EA722-Laboratório de Controle e Servomecanismos Notas de Aula: Prof. Paulo Valente. Introdução aos Sistemas de Controle

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1 EA722-Laboratório de Controle e Servomecanismos Notas de Aula: Prof. Paulo Valente Introdução aos Sistemas de Controle Os objetivos destas notas de aula são discutir aspectos básicos relacionados ao controle de servomecanismos e evidenciar as vantagens da realimentação em implementações práticas de sistemas de controle. Representação de sistemas através de funções de transferência, sistemas em malha aberta, sistemas em malha fechada, estabilidade e sensibilidade de sistemas dinâmicos e projeto de controladores simples a partir das características da resposta ao degrau de sistemas de 2a. ordem são alguns dos principais temas tratados. 1 Funções de transferência O uso de funções de transferência é intrínseco ao estudo de sistemas dinâmicos representados na forma entrada-saída. S eja um sistema físico modelado de acordo com a equação diferencial linear a coeficientes constantes - sistema linear invariante no tempo, ouslit -deordemn, d n y(t) dt n + a n 1 d n 1 y(t) dt n a 0 y(t) = d m u(t) = c m dt m + c d m 1 u(t) m 1 dt m c 0 u(t), (1) onde u(t) representa uma entrada independente - variável de controle -ey(t) a variável objeto de estudo - variável de saída. A partir do conhecimento das condições iniciais do sistema e da entrada u(t), o comportamento de y(t) podeserdeterminado resolvendo-se (1). A transformada de Laplace pode ser usada para resolver (1), mas sua importânciaparaaárea de sistemas de controle está ligadaaoconceito de função de transferência. Tomando-se a transformada de Laplace de (1) com condições iniciais nulas obtém-se, após simplificações, (s n + a n 1 s n a 0 )Y (s) =(c m s m + c m 1 s m c 0 )U(s), onde s = σ + jω denota a frequência complexa. Define-se a razão entre a saída Y (s) e a entrada U(s) como a função de transferência do sistema modelado pela equação diferencial (1): G(s) = Y (s) U(s) = c ms m + c m 1 s m c 0 s n + a n 1 s n 1. (2) + + a 0 A função de transferência (2) encontra-se na forma expandida. Outras representações úteisemsistemasdecontrolesão a forma compacta 1

2 G(s) = Y (s) U(s) = kn(s) D(s), onde k éoganho da função e N(s) ed(s) são polinômios mônicos (coeficientes de maior grau iguais a 1), e a forma fatorada ou forma de zeros e pólos (raízes de N(s) e D(s), respectivamente) G(s) = Y (s) U(s) = k (s z 1)(s z 2 ) (s z m ) (s p 1 )(s p 2 ) (s p n ), onde z 1,z 2,...,z m e p 1,p 2,...,p n são os zeros e pólos de G(s), isto é, as raízes de N(s) ed(s), respectivamente. A função de transferência G(s) caracteriza completamente o sistema dinâmico, no sentido de que a partir de (2) pode-se chegar a (1) facilmente. A função de transferência é dependente apenas das características próprias do sistema e não da entrada ao qual está submetido. Éclaroqueasaída do sistema depende da entrada: para qualquer entrada u(t) que possua transformada de Laplace, a transformada da saída será Y (s) =G(s)U(s), e a anti-transformada de Y (s) fornecerá y(t). A partir de G(s) pode-se estudar apenas o comportamento entrada-saída do sistema. A descrição interna do sistema torna-se inacessível quando o sistema é representado pela sua função de transferência. Exemplo Circuito RLC série. O comportamento de um circuito RLC série não-autônomo é regido pelas equações diferenciais de 1a. ordem L di(t) + Ri(t)+v(t) =u(t), i(0) = i 0, dt C dv(t) = i(t), v(0) = v 0, dt onde i(t) é a corrente que circula no circuito, v(t) éatensão no capacitor e u(t) éuma fonte de tensão independente (controle) em série com o circuito (sistema). Diferenciando-se a segunda equação em relação ao tempo, pode-se evidenciar o comportamento da tensão no capacitor através da equação diferencial de 2a. ordem d 2 v(t) dt 2 + R L dv(t) dt + 1 LC v(t) = 1 u(t). (3) LC Definindo-se a saída do circuito como a tensão no capacitor, isto é, y(t) = v(t), a função de transferência do sistema na forma expandida será G(s) = Y (s) U(s) = c 0, (4) s 2 + a 1 s + a 0 onde a 0 = c 0 =1/(LC) ea 1 = R/L. Na forma compacta, k =1, N(s) =c 0 e D(s) = s 2 + a 1 s + a 0 e na forma de zeros e pólos, k = c 0,não existem zeros e os pólos são as raízes 2

3 de D(s). Observe que G(s) descreve apenas o que ocorre entre u(t) (entrada) e a tensão no capacitor (saída). A descrição interna do circuito (corrente i(t)) torna-se inacessível. Diz-se que uma função de transferência G(s) = kn(s)/d(s) é própria se o grau de N(s) é menor ou igual do que o grau de D(s), isto é, se m n. Uma função G(s) é estritamente própria se m<n. Qualquer sistema cuja saída não responda instantâneamente a uma variação na sua entrada pode ser modelado por uma função de transferência estritamente própria. Componentes elétricos presentes em alguns sistemas reagem rapidamente à entrada e podem ser modelados por funções de transferência próprias (m = n). Funções de transferência imprópias (m > n) não modelam sistemas fisicamente realizáveis. 2 Diagramas de blocos Diagramas de blocos são descrições pictóricas de funções de transferência. Um sistema dinâmico mais complexo pode ser modelado através de funções de transferência que descrevam subsistemas: a saída de um subsistema serve de entrada para outro subsistema. Com o auxílio de um diagramade blocos, pode-se visualizarrapidamente como diferentes subsistemas são interligados para representar um sistema mais geral. Exemplo Motor DC controlado por armadura. O diagrama de blocos deste sistema eletromecânico clássico (Ogata, pp. representado na figura abaixo ) é U + 1 I a T 1 k T Ls + R Js 2 + Bs S. Elétrico S. Mecânico Y =Θ E c k v s Fig 1.1: Diagrama de blocos do motor DC. A partir do diagrama da figura 1.1, sabe-se que a tensão (variável) de entrada do motor, U(s), sofre inicialmente uma queda proporcional à velocidade de rotação do motor (k v sθ(s), força contra-eletromotriz). O subsistema elétrico é composto por um circuito RL série, cuja entrada é a diferença U(s) E c (s) ecujasaída é a corrente de armadura I(s). O torque produzido é proporcional à corrente de armadura (T (s) =k T I(s)) e representa a entrada do subsistema mecânico composto por momento de inércia e atrito viscoso equivalentes (motor e carga), que por sua vez tem como saída o deslocamento angular do eixo do motor, Θ(s), definido como variável de saída do sistema eletromecânico. (Observe que a realimentação de velocidade presente no diagrama da figura 1.1 faz parte do modelo do motor e não é 3

4 utilizada para definir U(s). O conceito de realimentação em sistemas de controle está ligado à definição de U(s) a partir de medidas de variáveis presentes no sistema.) Um diagrama de blocos representa informações transmitidas num único sentido, isto é, a saída de um bloco responde às variações produzidas na sua entrada, mas variações na saídadobloconão afetam sua entrada pelo caminho inverso. Diagramas de blocos podem ser manipulados da mesma forma com que se manipulam equações algébricas. Para obter a função de transferência entre duas variáveis quaisquer do diagrama, eliminam-se sucessivamente todas as demais variáveis presentes no diagrama. As simplificações mais frequentes estão ilustradas na figura 1.2. U G 1 X Y U G 2 G 1 G 2 Y U + G 1 Y U G 1 1 ± G 1 G 2 Y G 2 Fig 1.2: Reduções de blocos em série e paralelo. Exemplo Função de transferência do motor DC. A partir das equivalências da figura 1.2, pode-se obter reduções do diagrama de blocos da figura figuras 1.3 e 1.4, a seguir - até se chegar a função de transferência do motor DC controlado por armadura. U + k T (Js 2 + Bs)(Ls + R) Y k v s Fig 1.3: Redução dos blocos em série. 4

5 U k T JLs 3 +(LB + RJ)s 2 +(RB + k v k T )s Y Fig 1.4: Função de transferência do motor DC. Observe que a função de transferência obtida não permite uma análise das variáveis internas do motor. 3 Sistemas de controle em malha fechada Sistemas dinâmicos como o representado na figura 1.1 são sistemas em malha aberta: nenhumainformação a respeito de variáveis do sistema é utilizada para definir a variável de entrada. Um sistema de controle envolve uma planta - função de transferência do sistema a controlar - representada genericamente por G p (s), e a função de transferência de um tipo especial de sistema, chamado de controlador, G c (s), geralmente implementado através de componentes eletrônicos. Um sistema de controle envolve também a definição da arquitetura de controle, isto é, da maneira como controlador e planta estão interligados. Na maioria das aplicações de sistemas de controle, o controlador está em série com a planta, na forma indicada na figura 1.5. R U Y G c (s) G p (s) Fig 1.5: Conecção série do controlador. Na conecção série, a saída do controlador G c (s)éaentradadaplantag p (s). Na figura 1.5, R(s) representa a transformada de Laplace de uma entrada de referência (degrau, rampa, parábola, senóide,... ). Deve-se então projetar um controlador, isto é, obter a função de transferência G c (s) de forma que, por exemplo, a saída Y (s) siga a referência especificada. Ao se formular o problema desta maneira, explicíta-se que o objetivo do sistema de controle é obter um comportamento servo da saída da planta em relação à entrada de referência. O termo servomecanismo deriva desta propriedade. Exemplo Controle de temperatura. A relação entre a temperatura de um fluído que circula num tanque para aquecimento termicamente isolado e a taxa de calor fornecida ao tanque através de um sistema de aquecimento pode ser modelada pela função de transferência de primeira ordem (Ogata, pp ) 5

6 G p (s) = Y (s) U(s) = k (τs+1), (o C/kcal/seg) onde k e τ são o ganho e a constante de tempo do sistema, que dependem das dimensões físicas do tanque e de propriedades térmicas do fluído.a resposta do sistema a um degrau unitário é Y (s) = k 1 (τs+1) s, e o valor de regime da temperatura do tanque obtida através do Teorema do Valor Final (Ogata, p. 29) é y( ) = lim t y(t) = lim s 0 sy (s) =k. ( o C) A resposta temporal típica da saída do sistema é ilustrada na figura 1.6 (curva tracejada). y(t) T r k 0 t Fig 1.6: Resposta ao degrau do tanque. Suponha que se deseja operar o tanque a uma temperatura final T r. A forma mais simples para conseguir y( ) =T r éprojetarumcontrolador proporcional G c (s) =k p, onde k p éoganho proporcional do controlador, em série com G p (s), para fazer com que a saída da planta siga o degrau R(s) =T r /s. Asaída da planta será Y (s) =G c (s)g p (s)r(s) = k pk T r (τs+1) s, e y( ) =T r se k p =1/k. A resposta obtida com o controlador proporcional seria como representada pela curva cheia da figura 1.6. O procedimento adotado no exemplo anterior para obter o comportamento servo da planta pode ser estendido da seguinte forma: determina-se G c (s) tal que a função de transferência entre Y (s) e R(s) possua ganho DC (isto é, ganho em s = 0) unitário.nocasodaconecção em série da figura 1.5, G c (0)G p (0) = 1. A estrutura de controle descrita na figura 1.5 é do tipo malha aberta. A entrada de controle é obtida sem medidas da saída da planta, embora em geral dependa do modelo da planta. No Exemplo 1.4, o ganho do controlador depende do ganho da 6

7 planta (k p =1/k), e um dos problemas com estruturas em malha aberta fica bem caracterizado: se por alguma razão ocorrerem variações em parâmetros do tanque (planta) gerando um ganho k diferente de k, então k p k =(1/k)k 1,easaída não mais seguirá a entrada. Este e vários outros problemas ligados ao estudo de sistemas de controle podem ser contornados através da realimentação da variável de saída - sistema em malha fechada - representada na figura 1.7 a seguir. R + E U Y G c (s) G p (s) Fig 1.7: Sistema em malha fechada. Na figura 1.7 adota-se uma realimentação unitária da variável de saída. Representações mais detalhadas podem incluir a função de transferência de um sensor paraavariável de saída. Como sensores são normalmente construídos com componentes eletrônicos, a ausência de elementos dinâmicos na realimentação pode ser justificada em muitas situações práticas. De acordo com a figura 1.7, a entrada da planta (saída do controlador) é função do erro entre a referência a saída da planta: U(s) =G c (s)e(s) =G c (s)(r(s) Y (s)). Esta propriedade possui implicações importantes. 4 Efeitos da realimentação Existem inúmeras vantagens no emprego de sistemas de controle realimentados. As principais são: 1. Redução de sensibilidade aos parâmetros da planta; 2. Redução de sensibilidade a perturbações na saída; 3. Controle da largura de banda do sistema; 4. Estabilização de sistemas instáveis; 5. Controle da resposta temporal do sistema. 4.1 Redução de sensibilidade aos parâmetros da planta Para efeito de exposição, considere as implementações em malha aberta e malha fechada das figuras 1.5 e 1.7. Por questões de simplicidade, suponha que G c (s) e G p (s) são relativamente independentes da frequência e podem ser aproximados por ganhos positivos. Para estabelecer uma analogia com o caso geral (dependente da frequência), os ganhos serão representados por G c e G p, respectivamente. As funções de transferência em malha aberta e em malha fechada são 7

8 G a (s) =G c (s)g p (s) =G c G p = G a G f (s) = G c(s)g p (s) 1+G c (s)g p (s) = G cg p 1+G c G p = G f AquantidadeG f representa o ganho de malha fechada do sistema. Assuma que o ganho do controlador assume valores grandes. Neste caso, ecomog c é muito grande, G f = G p (1/G c )+G p, G f 1, e o ganho de malha fechada torna-se insensível aos parâmetros da planta (no limite, à planta!). Para reduzir sensibilidade àvariação de parâmetros em malha fechada, deve-se escolher um ganho para o controlador tal que G p (1/G c )oug c G p 1. AquantidadeG c G p é chamada de ganho de malha do sistema. Pode-se chegar à mesma conclusão acima através do conceito de função de sensibilidade. A função de sensibilidade entre quantidades quaisquer Q e α presentes no sistema é definida em termos percentuais como S Q α %variação em Q = %variação em α = dq/q dα/α = α dq Q dα. Se Q = G a (ganho de malha aberta) e α = G p,então S Ga G p = G p G a dg a dg p = 1 G c G c =1, e a sensibilidade do sistema em malha aberta a pequenas variações na planta é máxima e independe do controlador utilizado. Para o sistema em malha fechada, S G f G p = G p G f dg f dg p = 1 1+G c G p. A sensibilidade em malha fechada é menor do que em malha aberta e pode ser reduzida aumentando-se o ganho de malha G c G p. Os resultados e as conclusões desta subseção são válidos no caso mais geral de funções dependentes da frequência. Em particular, a sensibilidade do sistema em malha fechada em relação à planta é dada por S G f (s) G p(s) = 1 1+G c (s)g p (s). Aquantidade1+G c (s)g p (s)é chamada de diferênça de retorno. A sensibilidade do sistema àplantaé minimizada sempre que G c (s)fortalque 1+G c (s)g p (s) 1. 8

9 4.2 Redução de sensibilidade a perturbações na saída Uma segunda vantagem do emprego de sistemas realimentados é a possibilidade de se reduzir a sensibilidade do sistema àdistúrbios que possam atingir a saída. Um exemplo típico é o controle de posição de uma antena. Rajadas de ventos podem perturbar a posição da antena e neste caso o sistema de controle deve ser capaz de minimizar os efeitos das perturbações e restaurar sua posição original. A situação é representada no diagrama de blocos da figura 1.8. R + + E U Y G c (s) G p (s) + P Fig 1.8: Saídasujeitaaperturbações. Na figura 1.8, P (s) representa a transformada de Laplace da perturbação que atinge a saída do sistema. Assuma que um controlador G c (s) foi inicialmente projetado para fornecer o comportamento servo desejado. O controlador G c (s) deve também garantir o comportamento regulador do sistema: em regime, o controlador deve ser capaz de eliminar qualquer desvio da saída em relação àsuaposição de referência. O princípio da superposição pode ser utilizado para expressar Y (s) em termos das entradas independentes R(s) ep (s). Fazendo-se inicialmente P (s) = 0, obtém-se a função de transferência G ry (s), de R(s) paray (s). Em seguida, fazendose R(s) = 0, obtém-se a função de transferência G py (s), de P (s) paray (s), a partir do diagrama de blocos equivalente apresentado na figura 1.9. P + Y G c (s)g p (s) Fig 1.9: Função de transferência G py (s). A saída pode ser expressa então como Y (s) = G ry (s)r(s)+g py (s)p (s) 9

10 = G c (s)g p (s) 1+G c (s)g p (s) R(s)+ 1 1+G c (s)g p (s) P (s), e para que a influência da perturbação P (s) sobre a saída seja pequena, deve-se projetar G c (s) para garantir 1+G c (s)g p (s) 1nafaixadefrequências da perturbação P (s). 4.3 Controle da largura de banda A largura de banda ( bandwidth ) de um sistema é definida em termos da resposta do sistema a entradas senoidais. Assume-se que a curva de magnitude do sistema considerado apresenta valores maiores em frequências mais baixas e valores decrescentes a medida que a frequência aumenta, características de um sistema passa-baixas. Largura de banda é definida como a frequência na qual o valor da curva de magnitude do sistema vale 1/ (cerca de -3 db) do valor assumido em frequências muito baixas (valor DC). Exemplo Sistema de primeira ordem. Considere o sistema em malha fechada da figura 1.7, e assuma que G p (s) = 1 s +1, e que o controlador é do tipo proporcional: G c (s) =k p. A magnitude da planta na frequência s = jω = j1 é G p (j1) = 1 j1+1 = 1 2. Como G p (j1) vale 1/ 2 do valor G p (j0) = 1, a largura de banda da planta é ω bw =1 rd/seg, isto é, a planta responde adequadamente às componentes da entrada com frequências de até 1 rd/seg. A função de malha fechada é G f (s) = G c(s)g p (s) 1+G c (s)g p (s) = k p s +(1+k p ). Em s = j0, tem-se G f (j0) = k p /(1 + k p )eems = j(1 + k p ), a magnitude de G f (s) vale G f (j(1 + k p )) = k p j(1 + k p )+(1+k p ) = k p (1 + k p ) 2. A magnitude em ω =(1+k p )vale1/ 2 do valor DC. Observe que a largura de banda do sistema em malha fechada, ω bw =(1+k p ) rd/seg, pode ser controlada através do ganho k p. A largura de banda aumenta com o aumento do ganho do controlador, o que permite ao sistema em malha fechada responder a frequências mais elevadas em relação ao sistema em malha aberta. Maior largura de banda se traduz em menor tempo de resposta do sistema à entrada, em geral. Entretanto, a realimentação tende a reduzir o ganho DC do sistema (no Exemplo 1.5, de 1 para k p /(1 + k p )), o que pode comprometer outros objetivos envolvidos no projeto do controlador. 10

11 4.4 Estabilização de sistemas instáveis Um dos principais usos da realimentação é a estabilização de sistemas instáveis. O uso da realimentaçãopara estabilizarum sistemainstável éprioritário, no sentido de que todas as demais especificações para o sistema, como rastreamento da referência, baixa sensibilidade àvariação de parâmetros e largura de banda, devem ser atingidas através de um controlador que estabilize o sistema em malha fechada. Em geral, dada uma planta instável G p (s), existem infinitos controladores G c (s) quea estabilizam, mas a estrutura de G c (s) (por exemplo, um controlador proporcional) e as características de G p (s) podemimporsérias limitações às demais especificações. O conceito de estabilidade para sistemas representados através de funções de transferência está associado à característica entrada-saída da representação: um sistema é bibo-estável (do inglês, bounded input-bounded output ) se para qualquer entrada limitada (isto é, se u(t) u max, t 0), a saída do sistema também é limitada (y(t) y max, t 0). Do estudo de estabilidade ligado à representação entrada-saída, sabe-se que um sistema G(s) ébibo-estável se e somente se todos os pólos de G(s) possuem partes reais estritamente negativas. O critério de Routh-Hurwitz para se determinar onúmero de raízes de um polinômio (por exemplo, o denominador de G(s)) com partes reais maiores ou iguais a zero é tradicionalmente adotado como critério de estabilidade. Exemplo Duplo integrador. Muitos sistemas dinâmicos de 2a. ordem com baixo amortecimento podem ser modelados como duplos integradores: G p (s) = k s 2, onde k é um ganho associado ao sistema. Os pólos de G p (s) são p 1 = p 2 =0,ecomoaparte real dos pólos énula,g p (s) não ébibo-estável. De fato, para uma entrada limitada do tipo degrau unitário (u(t) 1, t 0), a saída do sistema seria parabólica, como ilustrado na figura 1.10 (k =1). u x y t t t U 1 s X 1 s Y Fig 1.10: Resposta ao degrau do duplo integrador. Um controlador proporcional não é capaz de estabilizar este tipo de planta, pois com G c (s) =k p,ospólos do sistema em malha fechada G f (s) = k pk s 2 + k p k 11

12 seriam p 1 =+j k p k e p 2 = j k p k, exibindo partes reais nulas para qualquer valor de k p. Como a instabilidade está ligada à falta de amortecimento da planta, pode-se pensar em introduzir amortecimento aos pólos de malha fechada através do controlador. Suponha que G c (s) =k p + k d s, onde k d éoganho derivativo do controlador. O sistema em malha fechada G f (s) = (k p + k d s)k s 2 + kk d s + kk p será estável se k p > 0ek d > 0, pois neste caso os pólos de malha fechada terão partes reais estritamente negativas. 4.5 Controle da resposta temporal Para efeito de exposição, considere o problema de se controlar a posição angular de uma carga através de um motor DC (Exemplo 1.2). Assume-se que a indutância de armadura (L) pode ser desprezada, o que permite representar a parte elétrica do motor através de um ganho e o modelo do motor por uma função de transferência de 2a. ordem. O sistema de controle (proporcional) em malha fechada é ilustrado na figura R + E k p k m s(js + B e ) Y Fig 1.11: Sistema de controle em malha fechada. Na figura 1.11, J e B e = B+k v k T /R são, respectivamente, o momento de inércia e o coeficiente de atrito viscoso equivalentes do conjunto motor-carga, k m = k T /R é o ganho equivalente do motor e k p é o ganho proporcional. A função de transferência de malha fechada é G f (s) = onde k = k p k m. A forma fatorada de G f (s) é k Js 2 + B e s + k, G f (s) = (k/j) [ s +(B e /2J)+ ][ (B e /2J) 2 (k/j) s +(B e /2J) ]. (B e /2J) 2 (k/j) Os pólos de malha fechada serão complexos se B e 4Jk < 0ereaisdeB e 4Jk 0. Em estudos de resposta temporal é comum convencionar que σ = ξω n = B e 2J, ω2 n = k J, 12

13 onde σ éaatenuação, ω n éafrequência natural não-amortecida e ξ éofator de amortecimento dos pólos de malha fechada. Observe que ξ pode ser expresso como ξ = B e 2 Jk. Note ainda que ξ e ω n são funções dos parâmetros do motor e do ganho proporcional k p (k = k p k m ). O fator de amortecimento é diretamente proporcional ao amortecimento natural do motor e inversamente proporcional àinércia e ao ganho; a frequência natural é diretamente proporcional ao ganho e inversamente proporcional àinércia. A função de transferência G f (s) emtermosdeξ e ω n é G f (s) = ω 2 n s 2 +2ξω n s + ωn 2. O comportamento dinâmico de qualquer sistema de 2a. ordem pode ser descrito em termos dos parâmetros ξ e ω n. S e 0 < ξ < 1, os pólos de malha fechada são complexos conjulgados e situam-se no semi-plano esquerdo do plano complexo s. Diz-se que este tipo de sistema é sub-amortecido e a sua resposta transitória é oscilatória. Se ξ 1, os pólos são reais e o sistema não oscila, sendo então classificado como criticamente amortecido se ξ = 1 e sobre-amortecido se ξ > 1. A resposta de um sistema de 2a. ordem a uma entrada degrau unitário varia de acordo com o valor de ξ. Os três casos discutidos estão ilustrados na figura y(t) (a) (b) (c) (a) 0 <ξ<1 (b) ξ =1 (c) ξ>1 0 t Fig 1.12: Respostas transitórias em função de ξ. No caso mais geral, os pólos de malha fechada serão complexos conjulgados. A função de transferência é expressa como G f (s) = = ω 2 n s 2 +2ξω n s + ωn 2, ω 2 n (s + ξω n + jω d )(s + ξω n jω d ), onde ω d = ω n 1 ξ2 é chamada de frequência de oscilação forçada. entrada degrau unitário, Para uma 13

14 Y (s) = ω 2 n s(s 2 +2ξω n s + ω 2 n). A anti-transformada de Laplace de Y (s) fornece o comportamento temporal da saída do sistema para a entrada degrau unitário: y(t) =L 1 [Y (s)] = 1 e ξωnt (cos ω d t + ) ξ sin ω 1 ξ 2 dt, ( ) = 1 e ξωnt 1 ξ sin ω 1 ξ 2 d t +tan 1 2, t 0. ξ Observe que a resposta y(t) é parcialmente determinada pelo ganho do controlador (pois ξ e ω são funções de k p ). No projeto de controladores, a saída y(t) é um dado do problema, isto é,apartirdarespostadesejadaparaasaídadosistema à uma entrada de referência, procura-se determinar um controlador que a produza. Existem especificações de desempenho consolidadas para caracterizar a resposta de sistemas dinãmicos. As especificações de desempenho referem-se às resposta transitória (t < ) eemregime(t = ) dosistema Resposta transitória Em muitas aplicações, as características desejadas para a saída da planta são definidas através de quantidades relacionadas à resposta do sistema de controle ao degrau unitário. Entradas do tipo degrau são fáceis de gerar e fornecem informações importantes sobre o sistema. Assume-se que o sistema está inicialmente em repouso (a saída e todas as suas derivadas são nulas), de tal forma que seja possível comparar respostas de diferentes sistemas. Algumas especificações bastante comuns no domínio do tempo são: y(t) 1 M p t r t p t s t Fig 1.13: Especificações sobre a resposta ao degrau. Tempo de subida, t r : tempo necessário para que a resposta vá de 10% a 90%, de 5% a 95% ou de 0% a 100% do seu valor final. Para sistemas sub-amortecidos, 14

15 costuma-se usar o critério de 0% a 100%. Para sistemas sobre-amortecidos, o critério de 10% a 90% é mais comum; Tempo de pico, t p : tempo necessário para que a resposta alcance o primeiro pico de sobre-elevação; Máxima sobre-elevação, M p : máximo valor percentual da resposta medida a partir da unidade. Se o valor de regime da resposta difere da unidade, usa-se o percentual de máxima sobre-elevação, definido como y(t p ) y( ) y( ) 100%; Tempo de estabelecimento, t s : tempo necessário para que a resposta alcance e permaneça dentro de uma faixa definida em termos de percentual do valor de regime (normalmente2% ou5%). O tempo deestabelecimento está relacionado com a maior constante de tempo do sistema. Exceto em certas aplicações (por exemplo, robótica) em que oscilações não podem ser toleradas, pode-se trabalhar com respostas sub-amortecidas, desde que a resposta transitória do sistema seja suficientemente rápida e amortecida. Isso implica em fatores de amortecimento na faixa de 0.4 a 0.8: valores menores do que 0.4 provocam sobre-elevações excessivas, enquanto que valores maiores do que 0.8 tornam o sistema muito lento. Um sistema de 2a. ordem com ξ entre0.5e0.8 chega próximo ao valor de regime mais rapidamente do que sistemas criticamente amortecidos e sobre-amortecidos. Dentre os sistemas que respondem sem oscilações, sistemas criticamente amortecidos são os que respondem mais rápido. Para sistemas de 2a. ordem, as especificações acima podem ser caracterizadas em termos de ξ e ω n. As expressões a seguir são obtidas aplicando-se as definições correspondentes à resposta sub-amortecida ( ) y(t) =1 e ξωnt 1 ξ sin ω 1 ξ 2 d t +tan 1 2, t 0 ξ do sistema de 2a. ordem. Tempo de subida: o tempo de subida é caracterizado pelo menor valor de t tal que y(t) =1. Obtém-se t r = π β ω d, onde β éoângulo em radianos definido na figura 1.14; 15

16 jω jω d ω n 1 ξ 2 β ω n σ 0 σ ξω n Fig 1.14: Especificação dos pólos através de ξ e ω n. Tempo de pico: o tempo de pico é encontrado tomando-se o menor valor de t que satisfaz a equação algébrica ẏ(t) = 0 (pontos de derivada nula). Obtém-se t p = π ω d, isto é, meio ciclo da frequência de oscilação forçada; Máxima sobre-elevação: amáxima sobre-elevação ocorre no tempo t = t p = π/ω d eé dada por M p = [y(t p ) 1] 100% = e (σ/ωd)π 100% = e (ξπ/ 1 ξ 2) 100% Note que a sobre-elevação máxima só depende do fator de amortecimento ξ; Tempo de estabelecimento: as curvas 1 ± (e ξωnt / 1 ξ 2 )são as envoltórias da resposta transitória do sistema de 2a. ordem para uma entrada degrau unitário. O tempo de estabelecimento correspondente a 2% ou 5% pode ser caracterizado em termos da constante de tempo T =1/ξω n das envoltórias. É comum definir-se t s =4T = 4 critério 2%, ξω n ou t s =3T = 3 critério 5%. ξω n Como ξ é normalmente determinado através da especificação de sobre-elevação máxima, o tempo de estabelecimento é uma função direta da frequência natural ω n. Em outras palavras, a duração da resposta transitória pode ser ajustada sem afetar a máxima sobre-elevação do sistema. 16

17 4.5.2 Resposta em regime O desempenho de um sistema de controle também é medido pela sua capacidade de seguir degraus, rampas, parábolas,... Referências mais gerais podem ser vistas como combinações destas referências mais simples. Nenhum sistema físico pode passar a seguir instantâneamente uma dada referência; o máximo que se pode esperar do sistema de controle e que seja capaz de seguir a referência desejada em regime ou em estado estacionário. Para medir a abilidade do sistema de controle neste aspecto, utiliza-se o conceito de erro de regime. O erro de regime entre a uma dada referência e a saídadosistemaé e ss = lim se(s) s 0 = lim s(r(s) Y (s)) s 0 = lim sr(s)(1 G f (s)) s 0 = lim s 0 sr(s) 1+G c (s)g p (s). (pois Y (s) =G f (s)r(s)) O erro de regime dependerá do tipo de referência e, fundamentalmente, do tipo da função G(s) =G c (s)g p (s) envolvida na malha de controle. O tipo de G(s) é igual ao número de pólos de G(s) na origem. S e a entrada é do tipo degrau unitário (R(s) = 1/s) e o tipo de G(s) é zero, então o erro de regime é e ss = 1 1+G(0). Em malha aberta, Y (s) =G(s)R(s) eseg(0) = 1, a saídasegueaentrada com erro de regime nulo. Ao se fechar a malha de controle, o erro passa a valer e ss =0.5, e neste caso a realimentação introduz erro de regime. Entretanto, se o tipo de G(s) for maior ou igual a 1, então G(0) = e o erro de regime será infinito em malha aberta e nulo em malha fechada. Assim, caso a planta G p (s) não possua pólos na origem e se deseje seguir um degrau com erro nulo, a solução é utilizar um controlador G c (s) comação integral, ou seja, com um pólo na origem. Raciocínio análogo pode ser feito para analisar erros de regime devidos aos demais tipos de entradas. Para se obter erros de regime nulos em malha fechada, o tipo de G(s) deve ser pelo menos igual ao tipo da entrada R(s). 5 Sistemas com dois graus de liberdade O sistema de controle em malha fechada da figura 1.7 é conhecido como sistema de controle com um grau de liberdade (1-DOF), porque fixada qualquer função de transferência presente no diagrama, todas as demais podem ser obtidas a partir da função fixada, mais G c (s) eg p (s). Além disso, todas as funções de transferência terão 1 + G c (s)g p (s) (a diferença de retorno) como denominador comum. Grande parte das dificuldades enfrentadas ao se projetar controladores para sistemas do tipo 1-DOF advêm desta propriedade, pois certas especificações de projeto exigem aumento do ganho de malha G c (s)g p (s), enquanto que outras exigem sua redução. 17