Curso: ADMINISTRAÇÃO. Matemática Aplicada ALUNO(A):

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1 Curso: ADMINISTRAÇÃO Matemática Aplicada ALUNO(A): Gilmar Bornatto

2 FUNÇÕES MATEMÁTICAS APLICADAS À ECONOMIA Constantemente encontramos em nosso cotidiano situações envolvendo relações entre duas grandezas variáveis. Vejamos alguns eemplos: (a) (b) (c) (d) O total mensal da conta de Água pago à Sanepar é uma relação entre a quantidade consumida e o valor da conta. A receita obtida no final do mês na venda de um determinado produto pelo comerciante é uma relação entre a quantidade vendida e o preço de venda do produto. O salário de um trabalhador que ganha por horas trabalhadas, é uma relação entre as horas que ele trabalhou e o valor pago por hora O consumo de combustível de um carro, é uma relação com a quantidade de quilômetros rodados pelo carro. FUNÇÃO CUSTO Para compor uma função custo geralmente temos uma série de fatores, como, por eemplo, o custo fio (aluguel, seguro, impostos, etc) e o custo variável em função da quantidade produzida de determinada mercadoria. Podemos epressá-la por: Custo Total = Custo Fio + Custo Variável FUNÇÃO RECEITA A função receita é composta com a quantidade arrecadada com a venda de unidades de um determinando produto, isto é: a quantidade multiplicada pelo valor unitário. Receita = Quantidade preço FUNÇÃO LUCRO Um produtor ou vendedor obtém seu lucro (ou a função lucro), retirando o custo do valor arrecadado com a receito:: Lucro = Receita - Custo Matemática Aplicada Página

3 FUNÇÃO DEMANDA Considere as circunstâncias relativas a um fabricante, nas quais as únicas variáveis são preço p e a quantidade de mercadorias demandadas, portanto a função demanda é uma relação entre a quantidade demandada e o preço p. Em geral quando o preço é baio, os consumidores procuram mais a mercadoria e viceversa. FUNÇÃO OFERTA Assim como a demanda, a oferta também pode ser epressa por uma função, relacionandose preço e quantidade oferecida de uma mercadoria. A função oferta é crescente, pois quando o preço sobe, eistem mais produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada vez maiores de seu produto, quando o preço caí, essa oferta diminui. PONTO DE EQUILÍBRIO Também chamado de Ponto de Nivelamento ou break-even. É utilizado na administração e na Economia, para analisar as implicações de várias decisões de fiação de preços e produção. Matematicamente é quando: Oferta = Demanda ou Custo = Receita FUNÇÃO UTILIDADE A função utilidade pretende medir a satisfação de um consumidor em função da quantidade consumida de certo bem ou serviço. CURVA DO ORÇAMENTO Quando se conhecem o orçamento (verba disponível) de um consumidor e os preços dos produtos que pretende comprar, pode-se estabelecer uma relação entre as quantidades desses produtos que podem ser adquiridos por ele com essa verba FUNÇÃO PRODUÇÃO A função produção Total ou função produção dá a quantidade produzida na unidade de tempo como função de um conjunto de fatores, chamados insumos de produção, tais como capital, trabalho, matéria-prima. Matemática Aplicada Página

4 EXERCÍCIOS DE REVISÃO. Uma fábrica de móveis vende mesas por R$7, cada. O custo total de produção consiste de um sobretaa de R$8., somada ao custo de produção de R$, por mesa. a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Se forem vendidas 5 mesas, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante? d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$6., e) Construa, no mesmo par de eios, os gráficos das funções receita e custo.. Um artesão têm um gasto fio de R$6, e, em material, gasta R$5, por unidade produzida. Se cada unidade for vendida por R$75,: a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o artesão precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Quantas unidades o artesão precisa vender para obter um lucro de R$45,. Um grupo de amigos, que moraram nos EUA, deseja montar um curso de inglês. Eles observaram que, teriam um gasto fio mensal de R$.68, e, gastariam ainda R$ 4,, em materiais e pagamento de professores, por aluno. Cada aluno deverá pagar R$4,. a) Quantos alunos o curso necessita ter para que não haja prejuízo? b) Qual será o lucro ou prejuízo do curso, se obtiverem 7 alunos? 4. Em um posto de combustível, o preço da gasolina é de $,5 por litro. a) Determine uma epressão que relacione o valor pago (V) em função da quantidade de litros () abastecidos por um consumidor. b) Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 5 litros, calcule o valor total pago pelo consumidor utilizando a epressão encontrada no item anterior. 5. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B dados em cada item: a) A(,5) e B(4,) b) A(, 8) e B(6,6) c) A(-,) e B(6,) 6. Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo e receita dadas, respectivamente, por C() = + 9 e R() = 5, onde é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para custo e receita. a) Em um mesmo sistema de eios, esboce os gráficos de custo e receita. Determine também e indique no gráfico o break-even poit. b) Obtenha a função Lucro, L() e determine as quantidades necessárias para que o lucro Matemática Aplicada Página 4 4

5 seja negativo (prejuízo), nulo e positivo. 7. Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$,. O custo total consiste em uma taa fia de R$7.5, somada ao custo de produção de R$6, por unidade. a) Construa as funções receita e custo e lucro total. b) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de nivelamento? c) Se forem vendidas unidades, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante? d) Quantas unidades o fabricante precisa vender para obter um lucro de R$.5, e) Construa, no mesmo par de eios, os gráficos das funções receita e custo. 8. Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico) e esboce os gráficos da função receita e custo em cada caso: a) R() = 4 e C() = 5 + b) R() = e C() = + 5 c) R() = (/) e C() = + (/4). Podemos dizer que o preço de equilíbrio de um produto corresponde ao valor em que a procura por parte dos consumidores se iguala ao que é oferecido por parte dos fornecedores, ou seja, quando a demanda é igual à oferta. Considerando as funções demanda e oferta respectivamente: = e = + a) Calcule algebricamente o ponto de equilíbrio entre oferta e demanda. b) Represente em um mesmo sistema de eios, os gráficos da oferta e da demanda e indique no gráfico o break-even poit.. Suponha que o custo fio de produção de um artigo seja R$ 45,. O custo variável igual a 6 por cento do preço de venda, que é de R$ 5, por unidade. Qual é a quantidade para se atingir o ponto de equilíbrio?. A curva de demanda de um artigo é. Assuma que representa o preço e a 4 quantidade. (a) Ache a quantidade demandada se o preço é de R$ 5, (b) Ache o preço se a quantidade demandada é de 7 unidades (c) Qual é o preço mais alto que poderá ser pago por este artigo? (d) Que quantidade poderá ser demandada se o artigo for oferecido gratuitamente? 4. O custo de um certo produto, no mercado, é dado por C( ) 6,,, sendo o número de unidades produzidas. Qual é o custo de. unidades desse produto? 5. Um fabricante produz uma certa mercadoria por R$,9 a unidade, vendendo-a por R$,5 a unidade. Quantas unidades devem ser vendidas para se ter um lucro de R$.4,? Matemática Aplicada Página 5 5

6 6. Ao preço de R$ 5, por unidade, uma empresa oferecerá mensalmente 5. lanternas de pilha; a R$,5 por unidade ela oferecerá. unidades. Determine a equação da função de oferta para este produto. 7. O custo mensal de uma fábrica que produz esquis é de R$ 4., e o custo variável de R$ 55 por par de esquis. O preço de venda é de R$ 5. a) Se unidades são vendidas durante um mês, epresse o lucro mensal como uma função de. b) Se 6 pares forem vendidos em um mês, qual será o lucro. c) Quantas unidades precisam ser vendidas para não haver prejuízo durante um mês? 8. Sabendo-se que a função custo total para fabricar determinada mercadoria é dada por C ( ), sendo a quantidade produzida, calcule: a. O custo total para produzir 5 unidades dessa mercadoria; b. O custo total para produzir unidades dessa mercadoria c. A função custo médio e o custo médio para produzir 5 unidades dessa mercadoria. 9. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por E( t) t 8t, onde o consumo E é dado em Kwh e ao tempo associa-se t = a Janeiro, t = a fevereiro, e assim sucessivamente. a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 95 Kwh. b) Qual o consumo mensal médio(considere a média aritmética dos meses do ano) para o primeiro ano?. Calcule os pontos de interseção dos gráficos das funções f ( ) e g( ).. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por $8,. O custo total consiste em uma sobretaa de $45, somada ao custo da produção de $5, por unidade. a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para eistir o nivelamento? b) Qual será o lucro do fabricante se ele vender 5 unidades? c) Quantas unidades o fabricante terá que vender para obter um lucro de $9.,. Calcule o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades em oferta e procura, sabendo que a função oferta de um certo produto é (demanda) é f ( ) 4. f ( ) 7 e a função procura. A função receita é dada por R ( ) 4 e a função custo por C ( ) 8, sendo a quantidade. a) Determine a função lucro L() b) Qual o lucro para uma quantidade demandada igual a? Matemática Aplicada Página 6 6

7 4. As funções de oferta e demanda de um produto são respectivamente: 8 e 4. a. Determine a quantidade e o preço de equilíbrio. b. Represente graficamente as funções oferta e demanda e o ponto de equilíbrio. c. Para que valores de o preço de oferta ecede o preço de demanda? 5. Sabe-se que o custo mensal fio de uma indústria que produz relógios de parede é R$ 8.5 e que o custo variável é R$ por relógio fabricado. O preço de venda é de R$ 8 por relógio. a. Se relógios são vendidos durante um mês, qual é o custo mensal como função de? b. Qual é o lucro no mês de julho se 5 relógios foram vendidos neste mês? 6. Um fabricante consegue vender a unidade de um produto por R$ 8. O custo total consiste em uma sobretaa de R$ 4.5 somada ao custo da produção de R$ 5 por unidade: a. Quantas unidades o fabricante precisa vender para eistir o nivelamento? b. Qual será o lucro ou prejuízo do fabricante, se forem vendidas unidades? c. Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$ 9? 7. Sabe-se que a equação de demanda de um bem é dada por 4p, sendo o custo associado C 4p. Determinar: a. A função receita total, traçando o gráfico correspondente; b. O ponto de break-even * c. A função lucro 8. Sabe-se que o custo C para produzir unidades de um certo produto é dado por C ( ) 8. Nestas condições calcule: a. A quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. b. O valor mínimo do custo. 9. Uma editora pretende lançar um livro e estima que a quantidade vendida será. unidades por ano. Se o custo fio de fabricação for R$ 5., por ano, e o variável por unidade de R$,, qual o preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para não ter prejuízo?. Determine o preço de equilíbrio de mercado nas seguintes situações: ( a) oferta : p, demanda : p ( b) oferta : p, demanda: p 5 * Ponto de Equilíbrio. Matemática Aplicada Página 7 7

8 . Uma doceira produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de oferta diária é p,. (a) Qual o preço para que a oferta seja de bolos diários? (b) Se o preço unitário for R$5, qual é a oferta diária? (c) Se a função de demanda diária por esses bolos for p,8, qual o preço de equilíbrio?. O consumo nacional total é dado (em bilhões de dólares) pela equação c 4,5,9 d onde d é a renda disponível. Se a renda disponível é 5 (em bilhões de dólares). (a) Qual é o consumo total? (b) Que proporção do consumo total representa o consumo da renda disponível?. Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$,. O custo total consiste em uma taa fia de R$7.5, somada ao custo de produção de R$6, por unidade. (a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio? (b) Se forem vendidas unidades, qual será o lucro ou o prejuízo do fabricante? (c) Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$.5,? 4. A função de demanda de um produto é p =, e a função custo é C = +. Vamos obter: a) A função receita b) A função Lucro c) O preço que maimiza o lucro. 5. Um bombeiro hidráulico cobra uma taa de R$, e mais R$,6 a cada meia hora de trabalho. Um outro cobra R$5, e mais R$, a cada meia hora. Ache um critério para decidir que bombeiro chamar, se forem levadas em conta apenas considerações de ordem financeira. 6. Uma agência de aluguel de carros cobra uma diária de R$ 5, mais R$, por quilômetro rodado. a) Epresse o custo de alugar um carro dessa agência por um dia em função do número de quilômetros dirigidos e construa o gráfico. b) Quanto custa alugar um carro para uma viagem de km de um dia? c) Quantos quilômetros foram percorridos se o custo do aluguel diário foi de R$ 45, centavos? 7. Quando o preço de um certo produto for de p reais, um lojista espera oferecer S = 4p + produtos, enquanto a demanda local é de D = p a) Para que preço de mercado a oferta será igual a demanda local? b) Quantos produtos serão vendidos por este preço? c) Se o preço for de R$,, haverá ecesso ou escassez do produto? De quanto? d) Construa os dois gráficos no mesmo par de eios. Matemática Aplicada Página 8 8

9 8. As funções oferta e procura de um determinado produto são dadas, respectivamente, por S = p + p - 7 e D = 4 p. a) Para que preço de mercado a oferta será igual à demanda? b) Quantos produtos serão vendidos por este preço? c) Se o preço for de R$5, haverá ecesso ou escassez do produto? De quanto? A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos Aristóteles DERIVADA DE UMA FUNÇÃO O desenvolvimento dos estudos matemáticos acompanhou a necessidade do homem de conhecer melhor o universo físico que o cerca. Particularmente, o Cálculo teve sua aplicação estendida aos fenômenos físicos mensuráveis como, por eemplo, eletricidade, ondas de rádio, som, luz, calor e gravitação. A derivada é parte fundamental do Cálculo. A partir de agora faremos um estudo sobre esse assunto. O conceito de derivada foi introduzido no século XVII quase simultaneamente pelo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (646-76) e Sir Isaac Newton (64-77), trabalhando separadamente. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO Consideremos uma função f contínua e definida num intervalo ]a, b[; sejam o e o + dois pontos desse intervalo. Quando a variável passa do valor o para o valor o + sofrendo uma variação (incremento de ), o correspondente valor da função passa de f( o ) para o valor f( o + ) sofrendo, portanto, uma variação (incremento da função f), onde = f( o + ) f( o ) conforme mostra a figura seguinte: Matemática Aplicada Página 9 9

10 Dizemos que a derivada da função f no ponto o é lim o = f ( o ) f ( o ) lim se ele eistir e for finito. o Nesse caso, dizemos também que f é derivável no ponto o. NOTAÇÕES DA DERIVADA A derivada de f será indicada por uma das quatro formas abaio: f () ou df d ou d d ou EXEMPLOS ) Calcular a derivada da função f() = ² no ponto o =. Matemática Aplicada Página

11 Solução Calculando f( ) e f( ), f( ) ² f() ² 4 f( ) ( ) ) ( 4 4Δ ( ) Substituindo na definição de derivada: f ( o ) f( lim temos : ) f( ) ) [4 4Δ ( ] (4) lim Δ 4 4Δ ( Δ) 4 lim Δ 4Δ ( Δ) lim Δ Δ (4 Δ) lim Δ (4 Δ) 4 lim Portanto: f () 4 ) Determinar a derivada da função f() = 4 +, através da definição. Solução Calculando f( o ) e f( o ), temos : f( ) 4 f( ) 4( 4 8 4( ) o ) 4[( ) ( ) ] Matemática Aplicada Página

12 Substituindo na definição de derivada: f( ) f( ) f ( o ) lim Δ 4 4 lim [4 ) 8 ( ]-[ Δ ] f ( o ) 4 Δ 4 ) ( Δ ] 8 4 lim ( ) Δ (8 4 ) lim (8 lim o 4) Portanto, f ( ) 8 EXERCÍCIOS: ) Determine a função derivada através da definição. a) f() = ² - + ; b) f() = ² c) f() = - ; d) f() = ² +, no ponto o = 5 e) f() = ², no ponto o = f) f() = ², no ponto o = g) f() = ² -, no ponto o = RESPOSTAS: ) a) f () = b) 8 c) d) e) f) g) Matemática Aplicada Página

13 FÓRMULAS OU REGRAS DE DERIVAÇÃO Até agora, vimos como calcular a derivada de uma função por meio da definição. Entretanto, como esse processo é demasiado longo, estudaremos algumas regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função mais facilmente. Faremos a demonstração de apenas algumas dessas regras, pela aplicação da definição de derivada. As outras regras também podem ser demonstradas pelo mesmo processo. Vejamos algumas derivadas fundamentais. a) Derivada da função constante: Se = f() = c então = f () =. Demonstração lim lim f ( ) f ( ) k lim k lim lim lim Se é um ponto qualquer de R temos: Eemplos ) = -5 = (-5) = ) = = () = b) Derivada da função identidade: Se = f() = então = f () =. Demonstração Se é um ponto qualquer de R, temos: Matemática Aplicada Página

14 Matemática Aplicada Página 4 4 MATEMÁTICA APLICADA c) Derivada do produto de uma constante por uma função Se = c g() então = c g (). Demonstração Se é um ponto qualquer de R, temos: Eemplos ) = 5 = (5) = 5 () = 5 = 5 ) = - = (-) = - ) = - = - d) Derivada da função potência = n Se = n então = n. n- para n inteiro positivo. lim lim lim lim ) ( lim ) ( ) ( lim lim f f ) ( lim ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim )] ( ( ) ( [ lim ) ( ) ( lim lim g c g c g g c g g c g g c cg cg

15 Eemplos ) = 5 = 5 5- = 5 4 ) = 4 = 4 4- = 8 ). 4) 5) e) Derivada da função n Esta fórmula só pode ser aplicada quando o radicando é a variável (função identidade). Eemplos 5 ) ) 4 8 ) Matemática Aplicada Página 5 5

16 f) Derivada da soma de funções A derivada da soma é igual à soma das derivadas. Se = g () + g () g n () então = g () + g () +... g n (). Eemplos ) = = ( ) = ( ) + (5) + (4) = = ) = = + g) Derivada da diferença A derivada da diferença é igual à diferença das derivadas. Se = g() - h() então = g () - h (). Eemplos ) = - 5 = ( - 5) = ( ) - (5) = 6-5 ) = = - h) Derivada do produto Seja = u().v(). Se eistem as derivadas u () e v (), então = u v + u v. Matemática Aplicada Página 6 6

17 Matemática Aplicada Página 7 7 MATEMÁTICA APLICADA. v para, então v(), () e u seeistirem as derivadas Seja v uv v u v() u() ; 6 ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( 7 ) ( 7 7 ) ( () - - ) ou ou ) ) Eemplos i) Derivada do quociente de duas funções Eemplos

18 FÓRMULÁRIO DE DERIVAÇÃO Função Derivada = f() = c = f () = = f() = = f () = = c. g() = c. g () n n n. n n n n = u()v() = u v + u v u ( ) v ( ) u. v u. v v para v EXERCÍCIOS - DERIVADA ) Calcular a derivada das funções, usando o formulário da página anterior: a) = b) = - + c) = d) = e) = 5 7 f) =, 4 g) = ( - 4) (6 + ) h) = ( - ) ( + ) i) = ( 4) ( + 4 ) j) = ( ) k) 4 l) 9 m) n) 6 o) p) q) r) Matemática Aplicada Página 8 8

19 s) MATEMÁTICA APLICADA t) Gabarito a) = 4 b) = - c) = d) = + 4 e) = f) =,4 4 g) = h) = - 4 i) = j) =6-6+4 k) = 4 4 l) = m) = n) = o) = 8 p) = 4 5 q) = r) = 4 s) = t) = ) Determine a derivada das funções: Respostas ) ) ) ) ) ) 7 4 7) ) 9) ) Matemática Aplicada Página 9 9

20 ) 6 5 ) ) 4) 5) 6) MATEMÁTICA APLICADA 5 5 7). 8) 4. 9) e 6 ) 7. ) 8 ) Encontre as derivadas das funções a seguir: e (b) f ( ) (c) f ( ) 5 (a) f ( ) (d) f ( ) (e) f ( ) 4 (f) f ( ) 6 (g) f() ( ) (h) f() 5 (i) f ( ) 4 (j) f ( ) (k) f ( ). (l) f ( ) 4 (m) f() (n) f ( ). f ( ) 9 (p) 5. (q) 5 4 (r) 5 (s) (t) (u) 4 e (o) Gabarito (a) 5 4 (b) (c) (d) (e) 8 8 (f) (g) (h) 5 (i) 4 Matemática Aplicada Página

21 (j) MATEMÁTICA APLICADA (k) (m) 4 (p) (s) 9 (l) Matemática Aplicada Página (n) () 4 6 (t) 5 (v).e () (q) 5.. (r) / 4 (u).e 4) Calcule a derivada solicitada em relação a variável. 4.e (a) f ( ) ( f) f ( ) 4 (k) f ( ) (b) f ( ) (g) f ( ). (l) f() (c) f ( ) (h) (m) f ( ) 4 4 (d) f ( ) 6 4 (i) f ( ) (n) (e) f ( ) (j) f ( ) () Gabarito (a) (b) - (c) ¼ (d) (e) 9 (f ) 6 4 (g) - (h). 4 4 (i ) ( j) (k) 4 / ( l) (m) (n) (o) 4 Derivadas de uma Função de Ordem Superior Eercícios de sala Obter a derivada terceira das funções: Respostas a) f a) 6 b) f 5 b) c) c) f d) f d) 6

22 TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO f() A derivada pode entre outras coisas significar a taa de crescimento populacional, o custo marginal do produtor, a velocidade de um objeto, a taa de inflação, etc. Vejamos o eemplo da velocidade: D(t) D(t + t) Velocidade Média = Variação da Distância Variação do tempo D( t t) D( t) t Velocidade Instantânea é a melhor aproimação da velocidade média. D( t t) D( t) Velocidade Instantânea = lim D ( t) t t d Daí podemos generalizar: TAXA DE VARIAÇÃO = f ( ) d PORCENTAGEM DE VARIAÇÃO Taa de Variação % = ou Valor de Grandeza f ( ) f() Calcula-se que, daqui a meses, a população de determinada cidade será de P ( ) 4 5 habitantes. (a) Qual será a taa de variação da população, em relação ao tempo, daqui a 9 meses? (b) Qual será a porcentagem de variação da população, em relação ao tempo, daqui a 9 meses? Solução: (a) Taa de variação = derivada primeira da função P ( ).4.4. P (9) hab/mês P (9) (b) Porcentagem de variação da população Z = P(9) Matemática Aplicada Página

23 Z MATEMÁTICA APLICADA Calculando P(9) = ,5,9% por mês. P(9) 56 Aumento Salarial Suponha que seu salário inicial seja R$.4, e que, anualmente, haverá um aumento de R$,. (a) Eprima a porcentagem de variação de seu salário em função do tempo (b) Após um ano, qual será a porcentagem de variação de seu salário? (c) O que acontecerá com a porcentagem de variação de seu salário com o correr do tempo? Solução: (a) A função salário será S() =.4 +. ( anos), portanto é só encontrar a derivada S ( ) primeira de S() S ( ) A porcentagem Z é igual a, portanto: S( ) Z = 4 4 (b) Após um ano é só fazer = na fórmula acima: Z ( ) 7,69% (c) Como o denominador da fração vai sempre aumentar o valor da porcentagem irá sempre diminuir, isto é, tenderá a zero. Eemplo de Aplicação: Calcula-se que, daqui a meses, a população de uma certa comunidade será de P( ) 8 hab. Pede-se: (a) A taa de variação da população daqui a 5 meses? (b) A variação real no 6.º mês. Solução: (a) Taa de variação = derivada de P() no ponto = 5 P ( ) P (5). 5 5 habitantes/mês (b) Variação real = Final do 6.º mês menos final do 5.º P(6) = (6) Variação real = = 5 habitantes/ mês. P(5) = 855 Matemática Aplicada Página

24 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA NUM PONTO: Seja uma função f() contínua a derivável em um domínio D e seja uma representação de seu gráfico na figura a seguir: Consideremos uma função f e os pontos P(, f( )) e Q( +, f( + + ). A reta que passa s pontos P e Q é secante ao gráfico de f() e a medida que se aproima de zero, a reta vai mudando seu coeficiente angular, até que a reta se torna uma reta tangente ao gráfico no ponto P; Chamamos a variação (razão incremental) de TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO E, quando calculamos o limite desse quociente, temos a função derivada de f(), isto é: DERIVADA DA FUNÇÃO f() é definida por: f lim PROBLEMAS DE TAXA. Estima-se que daqui a meses a população de uma certa comunidade será de P() = a. Daqui a 5 meses, qual será a taa de variação da população desta comunidade? b. Qual será a variação real sofrida durante o 6º mês?. Avalia-se que, daqui a t anos, a circulação de um jornal local será de C ( t) t 4t 5 eemplares. Matemática Aplicada Página 4 4

25 a. Deduza a epressão da taa de variação da circulação do jornal daqui a t anos. b. Qual será a taa de variação da circulação daqui a 5 anos? c. Qual será a variação real da circulação durante o 6.º ano?. O produto nacional bruto de um certo país era de N() = t + 5t + bilhões de dólares t anos após. a. Qual era a taa de variação do produto nacional bruto, em 5? b. Qual será a taa de variação do produto nacional bruto, em? 4. Estima-se que, daqui a t anos, a população de uma certa comunidade suburbana será de: 6 P ( t) milhares de habitantes. t (a) Deduza a epressão da taa de variação da população, em relação ao tempo, daqui a t anos. (b) Qual será a taa de crescimento da população daqui a ano? (c) Qual será o crescimento real da população durante o.º ano? 5. O imposto anual pago pelo aluguel de determinado software anos após era de I ( ) 4 6. Qual será a taa de crescimento do imposto, em relação ao tempo, em 6? 6. O produto nacional bruto (PNB) de determinado país, t anos após, foi de P ( t) t 5t bilhões de dólares. Utilizando cálculo, faça uma estimativa da variação percentual do PNB durante o primeiro trimestre de Calcula-se que, daqui a meses, a população de uma certa comunidade será de P ( ) 8. habitantes. (a) Qual será a taa de variação da população desta comunidade daqui a 5 meses. (b) Qual será a variação real da população durante o 6.º mês? ANÁLISE MARGINAL Em Economia a variação de uma quantidade em relação à outra pode ser descoberta por qualquer dos dois conceitos: o de Média ou o de Marginal. O conceito de média, epressa a variação de uma quantidade sobre um conjunto específico de valores de uma segunda quantidade, enquanto que o conceito de marginal, é a mudança instantânea na primeira quantidade que resulta de uma mudança em unidades muito pequenas na segunda quantidade. Suponha que C(q) seja o custo total de produção de q unidades de um certo produto. A função C é chamada de função custo total (como já vimos anteriormente). Em circunstâncias normais q e C(q) são positivas.note que, como q representa o número de unidades de um produto, q tem que ser inteiro não negativo, de modo que tenhamos as condições de continuidade para a função C. O custo médio da produção de cada unidade do produto é obtido dividindo-se o custo total pelo número de unidades produzidas; isto é, CM(q) = C(q)/q, onde CM é chamada função custo médio. Matemática Aplicada Página 5 5

26 Suponhamos que o número de unidades de uma determinada produção seja q, e que ela tenha sido alterada por q. Então a variação no custo total é dada por C( q q) C( q), e a variação média no custo total em relação a variação no número de unidades produzidas é dada por: C( q q) C( q) () q Os economistas usam o termo Custo Marginal para limite do quociente () quando q tende a zero, desde que o limite eista. Esse limite é a derivada de C em q ; portanto a definição de custo marginal será: Se C() é o custo de produção de unidades de um certo produto, então o Custo Marginal, quando =, é dada por C ( q), caso eista. A função C é chamada Função Custo Marginal e freqüentemente é uma boa aproimação do custo de produção de uma unidade adicional. Na definição acima, C( ) pode ser interpretada como a taa de variação do custo total quando unidades são produzidas. FÓRMULA DE APROXIMAÇÃO: A derivada da função é uma boa aproimação provocada por um aumento unitário na variável. ANÁLISE MARGINAL Em Economia, a taa de variação instantânea é uma aproimação para o aumento unitário da variável. Este aumento é denominado MARGINAL. C MG C ( ), R MG R ( ), L MG L ( ) Aplicações Suponha que o custo total p/ se fabricar unidades de um certo produto seja C ( ) 5. (a) Encontre o custo marginal (b) Determine usando análise marginal, o custo de produção para a 5.ª unidade. (c) Determine o custo real de produção da 5.ª unidade. Solução: (a) O custo marginal é a derivada primeira do custo: C ( ) 6 5 (b) O custo de produção da 5.ª unidade é igual C (5), portanto: C (5) (c) O custo real de produção da 5.ª unidade é igual C(5) C(5) Temos então: C(5) = C(5) = C(5) C(5) = = = 8 Eemplo: Suponha que o custo total ao se fabricar unidades de brinquedos seja de C( ) 5. a) Deduza a fórmula do custo marginal. Resp.: C (X) = 6X + 5 Matemática Aplicada Página 6 6

27 b) Qual é o custo marginal de 5 unidades produzidas? Resp.: C (5) = 5 c) Qual é o custo real de produção do 5º brinquedo? Resp.: =C(5) C(5)= =8 Note que as respostas dos itens b e c diferem por R$,, isto é, o custo marginal é próimo do custo real de produção de uma unidade adicional. Esta discrepância ocorre porque o custo marginal é a taa de variação instantânea de C() em relação a uma unidade de variação em q. Logo, C (5) é o custo aproimado da produção do 5º brinquedo. Observe que o cálculo de C (5), no eemplo, é mais simples do que o de C(5) C(5). Os economistas freqüentemente aproimam o custo da produção de uma quantidade adicional usando a função custo marginal. Mais claramente, C (n) é o custo aproimado da (n+) ésima unidade que as n primeiras unidades tiverem sido produzidas. As respostas dos itens b e c do eemplo anterior são muito próimas por causa da proimidade dos pontos (5; C(5)) e (5; C(5)), e porque esses pontos pertencem a uma porção praticamente linear da curva de custo. Para tais pontos, o coeficiente angular da secante é uma boa aproimação do coeficiente angular da tangente. Como usualmente se obtém esta aproimação e sendo mais fácil, de maneira geral, calcula-se o custo marginal como aproimação do custo real de produção de uma unidade adicional, como já dissemos acima. De maneira geral, em Economia, Análise Marginal se refere ao uso de derivadas de funções para estimar a variação ocorrida no valor da variável dependente, quando há um acréscimo de unidade no valor da variável independente. Eemplo: Suponha que C() seja o custo total de produção de q unidades de canetas, e C( ) 8. Ache as funções: a) Custo Médio Resp.: C ( ) 8 b) Custo Marginal Resp.: C () = 4 + EXERCÍCIOS ANÁLISE MARGINAL. Quando unidades de um certo produto são fabricadas, o custo total de fabricação é C(q) = reais. Quando será menor o custo médio de produção por unidade? (custo médio por unidade = custo total dividido pelo n º de unidades.).. Determine os etremos máimo e mínimo das seguintes funções no intervalo especificado: a. f() =, b. f() = - +, - c. f() = , -. Um estudo da eficiência do turno da manhã de uma fábrica indica que um operário médio, chegando ao trabalho às 8 horas, terá montado Q(t) = -t + 9t + t unidades t horas depois. A que horas da manhã o operário trabalha mais eficiente?(a taa de produção é a derivada Matemática Aplicada Página 7 7

28 da montagem, ou seja, R(t) = Q (t) que é a função que tem que ser derivada para analise no intervalo t 4). 4. Calcula-se que a produção semanal de certa fábrica seja de P( ) 6 unidades, onde representa o número de operários da fábrica. Atualmente, há operários trabalhando. Usando cálculo, avalie a variação que ocorrerá na produção semanal da fábrica casa se acrescente um operário à força de trabalho eistente. 5. Estima-se que a produção semanal de uma fábrica seja de Q() = unidades,onde é o número de empregados desta fábrica. Atualmente, operários trabalham na fábrica. Use a análise marginal para estimar a variação semanal da produção resultante do emprego de mais um operário. 6. Considere a função custo C() =. d. Calcule o custo de produzir uma unidade a mais, ao nível de produção =. (ou seja, o custo da ª unidade) e. Calcule o custo marginal ao nível de produção =. 7. Suponha que o custo total para se fabricar unidades de um certo produto seja C( ) 5. a) Deduza a fórmula do custo marginal. b) Calcule o custo de produção da 5.ª unidade, empregando a aproimação fornecida pelo custo marginal. c) Calcule o custo real de produção da 5.ª unidade. 8. Suponha que o custo total para se fabricar unidade de um certo produto seja C ( ) 5. a. Deduza a fórmula do custo marginal. b. Calcule o custo de produção da 5.ª unidade, empregando a aproimação fornecida pelo custo marginal c. Calcule o custo real de produção da 5.ª unidade. 9. Dada a função demanda : 5 p p, calcule para p = 4 : a. A Receita Total b. A Receita Marginal. Sendo 4, 4p a função de demanda de um bem, onde é a quantidade demandada e p é o preço, determinar: A função receita total A função Receita Marginal A receita marginal para unidades. O Custo total de fabricação de um certo produto é de C ( ),,5 5 reais, onde é a número de unidades produzidas. a. Use análise marginal para estimar o custo de fabricação da 4.ª unidade. Matemática Aplicada Página 8 8

29 b. Calcule o custo real de fabricação da 4.ª unidade. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO(MÁXIMO OU MÍNIMO) Para encontrar o ponto etremo da função (máimo ou mínimo absoluto), que é o ponto que anula a derivada primeira de uma função, devemos: a) derivar a função; b) igualar a derivada primeira a zero; resolver a equação e encontrar o(s) valor(es) de que maimizam ou minimizam a função c) fazer o teste da derivada de.ª ordem para os valores encontrados para : Se f () > é abscissa de um mínimo local. f () < é abscissa de um máimo local Aplicações. Dada a função receita R( ), obtenha o valor de que maimiza a receita.. Dada a função de demanda p 4, obtenha o preço que deve ser cobrado para maimizar a receita.. Com relação ao eercícios anterior, qual o preço que deve ser cobrado para maimizar o lucro, se a função custo for C( ) 4? 4. A função custo mensal de fabricação de um produto é C ( ), e o preço de venda é p. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar máimo lucro? Matemática Aplicada Página 9 9

30 5. A função custo mensal de fabricação de um produto é C ( ) e a função de demanda mensal do mesmo produto é p. Qual é o preço que deve ser cobrado para maimizar o lucro? 6. Um determinado produto apresenta como função custo a curva C( ) 5 4 5, pede-se: a. A equação do custo marginal. b. O custo marginal, quando a quantidade produzida é igual a? c. A equação do custo Médio (Custo total dividido pela quantidade ) d. O Custo médio, quando a quantidade produzida for igual a 4. e. Qual é a quantidade a produzir, a fim de que o custo médio seja mínimo? 7. Seja a função Custo Total = C ( ), pede-se: a. A Equação do Custo Marginal b. A Equação do Custo Médio c. A Quantidade para que o Custo Médio seja mínimo d. O Custo Médio Mínimo e. O custo marginal para a quantidade de custo médio mínimo. 8. A equação de demanda de um monopolista é p 4, sendo a função custo C( ) 6 máimo., determine a quantidade que maimiza o lucro e determine o lucro 9. Em uma fábrica de pneus, o preço de um certo tipo de pneu é dado por p, 4 4 ( ) a. Obtenha a função receita total b. Obtenha a quantidade que maimiza a receita. c. Determine a receita máima para a quantidade acima.. Um monopolista tem um custo médio mensal de C ME ( ) 6, em que é a quantidade produzida. A função de demanda desse produto é p 5. Que preço deve ser cobrado para maimizar o lucro mensal?. Por várias semanas, o Serviço de Trânsito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa auto-estrada. Verificou-se que num dia normal de semana, à tarde, entre e 6 horas, a velocidade do tráfego é de aproimadamente V(t) =t - t + 6t + 4 Km/h transcorridas após o meio-dia. A que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, o tráfego se move mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente?. O preço de custo da pizza de atum é de R$5, cada. Um a pizzaria calcula que, se vender cada pizza por reais, os consumidores comprarão pizza por dia. Qual é o preço de venda da pizza que maimiza o lucro da pizzaria? Matemática Aplicada Página

31 . A receita total na venda de unidades de um bem é dada por: a) A equação da demanda b) A quantidade que maimiza a receita c) A receita máima d) O preço para a quantidade que maimiza a receita. R( ). Ache: 4. A equação de demanda de um certo produto e dada por: p6, determine: a) A função receita total, b) A quantidade (nível de produção) que resulta na receita máima. c) O preço cobrado quando para a receita máima. 5. Suponha que a equação de demanda de um monopolista seja dada por p, e que o custo seja constituído de uma taa fia de R$.,, mais R$ 5, por unidade produzida. Encontre a quantidade que maimiza o lucro para este nível de produção. ELASTICIDADE DE DEMADA Em geral, a demanda de um produto está associada a seu preço, na maioria dos casos, a demanda diminui à medida que seu preço aumenta. A variação percentual verificada na demanda, provocada por um aumento de % no preço constitui uma boa medida da sensibilidade da demanda em relação ao preço. Representando o preço por p, a quantidade por e uma pequena variação do preço por obtemos a fórmula de aproimação para variação percentuais: p, Em particular, se a variação for de %, isto é: Elasticidade de Demanda: p, p, substituindo na fórmula temos a f ( p) p f ( p) f ( p),p f ( p) p f ( p) f ( p) Daí Elasticidade de Demanda p f ( p) f ( p) NÍVEIS DA ELASTICIDADE Em geral é negativa, pois diminui a medida que o preço aumenta, observe a análise a seguir: Matemática Aplicada Página

32 Se A demanda é Elástica em relação ao preço Se A demanda é Inelástica em relação ao preço Se A demanda tem elasticidade unitária em relação ao preço. APLICAÇÃO ELASTICIDADE Suponha que a demanda e o preço p de um determinado produto encontrem-se relacionados pela equação: p 6 ( p ) (a) Eprima a elasticidade da demanda em função de p. (b) Calcule a elasticidade da demanda quando p =. Interprete sua resposta. Solução: f ( p) (a) Temos a função Elasticidade = p, f ( p) Como p = 6 -, devemos colocar em função de p para obter f(p) e f (p) 6 p 6 p 6 p f ( p) e f ( p) f ( p) p p p f ( p) 6 p 6 p (b) Para p = temos: ( ),% 6 5 Interpretação: Um aumento de preço equivalente a % gera uma queda na demanda de,%, isto significa dizer que este aumento não afeta a demanda (inelástica). ELASTICIDADE e RECEITA Suponha que a equação da demanda de determinado produto seja 5 p, com p 5. (a) Determine onde a demanda é elástica, inelástica e de elasticidade unitária em relação ao preço. Matemática Aplicada Página

33 (b) Utilize o resultado obtido no item (a) para determinar os intervalos em que a função receita é crescente, decrescente e o preço para o qual a receita é máima. (c) Determine eplicitamente a função receita total e utilize sua derivada para calcular os intervalos onde a função é crescente, decrescente. Determine também, o preço para o qual a receita é máima. (d) Represente graficamente os trechos mais significativos da função demanda e receita Solução: f ( p) (a) Para isso devemos achar p, f ( p) Como já temos em função de p, isto é f ( p) 5 p f ( p), substituindo em p p, 5 p 5 p p p 5 p 4p 5 p 5 (demanda unitária) 5 p p 5 (demanda inelástica) 5 p 5 (demanda elástica) (b) Crescente < p < 5 (onde f (p) > ) e Decrescente 5 < p < 5 (onde f (p) < Ponto de Máimo onde f (p) =, isto é para p = - teremos R(p) = 5 Máima (c) R(p)=.p = 5 p. p 5 p R ( p) 5 p, fazendo R (p) = temos o ponto de Máimo: 5 4p 4p 5 p 5 EXERCÍCIOS PARA SALA. A quantidade e o preço p de certo produto estão relacionados pela seguinte equação de demanda 6 p. a) Determine a elasticidade de demanda em função do preço. b) Calcular a elasticidade de demanda de um produto A para p = R$ 5, (interprete o resultado) c) Calcular a elasticidade de demanda de um produto B para p = R$ 5, (interprete o resultado). A quantidade e o preço p de certo produto estão relacionados pela seguinte equação de demanda 4p. a. Determine a elasticidade de demanda em função do preço b. Calcular a elasticidade de demanda para p = R$, c. Calcular a elasticidade de demanda para p = R$,. A equação de demanda para certo produto é 8 p, onde unidades são demandadas quando o preço p é o preço unitário. a) Ache o decréscimo relativo na demanda quando o preço de uma unidade é aumentado de $ para $,6 b) Use o resultado da parte (a) para obter uma aproimação da elasticidade-preço da demanda em p = Matemática Aplicada Página

34 c) Interprete o resultado obtido. 4. Admita que a demanda e o preço p de um certo produto estejam relacionados pela equação linear: 4 p, o p. (a) Eprima a elasticidade da demanda em função de p. (b) Calcule a elasticidade da demanda quando p =. Interprete sua resposta. (c) Calcule a elasticidade da demanda quando p = 5. Interprete o resultado. (d) Para que preço a elasticidade da demanda é igual a -? em termos de Economia, qual o significado deste preço? 5. Suponha que a equação da demanda de um determinado produto seja 6, p, p. (a) Eprima a elasticidade de demanda em função de p. (b) Calcule a elasticidade de demanda quando o preço p =. Interprete o resultado obtido. (c) Em que preço a elasticidade da demanda é igual a -? O que significa este resultado? TRABALHO - DERIVADAS para o dia da prova Quem quer fazer alguma coisa encontra um meio, Quem não quer fazer nada, encontra uma desculpa Pensamento Árabe. DERIVADAS APLICAÇÕES. Uma empresa estima que são gastos em propaganda, ela irá vender unidades de um produto, onde = a) Ache a taa de variação média de em relação a quando a verba de propaganda é aumentada de $. para $.. b) Ache a taa de variação instantânea (ou marginal) de em relação a quando a verba de propaganda é de $.. Suponha que H() unidades de um produto sejam produzidas diariamente quando máquinas são usadas, e H() = + 4. Aplique derivada para estimar a variação na produção diária, se o número de máquinas usadas for aumentado de para.. A equação de demanda para um certo tipo de bijuteria é = p p onde unidades são demandadas quando p é o preço por unidade. a) Ache a taa de variação média da demanda em relação ao preço quando este é aumentado de $4 para $4,5. b) Ache a taa de variação instantânea da demanda em relação ao preço quando é $4. 4. A equação de demanda para um certo tipo de detergente é = (5 5p p ) onde caias são demandadas quando p é o preço por caia. a) Ache a taa de variação média da demanda em relação ao preço quando este é aumentado de $ para $,. Matemática Aplicada Página 4 4

35 b) Ache a taa de variação instantânea da demanda em relação ao preço quando o preço é $. 5. A equação de oferta para um certo tipo de lâmpada é = (4 + p + p ) onde lâmpadas são ofertadas quando p é o preço por lâmpada. a) Ache a taa de variação média da oferta em relação ao preço quando este é aumentado de $,9 para $,9. b) Ache a taa de variação instantânea da oferta em relação ao preço quando este é $,9. 6. Estima-se que um operário num estabelecimento que faz molduras de quadros possa pintar molduras horas depois do início do trabalho às 8 horas da manhã, e = + 8 a) Ache a taa segundo a qual o operário está pintando às horas da manhã b) Ache o número de molduras prontas entre e horas da manhã. 7. Suponha que uma pessoas possa aprender f(t) palavras sem sentido em t horas e que f(t) = 5.t /. Ache a taa de aprendizado da pessoa após 8 horas. 8. Uma frente fria aproima-se do campus universitário. A temperatura é z graus t horas após a meia-noite e z =,.(4 4t + t ) a) Ache a taa de variação média de z em relação a t entre 5 e 6 horas da manhã. b) Ache a taa de variação instantânea de z em relação a t às 5 horas da manhã. 9. Espera-se que a população de uma certa cidade t anos após.º de Janeiro de 4 seja f(t), onde 4 f( t) t a) Use derivada para estimar a mudança esperada na população de.º de Janeiro de 8 a º de Janeiro de 9. b) Ache a mudança eata esperada na população de.º de Janeiro de 4 a º de Janeiro de 9.. Suponha que sob monopólio a equação de demanda para um certo produto seja: p = 4, onde unidades são produzidas a cada dia e p é o preço unitário. O custo total da produção de unidades é de C() = 6 +. Se o lucro diário deve ser o maior possível, ache o número de unidades que o monopolista deve produzir a cada dia, o preço e o lucro diários.. Uma indústria de jogos eletrônicos operando sob concorrência perfeita fabrica e vende jogos para computadores. A empresa pode vender a um preço de $75, cada, todos os jogos que produz. Se jogos forem fabricados por mês e C() for o custo total mensal de produção, então C() = Quantos jogos deveram ser produzidos e vendidos para que a empresa tenha um lucro total mensal máimo? Qual é o lucro mensal máimo da empresa?. Um monopolista determina que se C() é o custo total da produção de unidades de um certo produto, então C() = + 5. A equação de demanda é dada por p =,, onde unidades são demandadas quando p é o preço unitário. Se o lucro total deve ser maimizado, ache a) O número de unidades que deveriam ser produzidas; b) O preço de cada unidade; c) O lucro máimo.. Uma empresa monopolista, determina que a equação de demanda de seu produto é dada por: + 5p =, onde unidades são demandadas quando o preço unitário é p. O custo de Matemática Aplicada Página 5 5

36 produção é dado por uma taa fia de $, mais $4, por unidade. Se o lucro total deve ser o maior possível, ache: a) O número de unidades que devem ser produzidas; b) O preço de cada unidade; c) O lucro máimo que pode ser obtido. 4. Sob monopólio, a equação de demanda para certo produto é p = 9,, onde unidades são demandadas quando o preço unitário é p. Se para a produção de unidades temos um custo fio de $ 5 e um custo variável de $4, por unidade, determine: a) O número de unidades que devem ser produzidas para se ter o lucro máimo; b) O preço unitário para se ter o lucro máimo; c) O lucro Máimo. 5. Sob monopólio, a equação de demanda para um certo artigo é + 5p =, onde unidades são produzidas a um preço unitário de p. O custo total de produção de unidades é C( ). Ache o preço unitário e a quantidade para que o lucro total seja maimizado. 6. Uma certa indústria de equipamentos eletrônicos estima que o custo total (em reais) envolvido na fabricação de peças de um certo aparelho no primeiro ano de produção será de C() = + e a equação de demanda para esse aparelho é dada por p = -, a) Encontre a função Receita; b) Determine a Receita Marginal; c) Calcule usando o conceito de função marginal a receita aproimada da venda da 5ª unidade desse aparelho; d) Determine a função lucro; e) Determine a função lucro marginal; f) Calcule o lucro marginal para = 5 e interprete o resultado obtido. 7. A demanda semanal por um certo modelo de TV-digital é igual a p = 6,5 onde p denota o preço unitário por atacado em reais e denota a quantidade demandada. A função custo total semanal associada com a produção é dada por C() =,, onde C() denota o custo total envolvido na produção de unidades. a) Determine as funções Receita e Lucro; b) Encontre as funções: Custo Marginal, Receita Marginal e Lucro Marginal; c) Calcule e interprete o resultado C (), R () e L () 8. A demanda semanal por um certo modelo de TV-digital é igual a p = -,6 + 8 onde p denota o preço unitário por atacado em reais e denota a quantidade demandada. A função custo total semanal associada com a produção é dada por C() =,, onde C() denota o custo total envolvido na produção de unidades. a) Determine as funções Receita e Lucro; b) Encontre as funções: Custo Marginal, Receita Marginal e Lucro Marginal; c) Calcule e interprete o resultado C (), R () e L (). Matemática Aplicada Página 6 6

37 9. Uma imobiliária responsável pelo aluguel de apartamentos num prédio no litoral possui unidades para ser alugadas. O lucro (em reais) obtido pelo aluguel de unidades é L() = a) Qual é o lucro real obtido no aluguel da 5ª unidades? b) Calcule o lucro marginal quando = 5 e compara com o resultado do item (a).. A quantidade demandada mensal de um certo equipamento eletrônico será relacionada com o 5 preço unitário com a equação p, onde p é preço em reais e em milhares., a) Determine a função receita ; b) Determine a função receita marginal; c) Determine a receita real para a venda de unidades; d) calcule R () e interprete o resultado.. Considere a equação de demanda p = -, +4, que descreve a relação entre o preço unitário em reais e a quantidade demandada do um determinado produto. a) Determine função Elasticidade da demanda E(p). b) Calcule E() e interprete o resultado. c) Calcule E() e interprete o resultado.. Se a equação de demanda de um certo bem de consumo é dada por: p = 4,, onde unidades são produzidas a cada dia e p é o preço unitário, determine: a) A função Elasticidade-demanda-preço; b) A elasticidade de demanda quando p = $4,, interprete o resultado obtido. c) A elasticidade de demanda quando p = $,5, interprete o resultado obtido. d) A elasticidade de demanda quando p = $,, interprete o resultado obtido. ]. A equação de demanda para certo produto é = 8 -p onde unidades são demandadas quando p é o preço unitário. a) Ache a função Elasticidade-demanda-preço; b) Calcule a elasticidade quando p = e interprete o resultado obtido. c) Calcule a elasticidade quando p =,5 e interprete o resultado obtido. d) Calcule usando a elasticidade de demanda o preço máimo que pode ser cobrado pelo produto. 4. A equação de demanda para certo produto é dada por = p 4p. Se o preço por unidade é aumentado de $ para $,, ache o decréscimo relativo na demanda. Matemática Aplicada Página 7 7

38 INTEGRAL INDEFINIDA Termos, Símbolos e Fórmulas Importantes: Primitiva; anti-derivada ou integral indefinida:. INTEGRAL INDEFINIDA: f ( ) d F( ) c, onde f () é a primitiva de F() e C é uma constante qualquer. A função f f () é denominada função integrando; O símbolo é chamado de integral; A função F F() é chamada primitiva ou integral indefinida ou antiderivada; O símbolo d indica a variável que está sendo considerada para obtermos F() f (). Regras de Integração n n. Regra da Potência: d c, para n. n. A integral de : d ln C, onde ln log e (log Neperiano) c. f ( ) d c. f ( ) d. Regra da constante multiplicada: 4. Regra da Soma: ( ) g( ) d f ( ) d f g( ) d 5. Integral de e : e d e C 6. Integral por substituição: du g u g( u) C, onde: g (u) é a primitiva de g ( u) d Eemplos resolvidos:. Calcule as integrais indicadas: 5 (a) d Resolução: Matemática Aplicada Página 8 8

39 5 Aplicando a regra temos: d d (da potência) em cada fator: 6 6. c c 6 6 (b) e d Resolução: = e d d d. = e.ln c 6 = e d. d d d, agora devemos aplicar a regra. Calcule as integrais indicadas usando o método da substituição: 8 (a) Resolução: Substituindo d 5 u du d du d, Voltando na função, 9 8 du 8 u u.. 9. u du 9. c u c 5 9 (b) d Resolução: du Usando o método de substituição, chamando u, calculando, isolando d, d du temos: d (Mas, observe que se substituirmos na função original, não haverá uma simplificação, para simplificarmos vamos multiplicar os dois lados por, temos então: du. d., Substituindo agora na função integranda,: du.. du.ln u c, voltando com o u temos então finalmente a função u u primitiva: f ( ) ln c. c Matemática Aplicada Página 9 9

40 Eercícios sala de Aula: Encontre o resultado das Integrais Indefinidas a seguir: (a) (b) (c) /5 d (h) d d (i) 5 5 ( ) d (o) 4e. d (p) / / (j) 6 d 5 (d) d (k). d (e) d (l) e d (s) (f) (g) d (q) d 7 d d = (r). 4 d 5 d (m) d (t) 6 d 4 d (n) d (u) 4. d GABARITO (a) 5 8/5 F( ). c (i) 5 F( ) c (q) F( ) ln c 8 5 / 5/ (b) F( ) c (j) 9 F( ) 6 c (r) F( ) c 5 (c) F( ) c (k) 4 4 F( ) c (s) F( ) 5.ln c 6 (l) F() e c (d) F( ) c (t) F( ) 6.ln c 6 (e) F 4 ( ) c (m) (u) F( ) ln c F( ) c 4 (f) F( ) c (n) 4 F( ) c (g) F( ) c () F( ) 4e c 6 4 (h) F 5 ( ) c (p) F ( ) ln( 7) c Matemática Aplicada Página 4 4

41 INTEGRAL DEFINIDA. INTEGRAL DEFINIDA: A integral definida de f() de a até b é a diferença b f ( ) d F ( b ) F ( a ), onde F é a primitiva de f(). Quer dizer: a integral definida é a a variação líquida da primitiva, entre = a e = b 4 (a) 8 d (b) (c) 5 (d) Eercícios para Sala de Aula 4 (k) 4 5 (f ) d 5 d 4 ( )d (g) d (l) 7d d (h) e d (m) ( 4)d 4 ( ) d (i) (e) ( 4 e ) d (j) 4 (n) d d 5 Gabarito (a) { } ( f ) { -4 } (k) 8,875 (b) {7/} (g) { 8 ln } =,765 (l) {5/4} (c) {.7} (h) {.e (m) {5 } (d) {4/} (i) {7,99} (n) {,667} (e) { + e} = 7,465 (j) { 7 6 ln 9 d. ÁREA DE UMA REGIÃO EM UM PLANO: Considere a função f() representada no gráfico a seguir, a área de região destacada, limitada pelas retas verticais =, =, pelo eio e pelo gráfico de f() pode ser calculada através de uma integral, definida de até, isto é: Matemática Aplicada Página 4 4

42 ÁREA = f d Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se f ( ) para todo [ a, b] então o número de unidades quadradas na área da região limitada pela curva f (), o eio e as retas = a e = b é igual: b A( ) f ( ) d F( b) F( a) a Obs: Se f ( ) para todo [ a, b], definimos a área da região como: A ( ) f ( ) d f ( ) d b a b a 4. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS Se f() e g() forem contínuas no intervalo [a,b], com f ( ) g( ), e A a área da região limitada pelos gráficos de f() e g() pelas verticais a e b, Matemática Aplicada Página 4 4

43 Área f ( ) g( ) d b a Eemplos a) Determine a área da região limitada pela curva, as retas e e o eio. Solução: Construir o gráfico das três funções no mesmo plano: Calcular a integral definida para o intervalo [-,] d... 6 b) Calcular a área limitada pela curva 4, o eio, e as retas e. Solução: Construir os gráficos: Integrar a função no intervalo [,] Matemática Aplicada Página 4 4

44 MATEMÁTICA APLICADA 4 4d. APLICAÇÕES NA ECONOMIA:. Lucro Líquido Ecedente: Suponhamos que, daqui a anos, dois planos de investimentos estejam gerando lucros respectivamente segundo as taas L ( ) e L ( ) reais por ano e que, ao longo de todos os N anos, a taa L ( ) seja maior que L ( ), conforme figura: Lucro Líquido =. Ganho líquido proporcionado por um equipamento industrial N Ganho Líq. Ecedente = [ R ( ) R ( )] d Matemática Aplicada Página 44 44

45 . Curva de Demanda e propensão de gastos do consumidor Propensão de Gastos do Consumidor = D ( ) d 4. Economia do consumidor = E.C. E.C. = [ D ( ) ] d Matemática Aplicada Página 45 45

46 Eercícios aplicados. Suponha que a função demanda de determinado produto seja: D( ) $4. 5 unidades. por a) Determine a economia do consumidor, se o preço unitário for $ 64. Resolução: Como temos o preço unitário e a função demanda, devemos encontrar a quantidade demandada, para isso, fazemos: 64 45, daqui achamos que =, portanto a quantidade demanda para este preço é três. Agora é só integrar a função demanda de até. D ( ) d $7, d (b) Trace a curva de demanda e interprete a economia do consumidor com uma área. No gráfico temos: (a) Suponha que a função demanda de determinado produto seja D( ) 4 reais por unidade. a) Determine a quantidade total que os consumidores disporse-ão a pagar a fim de adquirir três unidade do produto. Resolução: Basta fazer a integral definida de a da função demanda! D ( ) d 4 d ( 4. ) $64, EXERCÍCIOS PARA SALA Matemática Aplicada Página 46 46

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