Transmissão Digital em Banda Base

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1 Capítulo Transmissão Digital em Banda Base.1 Introdução Entende-se por transmissão digital em banda base, a transmissão de sinais digitais cujo espectro está centrado na frequência 0 Hz. A tarefa de um sistema de transmissão digital é a de transferir um sinal de informação na forma de pulsos desde a sua fonte até o destinatário passando pelo canal de comunicações, conforme mostra a Fig..1. Todo canal de comunicações apresenta algumas imperfeições, tais como a adição de ruído, limitação da banda de passagem, introdução de distorção, interferência, desvanecimento, etc. Figura.1: Sistema de Comunicações. Neste capítulo vamos analisar o espectro de sinais digitais e também o desempenho em termos da probabilidade de erro de bit em função de uma relação que definiremos mais a frente como a razão entre a energia por bit e a densidade espectral de potência unilateral do ruído, E b /N 0. Nesta análise iremos considerar um canal de comunicações limitado em banda e que adiciona ruído. Na verdade, o ruído aditivo é sempre adicionado no receptor, e que tem origem térmica ou balística, mas que por considerações simplistas é colocado como se fosse originado no canal. Para um sistema digital, a taxa de bits e a probabilidade de erro de bits são tão importantes quanto a banda e a relação sinal-ruído em um sistema analógico. Definiremos nas próximas seções o conceito de eficiência espectral, como sendo a razão entre a taxa de bits e a banda necessária para transmitir um sinal digital sem distorção. Veremos finalmente, que a relação E b /N 0 e a eficiência espectral são de modo geral conceitos antagônicos, há que se ceder em um deles para que se consiga melhoria no outro.. Sinais Digitais PAM..1 Definição Sinais PAM ( Pulse Amplitude Modulation ) são muito importantes na transmissão digital em banda base. Em um sinal PAM é possível escolher o número de amplitudes, o formato do pulso de transmissão e a taxa de bits. Se o número de amplitudes for igual a dois, dizemos que a transmissão é binária. Além disso, um formato de pulso que é bastante utilizado é o retangular. Um sinal PAM é dado por uma sequência de pulsos: x(t) = i= 1 a i q(t it s ) (.1)

2 onde i representa um instante de tempo, a i é uma variável aleatória que representa a amplitude naquele intervalo de tempo, T s é a duração de um símbolo (pulso) e q(t) representa o formato do pulso em banda base, que tem amplitude unitária. Para o caso binário, isto é, em que a i apresenta apenas duas amplitudes, a duração de um pulso será representada pela duração de um bit, ou seja, T b. Exemplo 1 Vamos procurar compreender melhor sinais PAM através de um exemplo. A Fig.. mostra vários formatos PAM para a transmissão da mensagem Alguns comentários podem ser feitos acerca destes formatos: A primeira sequência apresenta um formato unipolar, pois a amplitude a i é uma variável aleatória binária equiprovável que assume os valores 0 e A. Quando o pulso tem duração igual ao intervalo de um símbolo ou bit, dizemos que o formato é do tipo NRZ ( Non Return to Zero ). A segunda sequência também é unipolar, porém com formato de pulso RZ-50% ( Return to Zero ) com duração T b /. Como veremos à frente, pulsos NRZ têm mais energia que pulsos RZ. Entretanto pulsos NRZ apresentam problemas de sincronização no receptor, quando a mensagem apresenta todos os bits iguais a 1, ao contrário de pulsos RZ. Por outro lado, os formatos NRZ e RZ são susceptíveis à perda de sincronismo em caso de longa sequência de 0s. Veremos posteriormente, que o formato RZ por apresentar pulsos mais estreitos, apresenta banda mais larga que o formato NRZ e por apresentarem pulsos estreitos são indicados em canais dispersivos, isto é, em canais cuja banda é estreita o suficiente a ponto de causar o que chamamos de interferência inter-simbólica, que será definida mais à frente. A terceira e quarta sequências apresentam um formato bipolar NRZ e RZ, respectivamente, pois a amplitude a i é uma variável aleatória binária equiprovável que assume os valores ±A/. É fácil perceber que o formato bipolar possui valor médio nulo, também conhecido como componente DC, ao contrário do formato unipolar. Esta componente DC não carrega qualquer informação útil. Portanto, o formato unipolar não é tão eficiente quanto o formato bipolar, por carregar este excesso de energia. A quinta sequência apresenta um formato polar quaternário NRZ. Todo formato quaternário que por apresentar 4 níveis de amplitude, consegue transportar bits a cada símbolo. No caso deste exemplo utilizamos a codificação denominada natural. A Tab..1 apresenta a codificação natural e codificação de Gray. A codificação de Gray tem a vantagem de minimizar o número de bits errados toda vez que se cometer um erro para um símbolo adjacente. Uma característica dos formatos com mais de níveis é que os mesmos possuem pulsos com maior duração e espectro mais estreito que o formato binário. Por outro lado, como veremos estes formatos são mais suscetíveis à ocorrência de erros. b 1 b 0 Natural Gray 0 0 3A/ 3A/ 0 1 A/ A/ 1 0 +A/ +3A/ A/ +A/ Tabela.1: Codificação Natural e de Gray... Taxa de Transmissão Para o caso em que a variável aleatória de amplitude, a i, assume mais de níveis de amplitude, usamos T s para denotar o período de repetição dos pulsos. A taxa de transmissão de símbolos medida em símb/s ou baud é dada por: R s = 1 T s (.) pois em um segundo de duração existem T s pulsos. Um caso particular do anterior, ocorre quando a i é uma variável aleatória binária. Neste caso usamos T b para indicar o período de repetição dos pulsos. Neste caso, podemos definir a taxa de transmissão de bits medida em bits/s através de: R b = 1 T b (.3)

3 Figura.: Formatos PAM com Pulsos Retangulares a) Unipolar NRZ b) Unipolar RZ c) Bipolar NRZ d) Bipolar RZ e) Polar Quaternário NRZ. 3

4 ..3 Número de Bits por Símbolo e Taxa Equivalente de Bits Seja um formato M-ário, ou seja, em que a variável aleatória de amplitude assume M níveis de amplitude. Para relacionar um formato M-ário a um binário, gostaríamos de conhecer quantos bits são transportados de cada vez por um símbolo em um formato M-ário. Para responder melhor esta pergunta, vamos estudar o exemplo a seguir. Exemplo Sabemos do exemplo anterior, que em um formato quaternário, M = 4, a variável de amplitude assume 4 níveis e que são necessários bits para associar às 4 amplitudes, pois = 4. Em um formato com M = 8 níveis de amplitude são necessários 3 bits para associar às 8 amplitudes. Assim, de modo geral, em um formato M-ário, cada símbolo transporta de cada vez: n bs = log M (.4) bits por símbolo. Se cada pulso com M amplitudes transporta n bs bits por símbolo, então é possível escrever a taxa de transmissão de bits equivalente em função da taxa de transmissão de símbolos:..4 Outros Tipos de Formato PAM A Fig..3 ilustra outros formatos PAM, descritos a seguir: R b = R s log M (.5) O primeiro formato já foi definido anteriormente. É o formato NRZ unipolar com pulsos retangulares, também conhecido como NRZ nível, ou NRZ-L ( Level ). A segunda sequência é denominada NRZ marca, ou NRZ-M ( Mark ). Neste formato, somente para bits do tipo 1 é que existe transição no início de um bit. A terceira sequência é denominada NRZ espaço, ou NRZ-S (space). Neste formato, somente para bits do tipo 0 é que existe transição no início de um bit. É usado no padrão USB ( Universal Serial Bus ). A quarta sequência apresenta o formato biphase-level, também conhecido como Manchester. Neste formato para cada bit 0 é associada uma transição positiva no meio do bit, enquanto que a cada bit 1 é associada uma transição negativa também no meio do bit. O formato Manchester não apresenta problemas de sincronismo para o caso de longas sequências de 0s, ou de 1s. Como desvantagem, veremos posteriormente que este formato tem espectro largo, devido às transições no meio do bit. É utilizado em redes Ethernet. A quinta sequência é uma variação do Manchester denominada biphase-mark. Neste formato existe sempre uma transição no início de cada bit. Além disso, bits do tipo 1 apresentam transição no meio do bit, enquanto que bits do tipo 0 não. As propriedades deste formato são parecidas com as do Manchester. A sexta sequência é na verdade uma sequência pseudo-ternária, em que os zeros são mapeados como amplitudes nulas, enquanto que os bits 1 se alternam, ora como pulsos positivos, ora como pulsos negativos. Este formato conhecido como AMI ( Alternate Mark Inversion ), não apresenta problema de sincronismo no caso de longas sequências de 1s, mas somente no caso de longas sequências de 0s. Pela sua regra de construção, o formato AMI pode sofrer inversão na polaridade do cabo, sem alteração do conteúdo de informação. Existe uma variante do AMI, chamada HDBn. Caso a sequência apresente mais de n 0s consecutivos, pulsos de violação serão inseridos. Assim, o formato HDBn não apresenta problemas de sincronismo no caso de longas sequências de 0s..3 Imperfeições na Transmissão.3.1 Ruído O ruído é um dos elementos mais importantes da imperfeição de um canal. Todo receptor gera ruído térmico, devido aos seus resistores e gera também ruído balístico ( shot ) devido aos diodos e transistores. Ainda neste capítulo iremos obter os efeitos do ruído no desempenho de um sistema de transmissão digital em banda-base. O ruído foi estudado anteriormente na Sec.??. 4

5 Figura.3: Formatos PAM com Pulsos Retangulares a) NRZ-L b) NRZ-M c) NRZ-S d) Biphase-Level e) Biphase-Mark f) AMI. 5

6 .3. Interferência A interferência, como o ruído, também é aditiva. Diferentemente do ruído que é adicionado no receptor, a inteferência é adicionada no canal. Existem diversos tipos de inteferência: diafonia, interferência de co-canal, etc. A interferência entre fios de um mesmo cabo é denominada diafonia e ocorre principalmente em cabos telefônicos que possuem centenas de pares de fios, afetando o desempenho de modems, modems ADSL, etc. Também há interferência na comunicação sem fio em redes celulares. A inteferência de co-canal se deve ao fato de um mesmo canal ser utilizado por diferentes usuários. Os efeitos da interferência de co-canal no desempenho de um sistema de transmissão serão estudados na Sec Desvanecimento O desvanecimento ocorre basicamente em comunicações sem fio, principalmente quando se utilizam antenas sem linha de visada. Deste modo, o desvanecimento aparece quando há múltiplos sinais chegando quase que instantaneamente no receptor. A combinação destes vários percursos produz às vezes uma combinação construtiva, às vezes destrutiva. O desvanecimento é modelado como uma variável aleatória multiplicativa que em geral é suposto ter PDF de Rayleigh. A taxa de variação do desvanecimento depende da variabilidade do canal, o que por sua vez depende das velocidades do transmissor e/ou receptor. Os efeitos do desvanecimento são sérios na transmissão de sinais digitais e serão estudados no Cap.??..3.4 Interferência Inter-Simbólica Considere o sistema de transmissão em banda base da Fig..4a. Vamos considerar que o formato transmitido, x(t) é do tipo NRZ unipolar com amplitudes 0 e A, formato de pulso retangular, em que a sequência de informação transmitida é Vamos considerar também que o canal adiciona ruído e interferência, que atenua e pode ainda produzir distorção por apresentar banda passante mais estreita que a requerida. A Fig..4b apresenta o sinal recebido e o sinal recebido ideal para efeito de comparação. Neste momento podemos nos questionar sobre a estrutura interna do receptor. Como o ruído aditivo branco tem banda muito maior que a banda do sinal transmitido, seguramente deveremos utilizar no receptor um filtro passa-baixas para eliminar o ruído que não se sobrepõe espectralmente ao sinal desejado. Assim, após o filtro passa-baixas podemos escrever que: y(t) = a i q (t t d it s ) + n(t) (.6) i= onde t d representa o atraso do canal, q (t) representa o novo formato do pulso na saída do filtro e n(t) representa o ruído aditivo filtrado. A recuperação do trem digital a partir de y(t) é tarefa do bloco denominado regenerador, que necessita de um sinal de sincronismo, também denominado de relógio ( clock ), que identifica os instantes de amostragem, geralmente no centro do pulso, dados por: t I = IT s + t d (.7) Vamos examinar y(t) nos instantes de amostragem t = t I, supondo que q (0) = 1, então y(t I ) = a I + i I a i q (IT s it s ) + n(t I ) (.8) onde o primeiro termo representa o pulso central, o segundo termo representa a interferência dos pulsos vizinhos no pulso central, conhecida como interferência inter-simbólica (IIS) e o terceiro termo representa a contaminação do ruído no sinal. A combinação da IIS e do ruído poderá resultar em erros. Portanto, tanto o ruído, quanto a IIS são indesejáveis. Um modo de se diminuir a potência do ruído na saída do filtro é estreitando a banda de passagem do filtro. No entanto, se a banda do filtro se tornar muito estreita, haverá distorção e consequentemente IIS. Diagrama de Olho A Fig..5a apresenta um sinal binário polar distorcido contaminado por ruído. Um meio de se saber se um sinal apresenta IIS é através do que se denomina diagrama de olho. Um diagrama de olho pode ser obtido pela observação de um sinal digital em um osciloscópio, onde o retraço horizontal do osciloscópio é sincronizado com o relógio, conforme mostra a Fig..5b. A Fig..6 ilustra um diagrama de olho binário estilizado. A metade da abertura vertical do diagrama de olho representa a margem contra o ruído. Quanto maior for esta abertura, mais imune será o sinal PAM em relação ao ruído. O borrão superior 6

7 Figura.4: a) Sistema de Transmissão em Banda Base. b) Sinal Recebido e Sinal Recebido Ideal. Figura.5: a) Sinal Binário Polar Recebido. b) Diagrama de Olho. 7

8 e inferior no diagrama representam a IIS. O instante de tempo em que a abertura do diagrama é máxima é denominado instante de amostragem ótimo. Normalmente, o instante de amostragem do relógio possui uma flutuação denominada tremor de fase, ou jitter, em relação ao instante ótimo de amostragem. Assim, é importante que o diagrama de olho tenha uma boa abertura também na horizontal. Figura.6: Diagrama de Olho Binário Estilizado..4 Taxa de Nyquist O limite fundamental da taxa de transmissão sem IIS, é dado pelo teorema de Nyquist 1. Teorema 1 (Nyquist) É possível transmitir símbolos sem IIS a uma taxa de até R s B baud em um canal passa-baixas ideal de banda B. Não é possível transmitir símbolos a uma taxa R s > B livre de IIS. Vamos mostrar a seguir um exemplo como é possível transmitir na taxa máxima, também denominada taxa de Nyquist, sem IIS. Para se transmitir com a taxa de Nyquist, R s = B, livre de IIS precisamos de pulsos com formato dado por: A transformada de Fourier deste formato de pulso é dado por: q(t) = sinc(r s t) (.9) Q(f) = 1 R s ret Rs (f) (.10) Como Q(f) = 0 para f > R s / não há distorção ao se passar este formato de pulso por um canal passa-baixas retangular de banda B, de modo que é possível transmitir e receber pulsos com formato sinc na taxa de Nyquist. Observe ainda que q(t) não é limitado no tempo, mas cruza o 0 nos instantes múltiplos de T s, e desse modo não há IIS. Veremos posteriormente que existem outros formatos de pulso que atingem a taxa de Nyquist sem produzir IIS. Uma observação importante dos pulsos sinc é a sua não-causalidade, pelo fato deles existirem no tempo desde o. Um modo de tornar o pulso sinc causal é através da eliminação de boa parte da cauda esquerda, mantendo ainda a maior parte da energia do pulso, e atrasando este pulso truncado, tal que ele se inicie no instante t = 0. Neste caso, não teremos mais um pulso sinc, mas uma aproximação que pode ser muito boa..4.1 Eficiência Espectral de Sinais PAM Um parâmetro importante de sistemas de transmissão digital é a eficiência espectral, que é definida pela razão entre a taxa de bits e a banda do canal, isto é, 1 Em homenagem ao engenheiro sueco H. Nyquist. E = R b B (.11) 8

9 A eficiência espectral é medida em bits/s/hz. Sistemas com alta eficiência espectral conseguem transmitir um grande número de bits por segundo para cada Hz de banda ocupada e vice-versa. Um sistema que trasmite a uma taxa de R s símbolos por segundo, de acordo com (.4) possui uma taxa de bits equivalente igual a R b = R s log M, onde M é o número de bits transportados por um único símbolo. Assim, de acordo com o Teorema de Nyquist, sistemas de transmissão em banda base têm eficiência espectral dada por: E log M (.1).5 Densidade Espectral de Potência de Sinais Digitais PAM.5.1 Introdução Sinais PAM são sinais aleatórios e assim possuem função de autocorrelação e densidade espectral de potência muito bem definidas. A função de autocorrelação e a densidade espectral de potência forma estudadas no Cap.??. O nosso objetivo a seguir é o de caracterizar a densidade espectral de potência de sinais PAM. Vamos calcular a função de autocorrelação de um sinal PAM e posteriormente a densidade espectral de potência através da aplicação do teorema de Wiener Kinchin. Para isto vamos utilizar um exemplo. Exemplo 3 Considere um sinal digital binário unipolar NRZ com pulsos retangulares, símbolos independentes e que tem amplitudes 0 e A, equiprováveis. A função de autocorrelação é dada por: R X (τ) = x(t)x(t τ) ou seja, vamos tomar duas amostras separadas de um intervalo de tempo τ e obter a média estatística. Como x(t) é um processo aleatório discreto binário, a função de autocorrelação pode ser calculada através de: R X (τ) = 1 x(t 1 )x(t )P [x(t 1 ) = x i, x(t ) = x i ] i=0 onde x(t 1 ) representa a primeira amostra, x(t ) a segunda amostra, P [x(t 1 ), x(t )] a probabilidade conjunta de se observar duas amostras, x 0 = 0 é a amplitude correspondente ao bit 0 e x 1 = A é a amplitude do bit 1. Vamos calcular a função de autocorrelação para alguns valores de τ. Para τ = 0 temos que R X (0) = A = A isto é, a probabilidade da primeira e segunda amostra serem iguais a 0 é igual 1/, enquanto que a probabilidade de ambas amostras serem iguais a A também é igual a 1/. Para o intervalo entre amostras de τ = T b, temos que R X (T b ) = A 4 pois a probabilidade de ambas as amostras serem iguais a A é 1/4. Os outros três casos contribuem com resultado nulo, pois uma das amostras é nula. Um resultado idêntico a este é obtido para τ = it b, onde i é qualquer inteiro diferente de 0. Para o intervalo 0 τ T b temos que a probabilidade conjunta das duas amostras serem iguais a A é inversamente proporcional ao intervalo de tempo τ, e é dada por P (x 1 = A, x = A) = (1 τ T b )/. Assim, R X (τ) = A ( 1 τ ) T b Desse modo, podemos escrever a função de autocorrelação como: onde tri Tb (τ) = 1 τ /T b. R X (τ) = A 4 tri T b (τ) + A 4 9

10 Sabemos que a densidade espectral de potência é obtida a partir da transformada de Fourier da função de autocorrelação, ou seja, G X (f) = A 4 T bsinc (ft b ) + A 4 δ(f) A função densidade espectral de potência apresenta uma parte contínua do tipo sinc (x) e uma parte discreta na forma de um impulso na frequência de 0 Hz..5. Expressão Geral da Densidade Espectral de Potência De modo geral, pode-se mostrar que um sinal PAM com transformada de Fourier do formato do pulso Q(f) e função de autocorrelação de amplitude R A (n), tem densidade espectral de potência dada por: G X (f) = 1 T s Q(f) n= onde a função de autocorrelação de amplitude do sinal PAM é dada por: R A (n)e jπnfts (.13) R A (n) = a i a i+n (.14) Pode-se mostrar para o caso em que os símbolos de um sinal PAM são independentes, que: R A (n) = { µ a + σa n = 0 µ a n 0 (.15) onde µ a e σ a são a média e o desvio padrão da variável aleatória de amplitude de um sinal PAM. Substituindo (.15) em (.13), temos a densidade espectral de potência para o caso em que os símbolos são estatisticamente independentes: G X (f) = σar s Q(f) + µ ars Q(nR s ) δ(f nr s ) (.16) onde utilizamos a fórmula de Poisson, dada por: n= n= e jπnfts = 1 T s n= ) δ (f nts Podemos observar em (.16) que a densidade espectral de potência de um sinal PAM apresenta uma parte contínua e uma parte discreta. A componente contínua é proporcional a Q(f). Por outro lado, a componente discreta possui harmônicas em múltiplos da taxa de símbolos R s, a não ser que µ a = 0 ou Q(f) = 0 para f = nr s. O sinal de relógio pode ser obtido a partir da passagem da primeira harmônica de (.16) por um filtro passa-faixa e posteriormente por um circuito limitador. Exemplo 4 No sentido de se verificar a validade de (.16), considere o mesmo sinal do exemplo anterior, isto é, binário unipolar NRZ com pulsos retangulares, símbolos independentes e que tem amplitudes 0 e A, equiprováveis. A média e o valor quadrático médio da amplitude do sinal digital são dadas por: (.17) µ a = A = A Portanto, a variância da amplitude é dada por a = A = A σ a = a µ a = A 4 O pulso retangular q(t) = ret Tb (t) tem transformada de Fourier Q(f) = T b sinc(ft b ). Substituindo, µ a, σ a e Q(f) em (.16), temos um resultado idêntico ao do exemplo anterior, lembrando que para o caso binário R s = R b. 10

11 .5.3 Potência Média e Energia por Símbolo de Sinais PAM A potência média de um sinal PAM pode ser obtida no tempo ou em frequência. Normalmente, é bem mais fácil de se calcular no tempo, no entanto vamos obtê-la integrando-se (.16) no domínio da frequência. Assim, P X = σar s Q(f) df + µ ars n= Q(nR s ) (.18) No domínio do tempo, processos aleatórios reais e estacionários pelo menos no sentido amplo, tem a sua potência dada por: P X = x (t) (.19) A potência média de um sinal PAM com M níveis de amplitude, a 1, a,, a M, e probabilidades P (a 1 ), P (a ),, P (a M ), com formato de pulso q(t), é dada por: P X = a Ts q (t)dt (.0) T s 0 onde a = M i=1 a i P (a i) é o valor quadrático médio da variável aleatória de amplitude. A energia por símbolo é dada por: Ts E s = P X T s = a q (t)dt (.1) Para o caso de pulsos NRZ retangulares, a potência de sinais PAM pode ser obtida de: Neste caso, a energia por símbolo pode ser calculada por: 0 P X = a (.) E s = T s a (.3) Exemplo 5 Vamos obter no domínio do tempo a potência média do sinal PAM com formato binário unipolar NRZ com pulsos retangulares, símbolos independentes equiprováveis e que tem amplitudes 0 e A. O valor quadrático médio da amplitude é igual a a = A /. Portanto, a potência média deste sinal PAM é dada por P X = a = A Vamos obter no próximo exemplo a densidade espectral de potência de um sinal PAM RZ. Exemplo 6 Considere um sinal PAM binário unipolar RZ-50% com pulsos retangulares dados por q(t) = ret T b (t) e símbolos estatisticamente independentes com amplitudes 0 e A equiprováveis. A transformada de Fourier do pulso é dada por: Q(f) = 1 ( ) f sinc R b R b Já que a fonte gera bits estatisticamente independentes e com mesma probabilidade, então podemos obter o valor médio e o valor quadrático médio, dados por: µ a = A a = A Tal que a variância é dada por σa = A /4. Desse modo, ( ) G X (f) = A f sinc + A 16R b R b n= ( sinc n ) δ(f nr b )

12 A Fig..7 ilustra este espectro. Observe que a parte contínua do espectro tem o dobro da largura em relação ao caso NRZ. Observe a ausência das harmônicas pares, pois nestas frequências Q(nR b ) = 0. A potência média no domínio do tempo pode ser calculada através de: P X = a Tb 0 ret T b (t)dt = A 4 onde usamos que a = A /. Como esperado, a potência de sinais RZ-50% é a metade de sinais NRZ. Figura.7: Densidade Espectral de Potência de um Sinal PAM Unipolar Binário RZ..5.4 Conformação Espectral através de Pré-Codificação Veremos a seguir, que é possível modificar a densidade espectral de um sinal PAM através de uma alteração na estatística da amplitude dos símbolos de um sinal PAM. Manipulando (.13), podemos obter uma expressão alternativa da densidade espectral de potência, dada por: G X (f) = R s Q(f) [R A (0) + n=1 ( R A (n) cos πn f ) ] (.4) R s conhecida como densidade espectral de potência trigonométrica. Alguns canais não permitem a passagem do conteúdo espectral DC, como é o caso de uma linha telefônica. Alguns circuitos realizam acoplamento AC, como é o caso transformadores e capacitores, bloqueando o conteúdo DC. Assim, um dos objetivos da pré-codificação é a redução do conteúdo espectral em torno do 0 Hz, de modo que um sinal PAM possa passar por um circuito com acoplamento AC, ou por um canal que bloqueia o DC, sem distorção. Considere o formato AMI visto na Fig..f. O formato AMI pode ser obtido a partir de um formato unipolar. A cada 0 no formato unipolar, teremos um 0 no formato AMI, enquanto que 1s, produzem pulsos alternados, ora positivos, ora negativos, criando assim um formato pseudo-ternário. Supondo que os bits do formato unipolar sejam equiprováveis, podemos então obter as probabilidades dos símbolos AMI: P (a i = 0) = 1 P (a i = A) = P (a i = A) = 1 4 (.5) 1

13 A autocorrelação de amplitude para n = 0 é dada por: R A (0) = 1 4 A ( A) = 1 A (.6) que é igual ao valor quadrático médio da amplitude. Para n = 1, os únicos casos que fornecem resultado não nulo são os casos em que a primeira amostra corresponde a um pulso positivo e a segunda amostra a um negativo e vice-versa. Portanto, R A (1) = A( A) ( A)A = 1 4 A (.7) isto é, Para n =, os únicos casos diferentes de 0 são os casos em que as duas amostras correspondem a pulsos não nulos, R A () = 1 16 A 1 16 A ( A) 1 16 (A) = 0 (.8) Calculando a função de autocorrelação para outros instantes de tempo, concluímos que R A (n) = 0 para n ; Portanto, usando (.4) temos que a densidade espectral de potência do formato AMI é dada por: [ )] G X (f) = R b Q(f) A 1 cos (π frb ( = R b Q(f) A sin π f ) R b (.9) onde usamos que sin (x) = (1 cos(x))/. A densidade espectral de potência do sinal AMI é mostrada na Fig..8. Observe que esta densidade espectral de potência possui um vazio espectral no entorno do 0 Hz. Existem outros formatos que possuem um vazio espectral no entorno do DC, como é o caso do formato HDBn e do formato Manchester. O formato HDB3 é muito utilizado em telefonia. A regra de codificação é bastante parecida com a do AMI. A diferença é que após três 0s consecutivos uma violação é adicionada. A violação consiste de um pulso com mesma polaridade que o último pulso transmitido. Portanto, as densidades espectrais de potência dos formatos AMI e o HDBn são muito semelhantes..6 Probabilidade de Erro de Bit A partir de agora vamos avaliar o desempenho de sinais PAM em termos da probabilidade de erro de bit..6.1 Formato Binário Unipolar NRZ Considere a transmissão de um sinal PAM binário NRZ unipolar com amplitudes 0 e A, correspondentes aos bits de transmissão 0 e 1, através de um canal que não distorce, nem introduz interferência. O pulso transmitido se dá no intervalo 0 t T b. No canal, o sinal transmitido é atenuado de um fator 0 α 1, assim como existe a adição de ruído gaussiano branco, n(t), com densidade espectral de potência bilateral G N (f) = N 0 /. Portanto na entrada do receptor podemos escrever que: y(t) = αx(t) + n(t) (.30) onde x(t) é o sinal transmitido dado por (.1). Como o ruído tem banda muito maior que a banda do sinal, a melhor estratégia de recepção consiste no uso de um filtro passa-baixas que possa eliminar a maior quantidade de ruído fora da banda do sinal PAM, sem no entanto produzir IIS. Esta estratégia de recepção é mostrada na Fig..9. Na verdade o ruído, seja ele de origem térmica ou balística ( shot ), é sempre adicionado no receptor e nunca no canal. Entretanto, por conveniência assumiremos que o ruído é adicionado no canal. 13

14 Figura.8: Densidade Espectral de Potência do Formato AMI. Figura.9: Receptor Binário em Banda Base. 14

15 Vamos supor que o filtro passa-baixas tem ganho unitário e banda suficiente para permitir a passagem do sinal PAM perfeitamente. Assim, na saída do filtro passa-baixas, vamos amostrar o sinal filtrado no instante de amostragem t 0 e observar que: z(t 0 ) = αa 0 + n(t 0 ) (.31) onde a 0 é a amplitude do pulso transmitido que tem como amplitude 0 ou A e n(t 0 ) representa a amostra do ruído filtrado. O ruído filtrado é dado por n(t) h(t), onde h(t) é a resposta ao impulso do filtro passa-baixa do receptor 3. A partir da amostra z(t 0 ) precisamos decidir quem deve ter sido transmitido, se o pulso 0, ou o pulso A. Uma boa estratégia é comparar a amostra z(t 0 ) com um limiar de decisão L. O ruído aditivo é um processo aleatório de média nula, e portanto a amostra, n(t 0 ), é uma variável aleatória também de média nula. Na maior parte das vezes a amostra n(t 0 ) deverá estar próxima de 0, que é o seu valor médio. Assim, na maior parte das vezes, o ruído não irá perturbar. Desse modo, se z(t 0 ) < L decidiremos pelo bit 0 e se z(t 0 ) > L decidiremos pelo bit 1, isto é, z(t 0 ) < L ˆb = 0 z(t 0 ) > L ˆb = 1 (.3) O que irá acontecer quando a amostra de ruído não estiver próximo de 0? Neste caso, erros poderão ocorrer, tanto quando a amostra estiver acima do limiar, z(t 0 ) > L para o bit 0 transmitido, a 0 = 0, como quando a amostra estiver abaixo do limiar, z(t 0 ) < L para o bit 1 transmitido, a 0 = 1. Para avaliar a probabilidade de erro de bit, precisamos calcular as probabilidades P (z(t 0 ) > L b = 0) e P (z(t 0 ) < L b = 1). Por simplicidade de notação, vamos utilizar a variável aleatória n no lugar de n(t 0 ) e z no lugar de z(t 0 ). A PDF da amostra de ruído, n, é uma gaussiana de média nula e variância σ n, dada por: 1 p N (n) = e n σ n (.33) πσ n onde σ n = P N é a potência do ruído na saída do filtro. Inspecionando (.31) e como n é uma variável aleatória gaussiana, as PDFs de z condicionadas aos bits de transmissão também são gaussianas, conforme mostra a Fig..10. Quando o bit transmitido é 0, a gaussiana tem média nula. Por outro lado, quando o bit transmitido é 1, a gaussiana tem média αa. Ambas gaussianas têm mesma variância, que é a variância do ruído na saída do filtro, σ n. Figura.10: PDFs Condicionais com Limiar de Decisão. Assim, p Z (z b = 0) = p Z (z b = 1) = 1 e z πσ n σ n 1 e (z αa) σn (.34) πσ n 3 Embora estejamos usando uma mesma variável para designar o ruído do canal e o ruído filtrado, a diferença entre ambos é relevante. 15

16 Erros irão ocorrer, quando o bit 0 tiver sido transmitido e a variável de decisão for maior que o limiar, pois a amostra do ruído foi positiva, ou quando o bit 1 tiver sido transmitido e a variável de decisão for menor que o limiar. Portanto, a probabilidade de erro média é dada por: P b = P (b = 0) L L p Z (z b = 0)dz + P (b = 1) p Z (z b = 1)dz (.35) onde P (b = 0) e P (b = 1) são as probabilidades de se transmitir os bits 0 e 1, respectivamente. O limiar ótimo L ot é aquele que minimiza a probabilidade de erro média. Assim, fazendo dp b /dl = 0, temos que: P (b = 0)p Z (L ot b = 0) = P (b = 1)p Z (L ot b = 1) (.36) onde utilizamos a Regra de Leibniz, dada por (??). Supondo que os bits transmitidos sejam equiprováveis, P (b = 0) = P (b = 1) = 1, temos que: p Z (L ot b = 0) = p Z (L ot b = 1) (.37) ou seja, o limiar ótimo corresponde ao ponto em que as PDFs se cruzam. Substituindo (.34) em (.37), temos que no caso em que os bits são equiprováveis o limiar ótimo é dado por: L = αa ou seja, na metade da excursão de 0 a αa. Substituindo (.38) e (.34) em (.35), temos a probabilidade de erro de bit: ( ) αa P b = Q σ n (.38) (.39) onde a função Q(x) corresponde à área da cauda de uma gaussiana de média nula e variância unitária a partir do ponto x, isto é, Q(x) = 1 e λ dλ (.40) π A função Q(x) pode ser obtida a partir da Fig.??, ou calculada através da função erfc(x), definida na maioria dos programas matemáticos. Neste caso, basta usar a transformação dada por (??): Q(x) = 1 erfc ( x ) (.41) x Outro modo de se calcular a função Q(x) é através da aproximação: Q(x) 1 x e para x 3 (.4) πx ou seja, por uma exponencial com expoente x /. Portanto, em (.39) vemos que a probabilidade de erro de bit diminui com o aumento de A, com a diminuição da atenuação do canal (aumento de α) ou ainda com a diminuição da potência do ruído na saída do filtro, σ n. Uma pergunta faz-se necessária aqui. Será que existe um filtro ótimo que minimize a probabilidade de erro de bit, sem introduzir IIS?.6. Filtros Casados Para responder a esta pergunta, considere o receptor da Fig..9. Seja a transmissão de um sinal PAM unipolar NRZ com amplitude A e formato de pulso q(t) no intervalo 0 t T b. Vamos supor que o canal possui um fator de atenuação α e um atraso t d 4. Assim, o sinal recebido é dado por: 4 Todo canal produz atraso no tempo, pois a velocidade de propagação é finita. y(t) = αaq(t t d ) + n(t) (.43) 16

17 A transformada de Fourier de y(t) na ausência de ruído é dada por, Y (f) = αaq(f)e jπft d (.44) Após passar por um filtro no receptor com função de transferência H(f), teremos no instante de amostragem t 0 = t d + T b, a seguinte amplitude recebida: A r = F 1 [H(f)Y (f)] = αa H(f)Q(f)e jπft b df (.45) Considere um ruído aditivo não necessariamente branco. Assim, a potência do ruído na saída do filtro é dada por: σ n = H(f) G N (f)df (.46) Queremos maximizar a seguinte relação: ) = α A H(f)Q(f)ejπfT b df σ n 4 H(f) G N (f)df ( Ar (.47) Na maximização de (.47), vamos utilizar a desigualdade de Schwartz no domínio da frequência, dada por (??) e que será reproduzida novamente: X(f)Y (f)df Y (f) df (.48) X(f) df A desigualdade de Schwartz torna-se uma igualdade, quando X(f) for proporcional a Y (f). Comparando o lado esquerdo da desigualdade de Schwartz com o lado direito de (.47), podemos obter as funções X(f) e Y (f): X(f) = H(f) G N (f) Y (f) = αa Q(f) GN (f) ejπft b (.49) Se X(f) for proporcional a Y (f) então: onde por conveniência escolhemos a constante de proporcionalidade K /αa. Então a função de transferência do filtro ótimo é dada por: X(f) = K Y (f) (.50) αa H(f) = K Q (f) G N (f) e jπft b (.51) onde K é uma constante arbitrária. Assim, o filtro ótimo enfatiza as frequências em que o espectro do sinal é forte e desenfatiza as frequências onde a densidade espectral de potência do ruído é forte. Para o caso em que o ruído é branco com densidade espectral de potência bilateral plana N 0 /, a resposta ao impulso do filtro ótimo é dada por: h(t) = F 1 [ K N 0 Q (f)e jπft b ] = Kq(T b t) (.5) onde K = K /N 0. Como a resposta ao impulso do filtro ótimo é proporcional ao formato do pulso recebido, este filtro ótimo é denominado casado ao sinal recebido. 17

18 .6.3 Desempenho de Filtros Casados Substituindo (.49) no lado direito de (.48) e depois em (.47), temos o valor máximo de: ( ) Ar σ n Para o caso em que o ruído é branco, temos: ( ) Ar σ n max max = α A 4 = α A N 0 = α A N 0 Q(f) df (.53) G N (f) Q(f) df q (t)dt onde usamos que pulsos com formato q(t) unipolar tem energia por bit dada por: E b = α A = E b N 0 (.54) q (t)dt Assim, a probabilidade de erro de bit para o caso unipolar NRZ com formato de pulso qualquer é dada por: ) P b = Q ( Eb que é mostrada na Fig..11. Observe que o desempenho dado por (.55) depende apenas da relação E b /N 0, embora a energia por bit dependa do formato de pulso q(t). N 0 (.55) Figura.11: Limitante Inferior da Probabilidade de Erro de Bit em Função da Relação E b /N 0 para Formato Binário NRZ. a) Unipolar. b) Bipolar. Observe que neste momento podemos escrever a probabilidade de erro de bit como ( ) Ad P b = Q σ n (.56) 18

19 onde A d é a distância entre as amplitudes na saída do filtro casado para os bits 0 e 1. Para o caso bipolar NRZ, se a amplitude recebida do bit 1 for αa/ e a do bit 0 for αa/, então a distância A d = αa. Portanto, a probabilidade de erro de bit para o caso bipolar é igual a P b = Q(αA/σ n ). Podemos então escrever que a probabilidade de erro de bit para o formato bipolar é dada por: ( ) P b = Q E b (.57) N 0 onde usamos que pulsos com formato q(t) bipolar tem energia por bit dada por: E b = α A 4 q (t)dt A Fig..11 ilustra a probabilidade de erro de bit em função da relação E b /N 0 para o formato bipolar. Observe que a energia por bit para o caso bipolar é a metade do caso unipolar. Isto se deve ao nível DC (valor médio) que é transmitido no caso unipolar, inexistente no caso bipolar e que não contribui para a diminuição da probabilidade de erro de bit. O melhor desempenho do caso bipolar é comprovado pela comparação de (.55) e (.57), de onde tiramos que: E b N 0 bip = E b N 0 unip (.58) mantendo a mesma probabilidade de erro de bit. Observe que a separação entre as curvas é de 3 db. Usando (.57) e (??), temos que a probabilidade de erro de bit para o caso bipolar NRZ pode ser escrita em termos da função erfc(x): ( ) P b = 1 erfc Eb (.59) N 0 Exemplo 7 Determine a probabilidade de erro de um receptor que utiliza filtro casado. Considere uma transmissão binária com formato bipolar e pulso retangular, em que αa = 0, 5 µv, a taxa de bits é de R b = 1 Mb/s e a densidade espectral de potência unilateral do ruído aditivo é igual a N 0 = W/Hz. A energia por bit é igual a E b = α A T b 4 = 6, J A probabilidade de erro de bit é dada por (.57), ou seja, ( ) P b = Q 31, 5 1 ( ) 5, 59 erfc 1, isto é, temos aproximadamente 1 erro a cada cem milhões de bits transmitidos. Se aumentarmos a taxa de bits para Mb/s, teremos então que a energia por bit cai para a metade, e a probabilidade de erro é dada por: ( ) P b = Q 15, 63 3, Toda vez que aumentarmos a taxa de bits, a energia por bit diminui, e desse modo a probabilidade de erro aumenta, e vice-versa. Outra conclusão que podemos obter é ao diminuir a energia por bit pela metade, a taxa de erro sobe várias décadas. 19

20 .6.4 Filtro Correlator Se aplicarmos o sinal dado por (.43) a um filtro casado com resposta ao impulso dada por (.5), então podemos escrever o sinal na saída do filtro como: z(t) = y(t) h(t) = αak td +T b Fazendo o instante de amostragem t = t d + T b, temos que t d q(τ t d )q(τ t + T b )dτ (.60) td +T b z(t b + t d ) = αak q (τ t d )dτ (.61) t d Fazendo K = 1/T b e mudando a variável de integração de τ t d = t, temos z(t b ) = αa T b Tb 0 q (t)dt (.6) O primeiro termo do lado direito de (.6) nos permite uma implementação alternativa do filtro casado denominada filtro correlator, mostrada na Fig..1, que consiste de: z(t b ) = 1 Tb y(t)q(t)dt (.63) T b para t d = 0. Ou seja, consiste em multiplicar o sinal recebido pelo formato do pulso q(t) e integrar no intervalo de um bit. O filtro correlator tem mesmo desempenho que o filtro casado pois foi derivado deste. 0 Figura.1: Filtro Correlator. Exemplo 8 Obtenha a amplitude do sinal, a potência do ruído na saída de um filtro correlator, assim como a probabilidade de erro de bit para um sinal de entrada PAM com formato de pulso retangular NRZ bipolar, com amplitudes A/ e A/. Vamos assumir que no intervalo de tempo 0 t T b um pulso de amplitude A/ é transmitido por um canal de atenuação α. Assim, a amplitude do sinal na saída do correlator é dada por: A r = αa Tb ret T T b (t)dt b 0 = αa Para o caso em que o símbolo transmitido é A/, a amplitude na saída do correlator será αa/. A diferença entre as amostras na saída do correlator é A d = αa. A amostra de ruído na saída do correlator, quando na entrada é colocado ruído aditivo gaussiano branco, é dada por: n(t b ) = 1 Tb n(t)ret Tb (t)dt T b 0 0

21 Como o ruído é branco, a função de autocorrelação do ruído é n(t)n(t ) = N0 δ(t t ). A média da amostra de ruído é igual a zero, n(t b ) = 0. Assim a variância da amostra de ruído é dada por: σ n = n (T b ) = 1 = 1 T b = N 0 T b Tb Tb Tb Como E b = α A T b /4, portanto a fração: 0 0 Tb Tb 0 0 N 0 δ(t t )dtdt n(t)n(t )ret Tb (t)ret Tb (t )dtdt ( Ad ) = α A T b σ n N 0 = E b N 0 o que mostra que o filtro correlator tem desempenho idêntico ao do filtro casado, dado por (.57)..6.5 Probabilidade de Erro para Sinais M-PAM Considere um sinal digital PAM com formato polar e M amplitudes. O sinal recebido no intervalo 0 t T s é dado por: y(t) = αa 0 q(t) + n(t) (.64) onde q(t) é o formato de pulso, a variável aleatória de amplitude assume os seguintes valores a 0 = ±A/, ±3A/,, ±(M 1)A/. A energia por símbolo de um sinal PAM com M amplitudes pode ser calculada de (.1). Para símbolos equiprováveis e formato de pulso retangular NRZ, temos que: M E s = T s α a 0P (a 0 ) i=1 = (M 1) α A T s (.65) 1 onde usamos que a 0 = (i M 1)A/ para i = 1,,, M e M i=1 (i M 1) = M(M 1)/3. O cálculo da probabilidade de erro de símbolo de sinais M-PAM pode ser simplificado, se observarmos que a separação entre amplitudes adjacentes recebidas é αa, como no caso binário e que existem basicamente dois tipos de símbolos: o par de símbolos αa(m 1)/ e αa(m 1)/ que são externos e todos os outros M que são internos. A diferença entre estes casos é que os símbolos internos têm dois vizinhos, enquanto que os externos têm apenas um. Enquanto os ( αa σ n ), os símbolos internos têm o dobro da símbolos externos têm probabilidade de erro igual ao caso binário, ou seja, Q ( αa probabilidade de erro, isto é, Q σ n ), pois têm dois vizinhos. Para o caso M-PAM existem M 1 limiares de decisão. Para o caso em que os símbolos são equiprováveis, os limiares ótimos estão em 0, ±αa, ±αa,, (M )αa/. Para o caso em que o ruído aditivo é gaussiano, a Fig..13 apresenta as PDFs condicionais. Assim, a probabilidade de erro por símbolo é dada por: P s = ( ) αa M Q + M ( ) αa σ n M Q σ n = M 1 ( ) αa M Q (.66) σ n onde usamos que a probabilidade de um símbolo externo é igual a /M e a probabilidade de um símbolo interno é dada por (M )/M. 1

22 Figura.13: PDFs Condicionais. Usando o mesmo procedimento desenvolvido para o caso binário, temos que a potência do ruído na saída do filtro casado é dada por: σ n = N 0 T s (.67) Substituindo (.65) e (.67) em (.66), temos: ( P s = M 1 6 M Q M 1 E s N 0 ) (.68) O nosso objetivo a seguir é determinar a probabilidade de erro de bit para o caso M-PAM em função da relação E b /N 0. Para isto, como cada símbolo transporta log M bits de acordo com (.4), então podemos escrever que E s = E b log M (.69) Por outro lado, assumindo codificação de Gray, então para cada símbolo errado temos aproximadamente apenas um bit errado, e como cada símbolo transporta log M bits, temos que: Substituindo (.69) e (.70) em (.68), temos que: P b P s log M ( P b M 1 6 M log M Q log M M 1 E b N 0 ) (.70) (.71) A Fig..14 ilustra a probabilidade de erro de bit em função de E b /N 0 para sinais PAM com, 4, 8, 16 e 3 símbolos. Podemos concluir que toda vez que dobramos o número de símbolos, precisamos pagar uma penalidade de aproximadamente 6 db em E b /N 0. Embora esta expressão tenha sido obtida para pulsos retangulares, ela é válida para qualquer formato de pulso. Observe que cada vez que M dobra, para que a probabilidade de erro por bit seja mantida constante, a relação E b /N 0 deve crescer aproximadamente de 4 vezes, isto é, de 6 db. Embora com o aumento de M o desempenho piora, é importante ressaltar que a eficiência espectral dada por (.1) melhora. E é por este motivo, que um sinal M-PAM seria utilizado.

23 Figura.14: Probabilidade de Erro de Bit em Função de E b /N 0 para Sinais M-PAM. M =, 4, 8, 16 e 3. 3

24 .7 Sinais PAM em Canais Limitados em Faixa.7.1 Pulsos de Nyquist Em canais limitados em faixa não podemos usar pulsos com grande largura espectral como é o caso de pulsos retangulares, pois os mesmos serão distorcidos pelo canal, o que produzirá IIS. Pulsos retangulares podem ser utilizados em meios confinados, como é o caso de fibras ópticas, cabos coaxiais, etc, desde que não haja multiplexação nestes meios. Em canais de rádio, como o espectro é o bem mais valioso, outros tipos de pulsos são utilizados. Vimos anteriormente que um pulso q(t) não provoca IIS se: q(t) = 0 para t = ±T s, ±T s, (.7) A família de pulsos denominada cosseno-levantado ( Raised-Cosine ) satisfaz a taxa de Nyquist e permite a transmissão sem IIS. Os pulsos cosseno-levantado são dados por: q(t) = cos(πβr st) 1 (βr s t) sinc(r st) (.73) onde 0 β 1 é um parâmetro desta classe de pulsos denominado roll-off. Para β = 0, temos que q(t) = sinc(r s t), ou seja, pulsos sinc são um caso particular da família cosseno-levantado. A transformada de Fourier de q(t) é igual a: 1 R s f < Rs (1 β) 1 Q(f) = R s cos { π βr s [ f Rs (1 β)]} R s (1 β) < f < Rs (1 + β) 0 f > Rs (1 + β) As Fig..15 e Fig..16 apresentam o formato do pulso q(t) e o espectro Q(f) para β = 0, 0, 5 e 1. Observe que todos os pulsos não apresentam IIS. Observe ainda que os pulsos com alto roll-off apresentam um rápido decaimento com o tempo, diferentemente de pulsos com baixo roll-off. Por outro lado, Q(f) é sempre limitado em banda, quanto maior o roll-off, maior a banda. (.74).8 Equalização Adaptativa Na presença de IIS um equalizador deve ser utilizado. Existem diversos tipos de equalizadores. Dentre os lineares, é possível citar o algoritmo ZF ( Zero-Forcing ), o algoritmo LMS ( Least Minimum Square ) que minimiza o erro quadrático médio, etc. Vamos ilustrar a seguir o funcionamento do algoritmo ZF. Considere um equalizador transversal com N + 1 derivações como aquele mostrado na Fig..17. Na entrada deste equalizador é colocado um formato de pulso q que apresenta IIS. Assim, na saída do equalizador temos que: q(t) = N n= N c(n)q (t nt s ) (.75) Vamos amostrar o pulso q(t) nos instantes t = kt s para k = 0, ±1, ±,, ±N. Portanto, q(kt s ) = N n= N c(n)q (kt s nt s ) (.76) Por simplicidade de notação vamos mudar a notação de q(kt s ) = q k, q (kt s nt s ) = q k n e c(n) = c n. O objetivo do equalizador é eliminar a IIS nas N + 1 amostras, portanto: q k = { 1 k = 0 0 k = ±1, ±,, ±N (.77) 4

25 Figura.15: Pulsos Cosseno-Levantado para R s = 1, para β = 0, β = 0.5 e β = 1. 5

26 Figura.16: Espectro de Pulsos Cosseno-Levantado para R s = 1, para β = 0, β = 0.5 e β = 1. Figura.17: Filtro Transversal. 6

27 Combinando (.76) e (.77) em forma matricial, temos que: q 0 q 1 q N q 1 q 0 q N+1... q N 1 q N q N 1 q N q N 1 q N q N+1 q N q N+1... q N 1 q N q 1 q N q N 1 q 0 c N c N+1 Ao se resolver este sistema de N +1 equações, iremos determinar os N +1 coeficientes do filtro transversal. Esta é a fase de treinamento de um equalizador adaptativo em que baseado em medidas do pulso distorcido q (t) é possível determinar os coeficientes do filtro transversal. Após ter determinado os coeficientes, estes serão utilizados na eliminação da IIS, pelo menos em N + 1 instantes de tempo. O equalizador adaptativo é bastante útil em canais cuja função de transferência é variante no tempo, como é o caso das linhas telefônicas e de canais de rádio. Exemplo 9 Seja o pulso q (t), mostrado na Fig..18, que apresenta as seguintes amostras não-nulas: q = 0.1, q 1 = 0., q 0 = 1.1, q 1 = 0.3, q = 0.1. Resolvendo o sistema de equações: c 1 0 c c 1 0 temos que c 1 = 0, 158, c 0 = 0, 999, c 1 = 0, 58. O pulso equalizado possui as seguintes amostras: q 3 = 0, 016, q = 0, 068, q 1 = 0, q 0 = 1, q 1 = 0, q = 0, 0, q 3 = 0, 06. A Fig..18 apresenta uma nítida diferença entre o pulso não-equalizado e o pulso equalizado.. c 1 c 0 c 1. c N 1 c N (.78) Figura.18: Pulso Não-Equalizado e Pulso Equalizado..9 Desempenho de Sinais PAM em Canais com Interferência A seguir, vamos examinar o desempenho de um sinal PAM binário na presença de interferência. A interferência considerada é do tipo co-canal, que afeta as comunicações celulares em fio, ou seja, vamos supor a existência de um ou mais interferentes que também transmite um sinal PAM binário. 7

28 Vamos considerar inicialmente apenas um interferente. Considere o sinal recebido: y(t) = αaa 0,0 q(t it b ) + δαaa 0,1 q(t it b ) + n(t) (.79) onde α é a atenuação do canal, A é a amplitude transmitida do sinal desejado e da interferência, a 0,0 é a amplitude transmitida no sinal desejado, a 0,1 é a amplitude transmitida pelo interferente que assumem valores ±1 com igual probabilidade, q(t) é o formato do pulso, δ é um parâmetro que nos irá permitir variar a relação sinal-interferência e n(t) é o ruído aditivo gaussiano branco. Vamos supor que o sinal e a interferência são síncronos. O caso síncrono é mais simples de se analisar e pode-se mostrar que o mesmo apresenta pior desempenho em relação ao caso assíncrono. Vamos assumir que o pulso q(t) é retangular com duração T b. A potência do sinal desejado é α A, enquanto que a potência da interferência é igual a δ α A. Assim, a relação sinal-interferência é dada por: ou seja, a partir do parâmetro δ podemos obter a relação S/I. A amostra na saída do filtro casado é dada por: S I = 1 δ (.80) z = αaa 0,0 + δαaa 0,1 + n (.81) onde n é a amostra do ruído na saída do filtro casado. De (.81) podemos escrever que: ( ) ( ) P b = 1 Q E b (1 + δ) N + 1 Q E b (1 δ) 0 N 0 (.8) onde E b /N 0 é a relação entre a energia por bit e a densidade espectral de potência unilateral do ruído branco. Para pulsos retangulares a energia por bit é igual a E b = α A T b. Para o caso de dois interferentes de mesma potência, temos que: z = αaa 0,0 + 1 δαaa 0,k + n (.83) onde o fator de 1/ tem como objetivo manter a potência de interferência constante. É fácil mostrar para este caso, que a relação sinal-interferência é também dada por (.80). A probabilidade de erro para o caso de dois interferentes é dada por: ( ) P b = 1 Q E b N Q k=0 E b N 0 k=1 ( 1 ) δ Q E b N 0 ( 1 + ) δ (.84) De modo geral, para K interferentes podemos escrever que: ( ) K K k P b = K Q E [ b 1 K k ] δ (.85) N 0 K A Fig..19 apresenta a taxa de erro em função da relação E b /N 0, para 0, 1,, 4, 8 e interferentes. Observe que embora o número de interferentes varie, a relação sinal-interferência é mantida igual a S/I = 10 db. Quanto maior o número de interferentes, maior a degradação na taxa de erro de bit. Com um número infinito de interferentes, a interferência torna-se gaussiana e neste caso podemos escrever que: ( ) P b = Q E b N 0 + I 0 onde I 0 é a densidade espectral da interferência. Para a modulação -PAM, a relação E b /I 0 pode ser escrita em termos da relação sinal-interferência: (.86) E b I 0 = S I (.87) 8

29 Figura.19: Taxa de Erro de Bit em Função da Relação E b /N 0 para 0, 1,, 4, 8 e Interferentes. S/I = 10 db. pois S = E b /T b e I = I 0 R b /, pois R b / é a banda. Deste modo, a probabilidade de erro de bit para um número infinito de interferentes é dada por: ( ) 1 P b = Q ( E b N 0 ) 1 + ( S I ) 1 (.88) Observe que para um número infinito de interferentes, mesmo quando a relação E b /N 0 tende a infinito, a taxa de erro de bit não decresce. Para este caso, o patamar da taxa de erro de bit é dado por: ( ) S P b = Q (.89) I que para o caso da Fig..19 em que S/I = 10 db, a probabilidade de patamar é igual a P b = 7, Extração de Sincronismo de Símbolo no Receptor A Fig..0 apresenta um sistema full-duplex síncrono, no qual o sinal de sincronismo como de costume não é enviado pelo canal. De fato, o sinal de sincronismo, tem que ser extraído no receptor, para que o mesmo trabalhe sincronizado ao transmissor. O relógio é quem determina o instante de amostragem na saída do filtro casado. A Fig..1 apresenta um receptor com o extrator de relógio. Vamos apresentar a seguir dois circuitos de extração de relógio. O primeiro circuito é denominado early-late (adiantado-atrasado) e é apresentado na Fig... Observe que este circuito de extração utiliza um PLL (veja Fig.??), na forma de um VCO, de um comparador de fase e de um filtro. Este circuito colhe duas amostras, uma antes e a outra depois do instante ótimo de amostragem. Se as duas amostras forem iguais, o PLL mantém o instante ótimo de amostragem. Se a amostra anterior for maior que a posterior é porque o instante de amostragem está atrasado em relação ao instante ótimo. Neste caso, uma tensão positiva é entregue ao VCO, que produz um aumento instantâneo da frequência, antecipando o instante de amostragem. Se a amostra anterior for menor que a posterior é porque o instante de amostragem está adiantado em relação ao instante ótimo. Neste caso, uma tensão negativa é entregue ao VCO, que produz uma diminuição instantânea da frequência, atrasando o instante de amostragem. 9

30 Figura.0: Extração de Sincronismo no Receptor de um Sistema Síncrono. Figura.1: Receptor com Extração de Relógio. 30

31 Figura.: Circuito de Extração de Relógio Early-Late. 31

32 Um segundo circuito que permite a extração do relógio é apresentado na Fig..3. Um circuito detector de cruzamento de zeros, realizado por um circuito monoestável, produz pulsos z(t) cuja duração é igual à metade do intervalo de um bit. Se o relógio estiver com fase correta, o sinal na saída do multiplicador (detector de fase) terá área nula, indicando ao VCO para permanecer naquela posição. Figura.3: Circuito de Extração de Relógio de Cruzamento de Zeros..11 Leitura Adicional Material de estudo adicional sobre transmissão em banda-base pode ser encontrado em [?], [?], [?]. Leitura adicional sobre desempenho de sinais PAM na presença de interferência pode ser encontrada em [?]..1 Rotinas de Simulação.1.1 Modulação -PAM Vamos apresentar a seguir, programa que permite realizar a simulação da modulação -PAM em um canal AWGN. A modulação -PAM tem amplitudes A e A, associadas aos bit 0 e 1, respectivamente. Usando que a energia por bit é dada por E b = A T b e que a potência do ruído é igual a σ = N 0 R b /, pode-se mostrar que o desvio padrão do ruído aditivo é dado por σ = 1 γ b, para A = 1. clc clear nn=1000; for gbdb=0:7; gb=10.^(gbdb./10); sig=sqrt(1/./gb); e=0; cont=0; while e<100 b=*round(rand(1:nn))-1; n=sig*rand(1:nn, normal ); 3

1 Transmissão digital em banda base

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