FILAS DE ESPERA. Notas baseadas em Introduction to Operations Research de Hillier e Lieberman.

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1 FILA DE EPERA otas baseadas em Itroductio to Operatios Research de Hillier e Lieberma. 77

2 ETRUTURA BÁICA DO ITEMA DE FILA DE EPERA Quado um determiado serviço é procurado por vários clietes, poder-se-ão formar filas de espera, já que o úmero de servidores e a duração do serviço de cada cliete usualmete ão permite que cada cliete seja atedido assim que solicita o serviço. Poderemos represetar esquematicamete o processo de formação de filas de espera do modo seguite: Fote Fila de espera istema erviço aída de clietes servidos Fote ( população ) : dimesão (fiita ou ifiita); processo de chegadas (distribuição estatística das chegadas, úmero de clietes por chegada); atitude dos clietes (p.ex., possibilidade de recusa de um cliete aceder ao serviço ao costatar que a fila de espera é muito loga; possibilidade de desistêcia de um cliete que abadoa o sistema sem ter sido servido depois de uma loga espera). istema : fila (úica; múltipla; comprimeto limitado ou ilimitado; disciplia); serviço (º de servidores; distribuição estatística da duração de um atedimeto; dimesão do serviço (o úmero de clietes que podem ser servidos simultaeamete)) capacidade do sistema (o úmero máximo de clietes que, um dado istate, podem estar o sistema, icluido os clietes que aguardam a fila e os que estão a ser servidos). Disciplia (isto é, a ordem pela qual os clietes são atedidos, destacado-se as disciplias FIFO first i, first out, ou seja, atedimeto por ordem de chegada; LIFO last i, first out, ou seja, a última etrada é processada primeiro; IRO service i radom order, ou seja, serviço por ordem aleatória e PRI, correspodete a uma ordeação com prioridades). A OTAÇÃO DE KEDALL v/w/x/y/z é utilizada para caracterizar uma fila de espera: v caracteriza o processo de chegadas, represetado a distribuição do itervalo de tempo etre chegadas cosecutivas; w caracteriza a duração do serviço; x deota o úmero de servidores; y represeta a capacidade do sistema ou a dimesão da fote, e z especifica a disciplia da fila. Cada uma das especificações v e w poderá ser igual a D, M, E k, ou G, correspodedo a Determiístico, com Distribuição Expoecial (processo Markoviao), com distribuição Erlag-k, k, 2, (Gama), ou com qualquer outra distribuição, respectivamete. Muitas vezes ão se especifica y e z, assumido-se que a capacidade do sistema é ilimitada e que a disciplia é FIFO. Exemplos: M/M/2//FIFO (terá uma distribuição do itervalo de tempo etre chegadas cosecutivas e uma distribuição da duração do serviço expoeciais, dois servidores, um limite máximo de clietes o 78

3 iterior do sistema e os clietes serão atedidos por ordem de chegada). M/D/ (processo de chegadas com uma distribuição do itervalo de tempo etre chegadas cosecutivas expoecial, e uma duração determiística do serviço, um servidor, assumido-se que o sistema tem uma capacidade ilimitada e que a disciplia será FIFO). Cosideremos dois exemplos de diferetes sistemas de filas de espera e idetifiquemos as suas características: Os visitates chegam ao átrio de etrada da Torre Paorâmica, ode poderão estar até pessoas, aguardado que o úico elevador dispoível (com uma lotação de 2 pessoas) chegue para as levar ao miradouro paorâmico. Assim, temos um sistema com capacidade limitada ( pessoas), em que os clietes são os visitates, com um úico servidor (o elevador) e com uma dimesão de serviço igual a 2 (a lotação do elevador). upõe-se que a disciplia da fila será FIFO. uma fábrica de têxteis existem 5 teares que, quado se avariam, são reparados por dois técicos de mauteção. abe-se que o itervalo de tempo etre duas avarias cosecutivas se pode cosiderar com distribuição expoecial de média 5 horas e que a reparação de cada tear avariado tem uma duração que se pode cosiderar com distribuição expoecial de média hora. Parece aceitável assumir-se que o serviço será feito por ordem de ocorrêcia das avarias, ou seja, a disciplia da fila será FIFO. Assumido que todas as máquias avariadas serão reparadas, ão há limitação a capacidade do sistema (o etato, ão será possível ter-se mais do que 5 máquias avariadas), pelo que teremos um sistema M/M/2/5/FIFO alimetado por uma fote com dimesão fiita (5), já que os teares avariados serão os clietes. Os dois servidores são os técicos de mauteção. Exercício: uma olaria trabalham dois artesãos um deles a produção das peças propriamete ditas, e o outro a sua decoração. As peças são fabricadas uma a uma, chegado ao artesão ecarregado da decoração a um ritmo que se pode cosiderar costate de uma peça por cada 3 miutos. A duração da decoração de cada peça pode também ser assumida costate e igual a 45 miutos. O artesão decorador começa sempre pela última peça que acaba de receber da produção. As actividades a olaria são iiciadas às 8:3 horas e a produção é iterrompida das 2:3 às 3:3 e a decoração é iterrompida das 2:45 às 3:45 para almoço dos artesãos. A produção diária termia às 5:3 horas e o artesão que se dedica à decoração matém-se a trabalhar para escoar todas as peças produzidas esse dia, pelo que os iícios das mahãs ão há peças a aguardar a decoração. imule maualmete o fucioameto do sector de decoração, determiado o valor médio de peças que aguardam a sua decoração durate a mahã (8:3-2:45 horas). Determie aida a que horas o artesão decorador termia as suas actividades. Pode-se cosiderar que o sector de decoração correspode a um sistema D/D/ com um tempo etre chegadas cosecutivas igual a 3 miutos e uma duração de serviço igual a 45 miutos. As peças a decorar são os clietes e o artesão decorador é o servidor. A disciplia da fila de espera é LIFO, ou seja, atedimeto por ordem iversa à da chegada. 79

4 o quadro seguite procede-se à simulação maual do sistema. T (miutos) Chegada de cliete Atedimeto de cliete Fila de espera 8: : º º --- 9:3 º 2 º º 2 9: º : º 3 º 2 º 3 :3 º 4 º 4 º 3 : º 5 º 4 º 3, º 5 :5 --- º 5 º 3 :3 º 6 º 5 º 3, º 6 2: º 7 º 7 º 3, º 6 2:3 º 8 º 7 º 3, º 6, º 8 2: º 3, º 6, º 8 3: º 8 º 3, º 6 4: º 9 º 8 º 3, º 6, º 9 4:3 º º º 3, º 6, º 9 5: º º º 3, º 6, º 9, º 5:5 --- º º 3, º 6, º 9 5:3 º 2 º º 3, º 6, º 9, º 2 6: --- º 2 º 3, º 6, º 9 6: º 9 º 3, º 6 7: --- º 6 º 3 7: º : Durate a mahã (8:3 2:45), há um período de 75 miutos sem peças a aguardar decoração, há 9 miutos com uma peça em espera, 75 miutos com duas peças em espera, e 5 miutos com três peças em espera. Assim, o úmero médio de peças a aguardar a decoração durate a mahã é igual a ( ) / 255,2 peças. O artesão ecarregado da decoração das peças termia a sua actividade às 8:3, ficado protas 2 peças por dia. 8

5 A DITRIBUIÇÃO EXPOECIAL A distribuição expoecial é particularmete importate a caracterização dos sistemas de Filas de Espera, omeadamete para descrever os itervalos de tempo etre chegadas cosecutivas e as durações de serviço. Recordemos, etão, algumas características desta distribuição: eja T uma variável aleatória com distribuição Expoecial egativa, com parâmetro λ, isto é, T ~ Exp( λ ). Fução desidade de probabilidade: f T (t) λ f T (t) λe λt, t, t < t Fução de distribuição acumulada: F T (t), t < e λt, t F T (t) t Valor Médio / λ ; σ Desvio Padrão / λ ; γ Coef. Assim. +2 Propriedade : A fução desidade de probabilidade da distribuição Expoecial é estritamete decrescete (para t ). Como cosequêcia directa desta propriedade, poderemos escrever T ~ Expoecial, P ( T ) > P ( T 2 ) > P ( 2 T 3 ). e λ Com efeito, P ( T ) P ( T ) F T ( ) e 63,2 % (Ou seja, grade parte dos valores tomados por uma variável aleatória com distribuição Expoecial egativa são iferiores ao respectivo valor médio). P ( T 2 ) F T ( 2 ) F T ( ) 23, 3 % (De otar que, por outro lado, só poucos valores são elevados : por exemplo, maiores do que o dobro do valor médio P ( T > λ ) F T ( 2 ) ( e ) e 3,5% ). P ( 2 T 3 ) F T ( 3 ) F T ( 2 ) 8,6 % 8

6 Assim, se assumirmos que os itervalos de tempo etre chegadas cosecutivas se distribuem expoecialmete, estaremos a assumir que a maior parte desses itervalos de tempo serão curtos, pelo que se irão formado filas de espera; só esporadicamete um itervalo de tempo será elevado, permitido uma evetual regularização do sistema. e assumirmos que as durações do serviço (atedimeto) se distribuem expoecialmete, estaremos a admitir que a maior parte dos clietes será atedida rapidamete (mais rigorosamete, com durações de serviço iferiores à duração média), e que apeas um baixo úmero de clietes origiarão durações de atedimeto elevadas. Esta hipótese parece aceitável para situações em que o atedimeto a diferetes clietes pode origiar tarefas distitas, mas é meos adequada para situações em que o serviço a ser prestado a todos os clietes seja idêtico. Propriedade 2: A distribuição Expoecial ão tem memória (Propriedade Markoviaa). T ~ Expoecial, P ( T a + b T > a ) P ( T b ) Esta propriedade sigifica, quado T represeta a distribuição dos itervalos de tempo etre chegadas cosecutivas, que o itervalo de tempo até à próxima chegada é idepedete do istate que decorreu desde a última chegada o que parece aceitável para a geeralidade dos processos de chegadas dos clietes. É por este motivo que se diz que a Distribuição Expoecial ão tem memória. Propriedade 3: O míimo de várias variáveis aleatórias idepedetes com distribuição Expoecial é uma variável aleatória com distribuição Expoecial. ejam T, T 2,, T variáveis aleatórias idepedetes com distribuição Expoecial, de parâmetros, respectivamete, iguais a λ, λ 2,, λ e U míimo { T, T 2,, T } Prova-se que U ~ Expoecial ( λ ), com λ λi, ou seja, o míimo de v.a. Expoeciais é aida Expoecial com parâmetro igual à soma dos parâmetros das v.a.. i Esta propriedade tem várias implicações: i) supodo que há diferetes tipos de clietes, cada um dos quais tem um processo de chegadas com distribuição Expoecial com um parâmetro específico, pode cocluir-se que o processo de chegadas agregado, correspodete aos vários tipos de clietes, aida é descrito por uma distribuição Expoecial, com parâmetro igual à soma dos parâmetros idividuais. ii) se se tiver servidores a assegurar o atedimeto dos clietes, todos assegurado uma duração de serviço com distribuição Expoecial de parâmetro, um dado istate, o tempo ecessário para o próximo fial de serviço, de qualquer do servidores, terá distribuição Expoecial com parâmetro (.). Assim, o sistema comporta-se como se tivesse um úico servidor, com duração de serviço com distribuição Expoecial de parâmetro (.). Esta propriedade muito útil o estudo dos modelos com múltiplos servidores. 82

7 Propriedade 4: A distribuição Expoecial está relacioada com a distribuição de Poisso. e o itervalo de tempo etre chegadas cosecutivas tiver distribuição Expoecial, com parâmetro λ, etão o úmero de chegadas por uidade de tempo t tem uma distribuição de Poisso, com parâmetro m λ t. Refira-se, desde já, que o parâmetro m será igual ao valor médio da distribuição de Poisso. λ represeta a taxa média de ocorrêcias e para um processo de ocorrêcias, a distribuição do itervalo de tempo etre ocorrêcias cosecutivas for Expoecial, e se os sucessivos itervalos de tempo etre ocorrêcias cosecutivas forem idepedetes etre si, estaremos perate um Processo de Poisso. A relação etre a distribuição Expoecial e a distribuição de Poisso é particularmete útil para se avaliar o úmero de atedimetos efectuados um dado itervalo de tempo t, admitido que a duração do atedimeto tem distribuição Expoecial com parâmetro. Assim, o úmero de atedimetos efectuados por um servidor o itervalo de tempo t pode caracterizar-se com uma distribuição de Poisso de média m t. o caso de termos um atedimeto efectuado por servidores, a distribuição de Poisso passará a ter média m t. Propriedade 5: a distribuição Expoecial de parâmetro λ, para todos os valores positivos de t, verifica-se que P ( T t + t T > t) λ t, para pequeos t. e cotiuarmos a iterpretar T como o itervalo de tempo que decorreu desde o último acotecimeto (chegada, ou fial de serviço), esta propriedade idica-os que, qualquer que seja o tempo que já decorreu, a probabilidade de ocorrêcia de um ovo acotecimeto o próximo pequeo itervalo t é proporcioal a t, sedo a costate de proporcioalidade λ ( a taxa de ocorrêcias). De otar que o úmero esperado de ocorrêcias o itervalo t é exactamete igual a λ. t. A probabilidade de ocorrêcia, o etato, pode diferir ligeiramete deste valor já que existe uma (baixíssima) probabilidade de que mais do que um acotecimeto ocorra este pequeo itervalo de tempo Propriedade 6: A distribuição Expoecial ão é afectada pela agregação, ou desagregação. Imagiemos que a um sistema chegam 3 tipos de clietes, segudo processos de Poisso idepedetes, com taxas de chegada λ, λ 2, λ 3. Para descrevermos o processo geral de chegadas dos clietes, poderemos agregar estes três processos um úico processo de Poisso, com taxa de chegada λ λ +λ 2 +λ 3. Iversamete, se tivermos um processo de chegadas Poissoiao, com taxa de chegadas λ e, se existir uma probabilidade fixa de cada cliete pertecer a um determiado tipo (por exemplo, com 4 % de probabilidade será um cliete de tipo A e com 6 % de probabilidade um cliete de tipo B), poderemos desagregar o processo iicial em vários processos autóomos, também de Poisso, associados aos vários tipos de clietes (o osso exemplo, com taxas de chegada, respectivamete iguais a λ A,4. λ e λ B,6. λ). 83

8 Exercício: Admita que o processo de chegadas de clietes a uma loja pode ser cosiderado um Processo de Poisso, com uma taxa de 5 chegadas por miuto. Caracterize a distribuição do itervalo de tempo etre duas chegadas cosecutivas e a distribuição do úmero de chegadas por miuto. Cosiderado o segudo como a uidade de tempo, o itervalo de tempo etre duas chegadas cosecutivas poderá ser descrito por uma variável Expoecial de média 2 segudos ( 6 / 5 ), isto é com parâmetro λ /2. O úmero de chegadas por miuto poderá ser descrito por uma distribuição de Poisso com parâmetro m λ t (/2) 6 5. Fialmete, recordemos que a soma de k variáveis aleatórias, idepedetes e ideticamete distribuídas, com distribuição Expoecial (λ), é uma variável aleatória Erlag-K (Gama). Pelo Teorema do Limite Cetral, se k for muito elevado, a distribuição Erlag-k tederá para a distribuição ormal. ejam X i v.a. i.i.d, X i ~ Expoecial (λ), T ~ (X + X X k ) ~ Erlag-k (λ) Como E [ X ] / λ e Var [ X ] / λ 2, é fácil costatar que E [ T ] k / λ e Var [ T ] k / λ 2. Apresetemos agora, muito sumariamete, algumas características da Distribuição de Poisso. eja X uma variável aleatória com distribuição de Poisso, com parâmetro m, isto é, X ~ Poisso( m ). Fução de distribuição de probabilidade: P X (k) P X (k) P ( X k ) e m m k / k!, k,, 2, Valor Médio m ; σ 2 Variâcia m x A Distribuição de Poisso é uma das (poucas) distribuições estatísticas que goza da aditividade, isto é, a soma de variáveis aleatórias idepedetes com distribuição de Poisso é aida uma variável aleatória de Poisso (com parâmetro igual à soma dos parâmetros das variáveis que foram somadas). Por outro lado, dado o Teorema do Limite Cetral (a soma de variáveis idepedetes e ideticamete distribuídas tede para a distribuição ormal, quado se tora elevado), poderemos aproximar a Distribuição de Poisso (m) da Distribuição ormal (com valor médio e variâcia iguais a m), quado m é elevado (em termos práticos m maior do que 2). Esta aproximação permite efectuar o cálculo de probabilidades com maior facilidade o etato, há que ter em ateção o facto 84

9 de uma variável aleatória com distribuição de Poisso ser discreta, equato que a distribuição ormal descreve uma variável aleatória cotíua e fazer a chamada correcção de cotiuidade (Remete-se o leitor mais esquecido para um compêdio de Estatística ). Exercício FE Exercício FE2 85

10 O PROCEO DE ACIMETO E MORTE A maior parte dos modelos elemetares de filas de espera baseia-se o processo de ascimeto e morte. o cotexto das filas de espera, um ascimeto correspode à chegada de um ovo cliete e uma morte correspode à partida de um cliete. O estado do sistema o istate t é o úmero de clietes o sistema, deotado por (t). Um processo de ascimeto e morte obedece a três hipóteses-base: Hip.: Dado (t), a distribuição de probabilidade do tempo restate até ao próximo ascimeto (chegada) é Expoecial com parâmetro λ (,, 2, ). Hip.2: Dado (t), a distribuição de probabilidade do tempo restate até à próxima morte (fial de atedimeto) é Expoecial com parâmetro (,, 2, ). Hip.3: Em cada istate só pode ocorrer ou um ascimeto, ou uma morte. As hipóteses e 2 toram o processo de ascimeto e morte um tipo particular de Cadeias de Markov cotíuas, o que facilita o tratameto das Filas de Espera que assim podem ser descritas. A hipótese 3 simplifica adicioalmete a aálise. a figura seguite esquematiza-se o diagrama de trasição correspodete ao processo de ascimeto e morte: Estado: λ : taxa média de chegadas (º esperado de chegadas por uidade de tempo) de ovos clietes quado clietes estão o sistema. : taxa média de serviço global * (º esperado de atedimetos completados por uidade de tempo) quado clietes estão o sistema. [* global taxa combiada relativa aos servitores ocupados] As setas o diagrama represetam as úicas trasições possíveis o estado do sistema e os valores iscritos por cima, ou por baixo, de cada seta represetam a respectiva taxa média para essa trasição. Depois de o sistema ter atigido o estado de equilíbrio (se tal for possível), o diagrama de trasição facilita a determiação de resultados relevates. Há um pricípio fudametal taxa de etrada taxa de saída, que estipula que, para qualquer estado do sistema (,, 2, ), a taxa média de etradas é igual à taxa média de saídas. Este pricípio permitirá escrever, para todos os estados, a respectiva equação de equilíbrio, em fução das icógitas P (probabilidades). A resolução do sistema de equações permitirá determiar o valor dessas probabilidades. 86

11 Ilustremos a utilidade do diagrama de trasição para determiarmos as equações relativas aos estados e : Dado que só se pode etrar o estado, a partir do estado, a taxa média de etrada o estado depede apeas da taxa média de etrada o estado sabedo-se que o sistema está o estado,, e da probabilidade de ocorrêcia do estado, P, sedo igual a. P. Por outro lado, a taxa média de saída do estado será igual a λ. P. Assim, relativamete ao estado, poderemos escrever:. P λ. P A etrada o estado pode dar-se a partir do estado (depededo da taxa λ e da probabilidade de ocorrêcia do estado, P ), ou a partir do estado 2 (depededo da taxa 2 e da probabilidade P 2 ), sedo, assim, a taxa média de etrada o estado igual a λ. P + 2. P 2. Por outro lado, a saída do estado pode dar-se para o estado (depededo da taxa e da probabilidade P ), ou para o estado 2 (depededo da taxa λ e da probabilidade P ), sedo, assim, a taxa média de saída do estado igual a. P + λ. P. Assim, relativamete ao estado, poderemos escrever: λ. P + 2. P 2. P + λ. P Raciociado aalogamete poderemos determiar as equações de equilíbrio para o processo de ascimeto e morte: Estado Equação de equilíbrio. P λ. P λ. P + 2. P 2 (λ + ). P 2 λ. P + 3. P 3 (λ ). P λ -. P P + (λ + ). P Como se pode observar, temos uma variável a mais em relação ao úmero de equações. Assim, dever-se-á resolver este sistema em fução de uma das variáveis (em geral, P ). Resolvedo sequecialmete, e a partir da primeira equação, obtemos: P λ P P 2 λ λ 2 P P λ λ... λ P

12 Para simplificar a otação, poderemos deotar, para, 2,. C λ λ... λ... 2 Assim, as probabilidades de equilíbrio são dadas por: P C P, para, 2,. Como o somatório das probabilidades tem que igualar, obtém-se: P / ( + C ) Desde já poderemos avaçar algus resultados gerais aplicáveis a sistemas de filas de espera, baseados o processo de ascimeto e morte: o úmero médio de clietes o sistema será: L. P e tivermos um sistema com s servidores, haverá s clietes que estarão a se atedidos, pelo que o úmero médio de clietes a aguardar atedimeto a fila (comprimeto médio da fila de espera) será: L q s ( s). P será: o tempo médio o sistema, por cliete (icluido a duração do atedimeto) W L / λ Fórmula de Little λ desiga a taxa média de chegadas, a logo prazo, λ λ. P 88

13 o tempo médio a aguardar o atedimeto, por cliete (a fila de espera - exclui a duração do atedimeto) será: W q L q / λ Embora algumas das expressões ateriores evolvam somatórios com um úmero ifiito de termos, muitas vezes esses somatórios podem ser resolvidos aaliticamete; outros casos, poderão ser aproximados umericamete. De otar aida que as expressões idicadas assumem que, com os valores assumidos pelos parâmetros λ e, se possa atigir o estado de equilíbrio tal é sempre o caso quado existir um úmero fiito ( > ) de estados; tal é sempre o caso quado λ / ( s ) < ; tal ão será o caso se C. 89

14 MODELO DE FILA DE EPERA BAEADO O PROCEO DE ACIMETO E MORTE ( modelos com distribuições Expoeciais) Os processos de ascimeto e morte servem de base para modelar vários sistemas de Filas de Espera. Estes processos assumem um processo de chegadas Poissoiao (distribuição Expoecial para modelar o tempo restate até ao próximo ascimeto, i.e., chegada) e um tempo de serviço (o tempo restate até à próxima morte, i.e., fial de atedimeto) também Expoecial. Estes modelos diferem essecialmete as hipóteses assumidas para, λ e. Comecemos por cosiderar o Modelo M/M/ com população ifiita e fila ilimitada este modelo assume-se que existe um úico servidor, que os itervalos de tempo etre chegadas cosecutivas são idepedetes e ideticamete distribuídos, com distribuição Expoecial (λ), e que as durações dos serviços são idepedetes e ideticamete distribuídas, com distribuição Expoecial (). Assim, este caso, teremos λ λ (taxa média de chegada dos clietes), para,, 2, e (taxa média de atedimeto dos clietes), para, 2,. Assumiremos que a fila tem capacidade ilimitada que é alimetada por uma população ifiita e que a disciplia praticada será FIFO. O diagrama de trasição resultate será: Estado: A partir das referidas taxas médias poderemos defiir o factor de utilização (por vezes desigado por itesidade de tráfego): λ / O factor de utilização represeta o úmero esperado de chegadas durate um serviço médio. Assim, se >, o ritmo das chegadas ultrapassa a capacidade de atedimeto do servidor, pelo que explodirá, i.e., ão se atigirá uma situação de equilíbrio. e < o sistema poderá atigir uma situação de equilíbrio, ou seja o ritmo a que decorre o atedimeto dos clietes é suficiete para dar vazão aos clietes que vão chegado. Recordemos que λ represeta a taxa de chegadas, e que estamos a assumir que é costate e idepedete do úmero de clietes já o sistema. As Fórmulas de Little permitem-os relacioar L com W e L q com W q : L λ W ; L q λ W q 9

15 De otar que se a taxa de chegada depeder do estado do sistema, as Fórmulas de Little aida são válidas desde que substituamos, as expressões apresetadas, λ por λ (isto é, a taxa média de chegadas). De otar que, para este modelo, C ( λ / ). Assim, a probabilidade de estarem exactamete pessoas o sistema, P, será dada por: P. P ( ) A taxa de desocupação do sistema, P, isto é, a probabilidade de ão haver clietes o sistema: P A probabilidade de estarem mais do que K pessoas o sistema será dada por: P( > K ) K + O tempo médio de permaêcia de um cliete o sistema (W) e o tempo médio de espera a fila (W q ) podem ser relacioados facilmete se otarmos que / correspode ao tempo médio gasto o serviço: W W q + / Tedo em cota a expressão aterior e as Fórmulas de Little, poderemos escrever a relação etre o úmero médio de clietes o sistema (L), o comprimeto médio da fila (L q ): L L q + λ / L q + De otar que, um sistema M/M/, L q ão é igual a L, mas sim a L! A partir das expressões apresetadas poderemos deduzir os seguites resultados: P L λ λ L q 2 2 λ ( λ) (cot.) 9

16 (cotiuação) W W q λ λ Quato à probabilidade de um cliete estar mais do que t uidades de tempo o sistema, ou a fila em espera (P(W > t), ou P(W q > t), respectivamete), poderemos obter: P(W > t) e () t para t P(W q > t) e () t para t Aproveitamos para recordar que a taxa de desocupação do sistema, P, represeta a probabilidade de ão haver clietes o sistema, o que coicide com a probabilidade de um cliete ão ter de esperar a fila, pois um cliete só é atedido assim que chega se ão houver clietes o sistema. Assim, P P(W q ) Em seguida, sitetizaremos os resultados válidos para um sistema M/M/, alimetado por uma população ifiita e sem limitações quato ao comprimeto máximo da fila de espera: 92

17 istema M/M/, População ; Fila máxima Processo de chegadas Poissoiao com uma taxa de chegadas de λ clietes por uidade de tempo. Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa taxa de atedimeto de clietes por uidade de tempo (pelo úico servidor). Disciplia da fila: FIFO (atedimeto por ordem de chegada) Taxa de ocupação λ / ( < ) Taxa de desocupação P P(Wq ) L L q + λ / L L q 2 λ λ 2 λ ( λ) W W q + / W L / λ λ W q L q / λ λ P P(W q ) P P ( ) P( > k ) k + P(W > t ) e () t e t / W para t P( Wq > t ) e () t e t / W para t Façamos agora um exercício de aplicação: 93

18 Exercício: O Dociho é uma pequea pastelaria, sem lugares setados, ode são vedidas especialidades regioais, pela sua úica empregada. Pode-se cosiderar que as chegadas costituem um Processo de Poisso, com uma taxa de 5 chegadas por hora, estimado-se que a duração do atedimeto de um cliete se possa cosiderar expoecialmete distribuído, com valor médio igual a 3 miutos. - Determie: a) a probabilidade de estar apeas um cliete a pastelaria; b) a probabilidade de estarem, pelo meos, três clietes a pastelaria; c) o comprimeto médio da fila de espera; d) o tempo médio de espera a fila; e) a probabilidade de que um cliete esteja mais do que 5 miutos a pastelaria; f) a probabilidade de que um cliete esteja mais do que 3 miutos à espera para começar a ser atedido. 2 O proprietário d O Dociho está covecido de que seria possível dimiuir o tempo médio de espera a fila para 6 miutos se a sua empregada aumetasse o ritmo de trabalho, dimiuido a duração média do atedimeto de um cliete. Comete. - λ 5 h 5/6 mi ; /3 mi ; λ / 3/4 ( < ) a) P ( ) 3/4. /4 3/6 9 % b) P /4 ; P 2 2 ( ) 9/6. /4 9/64. Assim, a probabilidade pedida é igual a P P P 2 27/64 42 % c) L q 2 36/6 2,25 clietes d) W q L q / λ 9 mi e) P(W > 5) e () 5 66 % (ou, W λ 2 mi P(W > 5) e 5 / W 66 % ) f) P(Wq > 3) e () 3 58 % (ou, P(Wq > 3) e 3 / W 58 % ) 2 - λ 5/6 /4 mi ; W q λ λ 6 mi 2 /4 /24,729 mi Duração média do atedimeto de cliete /,37 mi. Coclusão: Atigir este objectivo implica reduzir a duração média do serviço de 3, para,37 mi! Muito provavelmete, tal será difícil de atigir com uma úica empregada! Exercício FE3 94

19 E se, o exercício d O Dociho, tivéssemos duas empregadas, em vez de apeas uma? O que acoteceria? Para podermos respoder a esta questão, apresetaremos em seguida o Modelo M/M/ com população ifiita e fila ilimitada Agora temos servidores, alimetado por uma população ifiita e sem limitações quato ao comprimeto máximo da fila de espera. De otar que, se a taxa média de chegadas de clietes ao sistema cotiua a ser λ, idepedetemete do estado, a taxa média de serviço (que se assume ser por cada um dos servidores), depederá do estado do sistema: ;,2,..., ; + O diagrama de trasição resultate será: Estado: Apresetaremos, em seguida, os resultados válidos para um sistema M/M/, alimetado por uma população ifiita e sem limitações quato ao comprimeto máximo da fila de espera: 95

20 istema M/M/, População ; Fila máxima Processo de chegadas Poissoiao com uma taxa média de chegadas de λ clietes por uidade de tempo. Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa com taxa média de clietes por uidade de tempo por cada um dos servidores. + ;,2,..., ; Disciplia da fila: FIFO (atedimeto por ordem de chegada) Taxa de ocupação λ / ( ) ( < ) Taxa de desocupação L L q + λ / L q 2 ) (! + P W W q + / L / λ W q L q / λ P! ) ( )!( + + P +, ;!,..., ;! ) ( P P P(W > t) ( ) + ) )(!( ) ( ) (.. e P t t e para t P(Wq > t) ) (. )!( ) ( t e P para t P(Wq ) )!( ) ( P Façamos agora um exercício de aplicação: 96

21 Exercício: Resolva a questão do exercício d O Dociho, assumido que há duas empregadas matedo-se todas as outras características. Compare os resultados com os correspodetes quado há apeas uma mpregada, cometado. λ 5 h 5/6 mi ; /3 mi ; 2; λ / ( ) 3/8 ( < ) a) a probabilidade de estar apeas um cliete a pastelaria + ( ) P +,45(45) 45 %!( )! ( ) P P 34 % (Compare-se com o valor obtido o Ex.4: 9 %)! b) a probabilidade de estarem, pelo meos, três clietes a pastelaria 2 ( ) P 45 % ; P 2 P 2! 3 %. Assim, P P P 2 8 % (Ex.4: 42 %) De otar que se tivesse sido pedida a probabilidade de estarem exactamete três clietes 2 3 a pastelaria, P 3, teríamos P, ou seja, P 3 4,8 %.! c) o comprimeto médio da fila de espera L q + P 2! ( ),2 clietes (Ex.4: 2,25 clietes) d) o tempo médio a fila L q W q,48 mi (Ex.4: 9, mi) λ e) a probabilidade de que um cliete esteja mais do que 5 miutos a pastelaria P(W > 5) e 5 5 ( ) ( e ) ( ) P +!( )( ) 5,3 % (Ex.4: 66 %) f) a probabilidade de que um cliete esteja mais do que 3 miutos à espera para começar a ser atedido ( ) P 3 ( ) P(Wq > 3) e 5,9 % (Ex.4: 58 %)!( ) Cometário: As dimiuições esperadas do tempo médio de espera dos clietes e do comprimeto médio da fila de espera (resultates da itrodução de uma seguda 97

22 empregada) são de tal modo sigificativas que idiciam que duas empregadas (a tempo iteiro) talvez sejam de mais Exercício FE4 E o que acotece se houver limitações físicas, que ão permitam o desevolvimeto de uma fila de espera ilimitada? Modelo M/M//K com população ifiita e fila limitada Cosideremos que as istalações ode decorre o serviço, ão podem ser acomodados mais do que K clietes e, quado já estiverem K clietes o sistema e se verificar a chegada de um ovo cliete, ser-lhe-á recusado o acesso ao sistema, i.e., trata-se de uma fila de espera com capacidade fiita. De otar que os poteciais clietes com acesso vedado ão poderão aguardar o exterior do sistema, para etrada posterior. este caso a taxa média de etrada em cada estado será depedete do estado: λ λ ;,,..., K ; K De otar que se se está a admitir que a capacidade do sistema é limitada a um máximo de K clietes, os estados serão,,, K, K. O diagrama de trasição resultate será: Estado: Caracterizaremos, em seguida, o sistema M/M//K com capacidade fiita, assumido que a população é ilimitada. 98

23 istema M/M//K, População ; Fila máxima K úmero máximo de clietes o sistema K Processo de chegadas Poissoiao com uma taxa de chegadas de λ clietes por uidade de tempo. A taxa de etradas o sistema será depedete do estado do sistema (isto é, do úmero de clietes o sistema): λ ;,,..., K λ ; λ λ ( P K ) ; K Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa taxa de atedimeto de clietes por uidade de tempo (pelo úico servidor). Disciplia da fila: FIFO (atedimeto por ordem de chegada) Taxa de pressão λ / Taxa de ocupação λ/ Taxa de desocupação λ/ P P(Wq ) K + K ( K + ) K + L K 2 L q L λ / + ; ; W W q + / W L / λ W q L q / λ P K + P(W q ) P P /( K + ) ; K ; K ; > K E agora um exercício de aplicação... 99

24 Exercício FE5 Em seguida, caracterizaremos o sistema M/M//K, com capacidade máxima para K clietes, servidores, cotiuado-se a assumir que a população é ilimitada. Modelo M/M//K com população ifiita e fila limitada À semelhaça do modelo aterior, ão podem ser acomodados mais do que K clietes o sistema, i.e., trata-se de uma fila de espera com capacidade fiita com servidores. Tal como o modelo aterior, a taxa média de etrada em cada estado será depedete do estado: λ ;,,..., K λ ; K A difereça relativamete ao modelo aterior reside a existêcia de servidores, o que fará com que a taxa média de saída de cada estado também seja depedete do estado (à semelhaça do que acoteceu o modelo M/M/): ;,2,..., ; + À semelhaça do modelo M/M//K, os estados serão,,, K, K. O diagrama de trasição resultate será: Estado: Caracterizemos, etão, este modelo: 2

25 istema M/M//K, População ; Fila máxima K K; º máximo de clietes o sistema K; º de servidores Processo de chegadas Poissoiao com uma taxa de chegadas de λ clietes por uidade de tempo. A taxa de etradas de clietes o sistema será depedete do estado do sistema (isto é, do úmero de clietes o sistema): K K ;,,..., ; λ λ ; λ λ ( P K ) Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa com taxa média de clietes por uidade de tempo por cada um dos servidores. + ;,2,..., ; Disciplia da fila: FIFO (atedimeto por ordem de chegada) Taxa de pressão λ / ( ) ) Taxa de ocupação λ / ( ) λ λ ( P K ) Taxa de desocupação λ / ( ) P ;! ) (! ;! ) ( )!( ) ( K K P + + ;,..., ;!,..., ;! ) ( K K P P P( Wq ) P L q 2 ) (! + P [ ] K K K ) )( ( W q L q / λ W W q + / ; L λ W L q + λ / E agora um exercício de aplicação... 2

26 Exercício FE5 Modelo M/M// com população fiita e fila ilimitada Imagiemos que uma fábrica de têxteis existem 5 teares que, quado se avariam, são reparados por dois técicos de mauteção. abe- -se que o itervalo de tempo etre duas avarias cosecutivas se pode cosiderar com distribuição expoecial e que a reparação de cada tear avariado tem uma duração que também se pode cosiderar com distribuição expoecial. Trata-se de um sistema M/M/2/5 alimetado por uma fote com dimesão fiita (5), ou população fiita, ode os clietes serão os teares avariados e os dois servidores serão os técicos de mauteção. Em algumas aplicações idustriais, tal como o exemplo apresetado, é muito importate cosiderar uma ova extesão dos sistemas M/M/ e M/M/: a população com dimesão fiita, isto é uma fote que possa gerar, o máximo, clietes. Trata-se dos sistemas M/M// e M/M// com fote com dimesão fiita. este modelo, a taxa média de etrada em cada estado será depedete do estado: λ( ) ;,,..., λ ; e se estiver a admitir um úico servidor, a taxa média de saída de cada estado será igual a, para todos os estados; caso o sistema teha servidores, a taxa média de saída de cada estado, será depedete do estado (como sucedia o modelo M/M/): ;,2,..., ; +,. De otar que se a população é fiita, com dimesão, os estados serão,,, - Assim, os diagramas de trasição correspodetes aos modelos M/M// e M/M// serão os seguites: Estado: Estado: Caracterizaremos, em seguida, o sistema M/M// com fote com dimesão fiita, referido alguma particularização decorrete da existêcia de um úico servidor ( ). 22

27 istema M/M//, População (Fila máxima ) ; º máximo de clietes o sistema ; º de servidores Processo de chegadas Poissoiao com uma taxa de chegadas de λ clietes por uidade de tempo. A taxa de etradas de clietes o sistema será depedete do estado do sistema (isto é, do úmero de clietes o sistema): ;,,..., ; ) λ( λ ; λ λ ( L) Duração do serviço com distribuição Expoecial egativa com taxa média de clietes por uidade de tempo por cada um dos servidores. + ;,2,..., ; Disciplia da fila: FIFO (atedimeto por ordem de chegada) Taxa de ocupação λ / ( ) Taxa de desocupação λ / ( ) P! )! (!! )! (! + λ λ Caso particular : P )! (! λ taxa de desocupação P + + ;,..., ;! )! (!,..., ;! )! (! P P λ λ Caso particular : P > P,..., ; )! (! λ P(Wq ) P cotiua 23

28 cotiuação istema M/M//, População (Fila máxima ) L q ( ) P Caso particular : λ + L q P ) λ ( W q L q / λ W W q + / ; L λ W L q + λ / Desde já poderemos observar que, para elevado, se tora praticamete icomportável determiar P e as restates medidas de desempeho do sistema por cálculo maual! E agora um exercício de aplicação... Exercício FE7 Modelo com taxa de chegada e/ou taxa de serviço depedete do estado Os modelos apresetados têm vido a assumir uma taxa média de serviço costate, idepedete do úmero de clietes o sistema. o etato, a realidade, quado os clietes são pessoas, muitas vezes o aumeto do úmero de clietes o sistema vai pressioado o(s) servidor(es) que aumeta(m) a sua taxa média de serviço. Aalogamete, a taxa média de chegadas ao sistema pode ão ser costate os poteciais clietes ao verem o sistema com elevado úmero de clietes em espera, poderão optar por ão etrar o sistema, fazedo com que a taxa média de chegadas seja, a realidade, decrescete com o úmero de clietes o sistema. Descreveremos, em seguida, uma possível formulação destas situações, aida a partir do processo de ascimeto e morte. Por simplicidade, optaremos por fazê-lo exclusivamete para o caso de um úico servidor, deixado ao leitor iteressado a geeralização a sugestão de uma cosulta à Bibliografia. Assumamos, etão, que e que 24

29 c., para, 2, represeta o úmero de clietes o sistema; a taxa média de serviço, quado está apeas um cliete o sistema (situação sem pressão); a taxa média de serviço, quado estão clietes o sistema (situação de pressão); e c é uma costate positiva, o coeficiete de pressão, que idica o grau de ifluêcia que o úmero de clietes tem sobre a taxa de serviço. De otar que os modelos ateriormete apresetados se assumiu implicitamete c. e assumirmos, adicioalmete, que o processo de chegadas é Poissoiao com λ λ, para,, 2,, poderemos obter os coefietes C correspodetes ao processo de ascimeto e morte correspodete: C ( λ / ) c (!), para, 2, otemos que, desde que c >, se poderão atigir as codições de equilíbrio, pelo que poderão aplicar os resultados obtidos para o processo de ascimeto e morte. Aida que ão exaustivamete, recordemos algus desses resultados: P C P, para, 2,. P / ( + C ) L. P Ifelizmete, este modelo, ão é possível obter expressões aalíticas para os somatórios, que deverão ser determiados umericamete. Algus livros apresetam algus gráficos com a represetação de algumas das relações, em fução de algus valores dos parâmetros evolvidos. Exercício FE8 o modelo apresetado, modelou-se a pressão sobre a taxa média de serviço. Mas, como se referiu, pode ser importate assumir uma situação de pressão sobre a taxa média de chegadas ao sistema. Tal pode ser modelado do modo seguite: λ ( + ) b. λ, para,, 2, 25

30 , λ, λ e b são defiidos de modo aálogo ao ateriormete referido. e se assumir que a taxa média de serviço é costate,, teremos. C ( λ / ) (!) b, para, 2, Poderemos utilizar estes coeficietes C os resultados já referidos para a situação de equilíbrio do processo de ascimeto e morte. Exercício FE9 Um modelo mais geral permite uma modelação cojuta dos efeitos de pressão sobre as taxas médias de chegada e de serviço. Basta assumir-se cojutamete: a., para, 2, λ ( + ) b. λ, para,, 2, sedo a e b costates de pressão defiidas de modo aálogo ao ateriormete referido. Ter-se-á, etão C ( λ / ) a+ b (!), para, 2, De otar que as três formulações se podem reduzir a uma úica, sedo etão ecessário especificar o quociete que é elevado à potêcia, bem como o coeficiete de pressão que é a potêcia à qual se eleva!, o que permite utilizar os resultados gerais apresetados graficamete em algus livros. ó uma ota fial para recordar a utilização de logaritmos, que pode ser útil, a resolução de problemas com este modelo. upoha-se que, um dado exercício se assume que 2,5 clietes por hora e 6 5, clietes por hora. A determiação da costate de pressão faz-se facilmete: 5, 6 c. 2,5. 5, 6 c. 2,5 6 c 2 log 6 (6 c ) log 6 (2) c [ l(2) / l(6) ] c,3387 Exercício FE Até agora apresetámos modelos de Filas de Espera, baseados o processo de ascimeto e morte que, cosequetemete, descreviam os itervalos de tempo etre chegadas cosecutivas e as durações de atedimeto com distribuições expoeciais. 26

31 Mas, se as chegadas forem previamete marcadas, ou, de algum modo, reguladas, o processo de chegadas perde o seu carácter Poissoiao. Aalogamete, se as ecessidades dos vários clietes, em termos de atedimeto, forem idêticas, deixa de fazer setido a utilização da distribuição Expoecial para descrever a duração do atedimeto de cada cliete. este casos, dever-se-á cosiderar modelos que evolvam distribuições ão expoeciais. 27

32 MODELO EVOLVEDO DITRIBUIÇÕE ÃO EXPOECIAI Modelo M/G/ (Cadeias de Markov ecaixadas) o modelo M/G/ assume-se um processo Poissoiao de chegadas de clietes, com taxa média fixa λ, que vão ser atedidos por um úico servidor, ão sedo postas quaisquer restrições à distribuição da duração do atedimeto é apeas ecessário cohecer (ou estimar) o valor médio (que cosideraremos ser igual a / ) e a variâcia σ 2 dessa distribuição (ão especificada). este caso, em geral, ão será possível recorrer às equações de equilíbrio, uma vez que a duração dos atedimetos poderá apresetar memória. Em alterativa, pode aalisar-se o sistema imediatamete após a saída de cada cliete, costituido uma cadeia de Markov que fica ecaixada um processo ão-markoviao. e λ / < um tal sistema poderá evetualmete atigir o estado de equilíbrio, sedo etão válidos os seguites resultados: P - L q λ σ + 2( ) L + L q W q L q / λ W W q + / É iteressate otar que apesar deste modelo permitir qualquer distribuição para a duração do atedimeto, se coseguem obter resultados aalíticos, baseados a Fórmula de Pollaczek-Khitchie para a determiação de L q : L q λ σ + 2( ) Ifelizmete, ão foi possível determiar expressões aalíticas para o caso de múltiplos servidores. e a duração do atedimeto for Expoecial, σ 2 / 2, obtedo-se os resultados já apresetados para o modelo M/M/. Uma última ota para o facto de, para um valor médio da duração do serviço costate, W, W q, L e L q aumetarem com o aumeto da variâcia da distribuição da duração do serviço! Tal mostra que o desempeho do servidor ão é apeas relevate o que toca ao seu valor médio 28

33 Modelo M/D/ e cotiuarmos a assumir que o processo de chegadas é Poissoiao, que temos apeas um servidor e se o atedimeto aos diferetes clietes cosistir uma rotia relativamete idêtica, praticamete ão se verificará qualquer variação a duração do serviço, sedo etão útil o modelo M/D/, que pode ser ecarado como um caso particular do modelo M/G/, fazedo σ 2. Assim, a Fórmula de Pollaczek-Khitchie origiará: L q 2 2( ) É iteressate otar que o valor idicado a fórmula acima é metade do correspodete valor para o modelo M/M/: ou seja, se a distribuição do atedimeto for Expoecial com parâmetro, o comprimeto da fila de espera será duplo do que seria se todos os atedimetos fossem executados com duração determiística (igual a /). Fica assim patete a importâcia da variâcia da distribuição da duração do atedimeto o desempeho do sistema! um sistema com múltiplos servidores (M/D/) tudo se tora mais complicado deixa-se ao leitor mais iteressado a sugestão de uma leitura da Bibliografia. (ote-se que, o etato, algus livros apresetam algus gráficos que represetam as pricipais relações, em fução dos valores dos parâmetros). Modelo M/E k / (Método dos Estádios) Como se referiu ateriormete, os sistemas M/D/ assume-se que a duração do atedimeto de um cliete é determiística (σ ) uma situação teórica que raramete ocorre rigorosamete a prática. um outro extremo, temos o s modelos M/M/, em que se assume uma variação muito grade (σ / duração média do atedimeto de um cliete). Ora, a realidade, muitas vezes em temos uma duração determiística, em temos uma variação tão elevada é para estes casos que se tora útil recorremos à distribuição Erlag-k. Cosideremos um sistema com um processo Poissoiao de chegadas, com taxa λ, e com a duração do atedimeto de um cliete, T, com média /. Imagiemos que se sabe que a duração de cada atedimeto ão segue uma distribuição Expoecial e, que se assume que cada atedimeto se pode decompor uma sequêcia de k estádios cosecutivos, cada um deles com durações, T i, idepedetes e ideticamete distribuídas, com distribuição Expoecial de valor médio /(k). 29

34 T, T 2,, T k v.a. i.i.d. T i ~ Expoecial de média igual a /(k) T ~ T + T T k T ~ Erlag-k com valor médio igual a / e variâcia igual a /(k 2 ) A distribuição Erlag-k (mais rigorosamete, distribuição Erlag, com parâmetros k e ), tem valor médio igual a / e variâcia igual a /(k 2 ). Assim, o coeficiete de variação da distribuição Erlag-k será [ /( k ) ] / [ / ], ou seja, será igual a / k. De otar que como k iflui directamete a variâcia da distribuição Erlag-k, costuma desigar-se por parâmetro de forma. De otar que o coeficiete de variação da distribuição Erlag-k é sempre meor, ou igual a (a igualdade ocorre quado k, i.e., quado a distribuição Erlag-k coicide com a distribuição Expoecial). Assim, para utilizarmos o método dos estádios, começaremos por calcular o coeficiete de variação da distribuição da duração do atedimeto de um cliete (que terá de ser iferior a, para que o método se possa utilizar). Imagiemos que o valor médio era igual a 5, miutos e que o desvio padrão era igual a 6,75 miutos ter-se-ia, assim, o coeficiete de variação igual a,45. Fazedo / k,45, vem que k 4,938, pelo que parece razoável adoptar-se k 5. Adoptar-se-ia, etão, a distribuição Erlag-k, com k 5 e /5 (adoptado o miuto como uidade de tempo). O Modelo M/E k / pode ser caracterizado a partir da aálise do correspodete diagrama de trasição de estados (baseado o processo de ascimeto e morte). De otar o cuidado iicial que se terá de ter a desigação dos estados: ;,k;,k-; ;,2;,; 2,k; ; 2, ; 3,k; ;3, ; o que diz respeito às chegadas, do estado trasita-se para o estado, com taxa média λ; do estado,3 trasita-se para o estado 2,3 com taxa média λ o que diz respeito às fializações de atedimeto (ou, mais precisamete, de estádios de atedimeto), passarse-á do estado 2,k- para o estado 2,k, deste para o estado,, deste para o estado,2,, para o estado,k e, fialmete, para o estado, sedo cada taxa média de trasição igual a k. Esta desigação dos estados poderá ser, posteriormete, simplificada para uma desigação uidimesioal Em seguida poderemos escrever as equações de equilíbrio para os vários estados e, após várias maipulações, deduzir algus resultados. o etato, como já apresetámos o modelo mais geral M/G/, poderemos ecarar o modelo M/E k / como um caso particular desse, com σ 2 / (k 2 ). Assim, a fórmula de Pollaczek-Khitchie para a determiação de L q será: L q + k 2k 2 λ ( λ) 2

35 Os demais parâmetros relevates podem ser obtidos por aplicação das fórmulas apresetadas o modelo M/G/, bem como algus resultados gerais (p.ex., L λ W). Para os leitores mais iteressados deixamos dois tópicos que poderão desevolver com leituras complemetares da Bibliografia: - O método dos estádios também é aplicável aos sistemas E k /M/ e E k /E k /. 2 e o coeficiete de variação da distribuição da duração do atedimeto de um cliete (/distribuição das chegadas) for maior que, poder-se-á aplicar o método dos estádios, mas os estádios deverão desevolver-se em paralelo (e ão em série, como se apresetou). Exercício FE Modelos sem etradas Poissoiaas Os modelos M/ / assumem um processo de chegadas Poissoiao (itervalos de tempo etre chegadas cosecutivas idepedetes e ideticamete distribuídos, com distribuição Expoecial). o etato, em certas situações, tal poderá ão ser o mais adequado. Como proceder etão? e a duração do atedimeto de um cliete for Expoecial, com um parâmetro fixo, poderemos obter, de imediato, três modelos por iversão das distribuições assumidas para as chegadas e para os atedimetos, os modelos M/G/, M/D/, M/E k /, obtedo etão os modelos G/M/, D/M/ e E k /M/. O modelo G/M/ ão impõe qualquer restrição à distribuição associada ao processo de chegadas; o modelo D/M/ assume chegadas a itervalos regulares; o modelo E k /M/ permite modelar um processo de chegadas que, ão sedo Poissoiao, também ão é determiístico (itervalos de tempo costates). Para algus destes modelos, bem como as suas versões com múltiplos servidores, foi possível represetar graficamete algumas relações com iteresse. 2

36 MODELO DE FILA DE EPERA COM DUICIPLIA PRIORITÁRIA Em certos sistemas de filas de espera o atedimeto ão é feito apeas por ordem de chegada, mas existe um sistema de prioridades, pelo que o atedimeto de um cliete é feito pela respectiva prioridade. O tratameto aalítico de sistemas com prioridades é, obviamete, mais complicado do que o de sistemas sem prioridades. Como cosequêcia, apeas se dispõe maioritariamete de resultados para o caso de um úico servidor. Cotudo, há um sistema com múltiplos servidores que apreseta resultados iteressates. Caracterizemo-lo: Assume-se que existem classes de prioridade (a classe com prioridade mais elevada e a classe com mais baixa prioridade). Os clietes são atedidos por ordem das suas classes de prioridade e, detro da cada classe, por ordem de chegada; Assume-se que o processo de chegadas é Poissoiao, permitido-se que a taxa de chegadas de clietes das várias classes possa ser diferete; Assume-se que as durações de atedimeto são Expoeciais para cada classe, assumido-se, adicioalmete, que a duração média de atedimeto é igual para todas as classes. De otar que, se se igorar as prioridades, estaremos perate o modelo M/M/. Assim, quado cotabilizarmos o úmero total de clietes o sistema, poderemos cosiderar as distribuições limite apresetadas para o modelo M/M/. Cosequetemete, para um cliete seleccioado aleatoriamete, são válidas as expressões obtidas para L, L q, W e W q esse modelo. O que muda é a distribuição do tempo de espera: um modelo com prioridades a variâcia da distribuição do tempo de espera aumeta teremos clietes de prioridade mais elevada com tempos de espera mais baixos do que ocorreriam com a disciplia FIFO sem prioridades e, como se esperaria, clietes de prioridade mais baixa com tempos de espera mais elevados O que ão é de estrahar já que se pretede melhorar o desempeho do sistema o que diz respeito aos clietes de mais elevada prioridade, à custa de um pior desempeho para os clietes de mais baixa prioridade. Assim, é importate calcular o tempo de espera médio para um cliete de cada classe de prioridade. Assumamos que prioridades ão absolutas (opreemptive priorities), i.e., um cliete que está a ser atedido, ão vê o seu atedimeto iterrompido pela chegada de um cliete com mais elevada prioridade. Assumido prioridades ão absolutas, W k, o tempo de espera médio para um cliete da classe de prioridade k (icluido a duração do atedimeto) será dado por: 22

37 W k A. B k. B k +, para k, 2,, j λ r Com A!. +, r j j! B, B k k λi i, para k, 2,,, e úmero de servidores, taxa média de serviço por cada servidor ocupado, λ i taxa média de chegadas da classe de prioridade i, i, 2,, λ i r λ / λ i e Estes resultados assumem que k i λi <., de modo a que a classe de prioridade k possa atigir um estado de equilíbrio. Para cada classe de prioridade aplica-se a Fórmula de Little, pelo que o úmero esperado de clietes da classe de prioridade k o sistema (icluido os que estão a ser atedidos) será L k λ k. W k, para k, 2,. otas: ) Para a classe k, o tempo médio de espera a aguardar atedimeto, será igual a W k / para k, 2, ; 2) O comprimeto médio da fila de espera correspodete à classe k será igual a λ k. ( W k / ), para k, 2,. 3) e, A 2 / λ. Assumido prioridades absolutas (preemptive priorities), i.e., o atedimeto de um cliete será iterrompido (e re-eviado para a fila de espera) pela chegada de um cliete com mais elevada prioridade, e matedo as demais hipóteses já referidas, W k, o tempo de espera médio para um cliete da classe de prioridade k (icluido a duração do atedimeto) será, para um úico servidor, dado por: 23

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