INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO

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1 ESCOLA SUPERIOR NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MARÍTIMA INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLO REVISÕES SOBRE SISTEMAS DE CONTROLO CONTÍNUO Elemetos coligidos por: Prof. Luís Filipe Baptista E.N.I.D.H. /3

2 7. REVISÃO SOBRE SISTEMAS DE CONTROLO CONTÍNUO 7.. CONSIDERAÇÕES GERAIS A regulação e o cotrolo automático de sistemas idustriais desempeha um papel de vital importâcia o desevolvimeto da ciêcia e da egeharia. Para além de possuir uma importâcia fudametal os sistemas de pilotagem de avios, aviões, mísseis, veículos espaciais, etc., passou a torar-se uma parte itegrate do fucioameto de processos idustriais típicos (maufactura, produção de eergia, produtos químicos, trasportes, istalações de frio e ar codicioado, etc.). O cotrolo automático é essecial por exemplo, em operações idustriais que evolvam o cotrolo de posição, velocidade, pressão, caudal, temperatura, humidade, viscosidade, etc. Neste capítulo, vamos apresetar os coceitos básicos relativos à teoria do cotrolo automático, bem como as pricipais estruturas de cotrolo utilizadas o cotrolo de processos idustriais. Por fim, faremos uma breve descrição do tipo de cotroladores ou reguladores mais utilizados a idústria, bem como as suas pricipais características e formas de ajuste dos respectivos parâmetros. 7.. PERSPECTIVA HISTÓRICA Embora desde sempre o homem teha tetado cotrolar os feómeos aturais em seu próprio proveito, a primeira tetativa séria e que historicamete é cosiderada como um dos primeiros trabalhos sigificativos a área de cotrolo automático, foi efectuado pelo ivestigador James Watt, que costruiu um regulador cetrífugo para efectuar o cotrolo de velocidade de uma máquia a vapor (Iglaterra, sec. XVIII). Dado o seu iteresse histórico, apreseta-se a Fig.7., o esquema de um regulador de velocidade de um motor Diesel, baseado o pricípio ivetado por James Watt. ω Fixa l l y Combustível h m haste l k l M Motor m y Fig. 7.. Esquema básico do regulador de Watt aplicado à regulação de velocidade de motor Diesel. No esquema da Fig.7., podemos verificar que o veio do motor tem acoplado um sistema com duas massas (m) que rodam com o veio à velocidade de rotação ω. Assim, quado o motor aumeta de rotação, devido à acção cetrífuga as massas tedem a afastar-se dimiuido o curso (y), elevado assim a haste (h) ligada à válvula de combustível. Deste modo, o caudal de combustível dimiui o que faz baixar a velocidade de rotação do motor. Por coseguite, as massas tedem a aproximar-se do veio, aumetado y, baixado h aumetado a velocidade do motor ω. Este procedimeto repete-se até se atigir uma situação de equilíbrio. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

3 No século vite, foram iiciados de facto os estudos e as aplicações do cotrolo automático à idústria. Assim, com o avaço da ciêcia e da tecologia, foram dados os primeiros passos as décadas de vite e trita, períodos os quais foram efectuadas importates desevolvimetos. Durate a década de quareta, foram dados ovos e importates passos esta área. Deste modo, após a itrodução do primeiro regulador peumático PID a idústria, os ivestigadores J. Ziegler e N. Nichols, desevolveram um método de ajuste óptimo destes reguladores, que ficou cohecido por "Método de Ziegler-Nichols". Este método, permitiu resolver muitos dos problemas do ajuste dos parâmetros de reguladores, através de uma metodologia relativamete simples e eficaz. a) b) Fig.7.-a). Aspecto de um regulador peumático PID actual utilizado a idústria. b) Cotrolador electróico e trasdutores aalógicos de diversos tipos. Nos aos seteta e seguites, devido ás crescetes potecialidades dos computadores digitais para efectuar a maipulação de grades volumes de dados e de efectuar cálculos complexos, estes passaram a ser progressivamete a ser cada vez mais utilizados a costrução de reguladores idustriais, sesores trasdutores, etc. Esta técica, que recorre à utilização em larga escala de micro-computadores para efectuar a moitorização e o cotrolo digital é cohecida por cotrolo digital directo (DDC - "Direct Digital Cotrol"). Neste tipo de cotrolo, é utilizado um computador digital para efectuar o cotrolo do processo em tempo real, de um ou mais processos, cosoate o tipo e complexidade da aplicação idustrial. Fig.7.-b). Aspecto de uma gama de reguladores idustriais actuais baseados em microprocessador. Por fim, os métodos de estudo e aálise de sistemas de cotrolo cotíuo e digital passaram a ficar extraordiariamete facilitados com o surgimeto os últimos aos de diversas ferrametas iformáticas cada vez mais poderosas, versáteis e com capacidades gráficas muito iteressates. - Estes reguladores utilizam as 3 acções básicas de regulação: Proporcioal (P), Itegral (I) e Derivativa (D), relativamete ao erro. São também desigados a idústria, por reguladores de três acções ( three-termregulator ). Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

4 Deste modo, o estudo de sistemas complexos, que através dos métodos tradicioais se revelava bastate fastidioso, passou a ser bastate acessível através do recurso às potecialidades destes programas, de utilização cada vez mais geeralizada o esio das matérias de Cotrolo Automático. choose Start from the Simulatio meu to ru Closed-Loop Egie Speed Cotrol valve timig edge8 N crak speed (rad/sec) speed set poit Desired rpm Throttle Ag. N Cotroller Throttle Ag. Mass Airflow Rate Egie Speed, N Throttle & Maifold s Itake mass(k) mass(k+) trigger Compressio Air Charge Torque N Combustio Load drag torque Teg Tload N Vehicle Dyamics -Krad/s to rpm Egie Speed (rpm) throttle deg (purple) load torque Nm (yellow) Fig.7.-c) Exemplo de um diagrama de simulação gráfico em MATLAB/SIMULINK [6]. (NOTA: A figura represeta o diagrama de blocos do sistema de cotrolo em ael fechado de um motor de combustão itera ESTRUTURAS BÁSICAS DE CONTROLO AUTOMÁTICO CONTROLO EM ANEL FECHADO No sistema clássico de cotrolo em ael fechado, que a sua forma mais usual é costituído por compoetes cotíuos ou aalógicos, o sial de saída possui um efeito directo a acção de cotrolo, pelo que poderemos desigá-los por sistemas de cotrolo com realimetação ou retroacção ("feedback ). Neste tipo de sistemas, o sial de erro que correspode à difereça etre os valores de referêcia e de realimetação (que pode ser o sial de saída ou uma fução do sial de saída), é itroduzido o cotrolador de modo a reduzir o erro e a mater a saída do sistema um determiado valor, pretedido pelo operador. Por outras palavras, o termo "ael fechado" implica ecessariamete a existêcia de uma realimetação com o objectivo de reduzir o erro, e mater deste modo a saída do sistema um determiado valor desejado. A Fig.7.3, represeta a relação etrada-saída de um sistema de cotrolo típico em ael fechado. Esta represetação gráfica, é desigada a literatura de Cotrolo por "diagrama de blocos". Para ilustrar o sistema de cotrolo em ael fechado, vamos cosiderar o sistema térmico da Fig.7.4, a qual está represetado um operador que desempeha a fução de cotrolador. Este operador, pretede mater costate a temperatura da água à saída de um permutador de calor. No colector de saída, está motado um termómetro (elemeto de medida) que mede a temperatura real da água quete (variável de saída do sistema). Deste modo, em fução das idicações forecidas pelo elemeto de medida, o operador irá maipular a válvula de cotrolo de caudal de vapor de aquecimeto, de modo a mater a temperatura da água o mais próxima possível do valor desejado. - Podemos destacar etre outros, o MATLAB/SIMULINK (Mathworks, Ic.). Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.3

5 Acção de cotrolo Referêcia + - Erro Cotrolador Processo Saída do processo Sial medido Sesor de medida Fig.7.3. Diagrama de blocos de um sistema de cotrolo em ael fechado. Set-poit termómetro válvula água quete vapor água fria Aquecedor dreo Fig.7.4. Esquema de cotrolo maual de um sistema térmico []. Se em vez do operador, for utilizado um cotrolador automático, coforme apresetado a Fig.7.5, o sistema de cotrolo passa a desigar-se por automático. Neste caso, o operador seleccioa a temperatura de referêcia ("set-poit") o cotrolador. A saída do processo (temperatura real da água quete à saída do permutador de calor), é medida pelo trasdutor de temperatura, e comparada o cotrolador com a temperatura de referêcia de modo a gerar um sial de erro. Tomado como base este sial de erro, o cotrolador gera um sial de comado 3 para a válvula de regulação de vapor (actuador). Este sial de comado permite variar gradualmete a abertura da válvula, e por coseguite o caudal de vapor a admitir o permutador. Deste modo, é possível cotrolar automaticamete a temperatura da água à saída do permutador, sem que seja ecessária a iterveção do operador. Regulador PID Set-poit sesor Aquecedor válvula vapor água quete dreo água fria Fig.7.5. Esquema do sistema de regulação automática de um sistema térmico. 3 - Sial de cotrolo -> o sial de saída do regulador, é ormalmete do tipo eléctrico, peumático ou hidráulico. É eviado para o actuador através de uma iterface de potêcia (amplificador, coversor, correte-pressão (I/P), etc.) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.4

6 a) b) c) d) Fig.7.6. Dispositivo de regulação de temperatura com compoetes actuais. a) Trasdutor de temperatura. b) Cotrolador digital PID. c) Coversor correte-pressão (Coversor I-P), que coverte o sial de cotrolo de 4- ma para pressão (3-5 psi). d) Válvula de regulação com comado por ar comprimido (3-5 psi =.-.5 bar). Como podemos verificar através das figuras ateriores, os dois sistemas fucioam de uma forma muito semelhate. Deste modo, os olhos do operador e o termómetro, costituem o dispositivo aálogo ao sistema de medida de temperatura; o seu cérebro é aálogo ao cotrolador automático, realiza a comparação etre os valores de temperatura desejada e medida, e gera o respectivo sial de comado. Este sial, é veiculado pelos seus músculos que realizam a abertura ou fecho da válvula, os quais têm um papel aálogo ao motor da válvula de regulação de vapor CONTROLO EM ANEL ABERTO Neste tipo de sistemas de cotrolo, a saída ão exerce qualquer acção o sial de cotrolo. Deste modo, a saída do processo ão é medida em comparada com a saída de referêcia. A Fig.7.7, represeta o diagrama de blocos de um sistema deste tipo. Referêcia Cotrolador Acção de cotrolo Processo Saída do processo Fig.7.7. Diagrama de blocos de um sistema de cotrolo em ael aberto. Como se pode observar a figura, este tipo de cotrolo, a saída ão é comparada com a etrada de referêcia. Deste modo, para cada valor da saída irá correspoder uma codição de fucioameto fixa. No etato, a preseça de perturbações, o sistema ão irá atigir os objectivos desejados. Na prática, o cotrolo em malha ou ael aberto, somete deve ser utilizado em sistemas para os quais a relação etre a etrada e a saída seja bem cohecida, e que ão teham perturbações iteras ou exteras sigificativas COMPARAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS EM ANEL FECHADO E ABERTO A vatagem dos sistemas de cotrolo em ael fechado, relativamete aos de ael aberto, cosiste o facto da realimetação, torar a resposta do sistema relativamete isesível e perturbações exteras e a variações iteras dos parâmetros do sistema. Deste modo, é possível utilizar compoetes mais baratos e de meor precisão, para obter o cotrolo preciso de um dado processo. Esta característica, é impossível de obter com um sistema em ael aberto. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.5

7 Do poto de vista da estabilidade, os sistemas de cotrolo em ael aberto são mais robustos, uma vez que a estabilidade ão costitui um problema sigificativo. Nos sistemas de cotrolo em ael fechado, a estabilidade costitui um problema de primordial importâcia, visto que o sistema pode teder a sobrecorrigir erros, produzido oscilações de amplitude costate ou variável. Assim, podemos cocluir que: Nos sistemas para os quais sejam cohecidas as variáveis de etrada atecipadamete o tempo, e em que ão haja perturbações muito sigificativas, é acoselhável a utilização do cotrolo em ael aberto Nos sistemas que estejam sujeitos a perturbações imprevisíveis e/ou variações ão previstas os compoetes do sistema, deve-se utilizar o cotrolo em ael fechado. Sempre que possível, é acoselhável utilizar uma combiação apropriada de cotrolo em ael aberto e fechado, visto ser ormalmete a solução mais ecoómica, e que forece um desempeho global do sistema mais satisfatório. NOTA: O coceito de cotrolador ou regulador é aplicado estes apotametos de forma idistita. No etato, existem difereças etre as duas desigações. Assim, tem-se: Regulador: dispositivo de cotrolo utilizado preferecialmete quado se pretede mater fixa a referêcia r(t) e cotrolar as perturbações a saída c(t). É o caso usual do cotrolo de processos utilizados a idústria (pressão, temperatura, caudal, ível, etc.). Exemplo: Pretede-se mater costate a temperatura da água à saída de um permutador, idepedetemete do caudal de passagem e da temperatura da água à etrada. Cotrolador: dispositivo de cotrolo utilizado preferecialmete quado se pretede que a saída c(t) acompahe uma referêcia variável o tempo r(t) para além de efectuar também o cotrolo das perturbações a saída. Um exemplo típico deste dispositivo de cotrolo, desiga-se por servomecaismo, sedo muito utilizado em sistemas de cotrolo de posição e velocidade. Exemplo: ) Cotrolo do âgulo de leme de um avio. Neste caso pretede-se que o leme rode de um âgulo igual ao da referêcia de âgulo de leme. ) Cotrolo de velocidade de um motor Diesel de avio (MPP). Neste caso, pretede-se cotrolar a velocidade e a carga do motor, as quais podem variar ao logo do tempo. Fig.7.8-a) Sistema de cotrolo de velocidade de um motor Diesel marítimo (Fote: Wartsila) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.6

8 7.4. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DA TEORIA DO CONTROLO INTRODUÇÃO O estudo dos sistemas de cotrolo cotíuo exige o cohecimeto de certas técicas matemáticas, como sejam as variáveis complexas, equações difereciais lieares e a trasformada de Laplace. Para além destas técicas e tedo em ateção a aálise de sistemas de cotrolo, é igualmete importate itroduzir os coceitos de fução de trasferêcia e de represetação em espaço de estados. O método da trasformada de Laplace é um método operacioal que pode ser usado com assialáveis vatages, para resolver equações difereciais lieares. Usado a trasformada de Laplace, podem-se coverter muitas fuções comus, tais como fuções siusoidais amortecidas, ou fuções algébricas cotedo fuções expoeciais em fuções da variável complexa "s". Operações como a difereciação ou a itegração, podem ser substituídas por operações algébricas o plao complexo. Deste modo, uma equação diferecial liear pode ser trasformada uma equação algébrica fução da variável complexa "s". Se a equação algébrica em "s" for resolvida em ordem à variável depedete, etão a solução da equação diferecial (Trasformada de Laplace iversa da variável depedete) pode ser obtida através dos Pares de Trasformadas de Laplace, apresetados a TABELA 7.. NOTA IMPORTANTE: Uma das vatages da utilização da Trasformada de Laplace, cosiste em permitir o uso de técicas gráficas, para prever o desempeho de um sistema sem a ecessidade de resolver as respectivas equações difereciais. Uma outra vatagem da utilização deste método, tem a ver com a resolução da equação diferecial, pois tato a compoete trasitória como a de regime permaete da solução, podem ser obtidas em cojuto REVISÃO SOBRE VARIÁVEIS E FUNÇÕES COMPLEXAS Variável complexa s - é composta de uma parte real ϑ, e uma parte imagiária ω. Normalmete, esta variável represeta-se o plao complexo, ou plao D Argad. Assim para o caso S = ϑ + jω, teremos: j ω ω S ϑ,ω ε R ϑ ϑ Fução complexa - Uma fução complexa G(s) tem uma parte real G y, ou seja: O módulo de G(s), é dado por: G(s) = G x + jg y G x, G(s) = G x + G G x e uma parte imagiária G y ε R Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.7 y

9 e o seu argumeto por: arg(g x + jg y) = G arctg( G Podemos fazer a represetação destas duas gradezas o plao complexo da seguite forma: x y ) Im Complexo cojugado de y θ Real G(s) = G x + jg é G(s) = G x jg y NOTA: - Os potos do plao s em que a fução G(s) é aalítica são desigados por potos ordiários, equato que os potos em que G(s) ão é aalítica desigam-se por potos sigulares. - Os potos ode G(s) ou as suas derivadas tedem para o ifiito, desigam-se por pólos. Exemplo: Dada a fução complexa G(s) k(s + z) G(s) = (s + p + )(s p ) verifica-se imediatamete que a fução tem pólos em s = p e s = p. Se uma fução G(s) tede para ifiito à medida que s tede para -p e se a fução G(s)(s + p) (=,,3,...) tem um valor fiito, ão ulo em s= -p, etão o poto s= -p desiga-se por pólo de ordem. Se =, chama-se pólo simples Se =, desiga-se pólo de ª ordem, etc.. Os potos em que a fução G(s)=, chamam-se zeros A fução aterior tem um zero para s= -z. Se icluirmos os potos o ifiito, por exemplo s= ±, G(s) tem a mesma quatidade de zeros e de pólos. No caso aterior, temos: zeros o ifiito, mais um em -z pólo em p mais dois em p Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.8

10 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES O estado de um sistema de cotrolo passa pelo cohecimeto da forma como evolui o tempo, em fução das etradas a que está sujeito. A relação etre a etrada e a saída de um sistema é ormalmete traduzida por uma equação diferecial. É possível portato saber-se o comportameto do sistema para uma dada etrada, através da resolução das respectivas equações difereciais EQUAÇAO DIFERENCIAL ORDINÁRIA LINEAR Equação diferecial ordiária liear - É uma igualdade formada pela soma dos termos do º grau das variáveis depedetes e suas derivadas. A forma caóica de uma equação diferecial ordiária liear ão homogéea de coeficietes costates, é: i m i d y d x a = i bi i i= dt i= dt ou seja: m m d y d y dy d x d x a + a... a a y b b m... b x + + a + = m m m dt dt dt dt dt Como ormalmete m a ordem de uma equação diferecial ordiária liear ão homogéea de coeficietes costates, é dada pelo valor de. A solução geral (resposta total) desta equação diferecial pode ser dividida em: - Solução homogéea (resposta livre) - Solução particular (resposta forçada) A solução homogéea é a solução da equação diferecial quado a etrada x(t) é ula, ou seja, é a solução da equação: i d y a i = i i= dt ou seja: d y d y dy a + a... a a y = dt dt dt Defiido um operador diferecial de ordem : d D = dt, obtêm-se: a D y + a D y ady + a y = ou seja (a D + a D ad + a )y = Poliómio característico - a D + a D ad + a Equação característica - a D + a D ad + a = As raízes ou soluções são: D,D,...D A forma da solução homogéea y(t) h será etão fução das raízes da equação característica. A solução particular, é a solução da equação diferecial, quado todas as codições iiciais são Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.9

11 ulas, ou seja, a solução particular depede apeas da etrada x(t). A solução geral y(t), será etão: y(t) = y(t) h + y(t) p A solução geral pode aida ser decomposta outras duas soluções, que possuem um iteresse bastate grade as aplicações de cotrolo: - Solução de regime estacioário (resposta estacioária) - Solução de regime ão estacioário (resposta trasitória) A solução em regime estacioário, é a parte da equação geral que ão se aproxima de zero quado o tempo tede para ifiito. A solução em regime trasitório, é a parte da equação geral que tede para zero quado o tempo tede para ifiito. Exemplo: Cosidere a resposta temporal de uma equação diferecial o domíio do tempo, dada por: y(t) e t = + si( πt) Podemos ver imediatamete que as respostas em regime trasitório e estacioário, são: y y rt re (t) = e t (t) = si( πt) Na Fig.7.9 está represetado o gráfico da evolução temporal do sistema físico. Em a) estão represetadas as evoluções em regime trasitório e em regime estacioário. Em b) está represetada a evolução total. As curvas foram obtidas através do MATLAB. Listagem do programa em Matlab % calculo da resposta de um sistema % vector de tempos a 6 seg. com itervalos de. seg. t=:.:6; % calculo da resposta de um sistema yt=exp(-*t); ye=si(pi*t); % resposta trasitória e estacioária subplot() plot(t,yt),grid,ylabel('amplitude') subplot() plot(t,ye),grid,xlabel('tempo [s]'),ylabel('amplitude') pause % resposta total subplot() plot(t,ye,'-.',t,yt,'--',t,ye+yt),grid, xlabel('tempo [s]'),ylabel('amplitude') Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

12 .8 amplitude amplitude tempo [s] a).5.5 amplitude tempo [s] b) Fig.7.9. Resposta de um sistema físico. a) Resposta em regime trasitório e em resposta em regime estacioário. b) Resposta total, a qual se pode observar que o sistema etrou em regime estacioário para t = 7.5 seg. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

13 TRANSFORMADA DE LAPLACE PRINCIPAIS DEFINIÇÕES Seja: f(t) fução do tempo de tal modo que f(t)=, para t< s variável complexa L símbolo de trasformada F(s) trasformada de Laplace de f(t) Etão, a Trasformada de Laplace é defiida da seguite forma: L st st [ f(t) ] = F(s) = e dt[ f(t) ] = f(t)e dt NOTA: O itegral só existirá se for covergete (Ex. ). Vamos a título de exemplo obter através da defiição aterior, a trasformada de Laplace de algumas fuções simples bastate utilizadas a aálise de sistemas cotíuos lieares. i) Fução expoecial (expoetial fuctio) Cosidere a seguite fução expoecial f (t) = f (t) = Ae at t < t em que A e a são costates. A trasformada de Laplace desta fução, a partir da defiição, é dada por: at at st (s+ a)t A L{Ae } = Ae e dt = A e dt = s + a Pode-se verificar que a fução expoecial produz um pólo s=-a o plao complexo. ii) Fução degrau (step fuctio) Cosidere a seguite fução degrau f (t) = f (t) = A t < t > em que A é uma costate. Deve-se otar que esta fução é um caso especial da fução expoecial aterior quado a=. A fução degrau ão é defiida para t=. Neste caso, a trasformada de Laplace desta fução, é dada por: L{A} = Ae st dt = A s Físicamete, uma fução degrau que ocorra para t= correspode à aplicação súbita de um sial costate ao sistema para t=. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

14 iii) Fução rampa (ramp fuctio) Cosidere a seguite fução rampa f (t) = f (t) = At t < t A trasformada de Laplace desta fução, a partir da defiição, é dada por: st st e A s s L{ At } = Ate dt = At = iv) Fução siusoidal (siusoidal fuctio) Cosidere a seguite fução rampa f (t) = f (t) = Asi( ωt) t < t A trasformada de Laplace desta fução é dada por: As L{A si( ω t)} = s + ω Teorema do Valor Fial Este teorema relacioa o comportameto em regime estacioário de f(t) com o comportameto de sf(s) a vizihaça de s=. Este teorema, só é valido se o lim f ( t ) existir, ou seja que f(t) covirja para um valor fiito quado t. Neste caso, o t teorema é descrito por: lim f (t) = lim sf(s) t s Para ver a demostração deste teorema, ver ref. []. Cohecedo a defiição de trasformada de Laplace ão é ecessário calcular a trasformada de Laplace de uma fução f(t) ao logo do tempo. Existem para esse efeito tabelas de trasformadas de Laplace, as quais são bastate úteis para obter a trasformada de Laplace de uma determiada fução f(t). A TABELA 7. apreseta algus pares de trasformadas de Laplace de fuções temporais geralmete utilizadas a aálise de sistemas de cotrolo lieares. A TABELA 7. apreseta algumas propriedades da Trasformada de Laplace, para as quais, como é óbvio, ão se irá forecer a sua demostração. Para uma melhor compreesão destas matérias, o aluo deverá cosultar a referêcia []. Nesta obra, poderá ecotrar as demostrações relativas a estas propriedades, bem como uma descrição bastate detalhada sobre esta matéria. Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.3

15 TABELA 7.. PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.4

16 TABELA 7.. PARES DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE (CONT.) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.5

17 TABELA 7. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.6

18 TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA O processo iverso, ou seja a determiação de f(t) a partir da Trasformada de Laplace F(s), é desigado por Trasformada de Laplace Iversa, sedo desigado por L. Deste modo [ F(s) ] f(t) L = A Trasformada de Laplace iversa é defiida pela seguite expressão: c+ st f(t) = F(s)e ds πj c ode c a abcissa de covergêcia. Este valor é uma costate real, que é escolhida como tedo um valor superior a todas as compoetes reais das sigularidades de F(s). Aplicação do método da trasformada de Laplace à resolução de equações difereciais Coforme visto ateriormete, o método da trasformada de Laplace, forece a solução completa (a solução geral mais a solução particular) de equações difereciais lieares. Os métodos clássicos para a determiação da solução completa de uma equação diferecial, requerem a determiação das costates de itegração através das codições iiciais. Na trasformada de Laplace, a determiação das costates de itegração a partir das codições iiciais ão é ecessária, visto que estas são automaticamete icluídas a trasformada de Laplace da equação diferecial. Se todas as codições iiciais forem ulas, a trasformada de Laplace da equação diferecial, d d obtêm-se simplesmete, por substituição de por s, por s, etc (Ver Tabela 7.). Deste dt dt modo, para resolver equações difereciais lieares pelo método da trasformada de Laplace, devemos proceder de acordo com as seguites etapas:. Aplica-se a trasformada de Laplace a cada termo da equação diferecial liear dada;. Coverte-se a equação diferecial uma equação algébrica em s, e obtêm-se a expressão da trasformada de Laplace da variável depedete através de um rearrajo da equação algébrica; 3. Obtêm-se a solução temporal da equação diferecial, ou seja f(t), através da aplicação da trasformada iversa de Laplace à variável depedete EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Dado um sistema físico, cujo comportameto diâmico é descrito pela seguite equação diferecial d y dy t y = e dt dt determie a respectiva trasformada de Laplace, supodo codições iiciais ulas. RESOLUÇÃO: Aplicado as propriedades das trasformadas de Laplace (Ver TABELA 7.): Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.7

19 d y L = s Y(s) dt dy L 3 = 3sY(s) dt (Propriedade 4) (Propriedade 3) { y} Y(s) L = (Propriedade ) t { } = L e s + NOTA: Da TABELA 7., fução 6, podemos verificar que: (Ver TABELA 7. - fução 6) { e } L at = s + a (fução de excitação da equação diferecial -> etrada) Assim teremos: s Y(s) + 3sY(s) + Y(s) = s + pelo que: Y(s) = (s + )(s + 3s + ) 7.5. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Na teoria do cotrolo clássica, para caracterizar a relação etrada-saída de um sistema liear ivariável o tempo, utiliza-se geralmete a fução de trasferêcia". O coceito de fução de trasferêcia aplica-se somete a sistemas lieares ivariates o tempo, embora este coceito possa ser estedido a determiados sistemas de cotrolo ão lieares. A fução de trasferêcia de um sistema liear ivariate o tempo é defiida através da relação etre a trasformada de Laplace da saída (fução resposta) e a trasformada de Laplace da etrada (fução excitação), cosiderado-se ulas todas as codições iiciais. Vamos cosiderar um sistema liear ivariate o tempo defiido pela seguite equação diferecial: () ( ) () m (m ) () a y + ay a y + a y = b x + bx b m x + b m (7.) ( m) ode y(t) é a saída do sistema e x(t) é a etrada. A fução de trasferêcia deste sistema obtém-se através da aplicação da trasformada de Laplace a ambos os membros da equação aterior. Devem-se cosiderar todas as codições iiciais como ulas, pelo que: [Fução de trasferêcia] = G(s) = m Y(s) b s = X(s) a s + b s + a m s b a m s + b s + a m (7.) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.8

20 A fução de trasferêcia é uma expressão que relacioa a saída e a etrada de um sistema liear ivariate o tempo, em termos dos parâmetros do sistema. É uma propriedade do próprio sistema, sedo portato idepedete da etrada ou da fução de excitação. A fução de trasferêcia iclui as uidades ecessárias para relacioar a etrada com a saída. No etato ão forece qualquer iformação relativamete à estrutura física do sistema. Isto sigifica que as fuções de trasferêcia de muitos sistemas físicos diferetes podem ter estruturas iguais SISTEMA MECÂNICO MASSA-MOLA-AMORTECEDOR Cosidere o sistema massa-mola-amortecedor viscoso, idicado a Fig.7.. Um amortecedor é um dispositivo que proporcioa um atrito viscoso, ou amortecimeto. Cosiste de um cilidro cheio de óleo o iterior do qual se desloca um êmbolo. Qualquer movimeto relativo etre a haste do êmbolo e o cilidro é sustido pelo óleo, visto que este terá de se escoar em redor do êmbolo de um lado para o outro (ou através de orifícios existetes o êmbolo). O amortecedor absorve essecialmete eergia. Esta eergia é dissipada como calor, pelo que o amortecedor ão irá armazear qualquer eergia ciética ou potecial. Vamos determiar a fução de trasferêcia deste sistema, admitido que a força u(t) é a etrada e o deslocameto y(t) da massa é a saída. Deste modo, deve proceder-se da seguite forma: - Escrever a equação diferecial do sistema. - Aplicar a trasformada de Laplace à equação, admitido que todas as codições iiciais são ulas. 3 - Calcular a relação etre a saída Y(s) e a etrada U(s), relação esta que é a fução de trasferêcia. u(t) k M y(t) b Fig.7.. Sistema mecâico massa-mola-amortecedor viscoso Para determiar a equação diferecial liear ivariate o tempo, vamos supor que a força de atrito do amortecedor é proporcioal à velocidade da massa y& e que a mola é liear, ou seja que a força da mola é proporcioal ao deslocameto y. Neste sistema, m idica a massa, b o coeficiete de atrito viscoso e k a costate da mola. A lei fudametal que rege os sistemas mecâicos é a lei de Newto. Para sistemas de traslação, esta lei estabelece que: em que: F = ma (7.3) Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.9

21 m = massa (Kg) a = aceleração (m/s ) u = força (N) Ao aplicarmos a lei de Newto ao sistema, vamos obter a seguite equação: ou seja d y dy = b Ky + u dt dt m d y dy + b + Ky = u dt dt m Aplicado a trasformada de Laplace a cada termo e cosiderado codições iiciais ulas, obtém-se: ms Y(s) + bsy(s) + KY(s) = U(s) (7.4) Se calcularmos a relação etre Y () s e U() s vamos obter a fução de trasferêcia do sistema. Este sistema é de ª ordem, devido ao facto de o poliómio do deomiador ser de ª ordem. Y(s) (s) = = (7.5) U(s) ms + bs + K G Exemplo de aplicação usado o Matlab - Cosidere o sistema mecâico da Fig.7.. Supoha que o sistema é posto em movimeto por uma força do tipo impulso uitário δ(t). Determie a resposta (oscilação) resultate da aplicação desta força. Supoha que o sistema está iicialmete em repouso e que o coeficiete de atrito viscoso b pode ser cosiderado ulo. Resolução: O sistema é excitado por uma etrada do tipo impulso uitário. Portato: d x + kx = δ(t) dt m x δ(t) m k b= Fig. 7.. Sistema mecâico Aplicado as trasformadas de Laplace a ambos os lados da equação, obtemos: [ s X(s) sx() x ()] + kx(s) m = Luis Filipe Baptista ENIDH/MEMM 7.

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