Análise da Resposta de Sistemas à Excitação Harmônica. Resposta em Freqüência

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1 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia 6 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia INTRODUÇÃO Estudamos, até agora (Apostilas 4 e 5), a resposta livre o tempo de sistemas diâmios de a e a ordes, assim omo a resposta forçada o tempo de sistemas de a ordem. Aalisaremos, a seguir, omo se omportam esses dois tipos de sistemas quado a exitação é desrita por uma fução harmôia, isto é, por uma omposição de seos e de osseos. Também veremos que, esse aso, o omportameto desses sistemas é melhor desrito em fução da freqüêia da exitação e ão em fução do tempo. Tal tipo de resposta reebe o ome de Resposta em Freqüêia, a qual é espeialmete adequada quado a exitação é periódia (harmôia ou ão). Quado a fução de exitação ão é periódia, a Resposta o Tempo é a mais utilizada. RESPOSTA DE SISTEMAS DE a ORDEM À ECITAÇÃO HARMÔNICA Vamos osiderar ovamete o sistema de meâio de a ordem ujo modelo matemátio é dado pela EDOL de a ordem () x(t). + x(t) f(t) ode, agora, osideraremos a exitação f(t) omo sedo harmôia, ou seja, dada por () f(t) f 0 set se t A se t f 0 ode é a freqüêia om que a exitação é apliada e f 0 é o valor máximo (amplitude) da exitação. Na eq. (), A f 0 / é uma ostate real tedo uidades de desloameto e é a ostate de mola do sistema. Poderíamos, também, ter usado f(t) f 0 ost o lugar de f(t) f 0 set. Coforme já estudamos a Apostila 4, a resposta total (trasiete + permaete) é dada por A A (3) x(t) ( os t + se t) + e + ( ) + ( ) t

2 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia ode (4) é a hamada ostate de tempo do sistema. Também vimos que, em sistemas exitados harmoiamete, a resposta trasiete logo desaparee, de modo que os iteressamos apeas pela resposta permaete que, a eq. (3) é idetifiada por A (5) xss (t) ( os t + se t) + ( ) a qual pode também ser represetada por (6) x ss (t) se(t + φ) ode e φ são deomiadas, respetivamete, de amplitude e âgulo de fase, dados por: (7) A + ( ) f 0 + ( ) (8) φ artg( ) As eqs. (5) ou (6) os foreem a Resposta Permaete o Tempo. Podemos ver failmete que se trata também de uma fução harmôia, om a mesma freqüêia da exitação, porém atrasada de um âgulo de fase φ em relação a ela (pois o âgulo de fase é egativo). Resumido, para obter a resposta permaete o tempo, oheidos o sistema ( e, logo ) e a exitação harmôia de amplitude f 0 e freqüêia, basta alular e φ usado as eqs. (7) e (8), respetivamete, e substituí-los a eq. (6). As eqs. (7) e (8) ostituem a hamada Resposta em Freqüêia. Partiularmete, a eq. (7) deomia-se resposta em freqüêia da amplitude, equato que a eq. (8) hama-se resposta em freqüêia do âgulo de fase. Para estudarmos a resposta em freqüêia de um sistema de a ordem vamos, iiialmete, defiir a fução de trasferêia seoidal de um sistema omo sedo a sua fução de trasferêia quado ela substituímos a variável omplexa s pelo imagiário puro i. Assim, se G(s) é a fução de trasferêia defiida por (s) (9) G (s) C.I. ulas F(s) etão a fução de trasferêia seoidal é (i) F(i) (0) C.I. ulas

3 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia 3 Cosiderado o mesmo sistema mola-amorteedor de a ordem, vamos alular a sua fução de trasferêia seoidal. Primeiramete, obtemos a fução de trasferêia ormal a partir da eq. (): dode Substituido s por i: () s(s) + (s) F(s) G(s) (s) F(s) s + i + Vamos oloar a forma omplexa retagular. Para elimiar i o deomiador, multipliamos o umerador e o deomiador pelo ojugado do deomiador: i + i + i + i + A seguir, exeutamos as operações e separamos as partes real e imagiária de : i i + Levado em osideração que /, podemos substituir por / a expressão aima e obter () ( ) + i ( ) + ( ) + i ( ) + i [( ) + ] [( ) + ] Em seguida, vamos alular o módulo da fução de trasferêia seoidal,, é dado por: (Re G (i)) + (ImG(i ) ) Retirado as ompoetes real e imagiária da eq. (), obtemos, após maipulações algébrias: (3) ( ) + Multipliado ambos os lados da eq. (3) por f 0 A e levado em ota ovamete que /: (4) f 0 A ( ) + A ( ) + A + ( )

4 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia 4 Comparado a eq. (4) om a eq. (7), vemos que (5) ( ) Levado o valor de () da eq. (5) a eq. (6), temos: (6) x ss (t) f 0 se(t + φ) Examiado a eq. (6), oluímos que, quado um sistema de a ordem é submetido a um forçameto harmôio de amplitude f 0 e freqüêia, a sua resposta permaete será também harmôia e de mesma freqüêia, porém om amplitude dada pelo produto da amplitude do forçameto f 0 pelo módulo da fução de trasferêia seoidal do sistema,, dada pela eq. (3). Além disso, a resposta estará atrasada, em relação ao forçameto, de um âgulo de fase φ, dado pela eq. (8). Essa olusão é válida para sistemas de quaisquer ordes, podedo, pois, ser estedida para os importates sistemas de a ordem, a serem estudados mais adiate. É iteressate observar que o âgulo de fase φ pode ser visualizado o plao omplexo omo sedo o âgulo que faz om o eixo real, oforme ilustra a fig. : Fig. Logo, a partir da fig. podemos também esrever (7) Im φ artg Re O ojuto das represetações gráfias das eqs. (3) e (8) ostituem as hamadas respostas em freqüêia do sistema, oforme ilustrações da fig..

5 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia 5 Fig. 3 RESPOSTA DE SISTEMAS DE a ORDEM À ECITAÇÃO HARMÔNICA Vamos osiderar agora o sistema meâio de a ordem da fig. 3 Fig. 3 ujo modelo matemátio é dado pela EDOL de a ordem... m 0 (8) x+ x+ x f(t) f se t Para o sistema de a ordem também se aplia a olusão obtida ateriormete para o sistema de a ordem, ou seja, a resposta permaete o tempo também é dada por (9) x ss (t) f 0 se(t + φ) ode é o módulo da fução de trasferêia seoidal e φ é o âgulo de fase. Vamos, etão, simplesmete alular e φ para o presete aso.

6 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia 6 Apliado a trasformação de Laplae à eq. (8): (ms + s + )(s) F(s) dode tiramos a fução de trasferêia G(s) (s)/f(s): (0) G(s) ms + s + Para ahar a fução de trasferêia seoidal, substituímos s por i a eq. (0), obtedo () m + i + ( m ) + i Em seguida, vamos oloar a forma omplexa retagular. Para isso, vamos iiialmete elimiar i o deomiador, multipliado o umerador e o deomiador pelo ojugado do deomiador: ( m ) i (i) ( m ) + i ( m ) i G Em seguida, após exeutar as operações, separamos as partes real e imagiária: ( m ) ( m ) + () i ( m ) + () Após, alulamos o módulo de, usado as partes real e imagiária obtidas a expressão aima: (Re G (i)) + (ImG(i ) ) () ( m ) + () O âgulo de fase, por sua vez, pode ser obtido a partir da expressão (3) Im φ artg Re Substituido a eq. (3) as partes real e imagiária, temos (4) φ artg( ) m

7 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia 7 Ateção! Ao alular φ pela eq. (4) devemos ter o uidado de verifiar se existe oerêia om o quadrate trigoométrio dado pelas partes real e imagiária da. Portato, levado da eq. () e φ da eq. (4) a eq. (9), obtemos a resposta o tempo, ode a amplitude é dada pelo produto (5) f 0 A resposta em freqüêia de um sistema de a ordem é dada pelas eqs. () e (4), para a amplitude e o âgulo de fase, respetivamete. Obs.: a eq. (9) os dá a resposta permaete o tempo. Assim, se plotarmos em 3D a eq. (9) para várias freqüêias de exitação, obteremos o gráfio da fig. 4(a). Já a eq. (5) os dá as amplitudes da resposta permaete em fução da freqüêia de exitação, oforme ilustra a fig. 4(b). Na realidade, a fig. 4(b) ada mais é do que uma vista lateral da fig. 4(a) o plao, a qual apareem somete as porções positivas das amplitudes (). (a) Fig. 4 (b) Etretato, é mais oveiete trabalhar om as formas adimesioais das eqs. () e (4). Para isso, vamos iiialmete defiir relação de freqüêias omo sedo a relação etre a freqüêia do forçameto e a freqüêia agular atural do sistema: (6) ν / Vamos, também, defiir fator de amplifiação omo sedo relação etre a amplitude da vibração,, e o desloameto estátio que teria o sistema se fosse submetido estatiamete à amplitude f 0 do forçameto: (7) FA

8 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia 8 Assim, levado em ota as eqs. (5), (6) e (7) e reordado que demostrar que (8) FA f 0 ) ( ν ) + (ςν m e ς m, podemos ςν (9) φ artg( ) ν As represetações gráfias das eqs. (8) e (9) ostituem a resposta em freqüêia de um sistema de a ordem e estão ilustradas as figs. 5 e 6 para vários valores de ζ: Fig. 6 Fig. 5 O exame da fig. 5, que é semelhate à fig. 4a, permite tirar algumas olusões iteressates: () Fatores de amorteimeto mais fortes tedem a dimiuir o fator de amplifiação e, em oseqüêia, a amplitude da vibração, priipalmete para ν < 3. () Já para ν 3, quase ehum proveito obtemos usado amorteedores mais fortes; isso é importate do poto de vista prátio: de ada adiata usarmos fortes amorteimetos om o objetivo de reduzir a amplitude da vibração quado o sistema operar om ν 3. (3) Quado ν oorre o hamado feômeo da ressoâia, o qual a freqüêia da exitação iguala a freqüêia atural do sistema e grades amplitudes se observam. Normalmete, é uma situação idesejável, pois grades amplitudes de vibração levam a altos íveis de tesão que podem oduzir ao olapso do material. Cotudo, existem asos em que desejamos que a vibração oorra, omo em máquias britadoras, vibradores, et. Fazedo ν a eq. (8), obtemos o valor da amplitude a ressoâia:

9 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia 9 (30) f ς 0 Já a substituição de ν a eq. (9) permite obter o valor do âgulo de fase a ressoâia: (3) φ 90 0 (4) Etretato, podemos otar que os valores máximos de amplitude oorrem um pouo à esquerda de ν e ada vez mais à esquerda à medida que rese o valor de ζ. Isso pode ser failmete demostrado usado a teoria dos máximos e míimos, aso em que podemos provar que o valor máximo da amplitude se eotra a abissa (3) ν ς Também é fáil verifiar que, para ζ > /, a resposta ão apreseta pios, sedo que o valor máximo se eotra em ν 0 (o qual arateriza uma situação estátia). Já o exame da fig. 6, referete ao âgulo de fase, permite otar que todas as urvas passam pelo poto (, -π/). Para ν <, φ tede para zero, equato que para ν > ele tede para -π. Um aso partiular importate é aquele em que o fator de amorteimeto é pratiamete ulo (sistema sem amorteimeto). Fazedo ζ 0 as eqs. (8) e (9), obtemos, respetivamete: (33) FA f 0 ν (34) φ 0 O exame da eq. (33) revela que existe uma desotiuidade a ressoâia. Já a eq. (34) iforma que a resposta do sistema está em fase om a exitação, respodedo istataeamete. Vamos agora examiar a resposta o tempo de um sistema sem amorteimeto, a ressoâia. Fazedo 0 e o modelo matemátio da eq. (8): Dividido toda a equação por m:.. m x+ x f se t.. x+ x se t m 0 Apliado a trasformação de Laplae, hegamos a (s) m (s + ) m (s + ) Fazedo a trasformação iversa, obtemos:

10 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia 0 f (35) x(t) 0 (se t t os t) ujo gráfio é mostrado a fig. 7: Fig. 7 Vemos que o desloameto tede a reser ad ifiitum, o que levará fatalmete à falha do material. 4 DIAGRAMAS DE BODE Vimos, as figs., 5 e 6, que as abissas e as ordeadas foram tomadas em esala liear. Etretato, é oveiete represetar as respostas em freqüêia do fator de amplifiação e do âgulo de fase em oordeadas logarítmias. Tais represetações gráfia são oheidas omo Diagramas de Bode. Uma vatagem de usar o diagrama de Bode é que ele permite represetar uma faixa bem maior da relação de freqüêias e, em oseqüêia, da freqüêia da exitação. No diagrama de Bode referete ao fator de amplifiação, a esala do eixo das abissas é logarítmia, equato que a esala do eixo das ordeadas é liear, om uidade dada em deibel (db) pela relação 0 log FA. Já o diagrama de Bode referete ao âgulo de fase, a esala do eixo das abissas também é logarítmia, equato que a esala do eixo das ordeadas é liear, om uidade dada em rad ou em graus. Logo, a ostrução do diagrama de Bode é feita em papel semilog, usado-se a esala logarítmia para a relação de freqüêias ν e a esala liear para o fator de amplifiação (em db) e para o âgulo de fase (em rad ou em graus). Como ilustração, a fig. 8 mostra o diagrama de Bode para um sistema de a ordem:

11 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia Fig. 8 EERCÍCIOS Para que valor de m o sistema da figura etrará em ressoâia?

12 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia Solução eq 50 rad/s ( + )x0 m eq Ressoâia : m 0 g 5 3x0 m 3x0 5 5 N/m 50 3x0 m 5 A freqüêia atural de uma máquia, quado oloada sobre 4 isoladores ujo amorteimeto é desprezível, é de 400 rpm. Fuioado a 00 rpm, verifia-se que a amplitude da vibração é 0,5 mm. Qual será a amplitude da vibração se for adiioado amorteimeto aos isoladores tal que ζ 0,5? Solução 400 rpm 00 rpm ν FA ( ν ) + (ςν) 3 3 ( ν ) + (ςν) 0,5x0 ( 3 ) + (x0x3) 4x0 m 3 / 4x0 3 0,494x0 m 0,494mm ( ν ) + (ςν) ( 3 ) + (x0,5x3) 3 Uma máquia, de massa 45 g, está oloado sobre a extremidade de uma viga em balaço, oforme ilustra a figura. Quado em operação, a máquia gera uma força harmôia de amplitude 5 N. Para que veloidades de operação a amplitude da vibração será meor do que 0, mm? Cosiderar ζ 0,08. Dados da viga: L,6 m; E 00 x 0 9 N/m ; I,6 x 0-5 m 4 Resp.: < 00,4 rad/s ou > 49,9 rad/s

13 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia 3 4 Uma máquia de massa 0 g está motada sobre uma fudação elástia de rigidez x 0 6 N/m. Quado operado a 50 rad/s, a máquia está sujeita a uma força harmôia de amplitude 500 N. Calular o fator de amorteimeto da fudação se a amplitude da vibração é,9 mm. Resp.: ζ 0,4 5 O modelo matemátio para o sistema da figura é dado pela EDOL I... Mo m + x+ x+ 5x se t. Calular a amplitude da vibração da massa m. r r Resp.: 5,4 mm 6 Um motor elétrio de massa desoheida tem uma veloidade de operação de 750 rpm. Quado oloado sobre alços de borraha, estatiamete, estes defletiram 5 mm. Há riso de ressoâia? Justifiar pelo álulo. 7 Em um teste experimetal de um sistema meâio exitado harmoiamete observou-se que a amplitude a ressoâia era exatamete o dobro da amplitude para /,. Calular o fator de amorteimeto do sistema.

14 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia 4 ( ν ) + (ςν) Re ssoâia : ς ν, : ( ν ) Dividido (a)/(b) : + (ςν) Solução (, ς 0,94 + 5,76ς ) + (ςx,) ς 0,38 (a) (b) 8 Um toro meâio de massa total 000 g será istalado sobre isoladores de vibração de rigidez total 0000 N/m e oefiiete de amorteimeto total de 50 N.s/m. O toro possui as seguites veloidades de operação: 30, 00, 80, 40, 360 e 480 rpm. Admitido que o sistema teha apeas um grau de liberdade a vertial, pedem-se, apresetado sempre uma justifiativa: () Tipo de movimeto (superamorteido, rítio ou subamorteido); () Há perigo de oorrer ressoâia durate a operação do toro? Por quê?; (3) Admitido que a resposta ao item () seja positiva, apresetar uma solução para resolver o problema. 9 Um sistema meâio om um GDL apreseta: m g, 400 N/m e variável. Pedem-se: () Freqüêia atural do sistema, em Hz; () Valor de, em N.s/m, orrespodete a um fator de amorteimeto ζ 0,5; (3) Há perigo de ressoâia se o sistema for soliitado por uma força seoidal, em N, dada por F(t) 0 se 0t? Justifiar pelo álulo.

15 Aálise da Resposta de Sistemas à Exitação Harmôia. Resposta em Freqüêia 5 0 A resposta em freqüêia de uma estrutura espaial quado exitada harmoiamete é dada pela figura. Estimar o fator de amorteimeto do sistema. Solução ( ν ) + (ςν) res Re ssoâia : ς ς res res f Da figura : 5 mm e 0 res, logo : ς x5 0, A figura mostra a resposta em freqüêia obtida através de medições feitas o solo viziho a uma turbia. Pede-se estimar: () Freqüêia de ressoâia, em Hz; () Fator de amorteimeto. Um motor elétrio de massa 35 g opera a 60 Hz está motado sobre uma fudação elástia de rigidez 3x0 6 N/m. A difereça de fase etre exitação e resposta permaete é de 0. Estimar o fator de amorteimeto do sistema. Resp.: 0,098