Unidade VI - Estabilidade de Sistemas de Controle com Retroação

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1 Uidade VI - Etabilidade de Sitema de Cotrole om Retroação Coeito de Etabilidade; Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz; A Etabilidade Relativa de Sitema de Cotrole om Retroação; A Etabilidade de Sitema om Variávei de Etado; Etabilidade de Sitema uado MATLAB. Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg

2 Cao. Zero a a. Colua equato algu do outro elemeto da liha ão ão-ulo. ulo. Exemplo de um poliômio araterítio q 5 4 ( ) = O arrajo de Routh erá ε d ode 4ε = = ε ε d 6 0ε = 6 Há dua mudaça de ial, portato o itema é Itável. Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg

3 Exemplo de um poliômio araterítio 4 q( ) = K O arrajo de Routh erá 4 0 ε K K K ode ε K = = ε K ε O itema é Itável para qualquer valor de K. Cao. Zero a a. Colua equato todo o outro elemeto da liha ão ulo. Eta odição oorre quado o poliômio otem igularidade que ão loalizada imetriamete em toro da origem do plao. Aim, quado oorre fatore omo (+ )(- ) ou (+j )(-j ). Ete problema é otorado uado-e um poliômio auxiliar, U(), que preede imediatamete a liha de elemeto zero do arrajo de Routh. A ordem do poliômio auxiliar é empre par. Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg

4 Exemplo, oidere um itema de a. ordem om um poliômio araterítio: O arrajo de Routh erá K K Quado K=8, o fatore do poliômio araterítio ão: K q( ) = K O itema erá Etável quado: 0 < K < 8 A repota do ao margial é uma oilação ão aeitável. q( ) = ( + )( + j)( j) Cao 4. 4 Equação araterítia om raíze repetida obre o eixo j. Se a raíze obre o eixo imagiário j forem imple, o itema é margialmete etável, uma vez que poui um modo eoidal ão-amorteido. Se a raíze forem repetida, a repota do itema erá itável, om a forma t[e( t+ )]. O ritério de Routh-Hurwitz ão revelam eta forma de itabilidade. Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg 4

5 Exemplo: Cotrole de Solda Na fabria de automóvei de hoje ão uado grade robô de olda. O abeçote de olda é deloado para diferete poto do orpo do automóvel e e requer uma rápida repota e preia repota. Aim, deeja-e determiar a faixa de valore de K e de a para o qual o itema é etável. A EC é + G( ) = + K( + a) ( + )( + )( + ) Portato, q K Ka 4 ( ) = ( + 6) + = ( K + 6) b Ka Ka Ka b 60 K = 0 6 b ( K + 6) 6Ka = b Ka 0 0 E S T Á V E L Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg 5

6 A relação requerida etre K e a é Aim, e K=40, erá eeário que a 0,69. (60 K)( K + 6) a 6K,quado a for poitivo. A forma Geral da EC de um itema de ordem é Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg a a a ω Obtém-e a forma ormalizada da equação Exemplo, ormaliza-e ou = 0 +,5 + 0,5 + = 0 O Critério de Etabilidade de Routh-Hurwitz Equação Caraterítia +b+=0 +b ++=0 4 +b + +d+=0 5 +b 4 + +d +e+=0 6 +b d +e +f+=0 Critério b>0 b->0 bd-d -b >0 bd+b-d -b e> L + + = 0 + b + + L + = 0 ode 5 = = 0 ω ω 4 ω É ESTÁVEL, poi b=,5. (bd+bf-d -b e)e+b -bd-b f-f +bfe+df>0 6 ω /

7 Etabilidade Relativa de Sitema de Cotrole om Retroação Se o itema atifaz Routh-Hurwitz e for abolutamete etável é deejável determiar a etabilidade relativa, i.é, é eeário ivetigar o amorteimeto relativo de ada uma da raíze da EC. A etabilidade relativa de um itema pode er defiida omo uma propriedade que é medida pela parte real relativa de ada raiz ou par de raíze. Como a etabilidade relativa é ditada pela loalização da raíze da EC, a primeira abordagem uado uma formulação o plao é eteder o Critério de Routh- Hurwitz para aegurar a etabilidade relativa. Ito pode er feito uado-e uma ubtituição de variávei, que deloa o eixo do plao de modo a utilizar o ritério de Routh-Hurwitz. Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg 7

8 Exemplo: Deolameto de Eixo Coidere-e a EC imple de a. ordem q( ) = Como a. Tetativa, eja =+ e oberve-e que e obtém um arrajo de Routh em oorrêia de zero a a. Colua. Cotudo, ao e defiira variável deloada igual a +, obtém-e O arrajo é ( ) + 4( ) + 6( ) + 4 = Há raíze obre o eixo imagiário deloado que pode er obtida a partir do poliômio auxiliar U j j j ( ) = + = ( + ) + ( ) [ + ( ± )] O deloameto de eixo do plao para aegurar a etabilidade relativa de um itema é uma abordagem muito útil, partiularmete para itema de ordem elevada om divero pare de raíze a malha fehada omplexa ojugada. Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg 8

9 Etabilidade de Sitema om Variávei de Etado Se o itema que e ivetiga for repreetado por um diagrama de fluxo de ial om variávei de etado, a partir de um ojuto de equaçõe difereiai de etado. Obtém-e a EC alulado o determiate () do diagrama de fluxo. Exemplo: Etabilidade de um itema de a. Ordem Sedo o itema derito por equaçõe difereiai de a. ordem x& = x + x x& = x Kx + Ku Uado a formula de Mao: malha que ão e toam L L L = = = K O determiate é = ( L + L + L ) + L L = ( K ) + ( ) = + + K ( ) = 0 Como todo o oefiiete devem er poitivo, é eeário que K>. Para que o Sitema eja ESTÁVEL. Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg 9

10 Um método de obteção da EC diretamete da equação difereial vetorial e baeia o fato de que a olução do itema livre é uma fução expoeial. A equação difereial vetorial em iai de etrada é x & = Ax A olução é de forma expoeial e e pode defiir uma otate tal que x i (t)=k i e i t. O i ão hamado de raíze araterítia ou de autovalore do itema e ão implemete a raíze da EC. Aim, λt λt Que pode er reerita omo (λi - A)x = 0 ou λke = Ake λx = Ax A olução dete itema de equaçõe imultâea poui uma olução ão-trivial e e omete e o determiate e aular, i.é omete e det(λi - A)x = 0 A equação de ordem em reultate do alulo do determiate é a EC, aim a etabilidade do itema pode er protamete determiada. Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg 0

11 Exemplo de Projeto: Cotrole de maobre de veíulo obre lagarta A lagarta ão operada om veloidade diferete a fim de maobrar o veíulo. Seleioar K e a de modo que o itema eja etável e que o erro etaioário a um omado em rampa eja meor ou igual a 4% da magitude do omado. A EC do itema om retroação é + G G( ) = 0 Por oeguite, K( + a) + = 0 ( + )( + )( + 5) K a K Ka Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg 4 ( + )( + )( + 5) + ( + ) = ( + 0) + = ( K + 0) b Ka Ka Ka b 6 K = 0 8 b ( K + 0) 8Ka = 0 b Ka 0

12 Portato, é eeário que K 6 (6 K)( K + 0) 64Ka 0 Ka 0 O erro etaioário para uma etrada em rampa r(t)=at, t>0 é e = A/ K v ode K = lim G G = Ka /0 v 0 Aim, e = 0A Ka Para e er igual a,8% de A, erá requerido ka=4 K=70 e a=0,6. Um outro projeto aeitável eria K=50 e a=0,84. Varia outra ombiaçõe podem atifazer Ka=4, matedo a região etável. Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg

13 Etabilidade de Sitema uado o MATLAB Etabilidade de Routh-Hurwitz: Dada a EC om oefiiete fixo, oidere a equação Sitema de otrole a Malha Fehada q Arrajo de Routh-Hurwitz: ( ) = Pode-e uar também a fução root(deg deg) para alular o pólo do itema (raíze do poliômio). Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg

14 Toda a veze em que a EC for um úio parâmetro, pode-e utilizar o método de Routh_Hurwitz para determiar a faixa de valore que o parâmetro pode aumir matedo a etabilidade. Seja a EC O itema erá Etável quado: 0 K 8 q( ) = K Gráfio da loalização da raíze para 0<K<0 Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg 4

15 A fução for...ed defie um laço de alulo repetitivo Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg 5

16 A etabilidade de Sitema om varávei de etado: Um itema derito a forma de epaço de etado. A etabilidade pode er alulada om a equação araterítia aoiada om a matriz de itema. Aim, det( I - A) = 0 Se toda a raíze da EC pouírem parte real egativa (Re( i )<0), etão o itema erá etável. A fução poly pode er uada para alular a EC aoiada a matriz A. A fução poly é uada para formar um poliômio a partir de um vetor de raíze. Sedo a Matriz A A = Poliômio araterítio aoiado é Se A for uma matriz x, poly(a) é o poliômio araterítio repreetado pelo vetor liha + elemeto ujo elemeto ão o oefiiete do poliômio araterítio. Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg 6

17 Método do Lugar da Raíze Próxima Aula Uidade VII Coeito de Lugar da Raíze; O Proedimeto do Lugar da Raíze; Projeto de Parâmetro pelo Método do Lugar da Raíze; Seibiliade e Lugar da Raíze; Cotroaldor de Trê Termo (PID); Exemplo de Projeto; Lugar da Raíze uado MATLAB. Prof. Joé Ree Piheiro, Dr.Eg 7