PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ECV

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1 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ECV DISCIPLINA: TGT FUNDAMENTOS DE ESTATÍSTICA 8ª AULA: ESTIMAÇÃO POR INTERVALO Vimos que a estimação por poto usa uma estatística da amostra para estimar um parâmetro da população. Etretato, ão se pode esperar que uma estimação por poto produza o valor exato do parâmetro populacioal. Mesmo que ão seja possível obter o valor exato de um parâmetro populacioal a partir dos dados de uma amostra, vimos que a distribuição amostral de uma estatística pode os ajudar a verificar quão próximo do valor do parâmetro amostral está o valor da estatística da amostra. A partir de agora, vamos adicioar um valor ao estimador por poto, deomiado margem de erro, para produzir uma estimação por itervalo do parâmetro populacioal de iteresse. Esse itervalo mostrará o grau de cofiaça a ossa estimação além de evideciar a aproximação etre a estatística amostral e o parâmetro populacioal. De maeira geral a estimação por itervalo possui a seguite estrutura: Assim temos: Estimação por poto ± Margem de erro x ± Margem de erro, para estimar a média populacioal µ p ± Margem de erro, para estimar a proporção da população p O leitor já pode atever o papel fudametal que desempeham as distribuições amostrais de x e p. Do poto de vista coceitual já possuímos todas as iformações ecessárias para desevolver estimações por itervalo.

2 MÉDIA DA POPULAÇÃO: σ CONHECIDO A estimação por itervalo de uma média populacioal µ com desvio padrão σ cohecido é estabelecida usado a seguite expressão: x z /2. em que (1 α) é o coeficiete de cofiaça (ou ível de cofiaça ou grau de cofiaça) adotado a estimação; σ é o desvio padrão da população; é o tamaho da amostra; z α/2 é o valor de z que produz uma área de α/2 a cauda superior da distribuição ormal padrão de probabilidade. IMPORTANTE: A distribuição amostral mostra como os valores de estão distribuídos as proximidades da média populacioal µ; cosequetemete a distribuição amostral de x forece iformações sobre as possíveis difereças etre x e µ. Vamos usar a tabela de áreas da distribuição ormal padrão para verificar como determiar a margem de erro de ossa estimação. Vamos imagiar que osso ível de cofiaça (1 α) seja de 95%. Vamos pesquisar a tabela um valor de z, tal que o itervalo z a +z produza uma área sob a curva ormal padrão de 0,95. Ou seja, a área de (-z a 0) somada com a área de (0 a +z) seja igual a 0,95. Esse valor é z = 1,96 que produz a área de 0,4750. Por simetria, para que a área sob a curva ormal seja igual a 0,95, temos que cosiderar o itervalo [-z a +z], ou seja, 0, ,4750 = 0,950. x

3 A distribuição amostral de desvio padrão da média (erro padrão) igual a x segue uma distribuição ormal com x estabelecido o deomiado erro amostral, pela expressão: 1,96. 1,96. x. Assim, fica Geericamete, a margem de erro de uma estimação da média populacioal para o caso de σ cohecido é: z. x z. /2 /2 Com a margem de erro determiada pela expressão acima, a forma geral de uma estimação da média populacioal para o caso de σ cohecido é a seguite: x z /2. Algus valores para o ível de cofiaça ormalmete usados os processos de estimação: Nível de cofiaça α α/2 Zα/2 90% 0,10 0,05 1,645 95% 0,05 0,025 1,960 99% 0,01 0,005 2,576 Exemplo: A Lloyd s Store selecioa uma amostra aleatória simples de cem clietes para saber qual quatia eles gastam em cada ida às compras. Cosiderado a variável de iteresse x = a quatia gasta em cada ida às compras, a média amostral x forece uma estimação por poto de µ, que é a quatia média gasta em cada ida às compras pela população de todos os clietes da empresa. A empresa usa essa pesquisa semaal há vários aos. Baseado-se os dados históricos, a empresa assume um valor cohecido de σ = US$ 20 para o desvio padrão da população; além disso, os dados históricos idicam claramete que a população (!) segue uma distribuição ormal. Na última semaa a Lloyd s pesquisou 100 clietes ( = 100) e obteve a média x da amostra = US$ 82. Estabelecer uma estimação por itervalo da quatia média gasta pelos clietes em cada ida às lojas.

4 SOLUÇÃO: Trata-se de uma variável com distribuição amostral que segue uma distribuição ormal; além disso, o desvio padrão da população é cohecido. Resta etão estabelecer o ível de cofiaça a adotar e determiar a margem de erro da estimação. Supor (1 α) = 95% z / z /2. 2 Para (1 α) = 95% temos α = 0,05 e α/2 = 0,025. Assim, para uma área a aba superior da curva ormal igual a 0,025, ou para uma área etre 0 e z α/2 igual a 0,5 0,025 = 0,4750, verificamos a tabela que esse valor correspode a z = 1,96. Por simetria, esse valor de área correspode a z = -1,96. Assim, a margem de erro da estimação por itervalo com ível de cofiaça de 95% é: 821,96 x2 823,92

5 O itervalo [78,08 a 85,92] é dito itervalo de cofiaça e dizemos que temos 95% de cofiaça em que o itervalo [78,08 a 85,92] iclui a média populacioal µ. Refazer o exemplo usado íveis de cofiaça de 90% e 99%. Combiado os três resultados (marges de erro) correspodetes aos três íveis de cofiaça, o que dizer a respeito da margem de erro da estimação e da amplitude dos itervalos de cofiaça. MÉDIA DA POPULAÇÃO: σ DESCONHECIDO Quado desejamos fazer estimação por itervalo da média populacioal e ão temos uma boa estimativa do desvio padrão da população, precisamos laçar mão da amostra para estimar µ e σ. Essa situação represeta o caso de σ descohecido. Quado o desvio padrão da amostra s é usado para estimar σ a margem de erro e a estimação da média populacioal baseiam-se em uma distribuição de probabilidade cohecida como distribuição t. A distribuição t é utilizada em iúmeras aplicações, mesmo aquelas situações em que as populações se desviam da distribuição ormal. É a distribuição de probabilidade idicada quado os deparamos com amostras de tamaho pequeo. Matematicamete a distribuição t foi desevolvida baseado-se a suposição de uma distribuição ormal para a população da qual é extraída a amostra. A distribuição t possui como parâmetro o úmero de graus de liberdade, dada pela relação gl = ( 1), sedo o tamaho da amostra. A medida que gl aumeta, a difereça etre a distribuição t e a distribuição ormal padrão tora-se cada vez meor. A figura a seguir ilustra o caso de distribuições t com 10 e 20 graus de liberdade. Note que, aumetado o grau de liberdade meor é a variabilidade em relação à distribuição ormal; ote também que a média da distribuição t é igual a zero. Iserir aqui a figura 8.4 Do poto de vista prático, o uso da distribuição t os casos de desvio padrão populacioal descohecido é idêtica ao uso da distribuição ormal padrão. No caso de estimação com desvio padrão cohecido usamos a otação z α/2 para idicar o valor de z que produz uma área

6 de α/2 (0,025) a cauda superior de uma distribuição ormal padrão; o caso em tela, em que o desvio padrão é descohecido vamos usar a otação t α/2 para idicar o valor t que produz uma área α/2 (0,025) a cauda superior da distribuição t. A margem de erro e a estimação por itervalo de uma média populacioal o caso de σ descohecido é: xt /2. s Em que s é o desvio padrão da amostra, é o tamaho da amostra, t α/2 é o valor t que produz uma área igual a α/2 a cauda superior da distribuição t e gl = ( 1) graus de liberdade. Para se trabalhar com a distribuição t existem tabelas que forecem as áreas desejadas em fução do úmero de graus de liberdade gl = ( 1) e do α/2 adotado. Exemplo: Foi idealizado um estudo para estimar a média dos débitos de cartões de crédito da população de famílias de um país. Uma amostra de = 85 famílias foreceu os saldos de cartões de crédito mostrados a tabela a seguir. Nehuma iformação a respeito de estimativas do desvio padrão da população está dispoível. Saldos de cartões de crédito de uma amostra de 85 famílias

7 Realizar a estimação por itervalo da média dos débitos de cartões de crédito da população, adotado um ível de cofiaça de 95%. Resolução: Nesse caso, deveremos utilizar os dados da tabela (dados amostrais) para estimar a média e o desvio padrão da população. Para o cálculo da média utilizar a expressão: x x i os valores ecotrados foram: x s e para o desvio padrão: s ( 1 x i x) Com 95% de cofiaça e 1 = 84 graus de liberdade, (1 α) = 0,95, α = 0,05 e α/2 = 0,025, a tabela de distribuição t forece t 0,025 = 1,989. Podemos agora realizar a estimação por itervalo da média populacioal: , A estimação por poto da média populacioal é 5.900; a margem de erro é 660, e o itervalo de cofiaça é: = a = Desse modo os resultados mostram que temos 95% de cofiaça que a média dos saldos de cartões de crédito da população de todas as famílias está ete e ;

8 Tabela da distribuição t (um pequeo trecho...) Graus de Área a cauda superior Liberdade 0,20 0,10 0,05 0,025 0,01 0, ,376 3,078 6,314 12,706 31,821 63, ,920 1,476 2,015 2,571 3,365 4, ,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3, ,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3, ,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2, ,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2, ,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2, ,854 1,311 1,699 2,045 2,462 2, ,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2, ,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2, ,850 1,301 1,679 2,014 2,412 2, ,849 1,299 1,676 2,009 2,403 2, ,848 1,298 1,674 2,006 2,399 2, ,846 1,292 1,664 1,990 2,374 2, ,846 1,292 1,663 1,989 2,372 2,636 Como trabalhar com amostras pequeas? Sabemos que a maioria dos casos um tamaho da amostra 30 produz resultados adequados para estimação por itervalo de uma média populacioal. Etretato se a distribuição for altamete icliada ou se cotiver potos fora da curva recomeda-se o uso de tamaho de amostra maiores. Se a distribuição ão está ormalmete distribuída, mas é mais ou meos simétrica, pode-se esperar que tamahos de amostra em toro de 15 elemetos produzam bos itervalos de cofiaça aproximados. De qualquer maeira, é sesato elaborar um histograma quado estamos diate de amostras de tamaho pequeo. O histograma pode auxiliar a aálise da distribuição da população. Vejamos um exemplo prático: A MotorAço Idustrial está iteressada em desevolver um ovo programa auxiliado por computador para treiar os empregados do setor de mauteção a fazer reparos as máquias. A fim de avaliar pleamete o programa, o diretor do departameto de maufaturas solicitou uma estimativa do tempo médio populacioal ecessário

9 para que os empregados do setor de mauteção cocluam o treiameto auxiliado por computador. Uma amostra de 20 empregados é selecioada, tedo cada empregado da amostra cocluído o programa de treiameto. Os dados coletados estão a tabela a seguir: Tempo de treiameto, em dias, correspodete à amostra de 20 empregados da MotorAço Na dúvida, o aalista da empresa elaborou um histograma para facilitar a aálise quato à distribuição populacioal de tempo de treiameto dos empregados do setor de mauteção da empresa MotorAço. O histograma é mostrado a seguir: Após a aálise dos dados e do histograma, efetuar a estimação do tempo médio populacioal utilizado um ível de cofiaça de 95%. Resultados: x 51,5 s 6,84 gl ( 1) 19 (1 ) 0,95 0,05 / 2 0,025 t /2 t0,025 2,093

10 A estimação por poto é 6,84 2,093. 3,2 20 x 51,5, a margem de erro, e o itervalo de cofiaça é: [48,3 a 54,7] dias. NOTA IMPORTANTE: Quado σ é cohecido, a margem de erro É FIXA E É A MESMA para todas as amostras de tamaho. Quado σ é descohecido, a margem de erro VARIA DE AMOSTRA PARA AMOSTRA; isso ocorre porque o desvio padrão varia, depededo da amostra selecioada. Aplicação: z /2 ( / ) t /2 ( s / ) 1) Para uma distribuição t com 16 graus de liberdade, ecotre a área ou probabilidade, em cada região apresetada a seguir: a) À direita de 2,120 b) À esquerda de 1,337 c) À esquerda de -1,746 d) À direita de 2,583 e) Etre -2,120 e 2,120 f) Etre -1,746 e 1,746 2) Ecotre os valores t em cada um dos seguites casos: a) Área da cauda superior igual a 0,025, com 12 graus de liberdade; b) Área da cauda iferior igual a 0,05, com 50 graus de liberdade; c) Área da cauda superior igual a 0,01, com 30 graus de liberdade; d) Em que 90% da área se situa etre esses dois valores t com 25 graus de liberdade; e) Em que 95% da área se situa etre esses dois valores t com 45 graus de liberdade. 3) Uma amostra aleatória simples com = 54 produziu uma média amostral igual a 22,5 e um desvio padrão da amostra igual a 4,4. a) Desevolva um itervalo de cofiaça de 90% para a média populacioal; b) Estabeleça um itervalo de cofiaça de 95% para a média populacioal; c) Estabeleça um itervalo de cofiaça de 99% para a média populacioal; d) O que acotece à margem de erro e ao itervalo de cofiaça, quado o grau de cofiaça é aumetado?

11 4) O úmero médio de horas de vôo dos pilotos da Cotietal Airlies equivale a 49 horas por mês. Supoha que essa média teha se baseado em tempos de vôo reais de uma amostra de 110 pilotos da Cotietal Airlies e que o desvio padrão da amostra teha sido de 8,5 horas. a) Com 95% de cofiaça, qual é a margem de erro? b) Qual é a estimação por itervalo, com 95% de cofiaça, do tempo de vôo médio da população de pilotos? c) O úmero médio de horas de vôo dos pilotos da Uited Airlies equivale a 36 horas por mês. Use os resultados que obteve o item (b) para discutir as difereças etre os tempos de vôo dos pilotos das duas empresas aéreas. Um relatório da Ifraero mostrou que a Uited Airlies tem o custo de mão-de-obra mais elevado etre todas as empresas aéreas. A iformação cotida esse exercício oferece subsídios para compreedermos por que a Uited Airlies poderia esperar custos de mão-de-obra mais elevados? COMO DETERMINAR O TAMANHO DA AMOSTRA Sabemos que a estimação por itervalo de uma média populacioal é dada pela expressão: x z /2 Chamado de E = a margem de erro, resolver a expressão para z /2. E z /2 E ( z ). E 2 2 /2 2 ; OBSERVAÇÃO: Note que o tamaho da amostra está depededo do valor do desvio padrão σ. Se σ ão é cohecido, deve-se provideciar um valor plaejado para o desvio padrão; a prática, pode-se adotar um dos seguites procedimetos: a) usar uma estimativa do desvio padrão da população, calculada a partir de dados de estudos ateriores; b) usar um estudo piloto para selecioar uma amostra prelimiar; o desvio padrão amostral poderá ser usado como valor plaejado; c) usar como aproximação tosca do desvio padrão, a difereça etre os maiores e os meores valores de dados da população. Muitas

12 vezes a amplitude dividida por 4 é sugerida como um valor plaejado de σ. Exemplos: 1) Um estudo sobre o custo de aluguel de automóveis revelou que o custo médio para alugar um carro de porte médio era de aproximadamete R$ 55 por dia com desvio padrão de R$ 9,65. Ao projetar um ovo estudo para saber a evolução do custo diário de aluguel de automóveis de tamaho médio, foi projetada uma margem de erro da média populacioal do custo de aluguel de R$ 2 e um grau de cofiaça de 95%. Qual o tamaho da amostra a ser selecioada para realizar tal estudo? ( z ). (1,96) (9,65) E /2 2 2 = 90 89,43 2) Estima-se que a amplitude de um cojuto de dados seja 36. Determiar: a) qual o valor plaejado vc usaria para o desvio padrão da população? (σ = 9) b) com 95% de cofiaça, qual seria o tamaho da amostra que foreceria uma margem de erro igual a 3? ( = 35) c) com 95% de cofiaça, qual seria o tamaho da amostra que foreceria uma margem de erro igual a 2? ( = 78) 3) A Satur forece iformações sobre o custo de peroites em quartos de hotel em todo o território catariese. Use R$ 2 como margem de erro desejada e R$ 22,50 como valor plaejado para o desvio padrão da população para ecotrar o tamaho de amostra recomedado a seguir: a) para uma estimação por itervalo de cofiaça de 90% do custo médio populacioal dos quartos de hotel. ( = 343) b) para uma estimação por itervalo de cofiaça de 95% do custo médio populacioal dos quartos de hotel. ( = 487) c) para uma estimação por itervalo de cofiaça de 99% do custo médio populacioal dos quartos de hotel. ( = 840) d) quado a margem de erro é fixada, o que acotece ao tamaho da amostra quado o grau de cofiaça aumeta? Você recomedaria

13 que a Satur utilizasse um grau de cofiaça de 99%? Discuta. (Não recomedaria!) ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DA PROPORÇÃO DA POPULAÇÃO Vimos que a forma geral da estimação por itervalo de uma proporção populacioal é: p ± margem de erro Vimos também que a distribuição amostral de p pode ser aproximada por meio de uma distribuição ormal quado p 5 e (1-p) 5. A figura a seguir ilustra a distribuição amostral de p. A distribuição amostral de p é dado por: é a proporção p da população e o desvio padrão de p p p(1 p) Uma vez que a distribuição amostral de p está ormalmete distribuída, a estimação por itervalo da proporção populacioal possui uma margem de erro dada por: Margem de erro z /2 p(1 p) A expressão geral da estimação da proporção populacioal é:

14 p p z /2 p(1 p) Como determiar o tamaho da amostra: A exemplo da determiação do tamaho da amostra a estimação da média populacioal, aqui o raciocíio é o mesmo. Deotado por E a margem de erro e desevolvedo a expressão em fução de, teremos: 2 ( z /2). p(1 p) 2 E OBSERVE QUE ão poderemos usar a fórmula supra diretamete porque somete será cohecido depois de selecioarmos a p amostra. Precisamos, etão, de um valor plaejado para p que deotaremos por p*. Com isso usaremos a seguite expressão para o cálculo do tamaho da amostra: z p p E ( 2 /2). *(1 *) 2 com as seguites recomedações: a) use a proporção amostral de uma amostra aterior; b) use um estudo piloto para selecioar uma amostra prelimiar; a proporção dessa amostra prelimiar pode ser utilizada como p*; c) use o julgameto para atribuir o valor de p*; d) usar p*=0,50. Justificativa: Algus valores possíveis para o termo p*(1 p*) presete o umerador da expressão acima são: p* p*(1 p*) 0,10 0,10(0,90)=0,09 0,20 0,20(0,80)=0,16 0,30 0,30(0,70)=0,21 0,40 0,40(0,60)=0,24 0,50 0,50(0,50)=0,25 maior valor para p*(1 p*) 0,60 0,60(0,40)=0,24 0,70 0,70(0,30)=0,21 0,80 0,80(0,20)=0,16 0,90 0,90(0,10)=0,09 Isso mostra que ao adotarmos p* = 0,50 como valor plaejado, estaremos cietes que esse valor recomeda um tamaho de amostra maior. De fato, ficamos traquilos, pois se a proporção amostral vier

15 a ser um valor diferete de 0,50, a margem de erro será meor que o valor previsto. ASSIM, AO ADOTARMOS p* = 0,50, GARANTIMOS QUE O TAMANHO DA AMOSTRA SERÁ SUFICIENTE PARA OBTERMOS A MARGEM DE ERRO DESEJADA. NOTA: A margem de erro desejada para estimar uma proporção populacioal é, em geral, 0,10 ou meos. Em pesquisas de opiião pública realizadas por orgaizações como o Istituto Gallup, Harris e Ibope, uma margem de erro etre 0,02 e 0,03 é comum. Com essas marges de erro a expressão estudada forece sempre um tamaho da amostra que satisfaz a codição essecial p 5 e (1-p) 5 para que se possa usar a distribuição ormal como uma aproximação à distribuição amostral de x. APLICAÇÕES: 1) Qual o tamaho da amostra para efetuar uma estimativa da proporção populacioal cosiderado uma cofiaça de 95% e margem de erro igual a 0,03. Supoha que ão haja dados históricos dispoíveis para que se possa plaejar um valor para. p 2) Uma empresa realizou uma pesquisa etre 346 pessoas que procuravam emprego para saber porque as pessoas trocam de emprego tão frequetemete. A resposta mais escolhida (152 vezes) foi melhor remueração em outro lugar. a) qual é a estimação por poto da proporção de pessoas que procuram emprego que escolheriam melhor remueração em outro lugar como a razão para trocar de emprego? (0,4393) b) qual é a estimação por itervalo de cofiaça de 95% da proporção populacioal? (0,3870 a 0,4916) 3) Uma pesquisa realizada cojutamete pelo joral USA Today, CNN e Istituto Gallup para a presidêcia da república tomou como amostra 491 eleitores em potecial em juho/2000. Uma das pricipais fialidades da pesquisa era obter uma estimativa da proporção dos eleitores em potecial que eram favoráveis a cada cadidato. Supoha que, esta ocasião, o valor plaejado de p foi 0,50 e um grau de cofiaça de 95%.

16 a) em juho qual foi a margem de erro plaejada para a pesquisa? b) quato mais se aproximam as eleições de ovembro, maior precisão e meores marges de erro são desejadas. Supoha as seguites marges de erro sejam solicitadas para as pesquisas realizadas durate a campaha à Presidêcia da República. Calcule o tamaho da amostra recomedada para cada pesquisa: Pesquisa (Época) Margem de erro Tamaho da amostra Juho 0, Setembro 0, Outubro 0, Iício de Novembro 0, Véspera das eleições 0,