CONTROLO. Cap 3 Respostano Tempo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "CONTROLO. Cap 3 Respostano Tempo"

Transcrição

1 Capítulo 3 Repota o Tempo CONTROLO º emetre 007/008 Traparêcia de apoio à aula teórica Cap 3 Repotao Tempo Maria Iabel Ribeiro Atóio Pacoal Setembro de 007 Todo o direito reervado Eta ota ão podem er uada para fi ditito daquele para que foram elaborada (leccioação o Itituto Superior Técico) em autorização do autore Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

2 Objectivo Capítulo 3 Repota o Tempo Rever coceito obre arepota o tempo de SLIT Pólo, zero, gaho etático ea repota diâmica de SLIT Caracterização da repota de itema deª e ª ordem e ordem uperior Sitema de fae ão míima Relação tempo frequêcia Referêcia o o Cap.3 do livro de Frakli, Powel, Naemi (referêcia pricipal) Siai e Sitema, Iabel Lourtie, Ecolar Editora (para revião de coceito obre TL) Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

3 Fução de Traferêcia: defiição Capítulo 3 Repota o Tempo r(t) () y(t) SLIT FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Quociete da traformada de Laplace do ial lde aída pela traformada de Laplace do ial de Y() etrada coiderado ula a codiçõe iiciai G () R() c.i. 0 R() G() Y() Para codiçõe iiciai ula Y( () G().R( ) A fução de traferêcia é um coceito potete para decrever o comportameto de itema do poto de vita de etrada/aída Para SLIT, a fuçãodetraferêcia caracteriza completamete o itema do poto de vita de etrada aída Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

4 Repota o Tempo Capítulo 3 Repota o Tempo r(t) SLIT y(t) Dado a equação diferecial que repreeta um modelo do SLIT a etrada r(t) a codiçõe iiciai Pretede e: Cohecer aevolução temporal da aída, y(t) Uma maeira de reolver o problema Reolver a equação diferecial i que é a repreetação do comportameto de etrada aída Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

5 Capítulo 3 Repota o Tempo Fução de Traferêcia ea Repota o Tempo r(t) SLIT y(t) R() G() Y() r(t) Reolução da eq.diferecial y(t) TL u TL u - G() Y() R() c.i. 0 R() Y() G().R() ) Y() Se a codiçõe iiciai forem ula Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

6 Repota o tempo apartir da FT: exemplo de itema de ª ordem Capítulo 3 Repota o Tempo b m f(t) F() G() V() G() m + β m Sitemamecâico mecâico de tralação exemplo ªordem u(t) ecalão de Heaviide f(t) F u(t) etrada do itema TL (u(t)) ( TL(f(t)) ( F F aume e que o itema etá iicialmete em repouo v(t) TL (V()) TL F. m + β TL V() F. m + β Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

7 Repota o tempo apartir da FT: exemplo de itema de ª ordem Capítulo 3 Repota o Tempo v(t) TL F. m + β m (V()) TL decompoição emfracçõe parciai ( ) G() + β m F F m β β F. m + β ( + β m) + β m) v(t) v(t) F u(t) F e β β F F e β β β t m β t m u(t) para t 0 aída F β F β Gaho em regime etacioário Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

8 Capítulo 3 Repota o Tempo A FT ea obteção da repota de um SLIT com c.i. ão ula TL r(t) Reolução da eq.diferecial y(t) Utilização da Fução de Traferêcia a obteção da repota de um SLIT TL Se a codiçõe iiciai forem ula R() Y () G().R() Y() E e a codiçõe iiciai ão forem ula? Não é poível cotiuar a uar (directamete) a Fução de Traferêcia? G(S) R() c.i. 0 TL TL u u eq.diferecial Y() y(t) Já tem em liha de cota a c.i. Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

9 A FT ea obteção da repota de um SLIT com c.i. ão ula Capítulo 3 Repota o Tempo exemplo dy(t) K G() Y()/R() + ay(t) + a dt Kr(t) r(t) u(t) y (0 ) Y() y(0 ) + ay() TL u coiderado c.i. ão ula KR() Y() y(0 ) + a + K + a Y() y(0 ) + a + K + a R() TL y(t) y(0 - )e at Repota devida à excitação pela codiçõe iiciai K + ( e a at ), t 0 Sitema liear Pricípio da obrepoição Repota devida à excitação pela etrada r(t) Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

10 Capítulo 3 Repota o Tempo Fução de traferêcia: cao geral. Pólo ezero R() G() Y() N() G() D() poliómio poliómio de de grau grau m Fução de traferêcia própria m etritamete própria >m ão própria <m m G() () N() b + b m m m m D() a + b Só etudaremo ete tipo de FT Pólo do SLIT + L+ b + b + L+ a + a 0 0, m, N λ C éum polo do itema com FT própria G() e G(λ) 0 Zero do SLIT λ C éum zero do itema com FT própria G() e G(λ) 0 Se N() ed() ão tiverem factore comu O pólo do itema ão o zero de D() O zero do itema ão a zero de N() cuidado ao cacelar factore comu o poliómio N() ed() Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

11 Capítulo 3 Repota o Tempo Fução de Traferêcia: outra repreetaçõe G () N() b + b m m m m D() a + b + L + b + b + L+ a + a 0 0, m, N 0 Repreetaçõe alterativa ( Se ão houver pólo e/ou zero a origem, m ) G() N() ( + K z )( + z )...( + m, m, N 0 D() ( + p )( + p )...( + p ) z ) Pólo { p, p,..., p } Zero { z, z,..., z m } (em rad/eg) Forma da cotate de tempo N() (+ T )(+ T )...(+ T G() K D() + m 0, m, N0 ( + τ )( + τ )...( + τ ) ) T i z z i (em eg) τ i p p i Se p i for um pólo real K gaho etático Ateção ao valor do gaho 0 ç g etático quado houver pólo e/ou zero a origem Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal τ i p i cotate de tempo

12 G() G() Repota o tempo apartir da FT: exemplo de itema de ª ordem (ct) m + β m FT a forma da cotate de tempo β + β m β β m pólo (rad/eg) ão tem zero m cotate de tempo (eg) β Gaho etático.33 β Quado m aumeta, a repota do itema tora e mai rápida. a cotate de tempo dimiui o regime traitório ateua e mai rapidamete O pólo determia aatureza da compoete atural da repota; pólo real expoecial amortecida Como éa repota em frequêcia para eta dua ituaçõe? β β m b F() β m m β m Capítulo 3 Repota o Tempo G() () f(t) jw pólo a aumetar β 0.75 Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal V() σ

13 Capítulo 3 Repota o Tempo Repota o Tempo: cao geral de ª ordem r(t)u(t) R () R() G() K 0 a + a Y() a K0 K0 Y() K0. + a + a Pólo a(rad/eg) jw Cotate t de tempo /a (eg) Gaho etático K 0 a σ declive K0. K0.a cotate de tempo y(t) at K 0 K 0e Para t 0 K 0 Tempo de etabelecimeto (a %) tempo ao fim do qual a repota e cofia a uma faixa de ±% do valor fial. 4 t (%) 4 * cotate t a t a 5% de tempo % 3 t (5%) 3 * cotate de tempo a Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal a a 3 a 4 a 5 a

14 Capítulo 3 Repota o Tempo Teorema do Valore Iicial e Fial (para SLIT) Teorema dovalor Iicial lim x(t) X( () TL[x(t)] t 0 + lim X() Teorema dovalor Fial Se todo o pólo de X() etão o.p.c.e lim x(t) t lim X() 0 De que modo ete teorema podem er uado a aálie do comportameto (da aída) de SLIT? R() Y() G() Y( () G().R() ) Sem o cálculo explícito da aída para uma dada etrada é poível avaliar valore particulare da aída: y (0 + ), lim y ( t ), t y& (0 + ), && y (0 + ),... Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

15 Capítulo 3 Repota o Tempo Teorema do Valore Iicial e Fial (para SLIT) o cálculo de caracterítica da aída de um SLIT R() G() Y() Valor Iicial da Saída lim y(t) t lim Y() lim G()R() Etrada ecalão uitário R() () lim y(t) lim G() () t 0 + lim G() () Valor Fial da aída lim y(t) t lim Y() 0 lim G()R() 0 Etrada ecalão uitário iái R () lim y(t) lim G() t 0 lim G() 0 Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal Valor do gaho em regime etacioário

16 Gaho Etático: exemplo Capítulo 3 Repota o Tempo X b m f(t) Etradaf(t) F() G () ( X() Saída x(t) G F() m V() X() + β m G () K 0 0 ete itema tem um pólo a origem (a poição éo itegral da velocidade) m ( + β m) limg () () Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

17 Repota o Tempo: itema de ª ordem Capítulo 3 Repota o Tempo exemplo X b m f(t) Objectivo: cotrolar o itema em poição G ( () R() + _ K F() m V() + β m X() Qual éa fução de traferêcia do itema cotrolado? X () G ()F() G ()K [ R() X() ] X K X() ( ) G() m KG () R() β K + + m + KG () m ( + KG ())X() KG ()R() X() R() ( itema de ª ordem, com pólo, em zero gaho etático? Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

18 Capítulo 3 Repota o Tempo Repota o Tempo: itema de ª ordem. Cao geral R() G() Y() G() w + ζw + Qual éa repota para uma etrada ecalão de amplitude uitária? depede da localização do pólo w + ζw + w 0 ζw ± w ζ ζ >> ζ 0 jw jw jw d 0 ζ < Sitema ubamortecido Pólo complexo cojugado ζw ± jw ζ ζ w θ arciζ ζ Pólo real duplo Sitema criticamete amortecido ζw w w w w ζw ζ > Pólo reai ditito Sitema obreamortecido ζw ± w ζ Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal jw d jw ζ 0

19 Capítulo 3 Repota o Tempo Repota o Tempo: itema de ª ordem (exemplo) w, ζ 0 w, ζ 0.3 Sitema ubamortecido w, ζ w, ζ Sitema criticamete amortecido Sitema obreamortecido Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

20 Capítulo 3 Repota o Tempo Repota o Tempo: itema de ª ordem (exemplo) w, ζ 0.3 w, ζ Sitema ubamortecido Sitema obreamortecido zoom zoom A derivada a origem é ula Demotre ete reultado uado o teorema do valor iicial, motrado que: w lim y(t) & lim t ζw + w Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal 0

21 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ª ordem Subamortecido 0 ζ < pólo complexo W freq. ocilaçõe aturai NÃO amortecida i t, ζw ± jw ζ coeficiete de amortecimeto 443 w d Repota auma etrada ecalão uitária ζ W d frequêcia da ocilaçõe amortecida y(t) ζ e ζ w t i(w ζ t + Ψ ) t 0 T d Período da ocilaçõe Coequêcia de o gaho etático er uitário Ψ arctg parte real do pólo ζ ζ parte imagiária do pólo obreelevação S 0.9 ± % 0. Nota: w actua apea como factor de ecala de tempo t r t p t Tempo de Tempo Tempo de etabelecimeto ubida de pico Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

22 Capítulo 3 Repota o Tempo Epecificaçõe o domíio do tempo A epecificaçõe para o deempeho de um itema cotrolado ão, por veze, exprea em termo da ua repota o tempo Epecificaçõe típica em termo de: Tempo de ubida (t r ) tempo que oitema demora a atigir a vizihaça de um ovo et poit Vulgarmete oitervalo etre 0. e0.9 do valor fial Tempo de etabelecimeto (t ) tempo que oregime traitório demora a decair Vulgarmete otempo até a aída e cofiar a uma faixa de 5% do valor fial Sobreelevação (S%) valor máximo da aída meo o valor fial divido pelo valor fial Tempo de pico (t p ) éo tempo que oitema demora a atigir o valor máximo da aída Para itema it de ª ordem, em zero, ubamortecido, eta epecificaçõe podem exprear e como fução de ζ ede ω ± Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

23 Sitema de ª ordem Subamortecido Poto em que a derivada e aula dy(t) dt π π 0 t 0,,,... w d w ζ Capítulo 3 Repota o Tempo Caracterítica da repota + Para 0 y (0 ) 0 & A derivada a origem é ula Período da ocilaçõe T d T d π w Tempo de pico t p d Tempo ao fim do qual ocorre o máximo aboluto de y(t) π Td tp w d w d w ζ parte imagiária do pólo tp Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

24 Sitema de ª ordem Subamortecido Capítulo 3 Repota o Tempo Caracterítica da repota Sobreelevação S% S% y max y 00 y y max fial Só depede do y(t p fial ) + e S% 00.e ζπ ζ ζπ ζ ζ coeficiete de amortecimeto S% Tempo deubida t r Tempo requerido para a aída evoluir de 0% a 90% do valor fial Não há uma expreão aalítica imple que relacioe tr com o coeficiete de amortecimeto e a frequêcia w. Ma há expreõe aproximada t r.8 w t r Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

25 Sitema de ª ordem Subamortecido Tempo de etabelecimeto a% (t (%)) Capítulo 3 Repota o Tempo Caracterítica da repota Itate de tempo em que a aída atige e e matém uma faixa de ± % do valor fial A mema defiição uada o itema de ª ordem y(t) ζ e ζw t i(w ζ t + Ψ) aproximação ζw t ζ e 0.0 i(w ζ t + Ψ) a % a 5% a % t t t ζ 4 w 3 ζw ζw Valore aproximado ζw parte real do Verifique a aalogia com o itema de ª ordem pólo t Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

26 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ª ordem Subamortecido Vário Exemplo Figura retirada de Aálie de Sitema Lieare, M. Iabel Ribeiro, IST Pre, 00 Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

27 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ª ordem Subamortecido Vário Exemplo Figura retirada de Aálie de Sitema Lieare, M. Iabel Ribeiro, IST Pre, 00 Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

28 Sitema de ª ordem Subamortecido Capítulo 3 Repota o Tempo ω cotate Lugar geométrico do pólo que correpodem a determiada epecificaçõe Tempo de ubida cotate ξω cotate Tempo de etabelecimeto cotate ξ cotate Sobreelevação, cotate ω d cotate Tempo de pico cotate Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

29 Exercício Capítulo 3 Repota o Tempo R() + Y() K + _ O gaho etático do itema em cadeia fechada depede de K? Determie ovalor de K para que arepota do itema em cadeia fechada a uma etrada ecalão de amplitude uitária teha obreelevação de 0%. Para ee valor dek qual é otempo deetabelecimeto bl a5% darepota? K Y() ( + ) R() K + ( + ) K + + K O itema em cadeia fechada tem uma f.t. da forma G() Por comparação: w + ζw + w ξω K ω Cofirme reultado uado Matlab Gaho etático uitário, idepedete de K Da epecificaçõe pretedida: ξπ ξ l 0. S% 0% e 0. ξ π + l 0. ξ ω ξ ω. K 4.8 t ( 5%) 3eg ξω Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

30 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ª ordem Criticamete amortecido G() + w ζw + w ζ ζ G() ( + w w ) etrada ecalão de amplitude uitária i w R () gaho etático uitário Y() w ( + w ) c + c ( + w ) + c 3 + w y(t) y(t) wt wt wte e t 0 wt (+ wte) t 0 Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

31 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ordem uperior. Efeito de pólo adicioai G() ( a.w + ζw + w G )( + a) R () R R( + ζw) + R3w d R4 Y() + + ( + ζw ) + w + a d ζwt at y(t) R + e (R co w dt + R3 i w dt) + R4e t 0 De que modo um pólo ifluecia a repota global? Atravé de: tipo de pólo (real, complexo, imple, duplo) parte real que dt determia oritmo de decaimeto da compoete traitória aociada reíduo aociado que depede da localização do outro pólo e zero. Cotribuição de pólo para a repota traitória at e e at, e at Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal te at i( bt + Ψ) pólo imple pólo duplo pólo complexo

32 Sitema de 3ª ordem em zero Capítulo 3 Repota o Tempo 5 * a G() ( + a)( ) - itema de 3ª ordem c/ pólo complexo cojugado e um pólo real a, 3, 8 rad/eg itema de ª ordem a8 a3 a Quado a aumeta a ifluêcia do pólo real dimiui O pólo tora e meo domiate A repota é domiada pelo pólo complexo Em qualquer da ituaçõe o itema tora e mai leto A largura de bada DECRESCE quado a dimiui Compare odiagrama de Bode para a quatro ituaçõe Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

33 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ordem uperior: Pólo ão domiate 5 * a ( + a)( G () 5) Quado a aumeta a ifluêcia do pólo dimiui O pólo tora e meodomiate O pólo complexo ão pólo domiate Em que codiçõe é poível deprezar o pólo (real) ão domiate? Quado oregime traitório aociado é deprezável, o cojuto de toda a cotribuiçõe traitória, ao fim de aproximadamete 5 cotate de tempo. Quado o módulo do pólo real é pelo meo cico veze maior que o módulo da parte real do pólo domiate. Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

34 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de ordem uperior: Pólo ão domiate 5 * a ( + a)( G( () 5) a 0 ªordem ordem 50 ( + 0)( ) G() 3ªordem G() ( )( ) O deprezo de pólo ão domiate tem que preervar o gaho etático G() ( ) Que acotece o domíio da frequêcia? Qual éo coceito de pólo ão domiate o domíio da frequêcia? Aproxima o itema de ªordem, o que repeita à repota o tempo Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

35 Efeito de zero adicioai Capítulo 3 Repota o Tempo Qual a ifluêcia de zero a repota de SLIT? G() bc a R() ( + a) ( + b)( + c) Etrada ecalão de amplitude uitária Cálculo geométrico do reíduo gaho etático uitário R R R bc R R R3 Y() ( + + ) a + b + c 3 a bc a b ( b)(c b) c + a ( c)(b c) c a O zero determiam o valor do reíduo b y(t) bc a (R + R e bt + R 3 e ct ) aproximação O reíduo R ou R 3 erão pequeo e ozero etiver bc ct próximo ói depólo em b ou dopólo R << R 3 y(t) (R + R 3 e ) a em c, repectivamete. Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

36 Pólo ão domiate: Redução de ordem Capítulo 3 Repota o Tempo Em que codiçõe Sitema de ordem uperior podem er aproximado por itema de ordem mai baixa? Quado há PÓLOS NÃO DOMINANTES o reíduo aociado ao pólo é pequeo Proximidade com um zero a parte real do pólo é elevada Regime traitório extigue e muito rapidamete Como e faz a aproximação? depreza e e o pólo e o zero depreza e o pólo Cuidadoa a ter a aproximação O itema origial eo aproximado devem ter o memo gaho etático exemplo 36( +.) ) () ( + )( + 0)[( + ) G + 3 ] Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

37 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema com zero. Efeito de um zero adicioal G() w b ( + b ) ( + w) pólo duplo e zero Para etrada ecalão uitário Y() w b ( + b) (w b)w / b + ( + w ) ( + w ) + w w (w b) wt y(t) + t e, t 0 b Caracterítica da repota + y (0 ) 0 + w y(0 & ) b y( ) Ue o teorema do valore iicial e fial para chegar a eta cocluõe Pode er egativo e o zero etiver o pcd Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

38 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema com zero. Efeito de um zero adicioal G() w ( + b) b ( + w ) 0 < w < b 0 < b < w -b -w -w -b w b 4 w b Exite obreelevação w ( + b) Y() Combiação liear de um ial b ( + w ) e da ua derivada w ( + b) Y () + by () b ( + w ) Y () Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

39 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema com zero. Efeito de um zero adicioal G() w b b < 0 < ( + b) ( + w) -w -b w Pólo duplo e zero o pcd Sitema tem um zero o pcd itema de FASE NÃO MÍNIMA Derivada a origem é egativa Sitema de fae ão míima é aquele que tem pelo meo um pólo e/ou um zero o emi plao complexo direito Pólo o pcd itabilidade Qual éo efeito de um zero o pcd? Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

40 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de Fae ão míima: Exemplo. Barrilete Exemplo Barrilete Cetrai termoeléctrica Produção de vapor r(t) Caudal de água fria à etrada barrilete h(t) Altura da água o barrilete Relação etre a abertura da válvula da água fria ea altura da água o barrilete depede de: Efeito rápido de cotracção da água devido à ijecção de água fria Efeito de itegração devido à adição de maa Leto Rápido Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

41 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de Fae ão míima: Exemplo. Barrilete Exemplo Barrilete H() H () H() G() + R() R() R() K K + (Kτ ) G() τ + ( τ + ) Para certa relação de K e τ o itema tem um zero o emi plao complexo direito (τ </ K ) No itema reai τ<<, K <<. etrada ecalão r(t) u(t) Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

42 Capítulo 3 Repota o Tempo Sitema de fae ão míima: Maipulador Flexível Maipulador Rígido aída etrada Τ T(t) θ(t) θ T biário motor t 0 t 0 Maipulador Flexível aída Τ θ T(t) etrada θ(t) T biário motor t 0 t Efeito de chicote (FASE NÃO MÍNIMA) Cotrolo ºem 007/008 Iabel Ribeiro, Atóio Pacoal

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Departamento de Matemática A Colocação por mínimos quadrados e a sua aplicação à Geodesia Física

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Departamento de Matemática A Colocação por mínimos quadrados e a sua aplicação à Geodesia Física Faculdade de Ciêcias da Uiversidade de Lisboa Departameto de Matemática A Colocação por míimos quadrados e a sua aplicação à Geodesia Física João Catalão Lisboa, Colocação por míimos quadrados Ídice. Itrodução....

Leia mais

Manual sobre o Valor do Dinheiro no Tempo

Manual sobre o Valor do Dinheiro no Tempo Maual sobre o Valor do Diheiro o Tempo...Dai de graça o que de graça recebeste... A oção de que um dólar hoje é preferível a um dólar em algum mometo o futuro é bastate ituitiva para a maioria das pessoas

Leia mais

Caixas Band Pass. Simétricas, Ordem. de 4 a

Caixas Band Pass. Simétricas, Ordem. de 4 a aixa and Pa Simétrica, de 4 a Ordem Homero Sette Silva Ano ovo de 4 aixa and Pa Simétrica, de 4 a Ordem - 4 P4SIM Homero Sette Silva homero@elenium.com.br te trabalho é uma releitura do apítulo, do livro

Leia mais

mgh = 1 2 mv2 + 1 2 Iω2 (1)

mgh = 1 2 mv2 + 1 2 Iω2 (1) a Supoha que um ioiô parte do repouso e desce até uma altura (deslocameto vertical) h, medida desde o poto de ode o ioiô foi solto. Ecotrar a sua velocidade fial de traslação e rotação, e sua aceleração

Leia mais

Sociedade de Engenharia de Áudio Artigo de Convenção Apresentado na IX Convenção Nacional 11-13 de Abril de 2005, São Paulo, SP

Sociedade de Engenharia de Áudio Artigo de Convenção Apresentado na IX Convenção Nacional 11-13 de Abril de 2005, São Paulo, SP ociedade de Engenharia de Áudio Artigo de Convenção Apreentado na IX Convenção Nacional - 3 de Aril de, ão Paulo, P Ete artigo foi reproduzido do original entregue pelo autor, em ediçõe, correçõe e conideraçõe

Leia mais

EA722-Laboratório de Controle e Servomecanismos Notas de Aula: Prof. Paulo Valente. Introdução aos Sistemas de Controle

EA722-Laboratório de Controle e Servomecanismos Notas de Aula: Prof. Paulo Valente. Introdução aos Sistemas de Controle EA722-Laboratório de Controle e Servomecanismos Notas de Aula: Prof. Paulo Valente Introdução aos Sistemas de Controle Os objetivos destas notas de aula são discutir aspectos básicos relacionados ao controle

Leia mais

CAPÍTULO 8 - Noções de técnicas de amostragem

CAPÍTULO 8 - Noções de técnicas de amostragem INF 6 Estatística I JIRibeiro Júior CAPÍTULO 8 - Noções de técicas de amostragem Itrodução A Estatística costitui-se uma excelete ferrameta quado existem problemas de variabilidade a produção É uma ciêcia

Leia mais

MEEC / MEM Energias Renováveis Energia Eólica. Energia Eólica. Tipos de Aerogeradores Modelização, Controlo e Protecções. J. A.

MEEC / MEM Energias Renováveis Energia Eólica. Energia Eólica. Tipos de Aerogeradores Modelização, Controlo e Protecções. J. A. Tipo de Aerogeradore Modelização, Controlo e Protecçõe J. A. Peça Lope Introdução Exitem fundamentalmente 3 tipo de aerogeradore com aplicação indutrial: Máquina aíncrona (com e em controlo do ângulo de

Leia mais

EQUILÍBRIO DE COMPLEXAÇÃO

EQUILÍBRIO DE COMPLEXAÇÃO EQUILÍBRIO DE COMPLEXAÇÃO De acordo com a Teoria de Lewis, ácidos são espécies receptoras de pares de elétros e bases são espécies doadoras de pares de elétros. De acordo com as reações e abaixo, ota-se

Leia mais

OBTENÇÃO DE GRAVIOLA EM PO PELO PROCESSO DE LIOFILIZAÇÃO

OBTENÇÃO DE GRAVIOLA EM PO PELO PROCESSO DE LIOFILIZAÇÃO Revista Brasileira de Produtos Agroidustriais, Campia Grade, Especial, v.7,.2, p.165-172, 2005 165 ISSN 1517-8595 OBTENÇÃO DE GRAVIOLA EM PO PELO PROCESSO DE LIOFILIZAÇÃO Mario Eduardo R.M. Cavalcati Mata

Leia mais

SATURAÇÃO EM PESQUISA QUALITATIVA: ESTIMATIVA EMPÍRICA DE DIMENSIONAMENTO

SATURAÇÃO EM PESQUISA QUALITATIVA: ESTIMATIVA EMPÍRICA DE DIMENSIONAMENTO Af-Revista Completa cores:layout // : PM Page HERMANO ROBERTO THIRY-CHERQUES SATURAÇÃO EM PESQUISA QUALITATIVA: ESTIMATIVA EMPÍRICA DE DIMENSIONAMENTO SATURATION IN QUALITATIVE RESEARCH: EMPIRICAL SIZING

Leia mais

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15 Ondas (continuação) Ondas propagando-se em uma dimensão Vamos agora estudar propagação de ondas. Vamos considerar o caso simples de ondas transversais propagando-se ao longo da direção x, como o caso de

Leia mais

CURSO INSTRUMENTAÇÃO BÁSICA INTRODUÇÃO

CURSO INSTRUMENTAÇÃO BÁSICA INTRODUÇÃO 1 CURSO INSTRUMENTAÇÃO BÁSICA INTRODUÇÃO Prof. Alvaro Augusto 1 2 1 - INTRODUÇÃO 1 HISTÓRICO Os processos industriais exigem controle na fabricação de seus produtos. Os processos são muito variados e abrangem

Leia mais

Sistemas Dinâmicos. Sistema massa-mola-atrito. O que é um sistema? Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo

Sistemas Dinâmicos. Sistema massa-mola-atrito. O que é um sistema? Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo Sisemas Diâmicos Sisemas Lieares e Ivariaes o Tempo O que é um sisema? Sisema massa-mola-ario Um sisema é um objeco ou grupo de objecos que ieragem com o mudo. Essa ieracção é represeada aravés de eradas

Leia mais

CAPÍTULO 15 MATERIAIS SEMICONDUTORES

CAPÍTULO 15 MATERIAIS SEMICONDUTORES 397 CAPÍTULO 15 MATERIAIS SEMICONDUTORES Sumário Objetivos deste capítulo...398 15.1 Introdução...398 15.2 Semicondutores intrínsecos - transporte de cargas elétricas na rede cristalina do Si, ou Ge, puros...400

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA IFBA. Mecânica dos Fluidos ENG 520. Prof. Édler Lins de Albuquerque. Lista de Exercícios

INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA IFBA. Mecânica dos Fluidos ENG 520. Prof. Édler Lins de Albuquerque. Lista de Exercícios Mecânica dos Fluidos ENG 520 Prof. Édler Lins de Albuquerque Lista de Exercícios Parte 1 - Aplicações da Lei de Viscosidade de Newton e Introdução aos Escoamentos de Fluidos Questão 1.1 Na figura abaixo,

Leia mais

Curso: ADMINISTRAÇÃO. Matemática Aplicada ALUNO(A):

Curso: ADMINISTRAÇÃO. Matemática Aplicada ALUNO(A): Curso: ADMINISTRAÇÃO Matemática Aplicada ALUNO(A): Gilmar Bornatto FUNÇÕES MATEMÁTICAS APLICADAS À ECONOMIA Constantemente encontramos em nosso cotidiano situações envolvendo relações entre duas grandezas

Leia mais

CONFORTO TÉRMICO NOS AMBIENTES DE TRABALHO

CONFORTO TÉRMICO NOS AMBIENTES DE TRABALHO CONFORTO TÉRMICO NOS AMBIENTES DE TRABALHO PRESIDENTE DA REPÚBLICA Fernando Henrique Cardoso MINISTRO DO TRABALHO E EMPREGO Francisco Dornelle FUNDACENTRO PRESIDÊNCIA Humberto Carlos Parro DIRETORIA EXECUTIVA

Leia mais

Introdução à Física do Arco Elétrico. E sua Aplicação na Soldagem dos Metais

Introdução à Física do Arco Elétrico. E sua Aplicação na Soldagem dos Metais UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Departamento de Engenharia Metalúrgica e de Materiais Introdução à Física do Arco Elétrico E sua Aplicação na Soldagem dos Metais Prof. Paulo J. Modenesi Colaboração:

Leia mais

Acréscimos e Diferimentos

Acréscimos e Diferimentos AULA 03 1. Acréscimos e diferimentos 2. Imparidade de activos (IAS 36) 3. Provisões, passivos contingentes e activos contingentes (IAS 37) - Contabilidade Financeira II 2007/ 2008 2º Semestre 1 Acréscimos

Leia mais

MOTOR IMPORT IMPORT MOTOR. CENTRO DE TREINAMENTO DE SERVIÇOS Moto Honda da Amazônia Ltda.

MOTOR IMPORT IMPORT MOTOR. CENTRO DE TREINAMENTO DE SERVIÇOS Moto Honda da Amazônia Ltda. MOTOR IMPORT MOTOR IMPORT CENTRO DE TREINAMENTO DE SERVIÇOS Moto Honda da Amazônia Ltda. Todas as informações e especificações desta apostila são as mais recentes disponíveis na ocasião de sua impressão.

Leia mais

LEIS DE NEWTON E SUAS APLICAÇÕES

LEIS DE NEWTON E SUAS APLICAÇÕES NOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO LEIS DE NEWTON E SUAS APLICAÇÕES 1. INTRODUÇÃO Como pode um rebocador pequeno rebocar um navio muito mais pesado do que ele? Por que ele precisa de uma longa

Leia mais

Transmissão Digital em Banda Base

Transmissão Digital em Banda Base Capítulo Transmissão Digital em Banda Base.1 Introdução Entende-se por transmissão digital em banda base, a transmissão de sinais digitais cujo espectro está centrado na frequência 0 Hz. A tarefa de um

Leia mais

Questões de Vestibulares

Questões de Vestibulares (UEP) No fim do século XVIII, enjamin Thompson, engenheiro americano exilado na Inglaterra (país onde recebeu o título de conde Rumford), realizou os primeiros experimentos convincentes sobre a natureza

Leia mais

DISTÂNCIAS DE SEGURANÇA

DISTÂNCIAS DE SEGURANÇA FICHA TÉCNICA DISTÂNCIAS DE SEGURANÇA Níveis GDE Temas Transversais Síntese informativa Nível 1 Nível Atitudinal; Nível 3 Nível Táctico Tema 2 - Atitudes e Comportamentos; Tema 5 - Conhecimento das Regras

Leia mais

Logistics Directive LR 10 Diretriz de Logística LR10

Logistics Directive LR 10 Diretriz de Logística LR10 Logistics Directive LR 10 Diretriz de Logística LR10 Versio 2010 Versão 2010 List of Abbreviatios Lista de abreviaturas Cotet Ídice DAP EDI ERP FCA Icoterms JIS JIT LAB PPS QR83 Ru@Rate RFQ SCM SupplyON

Leia mais

Mecânica dos Fluidos. Aula 1 Definição de Mecânica dos Fluidos, Sistema de Unidades. Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Mecânica dos Fluidos. Aula 1 Definição de Mecânica dos Fluidos, Sistema de Unidades. Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Aula 1 Definição de Mecânica dos Fluidos, Sistema de Unidades Aula 1 Tópicos Abordados Nesta Aula Apresentação do Curso e da Bibliografia. Definição de. Conceitos Fundamentais. Sistema de Unidades. Aula

Leia mais

Análise de Algoritmos: Melhor caso, pior caso, caso médio

Análise de Algoritmos: Melhor caso, pior caso, caso médio Análise de Algoritmos: Melhor caso, pior caso, caso médio Fernando Lobo Algoritmos e Estrutura de Dados II 1 / 25 Sumário Rever um problema e um algoritmo que já conhecem. Descrevê-lo em pseudo-código

Leia mais

---- ibeu ---- ÍNDICE DE BEM-ESTAR URBANO

---- ibeu ---- ÍNDICE DE BEM-ESTAR URBANO INSTITUTO NACIONAL DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA CNPq/FAPERJ/CAPES ---- ibeu ---- ÍNDICE DE BEM-ESTAR URBANO COORDENAÇÃO LUIZ CÉSAR DE QUEIROZ RIBEIRO EQUIPE RESPONSÁVEL ANDRÉ RICARDO SALATA LYGIA GONÇALVES

Leia mais

Amplificadores Analógicos

Amplificadores Analógicos RP 30 7/02.03 Substitui: 09.02 Amplificadores Analógicos Tipos VT-VRPA-50 até VT-VRPA-52 Série X H/A/D 697/99 Tipo VT-VRPA-50 Índice Conteúdo Página Características Dados para pedido 2 Descrição de funcionamento

Leia mais