Guiamento da luz Guias de ondas metálicos

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1 Guiameto de luz 81 Guiameto da luz Guias de odas metálios Neste apítulo vamos abordar, de maeira bastate breve, um dos mais importates ompoetes óptios existetes, o guia de odas eletromagétias. Com ele, tora-se possível o ofiameto da luz uma região limitada do espaço, fazedo-a propagar ao logo do dispositivo segudo amihos pré-determiados e permitido a possibilidade da trasmissão de siais lumiosos de modo similar ao que se faz em eletrôia om fios metálios. É o que eotramos uma fibra óptia, um guia de forma ilídria, feito de vidro, e que faz o papel de um fio metálio. Além do mais, tora-se possível também o proessameto do sial dos guias que oduzem a radiação, através de proessos de alteração das propriedades de guiameto. A itegração destes ompoetes a outros ompoetes óptios alarga em muito o esopo das suas apliações, dado lugar a um ovo ramo da egeharia - o da Fotôia. Portato faz-se eessário dispesarmos alguma ateção a estes ompoetes do sistema de omuiação, o guia de odas. Nosso objetivo iiial é eteder omo fuioa um guia de odas. Como o ome diz, um guia de odas é um elemeto apaz de ofiar a luz o seu iterior, levado-a a se propagar ao logo de uma dada direção, hamada de direção logitudial. A Fig ilustra o guiameto da luz em um guia de odas, omo uma fibra óptia. Para etedermos o fuioameto de um guia de odas, se faz eessário eteder qual é o sigifiado do proesso físio hamado guiameto da luz, ou seja, o proesso através do qual a luz etra em um guia de odas e osegue propagar o seu iterior. S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações

2 8 Guiameto de luz O guia mais simples que poderíamos falar seria um guia plao ostituído de dois espelhos dispostos de forma paralela etre si. Fig Guiameto de luz uma fibra óptia. Imagiemos que este arrajo de espelhos etre um feixe de luz, om raios paralelos, por um dos seus lados. Para failitar a visualização a Fig. 15. mostra o arrajo meioado om o raio de luz peetrado etre os espelhos por um dos seus lados, o esquerdo o aso da figura. Os raios estão otidos o plao xz. Através de múltiplas reflexões este feixe avaça para a direita, podedo ilusive sair pelo lado oposto ao que etrou. x modos TE y z Fig Represetação de um guia plaar feito om dois espelhos plaos. Na figura vemos os raios de luz se desloado ao logo do guia devido às reflexões em ambos os espelhos, estado o ampo elétrio orietado paralelamete a estes. O proesso através do qual a luz fia aprisioada etre os dois espelhos pela reflexão é hamado de ofiameto, e é ele que dá origem ao guiameto da luz. Porém, as múltiplas reflexões os espelhos geram S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações

3 Guiameto de luz 83 ampos que se somam, produzido iterferêia etre as odas que estão sedo ofiadas pelo guia. Vejamos omo isto afeta a performae do guia de odas. Para tato, vamos usar a Fig. 15.3, que mostra um dos raios de luz om o seu vetor de oda, omposto de duas ompoetes k z e k x. Na reflexão, a ompoete k x troa de sial equato que a ompoete k z permaee ialterada. Num dado poto P dois raios de luz se ruzam: um raio refletido o espelho superior e outro vido de uma reflexão o espelho iferior. Estes ampos se superpõem e, portato, dão lugar ao feômeo da iterferêia. Como sabemos, podemos ter a iterferêia dos dois ampos duas situações extremas: a ostrutiva e a destrutiva. Nesta última os ampos se aulam e somem. Isto os idia que preisamos eteder omo a iterferêia afeta o guiameto de luz em um guia. x x=a k P a x=0 z Fig Diagrama de raios de luz peetrado e propagado em um guia metálio plaar de espessura a. Tomado o ampo elétrio do tipo harmôio, o priípio da superposição dá origem a um ampo total: E r = E + E = E1se(k x x + k zz ωt) + E se(-k x x + k zz ωt) (15.1) ode os ampos que estão se somado possuem vetores de propagação (k z, k x ) para a oda que está subido em x e (k z, -k x ) para a oda que está desedo. Cosideremos que a luz é totalmete refletida pelos espelhos metálios. Num metal, a radiação evaese uma profudidade δ a partir da superfíie, ujo valor para freqüêias óptias é muito pequeo. Temos etão que o ampo total deve ser ulo em x = 0 e x = a. Usado estas odições de otoro para o ampo dado a eq. (15.1) e a expressão S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações

4 84 Guiameto de luz trigoométria: se α se φ = se (α φ)/ os (α+φ)/, obtemos que o ampo sedo guiado é dado por: E r ode k x deve satisfazer a odição: [ os(k z ωt) ] = (E osek x x) z (15.) k x = mπ a para m = 1,, 3,... (15.3) O resultado obtido mostra que devido às reflexões e iterferêias temos duas odas: uma propagado-se ao logo de z e desrita por os(ωtβz) e outra estaioária (sek x x), a direção perpediular aos espelhos. Como vemos, equato k z ão tem, aparetemete, ehuma restrição, os valores permitidos de k x são disretos por ota da limitação espaial determiada pelos espelhos e pela eessidade de iterferêia ostrutiva. Cada um desses valores de k x, oriudo de um valor de m, orrespode a um modo trasversal do guia (modo de vibração). A partir deste poto usaremos a desigação k z = β que é a ostate de propagação do modo. Usado as eqs. (15.) e (15.3) podemos esquematizar, omo mostrado a Fig. 15.4, a distribuição espaial da itesidade de ampo elétrio etre os espelhos que formam o guia metálio e a orrespodete distribuição espaial da itesidade de luz, uma visão de frete para a saída do guia. Como se vê, os dois modos possuem difereças as suas distribuições espaiais detro do guia. Cotiuado a aálise dos modos de propagação, usamos a relação k = k + k e a eq. (15.3) para esrever: z x m π ω mπ β = k = 1 (15.4) a aω A eq. (15.4) é muito importate por determiar a relação de dispersão do guia, ou seja a relação β(ω) etre a ostate de propagação do modo e a freqüêia da oda. Ela pode ser esrita a forma β m = m k o, sedo m dado por: S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações

5 Guiameto de luz 85 x x=a vista lateral do guia m=1 z m=1 itesidade de luz vista frotal x=0 x x=a m= z m= x=0 Fig A figura da esquerda mostra a distribuição de ampo dos dois primeiros modos de propagação de um guia metálio plaar. À direita está itesidade de luz dos mesmos modos uma vista frotal do guia. mλ m = 1 (15.5) a e desigado omo o ídie de refração efetivo do modo m. A oda propagate o guia tem uma veloidade de fase v f dada por: ω k v f = v = β β m = (15.6) Como k > β, pois β é uma ompoete de k, temos que v f > v. Cosequetemete, a veloidade de fase de uma oda guiada é maior do que a de fase v=ω/k, om a qual ela se propagaria, sem ofiameto, em um meio igual ao que ostitui o úleo do guia. Caso o meio etre os espelhos do guia seja o váuo, teremos = 1 e m < 1 para qualquer valor de m. Nestas odições v f >, o que pode pareer um problema uma vez que ehuma veloidade poderia superar a da luz o váuo. Etretato, S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações

6 86 Guiameto de luz ão oorre ehum problema om os priípios físios uma vez que a veloidade de fase ão tem sigifiado físio! Outra veloidade importate, de fato a mais importate do poto de vista prátio, é a veloidade de grupo que foree a veloidade om que um modo se propaga o guia. Usado-se a defiição dada a eq. (4.11), obtemos: dω β β vg = = v = v (15.7) dβ ω k e vemos ela a eessidade da relação de dispersão do guia. Como obrigatoriamete temos β < k, é ievitável que v g < v. Com a eq. (15.5) podemos mostrar que: dω v g = = (15.8) dβ N m ode λ m N m = m 1 (15.9) m λ sedo N m é hamado de ídie de grupo do modo m. Sabemos que se uma oda propaga em um meio material ela sofre um retardo por ota da iteração da luz om o meio, tal que a veloidade de propagação depede do ídie de refração. Com o resultado obtido a eq. (15.8) podemos dizer que ada modo do guia exerga um ídie de refração próprio. Ou seja, os modos que propagam um guia estão sujeitos a um efeito de atraso, pois têm veloidade meor do que a da luz o váuo. Este efeito hamado de dispersão é ausado pelo próprio guia, idepedetemete da existêia de material o seu iterior. Usado-se a eq. (15.5) podemos alular o úmero de modos M que podem propagar o guia metálio plaar. Obviamete, este úmero depederá dos parâmetros do guia, bem omo da radiação. Já que m deve ser positivo, o termo (mλ 0 /a) preisa ser meor do que um. Assim sedo, dados os valores do omprimeto de oda, ídie de refração do meio e tamaho do guia, o maior valor de M é aquele que satisfaz (Mλ 0 /a) = 1, ou seja, M = a/λ 0. Como o valor de M pode ão ser iteiro, o úmero de modos é dado pela parte iteira de M. S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações

7 Guiameto de luz 87 Se queremos que o guia seja moomodo, preisamos que (λ 0 /a) = 1, fazedo om que M = 1 seja o maior valor permitido de m. Como λ 0 / = λ é o omprimeto de oda o meio que ostitui o guia, vemos que o guia será moomodo quado o tamaho do guia for a metade do omprimeto de oda da luz que está propagado ele. Um resultado importate que obtemos aqui é quato à defiição de guia moomodo (M =1 ) ou multimodo (M ). Primeiro, devemos salietar que ele é hamado de multimodo se houver pelo meos dois modos propagates. Uma seguda oisa a se osiderar é que ão há um guia moomodo ou multimodo por ostrução. O omportameto moomodo ou multimodo do guia depederá do omprimeto de oda om o qual ele está sedo operado, porque importa ão apeas o valor de a mas a relação λ/a. Assim, um guia moomodo para um dado omprimeto de oda poderá vir a ser multimodo aso se mude o omprimeto de oda. Fia laro, observado-se a eq. (15.9), que dimiuido-se o valor de a, aumeta-se o valor de λ 0 /a, o que reduz o maior valor possível de m. Logo, dado um omprimeto de oda, a redução do tamaho do guia é o amiho para que o guia veha a ser moomodo. No aso deste guia metálio, para um dado omprimeto de oda, a redução do tamaho do guia pode provoar a ão existêia de ehum modo o guia. Outra propriedade importate é obtida examiado-se o fato de β ser sempre um úmero real. Deste modo, a oda o guia será do tipo propagate. Assim, através da eq. (15.5), modos propagates existem aso seja satisfeita a odição: mπ mπ v = 1 aω a ω Logo, se a oda é propagate, sempre deverá ser satisfeita a odição: mπv ω ou a mv ν ou a (15.10) a a λ = (15.11) m v m ode = /v é o ídie de refração do meio. Portato, apeas as freqüêias satisfazedo a eq. (15.11) podem propagar o guia metálio plaar em estudo. Cada modo possível terá uma freqüêia igual a ν = mv/a, abaixo da qual a propagação é impossível. Tal valor de ν é hamado de freqüêia de orte do modo. Logo, guias de odas atuam omo filtros de freqüêias (ou de omprimetos de oda). S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações

8 88 Guiameto de luz Após a disussão da dispersão de um guia, podemos passar à disussão do tempo de atraso referete aos modos. Tempo de atraso é o tempo gasto por um paote de oda eletromagétia para perorrer uma dada distâia L. Um modo pode ser osiderado omo um paote de oda, possuido pois uma veloidade de grupo. Dessa maeira, para que um modo perorra uma distâia L, o tempo osumido será dado por: e om o uso da eq. (15.9), temos: τ m L LNm τ m = = (15.1) vgm L = m λ 1 m m λ (15.13) Vemos a eq. (15.13) que os tempos de atraso variam para ada modo, já que depedem do úmero m que quatifia os modos. Desta forma, aso se esteja usado um guia multimodo para a trasmissão de pulsos de luz, omo o pulso será trasportado pelos diferetes modos do guia, oquato partam ao mesmo tempo, à medida que propagam vão se separado o espaço, logo também o tempo. Este efeito de atraso se rotula omo dispersão modal, que é diferete da dispersão romátia. De fato, as duas se somam se o guia metálio otiver algum material etre os espelhos. O tempo de atraso por uidade de omprimeto, expresso em uidades de ps/km, é dado simplesmete por T m = τ m /L. A Fig ilustra o alargameto de um pulso óptio que é trasmitido em um guia multimodo, ausado pela difereça de propagação dos modos. Ates de passarmos para a próxima seção, devemos dizer que é possível aalisar-se o guia formado por espelhos plaos paralelos através da solução da equação de odas e das odições de otoro que estabeleem que o ampo deve ser ulo em x = 0 e x = a. Para isto utilizase uma téia matemátia hamada de método da separação das variáveis. Esta aálise produz resultados similares aos que já obtivemos e, portato ão será desevolvida aqui. S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações

9 Guiameto de luz 89 t = 0 t = L v g t L m =0 m =1 m = Fig Ilustração do alargameto de um pulso óptio devido à difereça de veloidade de propagação dos diferetes modos evolvidos a trasmissão do pulso. A área lara o pulso o tempo t=l/v g mostra o tamaho do alargameto sofrido por ele. 15. Guias de odas dielétrios No aso de um guia formado por espelhos, é fáil etedermos (ou aeitarmos) o feômeo do ofiameto da radiação etre as paredes do guia. Afial, elas são dois espelhos e, refletido a radiação, provoam o ofiameto. No aso atual pode ão pareer tão fáil se eteder omo a radiação é ofiada. Afial, ão há mais os espelhos do guia metálio. Etretato, a apaidade dos espelhos refletirem a radiação, om a qual ompreedemos o feômeo do ofiameto da radiação, permaee para o aso do guia dielétrio. Para isso, lembremos que este guia há duas iterfaes de separação etre meios de ídies de refração diferetes, oforme mostra a Fig. 15.6, podedo oorrer reflexão etre elas. Esta depede do âgulo de iidêia da radiação e dos valores dos ídies de refração dos meios evolvidos. Em geral, a refletividade é parial, idiado que uma porção de eergia sai do guia, perdedo-se espaço afora. No etato, aso a luz iida de um meio de ídie de refração maior ( ) para outro de meor valor ( ), e om um âgulo de iidêia igual ou maior do que o âgulo ritio θ visto o Cap. 5, ela S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações

10 90 Guiameto de luz será totalmete refletida. O âgulo ritio, omo vimos, é dado por θ C = se -1 ( / ), ode é o ídie da asa e é o ídie do úleo. asa meio 1 1 α i a úleo meio asa meio 3 3 Fig Guia de oda dielétrio ostituido de duas regiões básias, úleo e asa. Na figura está idiado um raio de luz sofredo reflexão total. Desta maeira, mesmo ão sedo um espelho metálio, é possível haver a reflexão total da radiação a iterfae etre os dois meios dielétrios. Com tal reflexão, o ofiameto da radiação eletromagétia em um guia ostruído om materiais dielétrios, é perfeitamete possível. Mas só a reflexão total ão garate a existêia de um modo propagate o guia, também se exige um proesso adequado de iterferêia ostrutiva da radiação em ostate reflexão total detro dele, omo oorre em um guia metálio plaar. Para etedermos em que odições a luz pode propagar em um guia dielétrio plaar simétrio, vamos refazer o tratameto do aso de um guia formado por espelhos. Tomemos a Fig. 15.7, a qual está ilustrado um guia dielétrio simétrio. O ídie de refração da lâmia etral (úleo do guia) é e a das adjaetes (amadas ofiadas) tem o mesmo valor de ídie de refração. Cosideremos um raio lumioso, desigado por I, iidido om um agulo de iidêia α i em relação à superfíie. Seja α i tal que o seu omplemetar θ i para os meios e, seja maior do que o âgulo ritio θ. Tomemos também um segudo raio desigado por II, paralelo ao raio I, e om mesmo âgulo de iidêia α. Como está visível a Fig. 15.7, quado o raio I, atigir a iterfae em y = a, o segudo raio (II) aida se eotra a uma distâia CB da iterfae. Quado este raio atigir a S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações

11 Guiameto de luz 91 iterfae supra meioada, o raio I já terá atigido a outra iterfae o poto E. No poto A, loal da primeira reflexão do raio I, ele e o raio II estavam sobre uma mesma frete de fase, fato que volta a se repetir quado o primeiro raio se eotra o poto E, após a seguda reflexão. A B meio 1 1 α i a Raio I C meio Raio II α i D d d 1 E meio 3 3 Fig Ilustração da propagação de dois raios de luz em um guia dielétrio lamiar. É possível alular a odição a ser satisfeita pelos dois raios para que eles perteçam à mesma frete de oda é. Estes álulos, que fogem ao esopo do presete texto, os levam a: φ = mπ k a se α (15.14) ode φ é a fase que oorre a reflexão total itera pelo fato do oefiiete de reflexão ser um úmero omplexo. Esta fase depede da polarização do ampo iidete e assim haverá dois possíveis valores para esta gradeza, a saber: ( ) 1 β ko modos TE φte = tg (15.15) ko β modos TM φ TM S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações o ( ) i ( β ) ( ) ko ko β 1 = tg (15.16) ode β = k 0 osα i. Façamos as seguites defiições: ( ko β ) = koseαi q = (15.17)

12 9 Guiameto de luz que os levam a: e oseqüetemete, ( β k ) = [( ) k q ] p = (15.18) p o [( ) k q ] + q = o (15.19) 1 p φte = tg q (15.0) 1 p φtm = tg q (15.1) Usado estas duas equações a eq. (15.14) obtemos as odições que determiam a propagação de um modo do guia dielétrio para as ofigurações TE e TM. Elas serão: p (TE) tg( qa mπ ) = tg( qa) = (15.) q (TM) tg( qa mπ) = tg( qa) = o p q (15.3) Quado m é par (m = 0,, 4...), tg(qa-mπ) = tg(qa), equato que quado m é ímpar (m = 1, 3, 5...) teremos tg(qa-mπ) = -tg(qa). Desta forma, tato os modos do tipo TE quato TM possuem dois sub-ojutos de modos, ormalmete desigados por modos pares para o aso de valores pares de m e modos ímpares para o outro aso. As equações (15.) e (15.3) são hamadas de equações trasedetais, uma vez que ão há forma direta de resolvê-las a ão ser por meios umérios. Para resolvê-las, se expressa p em fução de q, usado-se a eq. (15.18), fazedo a equação ter apeas uma variável, o aso, q. Resolvedo-as se obtém quais os possíveis valores de q são permitidos para o guia. Cada um destes valores orrespode a um modo guiado. De posse dos valores de q se pode alular os outros parâmetros S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações

13 Guiameto de luz 93 modais p e β. A Tabela I apreseta as equações trasedetais dos modos pares e ímpares referetes às ofigurações TE e TM. Tabela I Equações trasedetais dos modos pares e ímpares as ofigurações TE e TM. TE TM PAR p tg (qa) = q tg(qa) = p q ÍMPAR p tg (qa) = q tg(qa) = p q Assim omo o aso dos espelhos plaos paralelos, é possível aalisar-se o guia através da solução da equação de odas pelo método da separação das variáveis. As odições de otoro agora são que o ampo elétrio e suas derivadas devem ser otíuos as iterfaes. Esta aálise, que ão será desevolvida aqui, apreseta soluções pares e ímpares tal que: (pares) p ( + )k a q a o tg(qa) = = (15.4) q qa (ímpares) p ( + )k oa q a tg(qa) = = (15.3) q qa Para fializarmos esta seção devemos lembrar que, omo vimos o Cap. 5, parte da luz está fora do úleo, ou seja, há peetração de luz a asa, ao logo do guia. Na Fig estão apresetadas as distribuições de ampos dos modos m = 0 e m =1, e omo as itesidades de luz orrespodetes uma seção trasversal do guia (visão frotal), por exemplo a saída do guia. Podemos, mais uma vez pereber que um modo guiado é uma estrutura de ampo eletromagétio que ão se eotra apeas detro do úleo do guia, mas também fora dele (a asa). A peetração de luz a asa, além da sua iterfae om o úleo, é hamada de tuelameto fotôio e tem um omportameto evaesete, quatifiado pelo deaimeto expoeial da itesidade de ampo a asa do guia. S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações

14 94 Guiameto de luz visão lateral visão frotal visão lateral v isão frotal asa asa úleo úleo asa Itesidade asa Itesidade modo par m=0 modo ímpar m=1 Fig Distribuição de ampo a direção trasvesrsal e itesidade de luz a saída do guia para os modos par (m=0) e ímpar (m=1). Bibliografia F. D. Nues, Fibras e Dispositivos para Comuiação Óptias, Editora Reovarum Ltda, São Paulo, 001. Problemas S. C. Zilio Óptia Modera Fudametos e Apliações