Análise da Resposta Transitória

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1 Uiveridade Etadual do Oete do Paraá Programa de Pó-graduação em Egeharia de Sitema Diâmico e Eergético Tema da Aula: Aálie da Repota Traitória Prof. Dr. Carlo Herique Faria do Sato 1

2 Etrutura da aula 1 Itrodução Sitema de primeira ordem; 3 Sitema de eguda ordem; 4 Pólo domiate; 5 Efeito de pólo e zero adicioai.

3 1 Itrodução Apó o egeheiro obter a repreetação matemática de um itema, ete itema é aaliado a partir de ua repota traitória e de regime permaete. Para verificar e ua caracterítica etão de acordo com o comportameto deejado. Na aálie e o projeto de itema de cotrole, devemo obter uma bae de comparação de deempeho da vário itema de cotrole. Ea bae de comparação pode er etabelecida detalhado-e iai de etrada de tete epecífico e em eguida, comparado a repota do vário itema com ee iai Nete módulo deevolve-e um etudo obre a parte traitória da repota diâmica do itema. O modelo dete itema diâmico ão claificado pela ordem da equaçõe difereciai que o repreetam. Nete cao de primeira ou de eguda ordem. 3

4 1 Itrodução PÓLOS, ZEROS E RESPOSTA DO SISTEMA O coceito de pólo e zero é fudametal a aálie e projeto de itema de cotrole, poi implificam a aálie qualitativa da repota do itema diâmico. Pólo de uma Fução de Traferêcia O pólo de uma fução de traferêcia ão o valore da variávei de Laplace,, que toram a fução de traferêcia ifiita, ou quaiquer raíze do deomiador da fução de traferêcia que ão comu à raíze do umerador. Zero de uma Fução de Traferêcia O zero de uma fução de traferêcia ão o valore da variávei de Laplace,, que toram a fução de traferêcia ula, ou quaiquer raíze do umerador da fução de traferêcia que ão comu à raíze do deomiador. 4

5 1 Itrodução Pólo e zero de um itema de primeira ordem: um exemplo Dada a fução de traferêcia G() motrada a figura (a), oberva-e que ela poui um pólo em -5 e um zero em -. Ee valore ão repreetado graficamete o plao complexo motrado a figura (b), utilizado X para o pólo e O para o zero. 5

6 6 1 Itrodução Para motrar a propriedade do pólo e zero é precio determiar a repota ao degrau uitário do itema. Multiplicado-e a fução de traferêcia da figura (a) por uma fução degrau, tem-e () ( ) ( ) B A 5 C ( ) ( ) ( ) 5 3 B 5 5 A ode Aim, () t 5 e t c +

7 1 Itrodução Com bae o deevolvimeto reumido a figura (c), a eguite cocluõe podem er etabelecida: 1) Um pólo da fução de etrada gera a forma da repota forçada (ito é, o pólo a origem gerou uma fução degrau a aída). ) Um pólo da fução de traferêcia gera a forma da repota atural (ito é, o pólo em 5 gerou a fução e -5t ). 7

8 1 Itrodução 3) Um pólo obre o eixo real gera uma repota expoecial da forma e -αt, ode α é a localização do pólo obre o eixo real. Aim, quato mai à equerda, o eixo real egativo, etiver o pólo, mai rápido o decaimeto da repota traiete expoecial par zero. 4) O zero e o pólo geram a amplitude tato para a repota forçada quato para a repota atural. 8

9 1 Itrodução SINAIS DE TESTE TÍPICOS Etrada degrau: A fução de etrada em degrau repreeta uma mudaça itatâea a etrada de referêcia.a repreetação matemática da fução degrau ou magitude R é r(t) R, t > 0 0, t < 0. ode R é uma cotate real. Ou, r(t) R u (t). Ode u (t) é a fução degrau uitário. A fução degrau é motrada a figura a eguir como uma fução do tempo. Ete fução é muito utilizada como fução de tete dede que eu alto iicial itatâeo revela a velocidade que um itema repode a etrada com mudaça abrupta. 9

10 1 Itrodução Etrada rampa: A fução rampa é um ial que muda cotatemete com o tempo. Matematicamete, r(t) Rtu (t) ode R é uma cotate real. A fução rampa tem a habilidade de tetar como o itema pode repoder a um ial que muda liearmete com o tempo (ver figura abaixo). 10

11 1 Itrodução Etrada parábola: Eta fução repreeta um ial que é uma ordem mai rápida que a fução rampa. Matematicamete, r(t) Rt u () t ode R é uma cotate real e o fator ½ é adicioado por coveiêcia matemática dede que a traformada de Laplace de r(t) é implemete R/ 3. Ete ial é expoto a figura a eguir. 11

12 1 Itrodução Dede a fução degrau até a fução parábola, o iai e toram progreivamete mai rápido em relação ao tempo. Teoricamete, podemo defiir iai com taxa mai rápida, como t 3, deomiada fução jerk, e aim por diate. Etretato, como erá etudado poteriormete, para o eguimeto precio de etrada de alta ordem, o itema deve pouir itegradore de alta ordem a malha, o quai freqüetemete cauam ério problema de etabilidade. Será vito a próxima eçõe que para uma forma geral da fução de traferêcia de primeira ordem com aída Y() e etrada U(), Y() K U() τ + 1 ode K e τ ão repectivamete, o gaho e a cotate de tempo. Uma olução geral o domíio do tempo pode er obtida uma vez que a atureza da mudaça de etrada eja epecificada. 1

13 Sitema de primeira ordem Coidere o itema de primeira ordem em zero, decrito por uma fução de traferêcia G() motrada a figura (a). Se a etrada for um degrau uitário, ode R() 1/, a traformada de Laplace da repota ao degrau é C(), ode a C() R()G() (1) + a ( ) Aplicado-e a traformada ivera, a repota ao degrau pode er exprea como, at () c(t) c f (t) + c (t) 1 e ode o pólo de etrada origem gerou a repota forçada c f (t) 1, e o pólo do itema em a, coforme motrado a figura (b), gerou a repota atural c (t) e -αt. 13

14 Sitema de primeira ordem A equação () é repreetada graficamete a figura a eguir. A equação () diz que, iicialmete, a aída c(t) é ula e fialmete e tora uitária. Examiado o igificado do parâmetro a, quado t 1/a. e at t 1 a e 1 0,37 ou c(t) at 1 1 e 1 0,37 t 1 a t a 0,63 (3) Portato, quado t 1/a, a repota c(t) alcaça 63, % de ua variação total (ver figura). Com eta cotataçõe, defiimo a eguir trê epecificaçõe da repota traitória. 14

15 Sitema de primeira ordem CONSTANTE DE TEMPO Deomia-e o fator 1/a cotate de tempo. Da equação (3), trata-e do tempo para e -at decair 37 % do eu valor iicial, ou o tempo para a repota ao degrau alcaçar 63 % do eu valor fial. Como o pólo da fução de traferêcia etá em a, podemo dizer que o pólo etá localizado a recíproca da cotate de tempo, e quato mai afatado o pólo etiver do eixo imagiário, mai rápida erá a repota traiete. 15

16 Sitema de primeira ordem TEMPO DE SUBIDA, T r É o tempo eceário para a repota paar de 10 % a 90 % do eu valor fial. O tempo de ubida é obtido da equação (). Para 10 % : Para 90 % : Dete modo : 0,1 1 e e at 1 at 0,9 1 0,9 1 e e at at 0,1 T r t t 1,3 a 0,11 a at t 1 1 l 0,9 0,11 a at t,3 a l 0,1 T r, a 16

17 Sitema de primeira ordem TEMPO DE ASSENTAMENTO, T É o tempo eceário para a curva de alcaçar e permaecer detro de uma faixa em toro de % do eu valor fial. Coiderado c(t) 0,98 e reolvedo a equação () em fução do tempo, tem-e: 0,98 1 e -at T 4/a 17

18 Sitema de primeira ordem FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE PRIMEIRA ORDEM VIA EXPERIMENTO Freqüetemete, ão é poível ou prático, obter a fução de traferêcia de um itema. Ito ocorre devido ao itema er fechado, e parte de eu compoete ão erem facilmete idetificávei. Dede que a fução de traferêcia é uma repreetação da etrada para a aída do itema, a repota ao degrau uitário pode iduzir a repreetação do itema, aida que ua cotituição itera eja decohecida. Coidere G() K/( + a), cuja repota ao degrau eja: C() K ( + a) K a K a ( + a) Se idetificarmo K e a em laboratório, obtemo G(). 18

19 Sitema de primeira ordem Por exemplo, coidere a repota ao degrau uitário motrada a figura a eguir. Para a obteção da cotate de tempo (Tc), preciamo ecotrar o itate ode ocorre 63 % do valor fial. Para tato, multiplica-e 0,63 pelo valor fial da repota e ecotramo graficamete o repectivo itate (Tc). Como o valor fial é de aproximadamete de 0,7, a cotate de tempo é calculada ode a curva atige 0,63 X 0,7 0,45, ou eja, cerca de 0,13. Aim, com o valor de Tc, calcula-e o valor de a pela relação, Tc 1/a, a 1/0,13 7,7. 19

20 Sitema de primeira ordem Para o cálculo de K, abemo que a repota forçada alcaça o valor de regime permaete em K/a 0,7 (valor fial). Subtituido o valor de a, ecotra-e K 5,54. Portato, a fução de traferêcia para o itema é, G() 5,54 ( + 7,7) 0

21 3 Sitema de eguda ordem INTRODUÇÃO Equato a variação do parâmetro do itema de primeira ordem alteram apea a velocidade da repota, a alteraçõe o parâmetro do itema de eguda ordem podem mudar o formato da repota. Por exemplo, um itema de eguda ordem pode apreetar caracterítica muito imilare à de um itema de primeira ordem ou, depededo do valore de eu elemeto, apreetar ocilaçõe pura ou amortecida para ua repota traiete. Ate de formalizarmo a dicuão, vamo o familiarizar com a poívei repota dete tipo de itema. 1

22 3 Sitema de eguda ordem Repota uperamortecida Para eta repota tem-e, C() ( ) 9 ( + 7,854)( + 1,146) Eta fução poui um pólo a origem, referete à etrada em degrau uitário, e doi pólo reai decorrete do itema, o que reulta em uma repota atural expoecial com freqüêcia expoeciai iguai à localizaçõe do pólo. c(t) K 7,854t 1,146t 1 + K e + K3e

23 3 Sitema de eguda ordem Repota ubamortecida Para eta repota, tem-e 9 C() ( + + 9) ( + 1 j 8)( + 1+ Eta fução poui um pólo a origem, proveiete do degrau uitário a etrada, e doi pólo complexo decorrete do itema. Nete cao, a parte real do pólo emprega um decaimeto expoecial da amplitude da eóide, equato a parte imagiária do pólo etá relacioada à freqüêcia da ocilação eoidal. 9 j 8) ( K co(13,3t) K e(13,3t) ) 5t c(t) K1 + e + 3 3

24 3 Sitema de eguda ordem Repota ão-amortecida Para eta repota, tem-e 9 9 C() ( + 9) ( j3)( + j3) Eta fução poui um pólo a origem, proveiete do degrau uitário a etrada, e doi pólo imagiário decorrete do itema. Ete pólo imagiário geram a repota atural eoidal cuja frequêcia é igual a localização do eixo imagiário. A auêcia de uma parte real o par de pólo implica em uma expoecial que ão apreeta decaimeto (e -0t 1). c 4 (t) K1 + K co(3t φ) 4

25 3 Sitema de eguda ordem Repota criticamete amortecida Para eta repota, tem-e C() ( ) 9 ( + 3) Eta fução poui um pólo a origem, proveiete do degrau uitário a etrada, e doi pólo o eixo real a coordeada 3 decorrete do itema. Ete pólo reai geram a repota atural que coite em uma expoecial imple e uma expoecia multiplicada pelo tempo, ode a frequêcia da expoeciai é igual à coordeada de localização do pólo reai. c(t) K 3t 3t 1 + K e + K3te 5

26 3 Sitema de eguda ordem Coidere um itema de cotrole de eguda ordem com realimetação uitária repreetado pelo diagrama de bloco a eguir. A fução de traferêcia de malha aberta do itema é dada por: G() Y() E() ( ω + ζω ) (1) ode ζ e ω ão cotate reai. A fução de traferêcia de malha fechadado itema é: Y() R() ω + ζω + ω () O itema da figura ao lado, com a fuçõe em (1) e () é defiido como protótipo de itema de eguda ordem. 6

27 3 Sitema de eguda ordem Para uma fução de etrada degrau uitário, R() 1/, a repota da aída do itema é obtida atravé da traformada de Laplace ivera da traformada da aída, O reultado é dado por: Y() ω ( + ζω + ω ) (3) y(t) 1 e ζ w t 1 ζ i ( ) 1 w 1 ζ t + co ζ t 0 (4) 7

28 3 Sitema de eguda ordem A figura ao lado motra a repota ao degrau uitário do protótipo de itema de eguda ordem gerado como fuçõe do tempo ormalizado, ω t para vário valore de ζ. 8

29 3 Sitema de eguda ordem O efeito do parâmetro do itema ζ e ω a repota ao degrau y(t) podem er etudado atravé da localização do pólo do itema em malha fechada. Para tato, calcula-e a raíze da equação caracterítica dete protótipo, obtida pela igualdade do deomiador a zero: () + ζω + ω 0 (5) A dua raíze podem er exprea como: 1, ζω α ± ± ω jω ζ 1 (6) ode α ζω (7) ω ω 1 ζ (8) O igificado fíico de ζ e ω é ivetigado. De acordo com a equação (4), α opera como uma cotate que é multiplicada por t o termo expoecial de y(t). 9

30 3 Sitema de eguda ordem Dete modo, α cotrola a taxa de crecimeto ou decaimeto da repota ao degrau uitário y(t). Em outra palavra, α cotrola o amortecimeto do itema e é chamado de fator de amortecimeto ou cotate de amortecimeto. O ivero de α, 1/α, é proporcioal a cotate de tempo do itema. Em relação a equação (6), o amortecimeto crítico ocorre quado ζ 1. Sob eta codição, o fator de amortecimeto é implemete α ω. Portato, podemo coiderar ζ como a taxa de amortecimeto, ou eja, ζ taxa de amortecimeto α ω fator de amortecimeto atual fator de amortecimeto ob amortecimeto crítico O fator ω é defiido como frequêcia atural ão amortecida. Uma vez defiida ζ e ω, cotata-e atravé da equação (6) que o divero cao de repota de eguda ordem depedem de ζ; ee cao ão reumido a figura a eguir. (9) 30

31 3 Sitema de eguda ordem 31

32 3 Sitema de eguda ordem 3

33 3 Sitema de eguda ordem A figura abaixo ilutra a relaçõe etre a localização da raíze da equação caracterítica e α, ζ, ω e ω. A figura idica o cao de raíze complexa cojugada. α parte real da raíze ω ditâcia radial da raíze até a origem do plao- ω parte imagiária da raíze ζ, coeo do âgulo etre a liha radial até a raíze e o eixo egativo quado a raíze etão emi-plao equerdo do plao-, ou, ζ co θ. (10) 33

34 3 Sitema de eguda ordem A figura (a) ilutra a ituação ode a freqüêcia atural é cotate, equato a figura (b) motra a o movimeto do pólo ao logo de uma liha radial cotate, o que implica um memo valor de obreial, como expoto a figura (c). (a) (c) (b) 34

35 3 Sitema de eguda ordem A figura a eguir expõe o cao ode o lugar da raíze pouem diferete valore de taxa de amortecimeto ζ. 35

36 3 Sitema de eguda ordem A figura (a) ilutra a ituação ode a parte real da raíze α é ialterada, equato a figura (b) motra a o movimeto do pólo ao logo de uma liha vertical cotate, o que implica o aumeto da freqüêcia, embora a evoltória permaeça a mema, como expoto a figura (c). (a) (c) (b) 36

37 3 Sitema de eguda ordem A figura (a) ilutra a ituação ode freqüêcia, ou a parte imagiária da raíze, permaece ialterada, equato a figura (b) motra a freqüêcia cotate ao logo da faixa de variação da parte real. Quado o pólo ão movido para a equerda, a repota e amortece mai rapidamete, equato a freqüêcia é a mema, como expoto a figura (c). (a) (c) (b) 37

38 3 Sitema de eguda ordem A figura ao lado apreeta o efeito da raíze da equação caracterítica ob o amortecimeto do itema de eguda ordem. Detaca-e que ω permaece cotate equato a taxa de amortecimeto ζ é variada de a +. A eguite claificação da diâmica do itema em relação ao valor de ζ é realizada: 0 < ζ < 1: 1, ζω ± jω 1 ζ ubamortecido ζ 1: ζ > 1: ζ ζ < 0 : 0 : ,,,, ω ζω ± jω ζω ± ω ± jω ζ 1 ζ criticamete amortecido obreamortecido ão amortecido egativamete amortecido 38

39 3 Sitema de eguda ordem SOBRESINAL A relação exata etre a taxa de amortecimeto e o valor de obreial pode er obtida atravé da derivada da equação (4), y(t), em relação a t e igualado ete valor a zero. [ ( ) ( )] ζ i wt + θ 1 ζ co wt + θ t 0 ζw t dy(t) w e dt 1 ζ (11) ode ω e θ ão defiido a equaçõe (8) e (10), repectivamete. A equação aterior pode er reduzida a, dy (t) ω ζωt e i ω 1 ζ t t dt 1 ζ 0 (1) 39

40 3 Sitema de eguda ordem Igualado dy(t)/dt a zero, temo a oluçõe: t, e ω 1 ζ t π 0,1,,K da qual podemo ecrever, t ω π 1 ζ 0,1,,K (13) para t 1, o itate ode ocorre o máximo obreial é dado pelo tempo de pico, t p ω π (14) 1 ζ 40

41 3 Sitema de eguda ordem Refereciado a figura a eguir, o obreiai ocorrem em valore ímpare, ito é, 1, 3, 5,..., e o ubiai ocorrem o valore pare de. O itate ode ele ocorrem ão dado pela equação (13). Pode er otado que apear da repota ao degrau uitário para ζ 0, ão er periódica, o obreiai e o ubiai da repota ocorrem em itervalo periódico, como obervado a figura. 41

42 3 Sitema de eguda ordem A magitude do obreiai e ubiai podem er determiado pela ubtituição da equação (13) a equação (4). O reultado é dado por, y(t) max ou mi 1 e πζ / 1 ζ 1 ζ i ( π + θ) 1,, K (15) ou y(t) 1 πζ / 1 ζ ( 1) e 1,, K 1+ max ou mi (16) O máximo obreial é obtido fazedo 1 a equação (16). Portato, max obre πζ / 1 ζ ymax 1 e (17) 4

43 3 Sitema de eguda ordem O máximo obreial percetual é dado por, max obre% πζ / 1 ζ 100e (18) A figura a eguir expõe a relação etre o máximo obreial percetual e a taxa de amortecimeto. 43

44 3 Sitema de eguda ordem TEMPO DE ATRASO E DE SUBIDA Para o tempo de atrao, podemo ajutar y(t) 0.5 a equação (4) e reolver para t. Uma forma mai fácil eria plotar ω t d veru ζ, como motrado a figura abaixo, e aproximar a curva por uma liha o itervalo de 0 < ζ < 1. Da figura, o tempo de atrao é aproximado por, ζ t 0 < ζ < 1.0 d ω 44

45 3 Sitema de eguda ordem Podemo ecotrar uma aproximação melhor uado uma equação de egudo grau para t d ζ ζ t 0 < ζ 1. 0 d < ω Podemo ecotrar o tempo de ubida t r, para o qual a repota ao degrau vai de 10 a 90% do valor fial. O gráfico de ω t r veru ζ é motrado a figura a eguir. Nete cao, a relação pode ovamete er aproximada por uma liha reta o itervalo de ζ ζ t 0 < ζ < 1.0 r ω 45

46 3 Sitema de eguda ordem Podemo ecotrar uma aproximação melhor uado uma equação de egudo grau para t r ζ +.917ζ t r 0 < ζ < 1.0 ω TEMPO DE ASSENTAMENTO Para determiar o tempo de aetameto é precio obter o tempo para o qual y(t) atige a faixa de ± % do valor de regime etacioário, em toro dee valor e permaece ea faixa. Utilizado a defiição, o tempo de aetameto é o tempo eceário para a amplitude da eóide er reduzida até atigir o valor 0.0, ito é, e 1 ζω t 1 ζ

47 3 Sitema de eguda ordem Explicitado-e t a equação aterior, o tempo de aetameto t pode er ecrito por, ( ) l ζ t ζω Verifica-e que o umerador da equação aterior varia de 3.91 até 4.74 quado ζ varia de 0 até 0.9. Pode-e aim, utilizar a eguite aproximação para o tempo de aetameto, t 4 ζω Outra faixa de valore utilizada é a de 5% do valor fial, que reulta em t 3. ζω 47

48 4 Pólo domiate De acordo com a eõe ateriore, fica evidete que a localização do pólo de uma fução de traferêcia o plao- afeta diretamete a repota traiete do itema. Para propóito de aálie e projeto, é importate idetificar o pólo que pouem efeito domiate a repota traiete do itema, o quai deomiam-e pólo domiate. Em projeto, podemo utilizar o pólo domiate para cotrolar o deempeho diâmico do itema, equato o pólo iigificate ão uado com o propóito de aegurar que a fução de traferêcia do cotrolador poa er realizada por compoete fíico. 48

49 4 Pólo domiate O pólo que etão próximo do eixo imagiário o lado equerdo do plao complexo proporcioam grade repota traitória que vão decaido de forma relativamete leta, equato o pólo que etão localizado mai ditate do eixo, correpodem à repota temporai de decaimeto mai rápido. A ditâcia D etre a região domiate e a região meo igificate e expota a figura a eguir. 49

50 4 Pólo domiate A dicuão é : Quão grade um pólo é coiderado realmete grade? Oberva-e a literatura que e a magitude da parte real e um pólo for 5 a 10 veze que a de um pólo domiate ou a de um par de pólo complexo domiate, etão o pólo pode er coiderado iigificate para a repota traiete. 50

51 5 Efeito de pólo e zero adicioai EFEITO DE PÓLOS ADICIONAIS Neta eção a codiçõe a erem atedida viado a e aproximar o comportameto de um itema com trê pólo de um itema de doi pólo ão agora dicutida. Coidere um itema com trê pólo, edo doi complexo e um obre o eixo real. Admitido que o pólo complexo etejam em ζω ± jω 1 ζ e o pólo real eteja em - α r, a repota ao degrau do itema pode er determiada a partir de uma expaão em fraçõe parciai. Aim, a traformada da aída fica () C A + ( + ζω ) + Cωd D + ( + ζω ) + ω + αr B d (1) ou o domíio do tempo, c(t) Au(t) + e ζω t αrt ( Bco ω t + Ceω t) + De d d () 51

52 5 Efeito de pólo e zero adicioai A parte compoete de c(t) etão motrada a figura a eguir para o trê cao de α r. Para o cao I, α r α r1 e ão é muito maior que ζω ; para o cao II, α r α r e é muito maior que ζω ; e para o cao III,. α r 5

53 5 Efeito de pólo e zero adicioai Recapitulado a figura aterior e a equação (). Se α r >> ζω (cao II), a expoecial pura erá ateuada muito mai rápido do que a repota de eguda ordem ubamortecida ao degrau. Se o termo da expoecial pura e reduz a um valor iigificate o tempo do primeiro obrevalor o parâmetro como obrevalor percetual, o tempo de aetameto e o tempo de pico erão gerado pela compoete da repota ao degrau de eguda ordem ubamortecida. Aim, a repota total e aproximará da repota de um itema de eguda ordem puro (cao III). Cao cotrário, o decaimeto expoecial é igificativo e o itema ão pode er repreetado como um itema de eguda ordem. Admite-e que e o pólo for cico veze mai afatado para a equerda do que o pólo domiate, coidera-e que o itema poa er repreetado por eu par de pólo de eguda ordem domiate. 53

54 5 Efeito de pólo e zero adicioai Pode-e motrar, atravé de uma expaão em fraçõe parciai, que a magitude do reíduo do terceiro pólo, o itema de trê pólo com pólo de eguda ordem domiate e em zero, realmete dimiuirá quado o terceiro pólo for movimetado o etido de afatar-e o emiplao equerdo. Admita a eguite repota ao degrau, C(), de um itema com trê pólo: bc A B + C C() + ( + a + b)( + c) + a + b + D + c Quado o pólo ão-domiate tede a ou c A 1; B -1; C -a; D 0. Aim, para ete exemplo o reíduo do pólo ão-domiate e ua repota e toram iguai a zero quado o pólo ão-domiate tede ao ifiito. 54

55 5 Efeito de pólo e zero adicioai EXEMPLO Determie a repota ao degrau de cada uma da fuçõe de traferêcia apreetada a eguir, comparado-a. T 1() T () T () 1 4, ,54 45,4 ( )( ,54) 73,66 ( )( ,54) 55

56 5 Efeito de pólo e zero adicioai A repota ao degrau, C i (), para a fução de traferêcia, T i (), pode er obtida multiplicado a fução de traferêcia por 1/, e utilizado uma expaão em fraçõe parciai, eguida pela traformada de Laplace ivera para obter a repota, c(t). c c c 1 3 (t) 1 1,09e (t) 1 1,14e t (t) 1 0,9e 10t 3t co ( o 4,53t 3,8 ) t ( o co 4,53t 53,34 ) t ( o co 4,53t + 78,63 ) 1,189e + 0,707e Nota-e a figura ao lado que c (t) com eu terceiro pólo em 10 e o mai afatado do pólo domiate, é a melhor aproximação de c 1 (t), a repota do itema de eguda ordem puro; c 3 (t), com um terceiro pólo mai próximo ao pólo domiate, forece o maior erro. 56

57 5 Efeito de pólo e zero adicioai EFEITO DE ZEROS ADICIONAIS Neta eção adicioa-e um zero o eixo real a um itema de doi pólo. O zero erá adicioado primeiro o emiplao equerdo e, em eguida, o emiplao direito, e eu efeito erá obervado e aaliado. A eção é cocluída realizado-e uma dicuão obre o cacelameto de pólo e zero. Coidere iicialmete um itema com doi pólo poicioado em ao qual ão adicioado ( 1± j,88) coecutivamete zero em 3, -5 e 10. O reultado ormalizado para o valor em regime etacioário ão motrado a figura ao lado. 57

58 5 Efeito de pólo e zero adicioai Pode-e obervar que quato mai próximo o zero etiver do pólo domiate, maior eu efeito a repota traiete. Na medida em que um zero e afata do pólo domiate, a repota e aproxima daquela referete ao itema de doi pólo. Eta aálie pode er cofirmada via expaão por fraçõe parciai. Se admitirmo um grupo de pólo e um zero afatado do pólo, o reíduo de cada pólo erá afetado da mema forma pelo zero. Aim, baicamete, a amplitude relativa permaecem a mema. Por exemplo, coidere a expaão em fraçõe parciai motrada a eguir, ( + a) A B T() + ( + b)( + c) + b + c ( b + a) ( c + a) ( b + c) ( c + b) + + b + c 58

59 5 Efeito de pólo e zero adicioai Se o zero for afatado do pólo, etão o parâmetro a erá grade e comparado a b e c, e T() a 1 ( b + c) + b + 1 ( c + + c b) ( + a b)( + c) Portato, o zero e comporta como um imple fator de gaho e ão altera a amplitude relativa da compoete da repota. Uma outra forma de e obervar o efeito do zero é o eguite: eja C() a repota de um itema, T() com a uidade o umerador. Ao e icluir um zero a fução de traferêcia, obtedo-e ( + a)t(), a traformada de Laplace da repota erá. ( + a) C() C() + ac() 59

60 5 Efeito de pólo e zero adicioai Aim, a repota de um itema com um zero coite em dua parte: a derivada da repota origial e uma verão em ecala da repota origial. Na medida que a e tora meor, o termo da derivada cotribui mai para a repota e apreeta um efeito maior. Para a repota ao degrau a derivada é, baicamete, poitiva o iício da repota. Aim, para pequeo valore de a pode-e eperar um obrevalor maior o itema de eguda ordem, uma vez que o termo de derivada erá aditivo. No cao do zero etar o emiplao direito, oberva-e que o termo derivativo, que ormalmete é poitivo o itate iiciai, erá de ial cotrário ao termo da repota em ecala. Aim, de acordo com a figura ao lado, e o termo derivativo, C(), for maior do que o termo em ecala ac(), a repota iicialmete eguirá termo derivativo o etido opoto ao da repota em ecala (itema de fae ãomíima). 60

61 OBRIGADO 61