Anexo VI Técnicas Básicas de Simulação do livro Apoio à Decisão em Manutenção na Gestão de Activos Físicos

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1 Aexo VI Técicas Básicas de Simulação do livro Apoio à Decisão em Mauteção a Gestão de Activos Físicos LIDEL, 1 Rui Assis

2 ANEXO VI Técicas Básicas de Simulação Simular é imitar a realidade Coceito de sistema A simulação é uma forma de imitar a realidade sem correr os riscos, os custos e o tempo que resultariam se tivéssemos de experimetar. Para o fazermos, criamos um modelo matemático que descreva o comportameto ao logo do tempo do sistema que vamos estudar. Um modelo cosidera os elemetos existetes o mudo real iterrelacioados e fucioado com objectivos. O costrutor do modelo deve focar a sua ateção apeas os elemetos mais importates e a atureza das suas iter-relações, com o objectivo último de coseguir melhorar o deseho e fucioameto do sistema represetado pelo modelo. Figura VI.1 Modelo de um sistema Etradas Froteira Meio evolvete Processo Saídas Retoro Tipos de modelos Modelos matemáticos Relações etre variáveis Tipos de variáveis Modelos discretos e cotíuos Vatages e desvatages Existem muitos tipos de modelos. Us são físicos outros são simbólicos. Os modelos físicos compreedem os modelos icóicos e os aalógicos. Os modelos simbólicos compreedem os modelos verbais e matemáticos. Os modelos matemáticos os úicos que os iteressam este curso possuem várias características. Podem diferir os objectivos (descrição versus optimização), modo de aálise (aalítico versus umérico) e aleatoriedade (determiístico versus probabilístico). Os modelos de simulação cotêm equações que expressam relações etre variáveis de iteresse. Por exemplo: CT = CF + c v.q As variáveis de um modelo de simulação podem classificar-se como de etrada (políticas, aleatórias ou determiísticas), saída e saída itermédia, (ver a Figura VI.). Depededo da atureza do sistema e das características de iteresse pode usar-se um modelo de simulação discreto, cotíuo ou combiado. Os modelos discretos são os mais populares. A simulação é um método muito potete de aálise que, devido ao tempo e custo ecessários, só deve ser usado depois de esgotadas as alterativas: Modelos matemáticos; Experiêcias com o sistema real ou com um seu protótipo; Experiêcia e ituição pessoais.

3 Variáveis de etrada Variáveis políticas Modelo Variáveis de saída Variáveis aleatórias Variáveis determiísticas Variáveis de saída itermédia Figura VI. Variáveis de um modelo O ciclo de vida de um modelo de simulação compreede três fases. Na fase de defiição, o problema é trasmitido ao aalista que o coceptualiza e costrói uma solução técica; Na fase de desevolvimeto, costrói-se o modelo, valida-se e coloca-se em utilização; Na fase de apoio à decisão, o gestor maipula o modelo e decide colocado questões do tipo "O que é que acotece se...?" (what if...?). Ciclo de vida de um modelo Muitas vezes os modelos de simulação são compoetes de sistemas de iformação para gestão e de sistemas de apoio à decisão, compartilhado as mesmas bases de dados. Um modelo de simulação pode proporcioar uma represetação bastate fiel do mudo real. Esta represetação ão é possível, grade parte das vezes, com modelos aalíticos. A simulação de processos probabilísticos pode ser realizada por vários métodos, sedo o de Mote-Carlo o mais popular. A sua adequabilidade, porém, depede dos casos cocretos. Simulação de Mote-Carlo VI.1 Método de Simulação de Mote-Carlo O método de simulação de Mote-Carlo desevolve-se ao logo das seguites fases: Fase 1 Defiimos a fução de probabilidade acumulada P(x), da variável aleatória x, a qual pode ser uma distribuição teórica (Uiforme, Triagular, Normal, Beta, Weibull, etc.) ou uma distribuição empírica qualquer. A Figura VI. represeta uma fução de probabilidade acumulada P(x) da variável aleatória cotíua x; Fase Escolhemos um úmero aleatório equiprovável etre e 1 uma tabela de úmeros aleatórios (ou usado a fução RAND() o EXCEL). Represetamos este úmero y p o eixo das ordeadas da fução P(x); Fase Projectamos y p horizotalmete até à curva P(x), defiido-se o poto P. Projectamos este poto, por sua vez, sobre o eixo das abcissas, defiido-se o valor x p de uma amostra; Fase 4 Repetimos o procedimeto e obtemos uma amostra.

4 Figura VI. Fução de probabilidade acumulada P(x) P(x) 1 y p P x p x Vejamos um exemplo de geração de uma fução de duas variáveis. Exemplo VI.1 A variável depedete é fução de duas variáveis idepedetes aleatórias x e y com a forma Z = 5x + y. As variáveis aleatórias x e y podem tomar os valores detro dos itervalos de referêcia (probabilidades) descritas o Quadro VI.1. Gerar 8 resultados de Z. Quadro VI.1 Itervalos empíricos de probabilidade assumidas pelas variáveis x e y Valores de x Itervalos de referêcia Valores de y 4 5 Itervalos de referêcia Quadro VI. Valores aleatórios assumidos pelas variáveis idepedetes x e y e depedete Z Esaios Nº aleatório para x x 5 1 Nº aleatório para y y 5 4 Valores de Z = 5x + y Caso em Gestão de stocks Um modelo de simulação de Mote-Carlo pode prever o comportameto de um sistema de gestão do stock de um artigo 1, forecedo como variáveis de saída: o ível médio e ível máximo de stock e os custos de posse, de ecomedas e de roturas. Estes valores depedem do cojuto de variáveis de decisão: Poto de Ecomeda e quatidade por ecomeda 1 Ver o Aexo VII. 4

5 ou periodicidade de ecomeda e ível de stock objectivo coforme usarmos o modelo de revisão cotíua ou de revisão periódica, respectivamete. Um modelo de simulação de uma fila de espera permite obter como variáveis de saída: os tempos de espera dos clietes e o comprimeto da fila, bem como, os tempos de ociosidade dos atededores. Estes valores depedem do tempo etre chegadas e dos tempos de atedimeto (variáveis idepedetes) e do úmero de atededores (variável de decisão). A optimização por simulação cosegue-se por aproximações sucessivas à zoa óptima, fazedo variar o cojuto de todas as variáveis de decisão. Caso de uma fila de espera Optimização em simulação A figura VI.4 mostra o caso de sucessivas iterações para ecotrar o cojuto de valores das variáveis de etrada X e Y que miimizam a variável de saída Z. O poto P correspode ao óptimo, ou seja, ao míimo dos míimos de Z. Z Y 1 Y Y Y 4 Y 7 Y 8 Figura VI.4 Míimo dos míimos das várias fuções Z(X,Y) Y 6 Y 5 P Z mí X* X VI. Processos geradores de valores aleatórios Uma compoete muito importate de um modelo de simulação cosiste a amostragem dos processos probabilísticos. O procedimeto que permite executar uma amostragem desiga-se processo gerador. O processo gerador de distribuições de probabilidade empíricas é mais difícil do que o das distribuições de probabilidade teóricas. O processo gerador das distribuições teóricas requer apeas que o aalista itroduza os parâmetros apropriados a cada tipo de distribuição. Distribuições de Probabilidade teóricas VI..1 Variáveis cotíuas No caso das distribuições cotíuas teóricas, tais como a Uiforme, a Expoecial egativa e a Triagular, o processo gerador pode ser obtido 5

6 pelo método iverso. Com este método, a distribuição simples é itegrada para obter a sua versão acumulada. A equação resultate é igualada a r (úmero aleatório uiforme) e resolvida de forma a obtermos a variável aleatória x em fução de r. Distribuição Uiforme p(x) Figura VI.5 Fução desidade de probabilidade da distribuição Uiforme 1/(B-A) A B x O gerador da distribuição Uiforme é: Expressão VI.1 x = A + r.(b A) Apoio do EXCEL No EXCEL, podemos gerar qualquer valor cotíuo x da distribuição Uiforme, etre B e A (B > A), fazedo: Expressão VI. x = A + RAND()*(B A) Distribuição Expoecial egativa Figura VI.6 Fução desidade de probabilidade da distribuição Expoecial p(x) λ x O gerador da distribuição Expoecial o EXCEL é: Expressão VI. x = -LN(RAND()) / λ 6

7 Distribuição Triagular p(x) /(P-O) Figura VI.7 Fução desidade de probabilidade da distribuição Triagular O L P x O gerador da distribuição Triagular, quado r < (L O) / (P O), é: x = O + r. ( L O )(. P O) Expressão VI.4 O gerador da distribuição Triagular, quado: r (L O) / (P O), é: x = P 1 ( r)(. P L)(. P O) Expressão VI.5 Distribuição Normal p(x) P(x x 1) = A Figura VI.8 Fução desidade de probabilidade da distribuição Normal A x x 1 x O gerador da distribuição Normal o EXCEL é: Z ou: x = NORMINV(RAND();µ;σ) x = µ + NORMSINV(RAND())*σ Expressão VI.6 Expressão VI.7 7

8 Distribuição de Weibull Figura VI.9 Fução desidade de probabilidade da distribuição de Weibull p(x) α > 1 x x A fução geradora da fução de Weibull o EXCEL é a seguite: Expressão VI.8 1.[ l( )] α x = x + β RAND() Distribuição LogNormal Figura VI.1 Fução desidade de probabilidade da distribuição LogNormal p(x) x A fução geradora da fução LogNormal o EXCEL é a seguite: Expressão VI.9 x = LOGINV(RAND();µ y ;σ y ) VI.. Variáveis discretas A amostragem a partir de distribuições teóricas discretas, tais como a Beroulli, Biomial ( processos de Beroulli) e Poisso, é realizada através de um procedimeto de cotagem dos valores assumidos pela variável aleatória. No caso de variáveis discretas, se existirem dados históricos cujo padrão possa repetir-se o futuro, aalisam-se os dados em frequêcia. Se ão 8

9 existirem esses dados, estimam-se em probabilidade. Calculam-se, assim, as distribuições em probabilidade simples e acumulada de cada variável. Seguidamete, aloca-se a cada valor possível da variável, um itervalo de úmeros aleatórios proporcioal à probabilidade da sua ocorrêcia. Produz-se etão uma amostra de valores da variável, gerado úmeros aleatórios e seleccioado os valores da variável que lhe estão associados. Nesta obra ão se apresetam os processos geradores das distribuições teóricas discretas pois ão é fácil programá-los o EXCEL. É, cotudo, possível criar valores aleatórios das distribuições Beroulli, Biomial, Poisso e Discrete (a Uiforme e a Normal são cotíuas e a Pattered pode ser cotíua ou discreta), usado a jaela de diálogo mostrada a Figura VI.11, fazedo sucessivamete: Tools, Data aalysis, Radom Number Geeratio. Figura VI.11 Jaela de diálogo o EXCEL para geração de úmeros aleatórios VI. Complemetos das técicas de simulação A qualidade dos úmeros aleatórios é fudametal para um estudo de simulação. Os úmeros aleatórios podem ser obtidos uma tabela (das muitas publicadas) ou em software para o efeito. Por vezes, os úmeros aleatórios ão se ecotram dispoíveis e o aalista tem que saber gerálos e testar a sua qualidade. Um gerador de úmeros aleatórios deve gerar úmeros verdadeiramete aleatórios (equiprováveis), ser rápido, ão requerer muito espaço de armazeagem, possuir um logo período de ciclo, ão degeerar e ser capaz de repetir sequêcias predefiidas. Um gerador de úmeros aleatórios deve passar qualquer teste estatístico de aleatoriedade. 9

10 O objectivo da fase de deseho experimetal de um modelo de simulação, cosiste em coseguir o deseho efectivo e eficiete de uma experiêcia, de forma a determiar o efeito de diferetes variáveis o comportameto do sistema que o modelo represeta. Trata-se pois de uma forma de cohecer a resposta do sistema a diferetes factores. O úmero destes factores pode ser apeas um ou vários. Cada factor pode variar ao logo de todo o itervalo possível ou apeas ao logo de parte, dizedo-se que o deseho experimetal é completo ou parcial, respectivamete. Os modelos de simulação empregam os seguites métodos de avaço do tempo: próximo acotecimeto (o relógio progride por saltos desiguais); icremeto fixo (o relógio progride por saltos iguais). A selecção de um ou outro método depede do tipo de aplicação, da liguagem de programação usada, do tempo dispoível para correr o modelo e da precisão da iformação requerida. Figura VI.1 Métodos de avaço do tempo: próximo acotecimeto ou por icremeto fixo Próximo acotecimeto: A5 A6 A7 Relógio Tempo Icremeto temporal fixo: A5 A6 A7 Relógio Tempo Quado se iicia uma corrida de um modelo de simulação, existe um período iicial trasitório ates de se etrar o regime estacioário. O iteresse da aálise pode situar-se o período trasitório ou o estacioário ou em ambos, depededo das características de iteresse do sistema que se pretedem captar. Este facto determia quais as codições do estado iicial que deverão ser usadas e o período de tempo a simular de forma a poder coligir e aalisar dados suficietes. Figura VI.1 Regime trasitório e regime estacioário Regime trasitório Regime estacioário 1 Tempo

11 Quado as observações das variáveis de saída são estatisticamete idepedetes (ou quase), pode utilizar-se as fórmulas da amostragem simples para calcular o úmero ecessário de iterações. ±ε% + Z Z α α s s A amplitude do itervalo de cofiaça atige um valor limite (precisão) desejado Figura VI.14 A amplitude do itervalo de cofiaça decresce com o aumeto do º de observações Nº de observações () A validação de um modelo ao logo das várias fases de desevolvimeto é muito importate. A validação compreede: O teste dos pressupostos; O teste empírico das relações usadas; A comparação das saídas do modelo com os dados colhidos do sistema real represetado. Devido à atureza probabilística das variáveis de saída, os seus valores médios devem ser expressos em itervalos de cofiaça coforme mostra a Figura VI.15 e é descrito as Expressões VI.1, VI.11 e VI.1. Probabilidades 95 % Figura VI.15 Normal reduzida para um ível de cofiaça de 95%,5 %,5 % X - 1,96.s X X + 1,96.s x -1,96, +1,96 Z Itervalo de cofiaça da média quado (usamos a fução t de Studet): x ± t. α ;( 1 ) s Expressão VI.1 11

12 Itervalo de cofiaça da média quado > (usamos a fução Normal reduzida Z): Expressão VI.11 x ± Zα. s Itervalo de cofiaça o caso das proporções: Expressão VI.1 p ± Z α. p. ( 1 p) Nestas três expressões, α represeta o ível de sigificâcia e o segudo termo da equação é o erro amostral. Quado se comparam duas alterativas etre si usado o mesmo modelo de simulação, e o qual cada alterativa se caracteriza por diferetes valores de uma ou mais das suas variáveis de etrada, tora-se ecessário determiar se os resultados obtidos são sigificativamete diferetes ou ão. Para tal, se µ A e µ B represetarem os valores esperados de uma qualquer variável de saída resultates da simulação das duas alterativas, e se cosiderarmos que a hipótese ula correspode a µ A = µ B, etão, podemos chegar a uma de três coclusões: µ A = µ B (a hipótese ula é verdadeira); µ A < µ B (a hipótese ula é falsa); µ A > µ B (a hipótese ula é falsa). A coclusão depederá dos valores esperados X A e X B da variável em estudo, bem como dos desvios padrão s A e s B obtidos as duas alterativas. Assumido que as simulações são estatisticamete idepedetes, isto é, que os úmeros aleatórios usados em cada alterativa foram diferetes, e assumido ormalidade a distribuição dos resultados de cada alterativa, podemos eleger Z para estatística de teste. Expressão VI.1 Z = X s A A A X s + B B B Admitido um ível de sigificâcia α, a regra de decisão será etão a seguite: Se Z < -Z α/ etão: µ A < µ B e rejeitamos a hipótese ula; Se -Z α/ < Z < Z α/ etão: µ A = µ B e aceitamos a hipótese ula; Se Z > Z α/ etão: µ A > µ B e rejeitamos a hipótese ula. O desevolvimeto bem-sucedido de um modelo de simulação requer mais do que competêcia técica. O aalista deve seguir um processo 1

13 lógico e sistemático de desevolvimeto do modelo e deve saber relacioar-se com os futuros utilizadores de forma a gerar iteresse e aceitação. As fases do processo de cocepção, teste e implemetação de um modelo icluem: A idetificação do problema e defiição de objectivos; A poderação de poteciais custos e beefícios; A colheita de dados e desevolvimeto do modelo; A validação do modelo; A implemetação dos resultados. Cocepção de modelos de simulação Durate o desevolvimeto de um modelo é fudametal que haja evolvimeto do utilizador fial e haja apoio por parte dos gestores. Deve haver muito cuidado a defiição do problema e a selecção da iformação ecessária. O deseho do modelo deve ter em cota a verdade dos dados, a forma como os utilizadores tomam decisões e a forma como o modelo irá ser utilizado. Uma boa regra cosiste em costruir um modelo pequeo e expadi-lo mais tarde quado a situação o exigir. Um modelo só deverá ser usado se o utilizador fial perceber a sua validade e utilidade. 1

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