivale à ocorrência de nenhuma cara e, portanto, de 4 coroas; 1, que equivale à ocorrência de apenas 1 cara e, portanto, 3 coroas;, que equivale à ocorrência de caras e, portanto, coroas; 3, que equivale à ocorrência de 3 caras e 1 coroa e, finalmente, 4, que equivale à ocorrência de 4 caras e nenhuma coroa. Assim, os possíveis valores de X são X = 0, 1,, 3, 4 Vamos, agora, calcular a probabilidade de cada um desses valores, de modo a completar a especificação da função de probabilidade de X. Para isso, vamos representar por K i o evento cara no i-ésimo lançamento e por C i o evento coroa no i-ésimo lançamento. X = 0 Temos a seguinte equivalência de eventos: {X = 0} C 1 C C 3 C 4 É razoável supor que os lançamentos da moeda sejam eventos independentes, ou seja, o resultado de um lançamento não interfere no resultado de qualquer outro lançamento. Dessa forma, os eventos C i e K j são independentes para i j. Note que os eventos C i e K i são mutuamente exclusivos e, portanto, não são independentes se sair cara em um lançamento específico, não é possível sair coroa nesse mesmo lançamento e vice-versa). Analogamente, os eventos C i e C j são independentes para i j, bem como os eventos K i e K j, i j. Pela regra da probabilidade da interseção de eventos independentes, resulta que X = 1 P C 1 C C 3 C 4 ) = PC 1 ) PC ) PC 3 ) PC 4 ) = 1 p) 1 p) 1 p) 1 p) = 1 p) 4 O evento X = 1 corresponde à ocorrência de 1 cara e, consequentemente, de 3 coroas. Uma sequência possível de lançamentos é K 1 C C 3 C 4. Vamos calcular a probabilidade desse resultado específico. Como antes, os lançamentos são eventos independentes e, portanto, PK 1 C C 3 C 4 ) = PK 1 ) PC ) PC 3 ) PC 4 ) = p 1 p) 1 p) 1 p) = p1 p) 3 Mas qualquer sequência com 1 cara resulta em X = 1, ou seja, a face cara pode estar em qualquer uma das quatro posições e todas essas sequências resultam em X = 1. Além disso, definida a posição da face cara, as posições das faces coroas já estão determinadas são as posições restantes. Então, temos a seguinte equivalência: {X = 1} {K 1 C C 3 C 4 } {C 1 K C 3 C 4 } {C 1 C K 3 C 4 } {C 1 C C 3 K 4 }

24 .3. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 1 Mas os eventos que aparecem no lado direito da expressão anterior são eventos mutuamente exclusivos. Logo, PX = 1) = PK 1 C C 3 C 4 ) + PC 1 K C 3 C 4 ) + PC 1 C K 3 C 4 ) + PC 1 C C 3 K 4 ) = p 1 p) 1 p) 1 p) +1 p) p 1 p) 1 p) +1 p) 1 p) p 1 p) +1 p) 1 p) 1 p) p = 4p1 p) 3 X = O evento X = corresponde à ocorrência de caras e, consequentemente, de coroas. Qualquer uma dessas sequêcias tem probabilidade p 1 p). As sequências de lançamentos com caras e coroas são as seguintes: K 1 K C 3 C 4 K 1 C K 3 C 4 K 1 C C 3 K 4 C 1 C K 3 K 4 C 1 K C 3 K 4 C 1 K K 3 C 4 Todas essas 6 sequências têm a mesma probabilidade e correspondem a eventos mutuamente exclusivos. Temos a seguinte equivalência: e, portanto, {X = } K 1 K C 3 C 4 ) K 1 C K 3 C 4 ) K 1 C C 3 K 4 ) C 1 C K 3 K 4 ) C 1 K C 3 K 4 ) C 1 K K 3 C 4 ) PX = ) = PK 1 K C 3 C 4 ) + PK 1 C K 3 C 4 ) + PK 1 C C 3 K 4 ) + PC 1 C K 3 K 4 ) + PC 1 K C 3 K 4 ) + PC 1 K K 3 C 4 ) = 6p 1 p) X = 3 e X = 4 Os casos X = 3 e X = 4 são análogos aos casos X = 1 e X = 0, respectivamente; basta trocar caras por coroas e vice-versa. Assim, PX = 3) = 4p 3 1 p) PX = 4) = p 4

25 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS É importante notar que a hipótese de independência dos lançamentos da moeda foi absolutamente fundamental na solução do exemplo; foi ela que nos permitiu multiplicar as probabilidades dos resultados de cada lançamento para obter a probabilidade da sequência completa de n lançamentos. Embora essa hipótese seja muito razoável nesse exemplo, ainda assim é uma hipótese subjetiva. Outra propriedade utilizada foi a da probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos. Mas aqui essa propriedade é óbvia, ou seja, não há qualquer subjetividade: os eventos C 1 K e K 1 C são mutuamente exclusivos, pois no primeiro lançamento ou sai cara ou sai coroa; não pode sair cara e coroa no primeiro lançamento, ou seja, cada lançamento é um experimento de Bernoulli. Exemplo.4 Bolas em uma urna Uma urna contém quatro bolas brancas e seis bolas verdes. Três bolas são retiradas dessa urna, com reposição, isto é, depois de tirada a primeira bola, ela é recolocada na urna e sorteia-se a segunda, que também é recolocada na urna para, finalmente, ser sorteada a terceira bola. Vamos definir a seguinte variável aleatória associada a esse experimento e calcular sua função de probabilidade: X = número de bolas brancas sorteadas O importante a notar aqui é o seguinte: como cada bola sorteada é recolocada na urna antes da próxima extração, a composição da urna é sempre a mesma e o resultado de uma extração não afeta o resultado de outra extração qualquer. Dessa forma, podemos considerar as extrações como independentes e, assim, temos uma situação análoga à do exemplo anterior: temos três repetições de um experimento sorteio de uma bola), essas repetições são independentes e em cada uma delas há dois resultados possíveis: bola branca sucesso) ou bola verde fracasso). Assim, cada extração equivale a um experimento de Bernoulli e como o interesse está nas bolas brancas, vamos considerar sucesso = bola branca e da observação anterior resulta que Psucesso) = 4 10 Os valores possíveis de X são 0, 1,, 3, uma vez que são feitas três extrações. Vamos calcular a probabilidade de cada um dos valores de X. Como antes, vamos denotar por V i o evento bola verde na i-ésima extração e por B i o evento bola branca na i-ésima extração. Da discussão anterior, resulta que, para i j, os eventos V i e B j são independentes, assim como os eventos B i e B j e os eventos V i e V j. X = 0 Esse resultado equivale à extração de bolas verdes em todas as três extrações. Logo, {X = 0} {V 1 V V 3 } PX = 0) = PV 1 V V 3 ) = PV 1 ) PV ) PV 3 ) = ) 6 3 = 10

26 .3. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 3 X = 1 Esse resultado equivale à extração de uma bola branca e, por consequência, duas bolas verdes. A bola branca pode sair em qualquer uma das três extrações e, definida a posição da bola branca, as posições das bolas verdes ficam totalmente estabelecidas. Logo, ) ) 4 6 PX = 1) = X = e X = 3 Os casos X = e X = 3 são análogos aos casos X = 1 e X = 0, respectivamente; basta trocar bola branca por bola verde e vice-versa. Assim, ) 4 ) 6 PX = ) = ) 4 3 PX = 3) = 10 Esses dois exemplos ilustram a distribuição binomial, que depende de dois parâmetros: o número de repetições e a probabilidade de sucesso de um experimento de Bernoulli. No Exemplo.3, n = 4 e temos uma probabilidade de sucesso qualquer p. No Exemplo.4, n = 3 e p = A Distribuição Binomial Nos dois exemplos anteriores, tínhamos repetições de um experimento de Bernoulli que podiam ser consideradas independentes e a probabilidade de sucesso se mantinha constante ao longo de todas as repetições. Essas são as condições definidoras de um experimento binomial. Definição.3 Experimento binomial Um experimento binomial consiste em repetições independentes de um experimento de Bernoulli com probabilidade p de sucesso, probabilidade essa que permanece constante em todas as repetições. A variável aleatória que associamos aos experimentos binomiais dos dois exemplos foi X = número de sucessos Se o experimento binomial consiste em n repetições, então os valores possíveis de X são 0, 1,,, n. O evento X = x corresponde a todas as sequências de resultados com x sucessos e n x fracassos. Como as repetições são independentes, cada uma dessas sequências tem probabilidade p x 1 p) n x. O número total de tais sequências é dado pelo coeficiente binomial n x ), definido a seguir.

27 4 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Definição.4 Coeficiente binomial O coeficiente binomial é definido como ) n = x n! x!n x)!.3) em que n! representa o fatorial de n, definido como Por definição, 0! = 1. n! = n n 1) n ) 1.4) Temos condições, agora, de definir a variável aleatória binomial. Definição.5 Variável aleatória binomial Para um experimento binomial consistindo em n repetições independentes de um experimento de Bernoulli com parâmetro p, defina a variável aleatória X = número de sucessos Então, X tem distribuição binomial com parâmetros n e p, cuja função de probabilidade é dada por ) n f X x) = PX = x) = p x 1 p) n x x = 0, 1,,..., n.5) x É imediato ver, da equação.5), que f X x) 0 e usando-se o teorema do binômio de Newton, pode-se provar que n x=0 f X x) = 1. Assim, a equação.5) realmente define uma função de probabilidade. Vamos denotar por X binn, p) o fato de a v.a. X ter distribuição binomial com parâmetros n e p..3. Esperança e Variância Pode-se mostrar que X binn, p) E X) = np Var X) = np 1 p).6) Note que a esperança e a variância da binomial são iguais à esperança e à variância da distribuição de Bernoulli, multiplicadas por n, o número de repetições. Pode-se pensar na distribuição de Bernoulli como uma distribuição binomial com parâmetros 1, p. Exemplo.5 Tiro ao alvo Um atirador acerta, na mosca do alvo, 0% dos tiros. Se ele dá 10 tiros, qual é a probabilidade de ele acertar na mosca no máximo uma vez?

28 .3. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 5 Podemos pensar os tiros como experimentos de Bernoulli independentes, em que o sucesso é acertar no alvo e a probabilidade de sucesso é 0,0. Então, o problema pede PX 1), em que X = número de acertos em 10 tiros. Logo, X bin10; 0, 0) e PX 1) = PX = 0) + PX = 1) ) 10 = 0, 0) 0 0, 80) = 0, ) 10 0, 0) 1 0, 80) 9 1 Exemplo.6 Partidas de um jogo Dois adversários A e B disputam uma série de oito partidas de um determinado jogo. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6 e não há empate. Qual é a probabilidade de A ganhar a série? Note que só podem ocorrer vitórias ou derrotas, o que significa que temos repetições de um experimento de Bernoulli com probabilidade 0,6 de sucesso vitória do jogador A). Assumindo a independência das provas, se definimos X = número de vitórias de A, então X bin8; 0, 6) e o problema pede P X 5), isto é, probabilidade de A ganhar mais partidas que B. P X 5) = P X = 5) + P X = 6) + P X = 7) + P X = 8) ) ) 8 8 = 0, 6) 5 0, 4) 3 + 0, 6) 6 0, 4) ) ) , 6) 7 0, 4) 1 + 0, 6) 8 0, 4) = 0, Exemplo.7 Em uma distribuição binomial, sabe-se que a média é 4,5 e a variância é 3,15. Encontre os valores dos parâmetros da distribuição. Temos que np = 4, 5 np1 p) = 3, 15 Substituindo a primeira equação na segunda, resulta Substituindo na primeira equação, obtemos que 4, 51 p) = 3, 15 1 p = 0, 7 p = 0, 3 n = 4, 5/0, 3 = 15.

29 6 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS.4 Exercícios propostos 1. Na manufatura de certa peça, é sabido que uma entre dez peças é defeituosa. Uma amostra de tamanho quatro é retirada com reposição, de um lote da produção. Qual a probabilidade de que a amostra contenha a) nenhuma defeituosa? b) pelo menos uma defeituosa? c) exatamente uma defeituosa? Na solução desse exercício, é importante que você identifique o experimento, a variável aleatória de interesse e sua respectiva função de probabilidade.. Um supermercado faz a seguinte promoção: o cliente, ao passar pelo caixa, lança um dado. Se sair a face 6 tem um desconto de 30% sobre o total de sua conta. Se sair a face 5, o desconto é de 0%. Se sair a face 4, o desconto é de 10% e se ocorrerem as faces 1, ou 3, o desconto é de 5%. Seja X = desconto concedido. a) Encontre a função de probabilidade de X. b) Calcule o desconto médio concedido. c) Calcule a probabilidade de que, num grupo de cinco clientes, pelo menos um consiga um desconto maior que 10%. d) Calcule a probabilidade de que o quarto cliente seja o primeiro a receber 30% de desconto. 3. Um atirador acerta na mosca do alvo 0% dos tiros. a) Qual é a probabilidade de ele acertar na mosca pela primeira vez no décimo tiro? b) Se ele dá 10 tiros, qual é a probabilidade de ele acertar na mosca exatamente uma vez?

30 Capítulo 3 Variáveis Aleatórias Contínuas 3.1 Introdução Neste capítulo iremos estudar as variáveis aleatórias continuas. Como já visto, uma variável aleatória é uma função que associa um número real a cada evento de Ω e se a imagem dessa função for um conjunto não enumerável, então a variável aleatória é contínua. Considere, agora, que retiremos várias amostras de 0 funcionários da empresa considerada anteriormente e, para cada amostra, registremos a altura média. Na Figura 3.1 temos o histograma e o polígono de frequência para essas alturas. Este histograma foi construído de forma que as áreas de cada retângulo são iguais às frequências relativas das respectivas classes. Sabemos, então, que a soma das áreas dos retângulos é 1. Figura 3.1 Histograma e polígono de frequência da altura média Tendo em mente que cada frequência relativa é uma aproximação para a probabilidade de um elemento pertencer à respectiva classe, podemos estimar a probabilidade de a altura média estar entre dois valores quaisquer como a área dos retângulos envolvidos. Veja a Figura 3., onde a área sombreada corresponde à frequência probabilidade) de alturas entre os valores 168 e 178 cm. Esta área pode ser aproximada também pela área sob o polígono de frequência, conforme ilustrado na Figura 3.3. As áreas sombreadas de cinza mais escuro correspondem às diferenças; note que elas tendem a se compensar.

31 8 CAPÍTULO 3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Figura 3. Probabilidade como frequência relativa Figura 3.3 Probabilidade como área sob o polígono de frequência Como estamos trabalhando com uma variável aleatória contínua, faz sentido pensarmos em reduzir, cada vez mais, o comprimento de classe δ, até a situação limite em que δ 0. Nessa situação limite, o polígono de frequências se transforma em uma curva na parte positiva ou nãonegativa) do eixo vertical, tal que a área sob ela é igual a 1. Essa curva será chamada curva de densidade de probabilidade. Na situação limite, a diferença entre as áreas sombreadas mais escuro também tenderá a zero, o que nos permite concluir o seguinte: no limite, quando δ 0, podemos calcular a probabilidade de a variável de interesse estar entre dois valores A e B pela área sob a curva de densidade de probabilidade, delimitada por esses pontos. Isso nos permitirá calcular probabilidade de intervalos de valores de qualquer variável aleatória contínua. 3. Função densidade de probabilidade O comportamento de uma variável aleatória contínua fica perfeitamente determinado pela função densidade de probabilidade. Definição 3.1 Função densidade de probabilidade Uma função densidade de probabilidade é uma função fx) que satisfaz as seguintes propriedades: 1. fx) 0. A área total sob o gráfico de fx) é igual a 1 Dada uma função fx) satisfazendo as propriedades acima, então fx) representa alguma variável aleatória contínua X, de modo que Pa X b) é a área sob a curva limitada pelos pontos a e b veja a Figura 3.4. A definição anterior usa argumentos geométricos; no entanto, uma definição mais precisa envolve o conceito de integral de uma função de uma variável. Apresentamos a seguir essa definição, mas, neste curso, usaremos basicamente a interpretação geométrica da integral, que está associada à área sob uma curva.

32 3.3. ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 9 Figura 3.4 Probabilidade como área sob a curva da função densidade de probabilidade Definição 3. Função densidade de probabilidade Uma função densidade de probabilidade é uma função fx) que satisfaz as seguintes propriedades: 1. fx) 0. fx)dx = 1 Dada uma função fx) satisfazendo as propriedades acima, então fx) representa alguma variável aleatória contínua X, de modo que Pa X b) = b a fx)dx Uma primeira observação importante que resulta da interpretação geométrica de probabilidade como área sob a curva de densidade de probabilidade é a seguinte: se X é uma v.a. contínua, então a probabilidade do evento {X = a} é zero, ou seja, a probabilidade de X ser exatamente igual a um valor específico é nula. Isso pode ser visto na Figura 3.4: o evento {X = a} corresponde a um segmento de reta, e tal segmento tem área nula. Como consequência, temos as seguintes igualdades: Pa X b) = Pa < X b) = Pa X < b) = Pa < X < b) Para deixar clara a relação entre a função densidade de probabilidade e a respectiva v.a. X, usaremos a notação f X x) para indicar a função densidade da variável aleatória X. 3.3 Esperança e Variância de Variáveis Aleatórias Contínuas Apresentamos, a seguir as definições de esperança e variância de variáveis continuas. Como já dito antes, não entraremos em detalhes de cálculo dessas fórmulas; nosso enfoque será na interpretação da média e da variância como medidas de centro e de dispersão. Para algumas distribuições específicas, apresentaremos os valores de EX) e V arx), mostrando a sua influência sobre a distribuição.

33 30 CAPÍTULO 3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Definição 3.3 Esperança e variância de uma variável aleatória contínua Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade f X. A esperança ou média ou valor esperado) de X é definida como e a variância de X é definida como V arx) = EX) = + + xf X x)dx [x EX)] f X x)dx O desvio padrão é definido como DPX) = V arx) As mesmas propriedades vistas para variáveis aleatórias discretas continuam valendo no caso contínuo: Esperança Variância Desvio Padrão Ea) = a Var a) = 0 DPa) = 0 EX + a) = EX) + a Var X + a) = Var X) DP X + a) = DP X) EbX) = bex) Var bx) = b Var X) DP bx) = b DP X) x min EX) x max VarX) 0 DPX) 0 Se interpretarmos a função densidade de probabilidade de X como uma distribuição de massa na reta real, então EX) é o centro de massa desta distribuição. Essa interpretação nos permite concluir, por exemplo, que se f X é simétrica, então EX) é o valor central, que define o eixo de simetria. 3.4 Distribuição uniforme Considere a função f X apresentada na Figura 3.5, em que a e b são números conhecidos. Figura 3.5 Função densidade uniforme Qual deve ser o valor de k para que f X seja uma função de densidade de probabilidade de uma v.a. X?

34 3.4. DISTRIBUIÇÃO UNIFORME 31 A primeira condição é que k deve ser maior que zero e como a área tem que ser 1, resulta 1 = b a) k k = 1 b a Note que, para dois subintervalos de mesmo comprimento, a área será igual, uma vez que temos áreas de retângulos com mesma altura. Esse fato leva à denominação de tal densidade como densidade uniforme. Definição 3.4 Distribuição uniforme Uma v.a. contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b] se sua função densidade é dada por 1 se x [a, b] fx) = b a 3.1) 0 caso contrário Os valores a e b são chamados parâmetros da distribuição uniforme; note que ambos têm de ser finitos para que a área sob a curva seja igual a 1. Quando a = 0 e b = 1 temos a uniforme padrão, denotada por U0, 1). Das propriedades da esperança e das características da densidade uniforme, sabemos que EX) é o ponto médio do intervalo [a, b] : E X) = a + b O cálculo da variância requer cálculo integral, e pode-se mostrar que V ar X) = b a) 1 Exemplo 3.1 Latas de coca-cola Latas de coca-cola são enchidas num processo automático segundo uma distribuição uniforme no intervalo em ml) [345,355]. a) Qual é a probabilidade de uma lata conter mais de 353 ml? b) Qual é a probabilidade de uma lata conter menos de 346 ml? c) Qualquer lata com volume 4 ml abaixo da média pode gerar reclamação do consumidor e com volume 4 ml acima da média pode transbordar no momento de abertura, devido à pressão interna. Qual é a proporção de latas problemáticas? Seja X = conteúdo da lata de coca-cola. Então, X U[345, 355] a) Pede-se b) Pede-se PX > 353) = PX < 346) = = 0, = 0, 1

35 3 CAPÍTULO 3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS c) Pede-se PX < 350 4) + PX > ) = = 0, Logo, a proporção de latas problemáticas é de 0%. Note que essa é uma proporção bastante alta! 3.5 Densidade linear Considere a seguinte função : cujo gráfico é exibido na Figura 3.6. fx) = x se 0 x 0 caso contrário fx) 0 Área sob a curva: A = 1 1 = 1 Figura 3.6 Densidade linear Note que as duas condições de uma função densidade são satisfeitas; logo, essa é a função densidade de alguma variável aleatória contínua X. 1. Calcule PX > 1, 5).. Encontre a mediana de X. Solução 1. Veja a Figura 3.7: a probabilidade pedida é a área sombreada de cinza, que pode ser calculada como área de um trapézio, ou pela área de um triângulo usando a propriedade de eventos complementares. Figura 3.7 PX > 1, 5) PX > 1, 5) = = 1 + f1, 5) 0, , 75 = 0, ou PX > 1, 5) = 1 1 1, 5 f1, 5) = 1 0, 75 = 0, 4375

36 3.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 33. Veja a Figura 3.8: temos que encontrar o valor da mediana Q tal que a área abaixo dela seja 0,5, ou seja, tal que a área do triângulo sombreado seja 0,5. PX Q ) = 0, 5 1 Q fq ) = 0, 5 Q 4 = 0, 5 Q = Q = ± A solução no domínio é Q = = 1, 414 Figura 3.8 Cálculo da mediana 3.6 Exercícios propostos 1. Considere a seguinte função: fx) = { K x) se 0 x 1 0 se x < 0 ou x > 1 a) Esboce o gráfico de gx) e encontre o valor de K para que fx) seja uma função de densidade de probabilidade. b) Calcule a mediana da distribuição.. O tempo de execução T em minutos) de determinada tarefa pode ser descrito por uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [0;40]. a) Determine a função densidade de probabilidade de T. b) Qual é o tempo médio de execução dessa tarefa? c) Se uma pessoa já gastou 5 minutos na execução da tarefa, qual é a probabilidade de que ela gaste menos de 30 minutos para executar a tarefa? 3. O comprimento real em metros) de uma determinada barra de aço é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [10,1]. As barras com comprimento menor que 10,5m não se ajustam às necessidades e devem ser vendidas como sucata. As barras com comprimento maior que 11,5m têm que ser cortadas para se ajustarem às necessidades. Qual é a proporção de barras colocadas à venda como sucata? Qual é a proporção de barras que precisam ser cortadas? Qual é a proporção de barras perfeitas? 4. Na Figura 3.9 é dado o gráfico de uma função fx). a) Calcule o valor de k para que fx) seja a função de densidade de alguma variável aleatória contínua X e encontre a expressão matemática de fx). b) Calcule PX, 5). c) Calcule PX > 3, 0 X, 5). d) Determine o valor de c tal que PX < c) = 0, 6.

37 34 CAPÍTULO 3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Figura 3.9 Função densidade para a Questão 4 5. Devido aos engarrafamentos no trânsito, o tempo que Ricardo leva de casa até a universidade é uma variável aleatória X que tem distribuição uniforme no intervalo [5, 5]. Seja f X a função densidade de X. a) Esboce o gráfico de f X. b) Determine a expressão matemática de f X. c) Calcule a probabilidade de Ricardo levar mais de 18 minutos no trajeto. d) Ricardo já está há 10 minutos no trânsito, dirigindo para a universidade. probabilidade de que ele leve menos de 0 minutos no trajeto total? Qual é a

38 Capítulo 4 A Distribuição Normal Nesta seção, você estudará a distribuição normal, que é uma das mais importantes distribuições contínuas. Você verá a definição geral desta distribuição, mas nos concentraremos, inicialmente, na distribuição normal padrão, com ênfase no cálculo de probabilidades associadas a essa variável normal específica. Depois estudaremos o caso geral, estabelecendo a relação entre a normal padrão e uma distribuição normal qualquer. 4.1 Características gerais da distribuição normal Função de densidade de probabilidade Uma v.a. contínua X tem distribuição normal se sua função de densidade de probabilidade é dada por [ ] 1 f X x) = exp x µ) πσ σ, < x < 4.1) Analisando essa expressão, podemos ver que ela está definida para todo x R e depende de dois parâmetros: µ e σ. Outras características importantes dessa função são as seguintes: 1. ela é simétrica em torno do ponto x = µ;. o gráfico da função tem forma de sino; 3. quando x ±, f X x) 0; 4. o ponto x = µ é o ponto de máximo e nesse ponto, f X x) = 1 πσ ; 5. os pontos x = µ σ e x = µ + σ são pontos de inflexão, ou seja, nesses pontos, a curva muda de concavidade. Para x < µ σ ou x > µ + σ, a função é côncava para cima e para µ σ < x < µ + σ, a função é côncava para baixo. Na Figura 4.1 ilustram-se essas características da densidade normal. Pode-se mostrar, usando técnicas de cálculo integral, que a área sob a curva de densidade normal é igual a 1 e, como a função exponencial é sempre não negativa, resulta que a função f X dada na equação 4.1) realmente define uma função de densidade de probabilidade.

39 36 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Figura 4.1 Principais características da densidade normal 4.1. Esperança e Variância Os parâmetros µ e σ da densidade normal definem a média e o desvio-padrão da distribuição, respectivamente: X N µ; σ ) EX) = µ VarX) = σ DPX) = σ Vamos usar a seguinte notação: indicaremos o fato de a v.a. X ter distribuição normal com média µ e variância σ pela notação X N µ; σ ). Na Figura 4., temos os gráficos das seguintes distribuições normais: N0; 1) e N; 1), ou seja, duas distribuições normais com médias diferentes e variâncias iguais. Note que o efeito de mudar a média é simplesmente deslocar o gráfico, mudando o seu eixo de simetria. Figura 4. Distribuições normais com mesma variância e médias diferentes Na Figura 4.3, temos duas distribuições normais com a mesma média, mas com variâncias diferentes. Note que a distribuição continua em forma de sino, mas a dispersão muda lembre-se de 1 que variância e desvio-padrão são medidas de dispersão. Como o máximo da função é, quanto πσ maior a variância, mais achatada é a curva; para compensar esse fato e continuar com área sob a curva igual a 1, a curva fica mais espalhada, ou seja, mais dispersa.

40 4.. A DENSIDADE NORMAL PADRÃO 37 Figura 4.3 Distribuições normais com mesma media e variâncias diferentes 4. A Densidade Normal Padrão Quando µ = 0 e σ = 1, temos a densidade normal padrão, cuja função densidade é usualmente representada pela letra grega fi: φz) = 1 exp 1 ) z, < z < + π É comum, também, representar uma variável aleatória com distribuição normal padronizada pela letra Z e seguiremos essa convenção aqui. Além de ser um caso especial, a densidade normal padrão tem papel importante no cálculo de probabilidades associadas às densidades normais, como veremos na próxima seção A Tabela da Normal Padrão Vimos anteriormente que o cálculo de probabilidades associadas a variáveis aleatórias contínuas envolve cálculo de áreas sob a curva de densidade mais precisamente, cálculo de integral da fdp). Isso, obviamente, continua valendo para a densidade normal. A diferença está no fato de que o cálculo de áreas sob a curva normal envolve métodos numéricos mais complexos e, para facilitar esses cálculos, podemos usar uma tabela em que alguns valores já se encontram calculados. Este curso terá como base a Tabela 1 do Apêndice A, embora muitos livros utilizem a tabela da distribuição acumulada dada na Tabela do mesmo apêndice, que discutiremos no final desta seção. Essas tabelas serão usadas para calcular probabilidades associadas a uma variável aleatória normal padrão Z como PZ > 1), PZ 3), P 1 Z ) etc. Vamos analisar cuidadosamente esta tabela. A partir do cabeçalho e do gráfico na tabela, podemos ver que as entradas no corpo da tabela fornecem probabilidades do tipo P0 Z z). Com relação à abscissa z, seus valores são apresentados na tabela ao longo da coluna lateral à esquerda em conjunto com a linha superior, ambas sombreadas de cinza. Na coluna à esquerda, temos a casa inteira e a primeira casa decimal; na linha superior, temos a segunda casa decimal. Por exemplo, ao longo da primeira linha da tabela, temos probabilidades associadas às abscissas 0,00; 0,01; 0,0,..., 0,09; na segunda linha da tabela, temos probabilidades associadas às abscissas 0,10; 0,11; 0,1;..., 0,19; na última linha da tabela, temos probabilidades associadas às abscissas 4,00; 4,01; 4,0;... ; 4,09. A entrada 0,0000 no canto superior esquerdo da tabela corresponde à seguinte probabilidade: P0 Z 0, 00), ou seja, PZ = 0) e, como visto, essa probabilidade é nula, uma vez que, para

41 38 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL qualquer variável aleatória contínua X, PX = x 0 ) = 0. A segunda entrada na primeira linha, 0,00399, corresponde a P0 Z 0, 01), que é a área sob a curva de densidade normal padronizada compreendida entre os valores 0 e 0,01 veja o gráfico na tabela). Note que esta tabela apresenta probabilidades correspondentes a abscissas positivas, ou seja, esta tabela trata de área sob a curva no lado positivo do eixo. Para calcular áreas no lado negativo, teremos de usar o fato de a curva da densidade normal ser simétrica. Sempre faça um esboço da curva de densidade, sombreando a área correspondente à probabilidade desejada; isso lhe ajudará no cálculo da probabilidade. Vamos terminar esta seção apresentando vários exemplos de cálculos de probabilidades de uma v.a. Z com distribuição normal padrão, ou seja, no que segue, Z N0; 1). Os exemplos apresentados cobrem todas as situações possíveis. Assim, é importante que você entenda bem a situação ilustrada por cada um dos exemplos, para poder aplicar o método de solução adequado aos novos exercícios. Para simplificar a solução dos exercícios, vamos adotar a seguinte notação para as entradas da Tabela 1.! Entradas da Tabela 1 do Apêndice A tabz) = P0 Z z) Exemplo 4.1 A partir da Tabela 1 do Apêndice A calcule P0 Z 1, ). Veja as Figuras 4.4a e 4.4b. Essa probabilidade é dada diretamente na Tabela as entradas da Tabela 1, utilizando a entrada correspondente à linha 1, e à coluna com o valor. O resultado é. P0 Z 1, ) = tab1, ) = 0, 3888 a) Interpretação como área b) Uso da tabela Figura 4.4 Cálculo de P0 Z 1, ) Exemplo 4. A partir da Tabela 1 do Apêndice A calcule P1 Z ). Note que este exemplo trata da probabilidade entre duas abscissas positivas. Na Figura 4.5a ilustrase a probabilidade desejada como a área sombreada, que pode ser obtida pela diferença entre as

42 4.. A DENSIDADE NORMAL PADRÃO 39 áreas das Figuras 4.5b e 4.5d, cujos valores são encontrados na Tabela 1 conforme ilustram as Figuras 4.5c e 4.5e. P1 Z ) = tab) tab1) = 0, 477 0, , 1359 a) P1 Z ) b) P0 Z ) c) Uso da tabela d) P0 Z 1) e) Uso da tabela Figura 4.5 Cálculo de P1 Z ) Exemplo 4.3 A partir da Tabela 1 do Apêndice A calcule PZ 1). Note que este exemplo trata da probabilidade de Z ser maior que uma abscissa positiva. Na Figura 4.6a ilustra-se essa probabilidade como a área sombreada, que pode ser obtida pela diferença entre as áreas das Figuras 4.6b e 4.6c. A primeira área corresponde à probabilidade PZ 0) e é igual a 0,5, pois a média µ = 0 é o eixo de simetria e a área total é 1. Logo, PZ 0) = PZ 0) = 0, 5. A segunda área vem direto da Tabela 1. PZ 1) = 0, 5 tab1, 0) = 0, 5 0, 3413 = 0, 1587 a) PZ 1) b) PZ 0) c) P0 Z 1) Figura 4.6 Cálculo de PZ 1) Exemplo 4.4 A partir da Tabela 1 do Apêndice A calcule PZ 1). Note que este exemplo trata da probabilidade de Z ser menor que uma abscissa positiva. Na Figura

43 40 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 4.7a ilustra-se a probabilidade desejada como a área sombreada, que pode ser obtida pela soma das áreas das Figuras 4.7b e 4.7c. A primeira área corresponde à probabilidade PZ 0) e é igual a 0,5, conforme visto no exemplo anterior. PZ 1) = PZ 0) + tab1, 0) = 0, 5 + 0, 3413 = 0, 8413 a) PZ 1) b) PZ 0) c) P0 Z 1) Figura 4.7 Cálculo de PZ 1) Exemplo 4.5 A partir da Tabela 1 do Apêndice A calcule PZ 0, 5) Note que este exemplo trata da probabilidade de Z ser menor que uma abscissa negativa e, agora, começamos a trabalhar com abscissas negativas. Na Figura 4.8a ilustra-se a probabilidade desejada como a área sombreada. Pela simetria da curva de densidade normal, essa área é igual à área sombreada na Figura 4.8b, que corresponde a PZ 0, 5). PZ 0, 5) = PZ 0, 5) = 0, 5 tab0, 5) = 0, 5 0, 1915 = 0, 3085 a) PZ 0, 5) b) Simetria: PZ 0, 5) Figura 4.8 Cálculo de PZ 0, 5) Exemplo 4.6 A partir da Tabela 1 do Apêndice A calcule PZ 0, 5) Note que este exemplo trata da probabilidade de Z ser maior que uma abscissa negativa. Na Figura 4.9a ilustra-se essa probabilidade como a área sombreada, que é a soma das áreas sombreadas nas Figuras 4.9b e 4.9c. Essa última área, por sua vez, é igual à área representada na Figura 4.9d, pela simetria da curva de densidade. PZ 0, 5) = 0, 5 + tab0, 5) = 0, 5 + 0, 1915 = 0, 6915 Exemplo 4.7 A partir da Tabela 1 do Apêndice A calcule calcule P, 1 Z 1, 4)

44 4.. A DENSIDADE NORMAL PADRÃO 41 a) PZ 0, 5) b) PZ 0) c) P 0, 5 Z 0) d) Simetria: PZ Z 0, 5) Figura 4.9 Cálculo de PZ 0, 5) Note que este exemplo trata da probabilidade de Z estar entre duas abscissas negativas. Na Figura 4.10a ilustra-se a probabilidade desejada como a area sombreada. Por simetria, essa área é igual à área ilustrada na Figura 4.10b, já analisada no Exemplo 4.. P, 1 Z 1, 4) = P1, 4 Z, 1) = tab, 1) tab1, 4) = 0, 481 0, 419 = 0, 069 a) P, 1 Z 1, 4) b) Simetria: P1, 4 Z, 1) Figura 4.10 Cálculo de P, 1 Z 1, 4) Exemplo 4.8 A partir da Tabela 1 do Apêndice A calcule P, 1 Z 1, 4) Note que este exemplo trata da probabilidade de Z estar entre duas abscissas, uma negativa e outra positiva. Na Figura 4.11a ilustra-se a probabilidade como a area sombreada, que é a soma das áreas representadas nas Figuras 4.11b e 4.11c. Por simetria, essa última área é igual à área sombreada na Figura 4.11d, o que nos leva à conclusão de que P, 1 Z 1, 4) = tab, 1) + tab, 4) = 0, , 419 = 0, 9013

45 4 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL a) P, 1 Z 1, 4) b) P0 Z 1, 4) c) P, 1 Z 0) d) Simetria: P0 Z, 1) Figura 4.11 Cálculo de P, 1 Z 1, 4) 4.. A Tabela da Distribuição Acumulada da Normal Padrão Muitos livros trabalham com uma outra tabela, que dá PZ z). Essa função, que denotaremos por Φz), é chamada função de distribuição acumulada, ou simplesmente função de distribuição, pois a cada z ela associa a probabilidade acumulada à esquerda de z. Veja a Figura 4.1. Figura 4.1 Φz) = PZ z) A Tabela do Apêndice 1 apresenta os valores de Φz) para z 0. Vamos usar essa tabela para refazer os exemplos vistos anteriormente, que serão apresentados em uma ordem diferente, mais didaticamente apropriada para esse contexto. Exemplo 4.9 A partir da Tabela do Apêndice A calcule PZ 1) Essa probabilidade resulta diretamente da definição de distribuição acumulada: PZ 1) = Φ1, 0) = 0, 8413

46 4.. A DENSIDADE NORMAL PADRÃO 43 Exemplo 4.10 A partir da Tabela do Apêndice A calcule PZ 1) Pela lei do complementar, temos que PZ 1) = 1 PZ < 1) = 1 PZ 1) = 1 Φ1, 0) = 1 0, 8413 = 0, 1587 porque Z é uma variável aleatória contínua. Exemplo 4.11 A partir da Tabela do Apêndice A calcule PZ 0, 5) Vimos, no Exemplo 4.5, que Logo, PZ 0, 5) = PZ 0, 5) PZ 0, 5) = PZ 0, 5) = 1 PZ < 0, 5) = 1 PZ 0, 5) = 1 Φ0, 5) = 1 0, 6915 = 0, 3085 Exemplo 4.1 A partir da Tabela do Apêndice A calcule PZ 0, 5) Veja as Figuras 4.13a e 4.13b. PZ 0, 5) = 1 PZ < 0, 5) = 1 PZ > 0, 5) = PZ 0, 5) = Φ0, 5) = 0, 6915 a) PZ 0, 5) b) Simetria: PZ 0, 5) Figura 4.13 Cálculo de PZ 0, 5) Exemplo 4.13 A partir da Tabela do Apêndice A calcule P0 Z 1, ) Veja as Figuras 4.4a, 4.14a e 4.14b. P0 Z 1, ) = PZ 1, ) PZ 0) = Φ1, ) 0, 5 = 0, , 5 = 0, 3888 Exemplo 4.14 A partir da Tabela do Apêndice A calcule P1 Z )

47 44 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL a) PZ 1, ) b) PZ 0) Figura 4.14 Cálculo de P0 Z 1, ) Veja as Figuras 4.5a, 4.15a e 4.15b. P1 Z ) = PZ ) PZ < 1) = PZ ) PZ 1) = Φ, 0) Φ1, 0) = 0, 977 0, 8413 = 0, 1359 a) PZ, 0) b) Simetria: PZ 1, 0) Figura 4.15 Cálculo de P1 Z ) Exemplo 4.15 A partir da Tabela do Apêndice A calcule P, 1 Z 1, 4) Usando os resultados do Exemplo 4.14, temos que P, 1 Z 1, 4) = P1, 4 Z, 1) = Φ, 1) Φ1, 4) = 0, 981 0, 919 = 0, 069 Exemplo 4.16 A partir da Tabela do Apêndice A calcule P, 1 Z 1, 4) Usando os resultados do Exemplo 4.11, temos que P, 1 Z 1, 4) = Φ1, 4) PZ <, 1) = Φ1, 4) Φ, 1) = Φ1, 4) [1 Φ, 1)] = 0, 919 [1 0, 981] = 0, 9013

48 4.3. CÁLCULOS COM A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Cálculos com a distribuição normal Nesta seção serão apresentados resultados básicos sobre a distribuição normal, que permitirão que você calcule probabilidades associadas a qualquer variável aleatória normal, e isso ampliará o escopo de aplicações práticas. Na seção anterior, você viu como usar tabelas da distribuição normal padrão para calcular probabilidades associadas à variável Z N0; 1). Essas tabelas, ou softwares especializados, são necessários para fazer os cálculos, pois não existem métodos diretos para calcular áreas sob a curva da densidade normal padrão. Mas as tabelas vistas referiam-se à distribuição N0; 1). Será que teremos que usar uma tabela diferente para outros valores da média µ e do desvio-padrão σ? Felizmente, a resposta é NÃO, graças a uma propriedade muito interessante da distribuição normal que estabelece o seguinte resultado:! Padronização da distribuição normal Nµ; σ ) X N µ; σ ) = Z = X µ σ N0; 1) 4.) Note que a transformação dada em 4.3) é uma transformação linear, que é biunívoca. Vejamos como usar esse resultado para calcular probabilidades de uma v.a. normal qualquer. Suponhamos, por exemplo, que se deseje calcular PX 3), em que X N1; ), ou seja, X é uma v.a. normal com média 1 e variância. Temos a seguinte equivalência de eventos X 3 X uma vez que subtraímos a mesma constante e dividimos pela mesma constante positiva em ambos os lados da desigualdade. Mas, pelo resultado acima, Z = X 1 N0; 1). Logo, X 1 PX 3) = P 3 1 ) = P Z 3 1 ) e caímos novamente no cálculo de probabilidades da Normal padrão, que é feito com auxílio das Tabelas 1 e, apresentadas na seção anterior. Completando o cálculo, obtemos: PX 3) = P Z 3 1 ) = PZ 1, 41) = 0, 5 + tab1, 41) = Φ1, 41) = 0, 907 Na Figura 4.16 representa-se a probabilidade PX 3) e na Figura 4.17, PZ 1, 41). Pelo resultado acima, essas duas áreas são iguais. Figura 4.16 PX 3) X N1; ) Figura 4.17 PZ 1, 41)

49 46 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL É interessante lembrar que a transformação dada na equação 4.3) corresponde ao cálculo do escore padronizado associado à abscissa x. Assim, cálculos de probabilidades de v.a. normais sempre envolverão o cálculo do escore padronizado das) abscissas) de interesse. Agora, vamos apresentar vários exemplos para fixar os conceitos e procedimentos. É importante que você estabeleça a equivalência dos eventos definidos pela distribuição normal de interesse e pela normal padrão. Como antes, faça um esboço do gráfico das curvas normais sombreando a área desejada. Exemplo 4.17 Se X N3; 9), calcule P 1 X 4). 1 3 P 1 X 4) = P X ) = P 1, 33 Z 0, 33) = Φ0, 33) Φ 1, 33) = 0, , = tab0, 33) + tab1, 33) = 0, , 4084 = 0, Exemplo 4.18 Se X N; 5), calcule P1 X 7). 1 P1 X 7) = P X 7 ) = P 0, 45 Z, 4) = Φ, 4) Φ 0, 45) = Φ, 4) [1 Φ0, 45)] = 0, 9875 [1 0, 6700] = tab, 4) + tab0, 45) = 0, , 1700 = 0, 6575 Exemplo 4.19 Se X N5, 1), calcule PX > 7). X 5 PX > 7) = P > 7 5 ) 1 1 = PZ > ) = 1, 0 Φ, 0) = 1, 0 0, 9775 = 0, 5 tab, 0) = 0, 5 0, 4775 = 0, 075

50 4.3. CÁLCULOS COM A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 47 Exemplo 4.0 A regra ,7 Seja X Nµ; σ ). Calcule Pµ kσ < X < µ + kσ), para k = 1,, 3. Note que essa probabilidade corresponde à probabilidade de X estar a uma distância de k desviospadrão da média. Pµ kσ X µ + kσ) = µ kσ µ P σ = P k Z k) X µ σ µ + kσ µ ) σ Note que chegamos a uma probabilidade que não depende de µ ou σ, ou seja, esse resultado vale qualquer que seja a distribuição normal. k = 1 Pµ σ X µ + σ) = P 1 Z 1) = tab1, 0) = 0, 3414 = 0, 688 k = Pµ σ X µ + σ) = P Z ) = tab, 0) = 0, 477 = 0, 9544 k = 3 Pµ 3σ X µ + 3σ) = P 3 Z 3) = tab3, 0) = 0, 4987 = 0, 9974 Essas probabilidades nos dizem que, para qualquer distribuição normal, 68,8% dos valores estão a um desvio-padrão da média, 95,44% estão a dois desvios-padrão e 99,73% dos valores estão a três desvios-padrão da média. Veja a Figura?? para uma ilustração desses resultados. Lembre-se de que o teorema de Chebyshev fornecia percentuais análogos para qualquer distribuição. Para distribuições normais, os resultados desses três exemplos mostram percentuais mais precisos. Figura 4.18 Ilustração da regra , Encontrando a abscissa da normal para uma probabilidade específica Nos exemplos vistos até o momento, consideramos situações em que tínhamos uma abscissa de uma distribuição normal e queríamos a probabilidade associada a essa abscissa. Agora, vamos lidar com a situação inversa: dada uma probabilidade, qual é a abscissa correspondente? Eis algumas situações que envolvem esse tipo de problema:

51 48 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Em uma turma de Estatística, os 10% melhores alunos receberão um livro de presente. Em uma comunidade, as famílias com as 15% piores rendas irão receber um auxílio da prefeitura. Como antes, vamos apresentar vários exemplos que ilustram essa situação. Exemplo 4.1 Se Z N0; 1), determine o valor de k tal que PZ k) = 0, 90. Vamos traduzir esse problema em termos probabilísticos: queremos encontrar a abscissa k da normal padrão tal que a probabilidade à esquerda dela seja 0,90. Como 0,90 é a área à esquerda de k, resulta que k tem que ser maior que zero, isto é, temos que ter k > 0. Veja a Figura??: à esquerda de k temos área probabilidade) 0,90 e à esquerda de 0 temos área probabilidade) 0,5. Logo, entre 0 e k temos que ter área probabilidade) 0,40. Figura 4.19 k PZ k) = 0, 90 Escrevendo essas observações em termos de probabilidades, temos: PZ k) = 0, 90 PZ 0) + P0 < Z k) = 0, 90 0, 5 + P0 < Z k) = 0, 90 P0 < Z k) = 0, 40 Esta última igualdade nos diz que k é a abscissa correspondente ao valor 0,40 na Tabela 1. Para identificar k, temos que buscar, no corpo dessa tabela, o valor mais próximo de 0,40. Na linha correspondente ao valor 1, encontramos as entradas 0,39973 e 0, Como a primeira está mais próxima de 0,40, olhamos qual é a abscissa correspondente: a linha é 1, e a coluna é 8, o que nos dá a abscissa de 1,8, ou seja, k = 1, 8 e PZ 1, 8) = 0, 90, completando a solução. Agora vamos olhar o mesmo exemplo, mas para uma distribuição normal qualquer. Exemplo 4. Se X N3; 4), determine o valor de k tal que PX k) = 0, 90. Como a probabilidade à esquerda de k é maior que 0,5, resulta que k tem que ser maior que a média.

52 4.3. CÁLCULOS COM A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 49 O primeiro passo na solução é escrever a probabilidade dada em termos da normal padrão. PX k) = 0, 90 X 3 P k 3 ) = 0, 90 P Z k 3 ) = 0, 90 PZ 0) + P 0 Z k 3 ) = 0, 90 0, 5 + P 0 Z k 3 ) = 0, 90 P 0 Z k 3 ) = 0, 40 k 3 = 1, 8 k = 5, 56 Exemplo 4.3 Se X N3; 4), determine o valor de k tal que PX k) = 0, 05. À esquerda de k temos 5% da área total; logo, k tem que ser menor que a média, ou seja, temos que ter k < 3 e a abscissa padronizada correspondente tem que ser negativa menor que a média 0). PX k) = 0, 05 X 3 P k 3 ) = 0, 05 P Z k 3 ) = 0, 05 Como a área probabilidade) à esquerda de k 3 é menor que 0, 5, isso significa que k 3 tem que ser negativo. Veja a Figura 4.0a. Para nos adequarmos às tabelas disponíveis, temos que trabalhar com abscissas positivas, ou seja, temos que usar a simetria da curva. Veja a Figura 4.0b e note que a abscissa simétrica a k 3 é k 3 = 3 k. a) P Z k 3 ) ) = 0, 05 b) Simetria: P Z k 3 = 0, 05 Figura 4.0 k PX k) = 0, 05

53 50 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Temos, então, a seguinte equivalência de probabilidades: P Z k 3 ) = 0, 05 P Z k 3 ) = 0, 05 P 0 Z k 3 ) = 0, 45 O menor valor mais próximo de 0,45 no corpo da Tabela 1 é 0,4495, que corresponde à abscissa 1,64, e isso nos dá que k 3 = 1, 64 k = 0, 8 Exemplo 4.4 Se X N3; 4), determine o valor de k tal que P X 3 k) = 0, 95. Pelas propriedades da função módulo, sabemos que P X 3 k) = 0, 95 P k X 3 k) = 0, 95 P 3 k X k + 3) = 0, 95 3 k 3 P X 3 k ) = 0, 95 P k Z k ) = 0, 95 Veja a Figura 4.1 para entender que P k Z k ) P k ) Z 0 P 0 Z k ) P 0 Z k ) k = 0, 95 + P = 1, 96 k = 3, 9 0 Z k ) = 0, 95 = 0, 475 = 0, 95

54 4.4. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 51 Figura 4.1 k P Z k ) = 0, 95 Note que, de forma mais direta, P X 3 k) = 0, 95 X 3 P k ) = 0, 95 P Z k ) = 0, 95 P k Z k ) = 0, 95 P 0 Z k ) = 0, 475 k = 1, 96 k = 3, 9 Na desigualdade inicial X 3 k, a média µ = 3 já está subtraída; assim, só falta dividir pelo desvio-padrão para completar a operação de padronização. 4.4 Exemplos de Aplicação da Distribuição Normal A distribuição normal é um modelo probabilístico que se aplica a diversas situações práticas. Vamos finalizar este capítulo com alguns exemplos práticos, mas, na última parte do curso, você verá mais aplicações no contexto da inferência estatística, em que decisões têm de ser tomadas com base nos resultados obtidos a partir de uma amostra. Exemplo 4.5 Saldo bancário O saldo médio dos clientes de um banco é uma variável aleatória com distribuição normal com média R$.000, 00 e desvio-padrão R$ 50,00. Os clientes com os 10% maiores saldos médios recebem tratamento VIP, enquanto aqueles com os 5% menores saldos médios receberão propaganda extra para estimular maior movimentação da conta. a) Quanto você precisa de saldo médio para se tornar um cliente VIP? b) Abaixo de qual saldo médio o cliente receberá a propaganda extra? Seja X = saldo médio ; é dado que X N000; 50 ).

55 5 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL a) Temos que determinar o valor de k tal que PX k) = 0, 10. Note que isso equivale a calcular o 90 o percentil da distribuição. A área à esquerda de k tem de ser 0,90; logo, k tem que ser maior que a média. X 000 PX k) = 0, 10 P 50 P Z k 000 ) P 50 0 Z k k 000 ) 50 = 0, 10 P 0 Z k = 0, 90 PZ 0) + P ) = 0, 90 0, 50 = 0, 40 k Z k 000 ) = 0, ) = 0, 90 = 1, 8 k = 30 Os clientes com saldo médio maior ou igual a R$.30, 00 terão tratamento VIP. b) Temos que determinar o valor de k tal que PX k) = 0, 05. Note que isso equivale a calcular o 5 o percentil da distribuição. A área à esquerda de k tem que ser 0,05; logo, k tem que ser menor que a média. Na solução, teremos que usar a simetria da distribuição, invertendo o sinal da abscissa, para lidarmos com abscissas positivas da distribuição normal padrão. X 000 PX k) = 0, 05 P 50 P Z k 000 ) = 0, 05 P P 50 0 Z 000 k 50 ) k 000 ) = 0, Z 000 k ) = 0, = 0, k 50 = 1, 64 k = 1590 Os clientes com saldo médio inferior a R$ 1.590,00 receberão a propaganda extra. Na Figura 4. ilustra-se a solução do exercício. Figura 4. Solução do Exemplo 4.5 Exemplo 4.6 Regulagem de máquinas Uma máquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso que se distribuem segundo uma distribuição normal com desvio-padrão de 0 gramas. Em quanto deve ser regulado o peso médio desses pacotes para que apenas 10% deles tenham menos que 500 gramas? Esse é um exemplo clássico de aplicação da distribuição normal. Seja X o peso dos pacotes em gramas. Então, X Nµ; 400). Temos que ter PX 500) = 0, 10. Note que o peso médio tem que

56 4.4. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 53 ser superior a 500 g. Veja, na solução, a inversão do sinal da abscissa! X µ PX 500) = 0, 10 P 500 µ ) = 0, P Z 500 µ ) = 0, 10 P Z 500 µ ) = 0, P Z µ 500 ) = 0, 10 P 0 Z µ 500 ) = 0, µ 500 = 1, 8 µ = 55, 6 0 A máquina tem que ser regulada com um peso médio de 55,6g para que apenas 10% dos pacotes tenham peso inferior a 500g. Veja a Figura 4.3. Figura 4.3 Solução do Exemplo 4.6 Exemplo 4.7 Mais sobre regulagem de máquinas Uma máquina fabrica tubos metálicos cujos diâmetros podem ser considerados uma variável aleatória normal com média 00mm e desvio-padrão mm. Verifica-se que 15% dos tubos estão sendo rejeitados como grandes e 10% como pequenos. a) Quais são as tolerâncias de especificação para esse diâmetro? b) Mantidas essas especificações, qual deverá ser a regulagem média da máquina para que a rejeição por diâmetro grande seja praticamente nula? Nesse caso, qual será a porcentagem de rejeição por diâmetro pequeno? Seja D = diâmetro dos tubos. Então D N00, ). a) Sejam k I e k S as especificações inferior e superior, respectivamente. Isso significa que tubos com diâmetro menor que k I são rejeitados como pequenos e tubos com diâmetro maior que k S são rejeitados como grandes. D 00 PD < k I ) = 0, 10 P P Z > k ) I 00 = 0, 10 P 00 k I = 1, 8 k I = 197, 44 < k ) I 00 Z > 00 k I = 0, 10 P ) Z < k ) I 00 = 0, 10 = 0, 10 P 0 Z < 00 k ) I = 0, 40

57 54 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL D 00 PD > k S ) = 0, 15 P ) P 0 Z < k S 00 = 0, 35 k S 00 > k ) S 00 = 0, 15 = 1, 03 k S = 0, 06 Logo, tubos com diâmetro menor que 197,44 cm são rejeitados como pequenos e tubos com diâmetros maiores que 0,06 cm são rejeitados como grandes. b) Com a nova regulagem, temos que D Nµ; ) e µ deve ser tal que D µ PD > 0, 06) = 0 P ) P Z > 0, 06 µ 0, 06 µ = 0 P 4, 5 µ 193, 06 ) 0, 06 µ > 0 Z 0, 06 µ Com essa média, a porcentagem de rejeição por diâmetro pequeno é D 193, 06 PD < 197, 44) = P < ) 197, , 06 = 0 ) = 0, 5 = PZ <, 19) = PZ 0) + P0 < Z <, 19) = 0, 9857 Com essa nova regulagem, a rejeição por diâmetro grande é nula, mas a rejeição por diâmetro pequeno é muito alta! Veja as Figuras 4.4a e 4.4b, nas quais ficam claros os resultados obtidos. a) Regulagem original b) Regulagem com 0% de tubos grandes Figura 4.4 Exemplo Regulagem de máquinas Exemplo 4.8 Troca de lâmpadas Em um grande complexo industrial, o departamento de manutenção tem instruções para substituir as lâmpadas antes que se queimem. Os registros indicam que a duração das lâmpadas, em horas, tem distribuição normal, com média de 900 horas e desvio-padrão de 75 horas. Quando devem ser trocadas as lâmpadas, de modo que no máximo 5% delas queimem antes de serem trocadas? Seja T = tempo de duração em horas) das lâmpadas ; então, T N900; 75 ). Temos que determinar

58 4.4. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 55 t tal que PT t) = 0, 05. T 900 PT t) = 0, 05 P 75 P Z t 900 ) = 0, 05 P P 75 0 Z 900 t 75 ) = 0, t 75 t 900 ) = 0, Z 900 t ) = 0, = 1, 64 t = 777 As lâmpadas devem ser trocadas com 777 horas de uso para que apenas 5% se queimem antes da troca. Aqui cabe a seguinte observação: em geral, não é apropriado utilizar-se a distribuição normal para modelar o tempo de sobrevivência de lâmpadas ou equipamentos em geral. Modelos tipo exponencial ou gama são mais adequados, pois atribuem probabilidade alta de sobrevivência no início da vida do equipamento e probabilidade decrescente à medida que o equipamento envelhece. Exemplo 4.9 Regulagem de máquinas controle da variabilidade Uma enchedora automática enche garrafas de acordo com uma distribuição normal de média 100 ml. Deseja-se que no máximo uma garrafa em cada 100 saia com menos de 90ml. Qual deve ser o maior desvio padrão tolerável? Se X = conteúdo da garrafa em ml), então X N100; σ ) e queremos que PX < 90) 0, 01. Seja σ 0 o valor do desvio padrão de X tal que PX < 90) = 0, 01. Então, qualquer valor de σ tal que σ < σ 0 resulta em PX < 90) < 0, 01. Veja a Figura 4.9. Figura 4.5 Solução do Exemplo 4.9 A área sombreada corresponde a PX < 90) = 0, 01 quando X N100; σ 0 ) curva de densidade mais espessa). As duas outras densidades correspondem a distribuições normais com desvios-padrão menores. Note que para essas distribuições, PX < 90) < 0, 01. Assim, o desvio-padrão máximo

59 56 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL tolerável é tal que: ) PX < 90) 0, 01 P Z < σ P Z > 10 ) 0, 01 0, 5 P σ 10 10, 33 σ = 4, 918 σ, 33 0 Z 10 σ 0, 01 P ) Z > 0, 01 P ) , 01 σ 0 Z 10 ) 0, 49 σ 4.5 Exercícios propostos 1. Seja Z N0; 1). Calcule as seguintes probabilidades: a) P0 < Z < 1, 86) b) P1, 3 < Z <, 35) c) PZ < 1, 5) d) PZ > ) e) P 1, 86 < Z < 0) f) P, 5 < Z < 1, ) g) P < Z < 3) h) PZ > 1, 3) i) PZ < 1, 65) j) PZ < 5) k) PZ > 5). Seja Z N0; 1). Encontre a abscissa k que satisfaz as seguintes condições: a) PZ < k) = 0, 8 b) PZ > k) = 0, 05 c) P k < Z < k) = 0, 7 d) PZ < k) = 0, 1 e) PZ > k) = 0, 69 f) P Z > k) = 0, Usando a Tabela 1, calcule as seguintes probabilidades: a) Pr, 34 1, 0) b) Pr1, 36 Z 4, 50) c) PrZ, 35) d) PrZ > 4, 80) e) PrZ 4, 89) f) Pr1, 54 Z < 3, 1) g) Pr 1, < Z < 0, 89) h) PrZ < )

60 4.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 57 i) PrZ > ) j) Pr, 56 < Z < 5, 00) 4. Calcule as probabilidades do exercício anterior usando a Tabela. 5. Seja X N5; 4). Calcule a) PX < 3) b) PX 1, 8) c) PX < 6) d) PX >, 5) e) P1, 7 X 6, 3) f) PX 5) 6. Seja X N5; 4). Encontre o valor de k tal que a) PX > k) = 0, 80 b) P X 5 < k) = 0, 80 c) PX < k) = 0, 75 d) PX < k) = 0, 05 e) PX > k) = 0, A quantidade de sabão em pó contida em um certo tipo de embalagem tem peso distribuído normalmente, com média de 995g e desvio padrão de 10g. Uma embalagem é rejeitada no comércio se tiver peso menor que 976g. a) Qual é a porcentagem de latas rejeitadas no comércio? b) Se observamos uma sequência aleatória destas embalagens em uma linha de produção, qual é a probabilidade de que a 10a embalagem seja a primeira rejeitada? c) Se observamos uma sequência aleatória destas latas em uma linha de produção, qual é a probabilidade de que, em 0 latas observadas, três sejam rejeitadas? 8. Latas de refrigerante são enchidas segundo uma distribuição normal com média 34 ml e desvio padrão 4 ml. Uma lata é rejeitada no comércio se tiver menos que 333 ml. a) Qual é a porcentagem de latas rejeitadas no comércio? b) Se observamos uma sequência aleatória destas latas em uma linha de produção, qual é a probabilidade de que a quinta lata seja a primeira rejeitada? c) Se observamos uma sequência aleatória destas latas em uma linha de produção, qual é a probabilidade de que, em 10 latas observadas, duas sejam rejeitadas? 9. Em um grande escritório de contabilidade, o tempo de execução de determinada tarefa segue uma distribuição Normal com média de 1 minutos e desvio padrão de minutos. Para o andamento do serviço dentro das metas estabelecidas pelo escritório, o tempo de execução dessa tarefa deve estar entre 10 e 17 minutos. A probabilidade de erro entre os funcionários que executam a tarefa em menos de 10 minutos é de 15%. Essa probabilidade cai para 4% entre os que executam a tarefa em mais de 17 minutos e para os que executam dentro dos limites de 10 e 17 minutos, a probabilidade de erro é de 7%. Sorteia-se um registro referente à execução dessa tarefa. Certifique-se de definir claramente os eventos em análise. a) Qual é a probabilidade de a tarefa ter sido executada em menos de 10 minutos?

61 58 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL b) Qual é a probabilidade de a tarefa ter sido executada em mais de 17 minutos? c) Qual é a probabilidade de o registro ser de uma tarefa executada com erro? d) Se o registro refere-se a uma tarefa executada com erro, qual é a probabilidade de que tenha sido executada em mais de 17 minutos?

62 Capítulo 5 Solução dos exercícios 5.1 Capítulo 1 1. a) No baralho há 6 cartas vermelhas, 13 de ouros e 13 de copas. Logo, os possíveis valores de X são 0, 1,, 3, 4, 5. b) O espaço amostral desse experimento consiste em todos os possíveis subconjuntos de 5 cartas. Como a ordem não interessa, o número de elementos do espaço amostral é nω = ) 5 5. ) PX = 0) = P5 pretas) = = = = 0, P X = 1) = P4 pretas, 1 vermelha) = = = ) 6 ) ) = = = 0, ) 6 ) 3 P X = ) = P3 pretas, vermelhas ) = ) = = ) = = = 0, Como o número de cartas pretas e vermelhas é o mesmo, resulta que ) PX = 3) = P pretas,3 vermelhas ) = 6 ) ) = 0, 351

63 60 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS P X = 4) = P1 preta,4 vermelhas) = PX = 5) = P5 vermelhas) = Logo, a distribuição de probabilidade de X é 6 ) ) ) ) = 0, 1496 ) = 0, 053 x p X x) 0, 053 0, , 351 0, 351 0, , 053 c) Analisando a distribuição de probabilidade de X, vemos que ela é simétrica em torno do valor,5. Como a esperança ou média) é o centro de gravidade da distribuição, resulta que EX) =, 5. Vamos fazer os cálculos para confirmar: EX) = 0 0, , , , , , 053 =, 5. Note que temos bolas brancas em quantidade suficiente para podermos tirar todas brancas X = 0), mas não temos bolas verdes suficientes para tirar todas verdes. a) Como há apenas 4 verdes, os valores de X são 0, 1,, 3, 4. b) O número de elementos do espaço amostral é ) #Ω = = = = ) PX = 0) = P5 brancas) = 11 ) 5 = = 1 = 3 66 PX = 1) = P1 verde, 4 brancas) = = = = 0 66 PX = ) = P verdes, 3 brancas) = = PX = 3) = P3 verdes, brancas) = = = 11 = 1 66 PX = 4) = P4 verdes, 1 branca) = = = ) 7 1 4) = 5 11 = ) 7 3) ) 7 3 ) ) 7 4 1)

64 5.1. CAPÍTULO 1 61 c) Logo, a distribuição de probabilidade de X é x p X x) EX) = = 10 = 1, = EX ) = VarX) = [ ] = = 0, a) Se as extrações são feitas com reposição, em cada extração podemos tirar bola branca ou verde. Logo, os possíveis valores de X são 0, 1,, 3, 4, 5. b) Com reposição, sempre temos na urna 7 brancas e 4 verdes e em cada extração, temos que Pbranca) = 7 11 e Pverde) = Como as extrações são independentes, resulta que PX = 0) = P5 brancas) = ) 7 5 = PX = 1) = P1 verde, 4 brancas) ) ) ) 4 1 = = PX = ) = P verdes, 3 brancas) ) ) ) 4 = = PX = 3) = P3 verdes, brancas) ) ) 5 7 ) 4 3 = = PX = 4) = P4 verdes, 1 branca) ) ) ) 4 4 = = PX = 5) = P5 verdes) = Logo, a distribuição de probabilidade de X é: ) 4 5 = x p X x) A razão de multiplicarmos pelos números combinatórios se deve ao fato de que as) bolas) verdes) podem) sair em qualquer uma das extrações.

65 6 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS c) EX) = = 980 = 1, EX ) = = VarX) = [ ] = = 1, a) Os valores possíveis da v.a. são 0 e 1. Então, temos que ter Logo, f X 0) + f X 1) = 1 k! + k 3! = 1 k + k 6 = 1 3k + k 6 = 1 k = 6 4 = 3 f X 0) = f X 1) = 3 = = 1 4 b) A função de distribuição de X é 0 se x < 0 3 F X x) = 4 se 0 x < 1 1 se x 1 c) EX) = = 1 4 EX ) = = 1 4 VarX) = 1 [ ] 1 4 = a) Na tabela a seguir, listam-se todos os elementos do espaço amostral, bem como os valores das variáveis aleatórias. w Pw) X Y 1 CCC CCK 8 1 CKC KCC 8 1 CK K KCK K KC K K K Logo, as distribuições de probabilidade de X e Y são: x f X x)

66 5.1. CAPÍTULO 1 63 b) As duas distribuições são simétricas. Logo, y f Y y) EX) = 1, 5 = 3 EY ) = EX ) = = 4 8 = 3 [ ] 3 VarX) = 3 = 3 4 EY ) = = 36 8 = 9 VarY ) = 9 = 1 6. Veja a Figura 5.1 com o espaço amostral deste experimento. Daí, podemos ver que o vendedor pode não vender qualquer projeto, vender apenas um projeto médio, vender apenas um projeto grande, vender um projeto médio e um projeto grande, vender dois projetos médios ou vender dois projetos grandes. 0 0,6 0 M 0, G 0, ,6 0 0,6 0 1 M 0, G 0, ,6 0 0,4 0 0, M 0,3 M 0, G 0,1 G 0, , M 0, G 0, Figura 5.1 Espaço amostral para o exercício 6 Seja V a v.a. valor das vendas diárias. Usando a regra da multiplicação, que diz que PA B) = PA) PB A) e o axioma da probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos, podemos

67 64 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS calcular: PV = 0) = 0, 6 0, 6 + 0, 4 0, 6 0, 6 = 0, 504 PV = 5000) = 0, 6 0, 3 + 0, 4 0, 6 0, 3 = 0, 34 PV = 10000) = 0, 4 0, 3 0, 3 = 0, 036 PV = 0000) = 0, 6 0, 1 + 0, 4 0, 6 0, 1 = 0, 108 PV = 5000) = 0, 4 0, 3 0, 1 = 0, 04 PV = 40000) = 0, 4 0, 1 0, 1 = 0, 004 EV ) = = Na tabela a seguir temos os resultados pertinentes para a solução do problema. Número de carros Probabilidade Lucro por dia alugados/dia de alugar 0 0, ) = , = 900 0, = , = , = 6000 Sejam X = número de carros de luxo alugados por dia e L = lucro diário com aluguel de carros de luxo. a) b) EX) = 1 0, , , , 10 = 1, 9 carros por dia EX ) = 1 0, , , , 10 = 4, 9 VarX) = EX ) [EX)] = 4, 9 1, 9) = 1, 9 DPX) = 1, 1356 carros por dia EL) = 800) = 430 reais EL ) = 800) = VarL) = EL ) [EL)] = = DPL) = 1930, 83 reais 8. a) Seja X = número de chamadas por dia. EX) = 1 0, , , , , 05 =, 35 chamadas por dia VarX) = 1 0, , , , , 05, 35) = 1, 775 DPX) = 1, 3143 chamadas por dia b) Seja T = número de chamadas em um ano. Então, T = 365X e ET ) =, = 857, 75

68 5.. CAPÍTULO a) Seja X = número de pessoas em cada carro. Então, sua distribuição de probabilidades é dada por e x p 0, 05 0, 0 0, 40 0, 5 0, 10 EX) = 0, , , 0 + 1, 0 + 0, 5 = 3, 15 pessoas por carro b) Seja Y = número de pessoas em 50 carros em 5 horas de contagem. Então, Y = 50 5 X = 50X e EY ) = 50 EX) = 50 3, 15 = 787, 5 pessoas 5. Capítulo 1. Temos uma variável aleatória de Bernoulli, a saber: { 1 se peça é defeituosa X = 0 se peça é não defeituosa e PX = 1) = 0, 10, o que implica que PX = 0) = 0, 9. Seja Y = número de peças defeituosas na amostra de tamanho 4. Como as peças são sorteadas com reposição, resulta que as extrações são independentes e a probabilidade de sucesso peça defeituosa ) permanece constante. Logo, Y bin4; 0, 1) e a) PY = 0) = 4 0) 0, 10) 0 0, 9) 4 = 0, 6501 b) PY 1) = 1 PY = 0) = 1 0, 6501 = 0, 3439 c) PY = 1) = 4 1) 0, 10)0, 9) 3 = 0, 916. a) Supondo que o dado seja honesto, a distribuição de probabilidade de X é Valor do desconto x 0, 30 0, 0 0, 10 0, 05 PX = x) 1/6 1/6 1/6 3/6 b) Temos que 0, , 0 + 0, , 05 EX) = = 0, 15 6 ou um desconto médio de 1,5%. c) A probabilidade de se ter um desconto maior que 10% 0% ou 30%) é de 6. Seja Y = número de clientes, em um grupo de cinco, que recebem desconto maior que 10%. Então, Y bin 5; 6). Logo, P Y 1) = 1 PY < 1) = 1 P Y = 0) ) ) 5 0 ) 4 5 = 1 = 0, d) Seja Z = número de clientes que passam pelo caixa até primeiro desconto de 30%. O evento {Z = 4} corresponde a 3 clientes que não têm desconto de 30% seguidos do primeiro que tem desconto de 30%. Logo, ) 5 3 ) 1 P Z = 4) = = 0,

69 66 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 3. Temos uma variável aleatória de Bernoulli, a saber: { 1 se acerta no alvo X = 0 se não acerta no alvo e PX = 1) = 0, 0, o que implica que PX = 0) = 0, 8. a) Seja Z = número de tiros até primeiro acerto no alvo. Então, {Z = 10} significa que o atirador erra os 9 primeiros e acerta o décimo tiro: PZ = 10) = 0, 8) 9 0, 0) = 0, b) Seja Y = número de acertos em 10 tiros. Então, Y bin10; 0, ) e PY = 1) = 10 1 ) 0, 0)0, 8) 9 = 0, Capítulo 3 1. a) Veja o gráfico de fx) na Figura 5. e note que f0) = K e f1) = K e fx) é uma função linear. A área total, que deve ser igual a 1, é a área de um trapézio com altura h = 1, base maior igual a K e base menor igual a K, conforme ilustrado na Figura 5.3. Logo, 1 = K + K 1 K = 3 Figura 5. Gráfico da função densidade Figura 5.3 Área sob a curva de densidade b) A área abaixo da mediana Q é 0,50 e essa é a área de um trapézio com altura Q e bases 4/3 e fq ) = 3 Q ). Veja a Figura 5.4. Logo, temos que ter Figura 5.4 Cálculo da mediana

70 5.3. CAPÍTULO , 5 = Q ) Q 1 = 8 3 Q 3 Q Q 8Q 3 = 0 Q = 8 ± 40 A raiz que fornece solução no domínio de X é: Q = = 0, Faça desenhos! a) O comprimento do intervalo base do retângulo) é 0; logo, para a área ser 1, temos que ter altura igual a 1 0 = 0, 05. Veja a Figura 5.5.) Logo, { 0, 05 0 x 40 fx) = 0 caso contrário Figura 5.5 Função de densidade Unif[10, 0] b) Por simetria, a média é o ponto médio: EX) = 30 minutos c) O problema pede PX < 30 X 5) veja a Figura 5.6). PX < 30 X 5) = P5 X < 30) PX 5) = 5 0, , 05 = 5 15 = 1 3 Um erro comum na solução desse tipo de problema é vocês se esquecerem de dividir pela probabilidade do novo espaço amostral. Note que foi dito que a pessoa já esperou 5 minutos; logo, o novo espaço amostral passa ser o intervalo [5, 40] e temos que analisar a probabilidade pedida nesse novo espaço. Veja a Figura Seja X o comprimento da barra. Então, X Unif10; 1). Vamos definir os seguintes eventos: Temos as seguintes equivalências: S = barra vendida como sucata C = barra tem que ser cortada P = barra perfeita 10, 5 10 PS) = PX < 10, 5) = = 0, PC) = 1 11, 5 PX > 11, 5) = = 0, PP) = 11, 5 10, 5 P10, 5 X 11, 5) = = 0,

71 68 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS Figura 5.6 Cálculo da probabilidade PX < 30 X 5) 4. a) k 0 e a área sob a curva tem que ser 1 essa é a área de um trapézio. Logo k + 0, 5) = 1 k = 0, 75 O gráfico de fx) = a + bx é um segmento de reta determinado pelos pontos ; 0, 5) e 4; 0, 75). Logo, { a + b = 0, 5 b = 0, 5 b = 0, 5 a = 0, 5 a + 4b = 0, 75 ou seja, fx) = 0, 5 + 0, 5x x 4 b) Veja a Figura 5.7. A probabilidade pedida é a área de um trapézio de bases f, 5) e 0, 75 e altura 1, 5. Logo, c) PX, 5) = 0, , 5 + 0, 5, 5) PX > 3, 0 X, 5) = PX > 3, 0) PX, 5) 1, 5 = 0, De maneiroa análoga, a probabilidade no numerador é a área do trapézio de bases 0,75 e f3) e altura 1. Logo, PX > 3) = 0, 5 + 0, 5 3) + 0, 75 = 0, 65 PX > 3, 0 X, 5) = 0, 65 0, 741 0, d) Veja a Figura 5.8. A área do trapézio sombreado tem que ser 0,6; esse é um trapézio de bases 0,5 e fc) e altura c. Logo, 0, 5 + 0, 5 + 0, 5c) PX < c) = 0, 6 c = 0, 5 ± 0, 5 + 1, 0, 5 c ) = 0, 6 0, 5c 0, 5c 1, = 0

72 5.4. CAPÍTULO 4 69 A solução no domínio de f é c = 0, 5 + 0, 5 + 1, 0, 5 3, 408. Figura 5.7 PX), 5 Figura 5.8 PX < c) = 0, Capítulo 4 1. a) Veja Figura 5.9. P0 < Z < 1, 86) = tab1, 86) = 0, 4686 b) Veja Figura P1, 3 < Z <, 35) = P0 < Z <, 35) P0 < Z < 1, 3) = tab, 35) tab1, 3) = 0, 0999 c) Veja Figura PZ < 1.5) = P0 < Z < 1, 5) + PZ 0) = tab1, 5) + 0, 5 = 0, 933 d) Veja Figura 5.1. PZ > ) = P0 < Z < ) P0 < Z < ) = 0, 5 tab) = 0, 08 e) Veja a Figura P 1, 86 < Z < 0) = P0 < Z < 1, 86) = tab1, 86) = 0, 4686 f) Veja a Figura P, 5 < Z < 1, ) = P1, < Z <, 5) = tab, 5) tab1, ) = 0, 1089 g) Veja a Figura P < Z < 3) = P < Z < 0) + P0 Z < 3) = P0 < Z < ) + P0 Z < 3) = tab, 0) + tab3, 0) = 0, 9759 h) Veja a Figura PZ > 1, 3) = P 1, 3 < Z < 0) + PZ 0) = P0 < Z < 1, 3) + PZ 0) = tab1, 3) + 0, 5 = 0, 9066 i) Veja a Figura PZ < 1, 65) = PZ > 1, 65) = 0, 5 P0 < Z 1, 65) = 0, 5 tab1, 65) = 0, 0495

73 70 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS j) A característica relevante na solução desse item é a seguinte: a curva da densidade normal tende a zero, ou seja, o gráfico se aproxima de zero nas duas caudas, sem, no entanto, tocar o eixo. Isso significa que para valores grandes, a probabilidade nas caudas é aproximadamente 0. PZ < 5) = PZ > 5) = 0 k) PZ > 5) = 1 PZ 5) = 1 0 = 1 Figura 5.9 P0 < Z < 1, 86) Figura 5.10 P1, 3 < Z <, 35) Figura 5.11 PZ < 1, 5) Figura 5.1 PZ > ) Figura 5.13 P 1, 86 < Z < 0) Figura 5.14 P, 5 < Z < 1, )

74 5.4. CAPÍTULO 4 71 Figura 5.15 P < Z < 3) Figura 5.16 PZ > 1, 3) Figura 5.17 PZ < 1, 65). a) Veja a Figura Traduzindo em palavras: à esquerda de k temos que ter 80% da área. Como até 0 temos 50% da área, para completar 80 a abscissa k tem que ser positiva. A abscissa k é tal que tabk) = 0, 30 Para resolver essa equação, procuramos no corpo da tabela o valor mais próximo de 0,30. Na parte inferior da Figura 5.18 apresenta-se a parte pertinente da tabela da normal padrão. Daí concluimos que k = 0, 84. b) Veja a Figura Traduzindo em palavras: à direita de k temos que ter 5% da área e, portanto, à esquerda de k temos que ter 95% da área. Logo, a abscissa k tem que ser positiva. Veja a Figura A abscissa k é tal que tabk) = 0, 45 Para resolver essa equação, procuramos no corpo da tabela o valor mais próximo de 0,45. Da Figura 5.19 concluimos que k = 1, 645. c) Veja a Figura 5.0. Como as abscissas são simétricas em torno do 0, cada metade tem 35% de área. A abscissa k é tal que tabk) = 0, 35 Para resolver essa equação procuramos no corpo da tabela o valor mais próximo de 0,35. Da Figura 5.0 concluimos que k = 1, 04.

75 7 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 0,5=50% 0,3=30% k Figura 5.18 Resolvendo PZ < k) = 0, 80 e tabk) = 0, 30 d) Traduzindo em palavras: à esquerda de k temos que ter 1% da área e, portanto, a abscissa k tem que ser negativa. Por simetria, temos que ter PZ > k) = 0, 1. Da Figura 5.1, concluimos que a abscissa k é tal que tab k) = 0, 40 Para resolver essa equação, procuramos no corpo da tabela o valor mais próximo de 0, 40. Da Figura 5.1 concluimos que k = 1, 8 e, portanto, k = 1, 8. e) Traduzindo em palavras: à direita de k temos que ter 69% da área e, portanto, a abscissa k tem que ser negativa. Veja a Figura 5.. Por simetria, temos que ter P0 < Z < k) = 0, 19. A abscissa k é tal que tab k) = 0, 19 Para resolver essa equação, procuramos, no corpo da tabela, o valor mais próximo de Da Figura 5. resulta que k = 0, 50 e, portanto, k = 0, 50. f) Note a equivalência: P Z > k = 0, 05) P Z k) = 0, 95 P k Z k) = 0, 95 e veja ilustração dada na Figura 5.3. A abscissa k é tal que. tabk) = 0, 475 Procurando no corpo da tabela obtemos que k = 1, 96 veja Figura 5.3). 3. Faça desenhos! Compare a probabilidade pedida com probabilidades equivalentes dadas como exemplos na apostila ou nos exercícios anteriores.

76 5.4. CAPÍTULO % 5% Figura 5.19 Resolvendo PZ > k) = 0, 05 e tabk) = 0, 45 a) Pr, 34 Z 1, 0) = tab1, 0) + tab, 34) = = 0, , = 0, b) Pr1, 36 Z 4, 50) = tab4, 50) tab1, 36) = 0, 5 0, = 0, 0869 c) PrZ, 35) = 0, 5 + tab, 35) = 0, 5 + 0, = 0, d) PrZ > 4, 80) = 0, 5 tab4, 80) = 0, 5 0, 5 = 0 e) PrZ 4, 89) = PrZ 4, 89) = 0, 5 tab4, 89) = = 0, 5 0, 5 = 0 f) Pr1, 54 Z < 3, 1) = tab3, 1) tab1, 54) = 0, , 438 = 0, g) Pr 1, < Z < 0, 89) = Pr0, 89 < Z < 1, ) = tab1, ) tab0, 89) = 0, , 3137 = 0, h) PrZ < ) = PrZ > ) = 0, 5 tab, 0) = 0, 5 0, 4775 = 0, 0 75 i) PrZ > ) = 0, 5 + tab, 0) = 0, 5 + 0, 4775 = 0, j) Pr, 56 < Z < 5, 00) = tab5, 00) + tab, 56) = 0, 5 + 0, = 0, a) P, 34 Z 1, 0) = Φ1, 0) Φ, 34) = 0, , = 0, b) P1, 36 Z 4, 50) = Φ4, 50) Φ1, 36) = 1, 0 0, = 0, 0869 c) PZ, 35) = 1, 0 Φ, 35) = 1, 0 0, = 0, d) PZ > 4, 80) = 1, 0 Φ4, 80) = 1, 0 1, 0 = 0 e) PZ 4, 89) = Φ 4, 89) = 0

77 74 CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 70% 15% 15% -k k Figura 5.0 Resolvendo P k < Z < k) = 0, 7 e tabk) = 0, 35 f) P1, 54 Z < 3, 1) = Φ3, 1) Φ1, 54) = 0, , 938 = 0, g) P 1, < Z < 0, 89) = Φ 0, 89) Φ 1, ) = 0, , 1113 = 0, h) PZ < ) = PZ ) = Φ, 0) = 0, 0 75 i) PZ > ) = 1, 0 Φ, 0) = 1, 0 0, 075 = 0, 9775 j) P, 56 < Z < 5, 00) = Φ5, 00) Φ, 56) = 1, 0 0, 0053 = 0, Na solução de problemas envolvendo a distribuição normal, é FUNDAMENTAL que você explicite a relação entre os eventos da variável normal X e a variável normal padronizada Z. Veja a expressão em negrito na solução dos exercícios. Faça gráficos! Sombreie a área correspondetne à probabilidade pedida. a) Veja a Figura 5.4. PX < 6) = P b) Veja a Figura 5.5. PX 1, 8) = P c) Veja a Figura 5.6. PX < 6) = P Z < 3 5 ) = PZ < 1) = PZ > 1) = 0, 5 tab1) = Z 1, 8 5 ) = PZ 1, 6) = 0, 5 + tab1, 6) = 0, 9450 Z < 6 5 ) = PZ < 0, 5) = 0, 5 + tab0, 5) = 0, 69146