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1 Faculdade de Egeharia - Campus de Guaratiguetá esquisa Operacioal Livro: Itrodução à esquisa Operacioal Capítulo 6 Teoria de Filas Ferado Maris Departameto de rodução

2 umário Itrodução Estrutura de um istema de Filas Características Básicas Notação de Kedall Medidas de Desempeho de istemas de Filas Tipos de istemas de Filas Estatística e istemas de Filas roblemas de Decisão em istemas de Filas rocessos de Nascimeto e Morte (-N-M) Modelos Markoviaos Exercícios esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 2

3 Itrodução Objetivo: Desevolvimeto de modelos matemáticos para permitir prever o comportameto de istemas de restação de erviços (istemas de Filas). Motivação: ossibilidade de testar possíveis modificações em istemas de Filas que cotribuam para melhorar seu redimeto, e obter subsídios para escolha da melhor alterativa de ação. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 3

4 Exemplos de istemas de restação de erviços (Filas) Cogestioametos de sistemas telefôicos (Erlag); Escolha do tipo de sialização para itersecções de vias urbaas (pare, semáforo); Otimização de ciclo de um semáforo; Dimesioameto de equipes de mauteção; Aálise de cogestioametos em aeroportos. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 4

5 Estrutura de um istema de Filas rocesso de Chegadas Capacidade do istema rocesso de Atedimeto Tamaho da opulação Disciplia de Atedimeto esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 5

6 Características Básicas rocesso de Chegadas: Quatos clietes solicitaram serviço em [, t]? Caracterizado pela distribuição de probabilidades dos itervalos etre chegadas cosecutivas (ou pela distribuição de probabilidades do úmero de chegadas em itervalos disjutos). Chegadas podem ser idividuais ou em grupos. Caso importate: Número de Chegadas segue um rocesso de oisso com média de chegadas. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 6

7 Características Básicas rocesso de Atedimeto: Quato tempo demora o atedimeto? Caracterizado pela distribuição de probabilidades da duração do atedimeto (ou distribuição de probabilidades do úmero de atedimetos em itervalos disjutos).. A estação de serviços pode ser formada por um ou mais servidores. Atedimeto pode ser idividual ou em grupos. Caso importate: duração do atedimeto é uma variável aleatória com distribuição de probabilidades dada por uma expoecial egativa com média /. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 7

8 Características Básicas Tamaho da opulação: Fiita ou Ifiita Capacidade do sistema: Quatos clietes podem estar o sistema (fila + posições de atedimeto) ao mesmo tempo. Disciplia de Atedimeto: - Forma como os clietes são selecioados da fila para serem atedidos. Tipos: FIFO, LIFO, FEFO, com prioridades, aleatória. Modelos sofisticados: Troca de filas Desistêcias Redes de filas Atedimeto/chegada depedete do tamaho da fila esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 8

9 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá Notação de Kedall Fila Campo I/Campo II/Campo III/Campo IV/Campo V/Campo VI com Campo I - iformação sobre a distribuição de probabilidades dos itervalos etre chegadas (D, M, E K,G); Campo II - iformação sobre a distribuição de probabilidades dos tempos de atedimetos (D, M, E K,G); Campo III - iformação sobre o úmero de atedetes (em paralelo) para a fila; Campo IV - iformação sobre a capacidade do sistema; Campo V - iformação sobre o tamaho da população; Campo VI - iformação sobre a disciplia de atedimeto. Exemplo: Fila M/M/3/2/3/LIFO com = 3/h e = 5/h. Obs: Quado capacidade do sistema e o tamaho da população puderem ser admitidas como sedo, e a disciplia for a FIFO os Campos IV, V, VI podem ser omitidos. 9

10 Medidas de Desempeho (KIs) de istemas de Filas (Queues) Tempo que o cliete fica a fila - W q Tempo que o cliete fica o sistema W s (ou W) Número de clietes a fila - L q Número de clietes o sistema L s (ou L) Ociosidade dos servidores - Observe-se que todas estas medidas são variáveis aleatórias. Covecioou-se aalisar seus valores médios medidos uma situação de estado de equilíbrio de fucioameto do sistema. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá

11 Tipos de istemas de Filas Markoviaos - para caracterizar o comportameto futuro do sistema basta cohecer o seu estado atual (por exemplo: o úmero de clietes o sistema o mometo). Não-Markoviaos - para caracterizar o comportameto futuro do sistema é ecessário cohecer o seu estado atual e se ter iformações sobre o passado (por exemplo: o tempo que o cliete que está sedo atedido já demadou de serviço). esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá

12 Iferêcia Estatística: Estatística e istemas de Filas Qual modelo se adapta a uma dada situação? Necessário aplicar técicas estatísticas de estimação de parâmetros e testes de aderêcia para a escolha da distribuição de probabilidades adequada para cada caso. Importate: as medidas de eficiêcia do sistema de filas são depedetes das taxas de chegadas () e de atedimetos (). esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 2

13 roblemas de Decisão em istemas de Filas rojeto - istema deve ter algumas características desejadas escolher o úmero de servidores, qual o tamaho máximo admissível para a fila, qual a disciplia de atedimeto adequada... Cotrole - Como e quado alterar as características básicas do sistema de forma a otimizar algum critério ecoômico de iteresse. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 3

14 roblemas de Decisão em istemas de Filas Variáveis comumete observadas - tamaho da fila ou a quatidade de trabalho acumulado por executar pelos servidores. Custos comumete evolvidos - custo de espera (cliete), custo do atedimeto (servidor), custo de perda de clietes em potecial, custo de ociosidade do servidor. Decisões possíveis - fechar o sistema para ovos clietes e/ou acelerar o atedimeto. Importate: a impossibilidade de se desevolver modelos matemáticos para situações complexas recomeda-se o uso da técica de imulação de istemas. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 4

15 rocessos de Nascimeto e Morte (-N-M): Defiições Estado do sistema = úmero de clietes o sistema = Nascimeto represeta etrada de cliete o sistema. Morte represeta saída de cliete do sistema. = taxa média de chegadas quado há clietes o sistema. = taxa média de atedimetos quado há clietes o sistema. -N-M: chegadas e atedimetos aleatórios, e e depedem apeas do estado do sistema. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 5

16 rocessos de Nascimeto e Morte (-N-M): ostulados (Fução o(t) é um ulo quado t tede a zero) Admita o sistema o estado o istate t (I)Nascimeto - robabilidade de ocorrer exatamete ascimeto o itervalo de tempo t é dada por T + o(t). (II) Morte - robabilidade de ocorrer exatamete morte o itervalo de tempo t é dada por T + o(t). (III) alto múltiplo - robabilidade de ocorrer úmero de ascimetos e mortes superior a é dado por o(t). esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 6

17 rocessos de Nascimeto e Morte (-N-M): Cosequêcia: o estado do sistema em t + t pode ter sido alcaçado a partir de 4 situações mutuamete exclusivas do sistema o istate t:, -, +, outra. eja p (t) = probabilidade do sistema estar o estado o istate t = probabilidade de existir clietes o sistema o istate t. Estado Evetos em t robabilidades - ascimeto - (t).( - T + o(t)). () + morte + (t).( + T + o(t)). (2) Nehum (t).( - T - T + o(t)). (3) Outro Múltiplos O(t). (4) (t + t) = () + (2) + (3) + (4). esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 7

18 rocessos de Nascimeto e Morte (-N-M): Rearrajado a expressão p (t + t), dividido por t e passado ao limite quado t, tem-se: d ( T ) dt d ( T ) dt Que resulta em: = - p - (t) + + p + (t) - ( + )p (t). Aalisado o sistema em regime estacioário, tem-se = = ( + ) para > para = (A) (B) esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 8

19 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá rocessos de Nascimeto e Morte (-N-M): Da expressão (A) tem-se: (C) - + = - ) + ( - - (D) Aplicado cojutamete ( C) e (D) tem-se: Da expressão (B) tem-se:

20 rocessos de Nascimeto e Morte (-N-M): Como sabe-se que, cosiderado todos os estados possíveis do sistema, tem-se: ou seja + = = ubstituido a expressão de + vem: i i j j e = + i i, j = j i j = proporção do tempo que o sistema fica vazio (servidores ociosos) esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 2

21 Modelos Markoviaos. Fila M/M/ 2. Fila M/M/ 3. Fila M/M//N* 4. Fila M/M//N* 5. Fila M/M/ com população fiita p 6. Fila M/M/ com população fiita p Obs: No livro texto há 9 modelos descritos. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 2

22 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá Modelo M/M/ Como ão há limitação para a formação de fila, e a população é ifiita, tem-se: = e = para todo =,, 2, 3... Assim: <. para =- - = = + = i i > para = j j i i 22

23 Modelo M/M/ Defia = / como o fator de utilização ou cogestioameto do istema de Filas. Tem-se etão: = (- ) para =,, 2, 3,... Cálculo do úmero médio de clietes o sistema: L = - = Cálculo do úmero médio de clietes a fila: LQ = ( -) = 2 ( - ) esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 23

24 Modelo M/M/ Utilizado-se a Fórmula de Little (96) L, Q = W, Q, tem-se: Tempo médio de um cliete o sistema Ws - Tempo médio de um cliete a fila WQ - esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 24

25 Modelo M/M/ Neste caso o modelo de filas tem s servidores em paralelo para atedimeto dos clietes: Ode = taxa média de atedimeto/servidor = para =,, 2, 3... se se esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá

26 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá Modelo M/M/ ara este sistema tem-se: com = /s < Obs: ver Diagrama com os valores de para =, 2, 3, 4, 5, 7,, 5, 2, 25. N = -! +! = > se! se!

27 Diagrama - Valores de para a Fila M/M/ 7 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá s 27

28 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá Modelo M/M/! - = L Q W Q = L Q / W = W Q + / L = L Q + / Obs: ver Diagrama 2 com valores de L para =, 2, 3, 4, 5, 7,, 5, 2, !, = C Fórmula C de Erlag 7

29 Diagrama 2 - Valores de L para a Fila M/M/ esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá s 29

30 FILA M/M//N* rocesso de Chegadas: oisso, taxa Tempo de erviço: Expoecial, taxa Número de Atedetes: Capacidade do istema: N* esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 3

31 FILA M/M//N* a) A restrição de capacidade pode surgir ou por uma restrição física do sistema ou por iiciativa do cliete. b) Como existe essa restrição de capacidade, este caso temse:, se =,,...,N *-, se N * e para, 2,... esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 3

32 FILA M/M//N* c) Não será preciso a restrição = /s < eguido a mesma seqüêcia da fila M/M/, tem-se: N* N* N* esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 32

33 FILA M/M//N* N para 2 N *,,,..., * L N * N * L N* N* Lq L esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 33

34 ara a Fila M/M//N*, o tempo médio que um usuário passa o sistema pode ser de dois tipos: W tempo médio, levado em cota todos os usuários, atribuidose tempo zero aos usuários que foram recusados; ele pode ser calculado diretamete por: L W 2 W tempo médio, cosiderado-se apeas os usuários que se jutam ao sistema; deve-se tomar algum cuidado o seu cálculo, pois, este caso, o processo de chegadas ão possui mais taxa, pois toda vez que um cosumidor ecotra N* usuários o sistema, ele é perdido. ode-se mostrar que a taxa de chegadas é agora igual a N * e portato: 2 L W W esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá N* N* 34

35 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 35 FILA M/M//N* Observação: para N * *, *, N se N se * se, se, N *, *,...,,!,,...,,! N se N se se

36 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 36,! *!,!! * se N se N, 2 *!, *! * * 2 se N N se N L N N q FILA M/M//N*

37 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 37 FILA M/M//N* /,, * q q q N L W W W,! *,! * se N L se L L q N q

38 FILA M/M/, com população fiita p Em algus casos o úmero de clietes em potecial para a estação de serviços é pequeo. e este valor for tão pequeo que a chegada de um cliete para ser atedido ou um atedimeto afeta a probabilidade de futuras chegadas, ão será mais válido o pressuposto de uma população ifiita. Assim, tem-se: p, se p, se p, se, 2,..., p esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá ode p = úmero de usuários a população 38

39 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 39 FILA M/M/, com população fiita p ode-se obter as seguites expressões: p p p p para p 2!!,!!,,..., L p L p q, W L W L com p L q q, Obs: ver Diagrama 3 com os valores de para p=, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

40 M/M/, com população fiita p p= p=2 p=3 p=4 p=5 p=6 p=7 p= p=9 p=8 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 4

41 FILA M/M/, com população fiita p Aqui tem-se: para p p, se,,..., p, se p, se, 2,...,, se,,..., p esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 4

42 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 42 FILA M/M/, com população fiita p ode-se obter: p p p p p!!!!!! p p se p p se p se p!!!,!!!,,

43 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 43!! p p L p p L L p q p W L W L com p L q q,, FILA M/M/, com população fiita p

44 Exercícios. Uma copiadora para uso de escritório é usada e operada por pessoas deste mesmo escritório que precisam fazer cópias, pricipalmete secretárias. Como o trabalho a ser copiado varia de tamaho ( o de págias do origial) e quato ao o de cópias, a taxa de atedimeto é distribuída aleatoriamete, mas se aproxima de um processo de oisso tedo uma taxa de atedimeto médio de trabalhos por hora. Geralmete as ecessidades de uso são aleatórias durate as 8 horas de trabalho diário, mas chegam a uma taxa de 5 por hora. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 44

45 Exercícios Várias pessoas otaram que surge uma liha de espera às vezes, e elas têm questioado a política de se mater apeas uma uidade. e o tempo de uma secretária custa $3,5 por hora, faça uma aálise para determiar: (a) A utilização da copiadora; (b) O percetual de vezes que uma secretária tem de esperar para usar a copiadora; (c) O tempo médio que uma secretária permaece o sistema de filas da copiadora; (d) O custo total médio de espera e operação da copiadora pelas secretárias um dia. L o esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 45

46 Exercícios 2. A situação apresetada o exercício () foi questioada e resolveu-se cosiderar a possibilidade de se istalar duas máquias ou de se alugar uma máquia maior, sedo que os dados adicioais são forecidos a seguir. Recalcule todos os ites de (a) a (d). Qual é a melhor opção etre as três aalisadas: máquia pequea, máquia grade ou 2 máquias pequeas? Máquia pequea (atual) Máquia grade [trab/hora] 5 Custo de aluguel [$/dia] 5 esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 46

47 Exercícios 3. Um empresário tem plao para abrir um serviço automático de lavagem de carros uma determiada região de uma cidade, para tato realizou uma pesquisa que proporcioou os seguites dados: Número de Clietes em potecial deverá seguir uma distribuição de oisso, com uma chegada cada 5 miutos, desde que haja lugar a área de estacioameto do sistema de lavagem de carros. Tempo para lavar um carro deverá seguir uma distribuição Expoecial Negativa, com média de 4 miutos. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 47

48 Exercícios ara ajudar a decisão de ode abrir o egócio, o empresário idetificou 3 locais dispoíveis, L, L2 e L3. Estes locais têm capacidades diferetes, com respeito à área para estacioameto, coforme abaixo: (a) L - ão tem espaço para estacioameto, só cabe a máquia para lavar os carros; (b) L2 há espaço para 2 carros estacioarem, além daquele que está sedo atedido a máquia; (c) L3 - há espaço para 4 carros estacioarem, além daquele que está sedo atedido a máquia. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 48

49 Exercícios Evidetemete, os valores dos aluguéis de cada local são diferetes, sedo o do L o mais barato e o de L3 o mais caro. ara ter mais uma iformação para a sua tomada de decisão, além dos valores dos aluguéis, o empresário deseja comparar porcetagem de fregueses perdidos por ão haver espaço o estacioameto do local escolhido (ão icluido o carro sedo lavado). esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 49

50 Exercícios 4. Camihões chegam um armazém para descarga segudo uma distribuição de oisso o ritmo de 3 camihões por hora. A distribuição do tempo de atedimeto é aproximadamete uma expoecial com média de 5 miutos. Calcular: (a) o úmero de camihões a fila (b) o úmero de camihões o sistema (c) o tempo médio de espera a fila (d) o tempo médio de espera o sistema (e) a probabilidade de 6 camihões estarem o sistema (f) o fator de utilização. L o esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 5

51 Exercícios 5. Uma refiaria distribui seus produtos por itermédio de camihões, carregados o posto de carregameto. ão carregados tato os camihões da empresa como os camihões dos distribuidores idepedetes. As firmas idepedetes reclamam que, às vezes, têm de esperar em fila e perdem, assim, diheiro ao pagarem um camihão e um motorista que só estão esperado. ediram à refiaria ou para istalar um ovo poto de carregameto ou para fazer descotos equivaletes ao tempo de espera. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 5

52 Exercícios Foram colhidos os seguites dados: Taxa média de chegada (todos os camihões) = 2/hora Taxa de atedimeto médio = 3/hora. abe-se que 3% dos camihões são idepedetes. upodo que estas taxas sejam aleatórias coforme uma distribuição de oisso determie: (a) A probabilidade de que um camihão tem de esperar (b) O tempo médio que um camihão espera (c) O tempo total médio de espera dos camihões idepedetes por dia. esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 52

53 Exercícios 6. Um guidaste suspeso faz trasportes de uma máquia para outra e deve ser usado sempre que uma máquia tiver de ser carregada ou descarregada. A demada de atedimeto é aleatória. Os dados colhidos referetes ao tempo trascorrido etre as chamadas de atedimeto seguem uma distribuição expoecial com uma média de chamada de 3 em 3 miutos. De modo semelhate, o tempo de atedimeto real para carga e descarga tem uma média de miutos. e o custo da máquia for de $8,5 por hora, quato custará o atraso por dia? esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 53

54 Exercícios 7. Uma compahia telefôica está plaejado istalar cabies telefôicas em um ovo aeroporto. Ela traçou a orma de que uma pessoa ão deve esperar mais do que % das vezes que ela teta usar o telefoe. A demada de uso é estimada como sedo oisso com uma média de 3 por hora. A chamada telefôica média tem uma distribuição expoecial com um tempo médio de 5 miutos. Quatas cabies telefôicas devem ser istaladas? o esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 54

55 Exercícios 8. Um mecâico atede quatro máquias. ara cada máquia o tempo médio etre as exigêcias de atedimeto é de horas e tratar-se de uma distribuição expoecial. O tempo de reparação das máquias tede a seguir a mesma distribuição e tem um tempo médio de 2 horas. Quado uma máquia pára para reparos, o custo do tempo perdido é de $2, por hora. Os custos dos mecâicos são de $5, por dia. (a) Qual o o esperado de máquias em operação? (b) Qual o custo esperado de atraso por dia? (c) eria desejável ter dois mecâicos, cada um deles atededo apeas duas máquias? esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 55

56 (o) M/M/2, com população fiita p esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 56

57 (L) M/M/2, com população fiita p esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 57

58 (o) M/M/3, com população fiita p esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 58

59 (L) M/M/3, com população fiita p esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 59

60 (o) M/M/4, com população fiita p esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 6

61 (L) M/M/4, com população fiita p esquisa Operacioal - UNE / Campus de Guaratiguetá 6

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